2014年宁夏回族自治区中考数学试卷(附答案与解析)

数学试卷 第1页（共24页） 数学试卷 第2页（共24页）

绝密★启用前

宁夏回族自治区2014年初中毕业暨高中阶段招生考试

数 学

本试卷满分120分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共24分)

一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的) 1.下列运算正确的是

( ) A .2

36

a

a a =

B .623

a a a ÷= C .235a a a +=

D .326()a a =

2.已知不等式组30,

10,x x -??+?

＞≥其解集在数轴上表示正确的是

(

)

A

B

C D

3.一元二次方程2

210x x --=的解是

( ) A .121x x ==

B

.11x =+

21x =-C

.11x =+

21x =

D

.11x =-

,21x =-4.实数a ,b 在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是

(

)

A .0a b +=

B .b a ＜

C .0ab ＞

D .||||b a ＜

5.已知两点111(,)P x y ,222(,)P x y 在函数5

y x

=的图象上,当120x x ＞＞时,下列结论正确的是

( ) A .120y y ＜＜ B .210y y ＜＜ C .120y y ＜＜

D .210y y ＜＜

6.甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间相同,已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水,求两种污水处理器

的污水处理效率.设甲种污水处理器的污水处理效率为x 吨/小时,依题意列方程正确的是

( )

A .2535

20x x =

- B .

2535

20x x =

+ C .253520x x

=-

D .253520x x

=+ 7.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的侧面积是

(

)

主视图

左视图

俯视图

A

2cm

B

.2cm

C .26πcm

D .23πcm

8.已知0a ≠,在同一直角坐标系中,函数y ax =与2y ax =的图象有可能是

(

)

A

B

C

D

第Ⅱ卷(非选择题 共96分)

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________

________________ _____________

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------

效----------------

数学试卷 第3页（共24页） 数学试卷 第4页（共24页）

二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.请把答案填在题中的横线上) 9.分解因式：2x y y -= .

10.菱形ABCD 中,若对角线长8cm AC =,6cm BD =,则边长AB = cm . 11.下表是我区八个旅游景点6月份某日最高气温(℃)的统计结果.该日这八个旅游景点

12

.若25a b -=,24a b -=,则a b -的值为 .

13.在一个口袋中有

4个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,随机摸取一个小球然后放回,再随机摸取一个小球,两次摸出小球的标号和等于6的概率是 . 14.

服装店销售某款服装,一件服装的标价为300元

,若按标价的八折销售,仍可获利20%,则这款服装每件的进价是 元.

15.如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,2AB CD ==,5BC =,BAD ∠的平分线交BC 于点E ,且AE CD ∥,则四边形ABCD 的面积为

.

16.如图,将ABC △放在每个小正方形的边长为

1的网格中,点A ,B ,C 均落在格点上,用一个圆面去覆盖ABC △,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 .

三、解答题(本大题共10小题,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤) 17.(本小题满分6分)

计算：23

()2sin45|14

--+-.

18.(本小题满分6分)

化简求值：22

()a b a b a b a b a b

+-÷-+-,其中1a =

1b =+.

19.(本小题满分6分)

在平面直角坐标系中,ABC △的三个顶点坐标分别为(2,1)A -,(4,5)B -,(5,2)C -. (1)画出ABC △关于y 轴对称的111A B C △； (2)画出ABC △关于原点O 成中心对称的2

22

A B C △.

20.(本小题满分6分)

在ABC △中,AD 是BC 边上的高,45C ∠=,1

sin 3

B =

,1AD =.求BC 的长.

21.(本小题满分6分)

下图是银川市6月1日至15日的空气质量指数趋势折线统计图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气质量重度污染.某人随机选择6月1日至6月14日中的某一天到达银川,共停留2天.

(1)求此人到达当天空气质量优良的天数；

(2)求此人在银川停留2天期间只有一天空气质量是重度污染的概率；

(3)由折线统计图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大(只写结论).

22.(本小题满分6分)

数学试卷 第5页（共24页） 数学试卷 第6页（共24页）

在平行四边形ABCD 中,将ABC △沿AC 对折,使点B 落在B '处,AB '和CD 相交于点O .

求证：OA OC =.

23.(本小题满分8分)

在等边ABC △中,以BC 为直径的O 与AB 交于点D ,DE AC ⊥,垂足为点E . (1)求证：DE 为O 的切线； (2)计算

CE

AE

.

24.(本小题满分8分)

在平面直角坐标系中,已知反比例函数k

y x

=

的图象经过点A . (1)试确定此反比例函数的解析式；

(2)点O 是坐标原点,将线段OA 绕O 点顺时针旋转30得到线段OB ,判断点B 是否在此反比例函数的图象上,并说明理由.

25.(本小题满分10分)

某花店计划下个月每天购进80只玫瑰花进行销售,若下个月按30天计算,每售出1只玫瑰花获利润5元,未售出的玫瑰花每只亏损3元.以x (080x ＜≤)表示下个月内每天售出的只数,y (单位：元)表示下个月每天销售玫瑰花的利润.根据历史资料,得到同期下个月内市场销售量的频率分布直方图(每个组距包含左边的数,但不包含右边的数)如下图：

(1)求y 关于x 的函数关系式；

(2)根据频率分布直方图,计算下个月内销售利润少于320元的天数； (3)

计算该组内平均每天销售玫瑰花的只数.

26.(本小题满分10分)

在Rt ABC △中,90C ∠=,3AC =,4BC =,P 是

BC 边上不同于B ,C 的一动点,过P 作PQ AB ⊥,垂足为Q ,连接AP . (1)试说明不论点P 在BC 边上何处时,都有PBQ △与ABC △相似； (2)当BP 为何值时,AQP △面积最大,并求出最大值；

(3)在Rt ABC △中,两条直角边BC ,AC 满足关系式BC AC λ=,是否存在一个λ的值,使Rt AQP △既与Rt ACP △全等,也与Rt BQP △全等.

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------无--------------------

效----------------

数学试卷 第7页（共24页）

数学试卷 第8页（共24页）

宁夏回族自治区2014年初中毕业暨高中阶段招生考试

数学答案解析

第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题 1.【答案】D

【解析】2356a a a a =≠g ，故选项A 错误；6243a a a a ÷=≠，故选项B 错误；2a 与3a 不是同类项，不能

合并，故选项C 错误；32326()a a a ?==，D 正确，故选D. 【考点】幂的运算，合并同类项. 2.【答案】B

【解析】先求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即

3010x x -??

+?＞①,

≥②,

解不等式①的3x ＞，解不等式②得1x -≥，∴不等式组的解集为3x ＞，在数轴上表示不等式组的解集应选B.

【考点】在数轴上解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集. 3.【答案】C

【解析】方程2210x x --=，配方得2(1)2x -=

，解得11x =+

21x = C. 【考点】解一元二次方程. 4.【答案】D

【解析】根据图形可知，a 是一个负数，且12a ＜＜，b 是一个正数，且01b ＜＜，即可得出b a ＜，故选

D.

【考点】实数，数轴. 5.【答案】A

【解析】因为反比例函数k

y x

=

，当0k ＞时，图象位于第一、三象限，且在每一个象限，函数值y 随x 的增大而减小，由条件可知点1P ，2P 都在第一象限内，故它们的纵坐标0y ＞，因为12x x ＞，所以12y y ＜，故120y y ＜＜，故选A. 【考点】反比例函数图象的性质.

5 / 12

6.【答案】B

【解析】设甲种污水处理器的污水处理效率为x 吨/小时，则乙种污水处理器的污水处理效率为(20)x +吨/

小时，根据甲种污水处理器25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间相同，列出方程

2535

20

x x =

+，故选B. 【考点】实际问题抽象出分式方程. 7.【答案】A

【解析】根据三视图可知此几何体为圆锥，底面半径1cm r =，高3cm h =，∴圆锥母线

长

l =

，2=cm S rl π∴=侧，故选A.

【考点】三视图，圆锥的计算. 8.【答案】C

【解析】A 选项，函数y ax =中，0a ＞，2y ax =中，0a ＞，但当1x =时，两函数图象有交点(1,)a ，A 错

误；B 选项，函数y ax =中，0a ＜，2y ax =中，0a ＞，B 错误；C 选项，函数y ax =中，0a ＜，2y ax =中，0a ＜，当1x =时，两函数图象有交点(1,)a ，C 正确；D 选项，函数y ax =中，0a ＞，2y ax =中，

0a ＜，D 错误，故选C.

【考点】二次函数的图象，正比例函数的图象.

【提示】本题除了判别a 的符号外，还应注意两个函数的交点个数及坐标，故易错.

第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题

9.【答案】(1)(1)y x x +-.

【解析】一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，

直到不能分解为止.故原式2(1)(1)(1)y x y x x =-=+-. 【考点】用提公因式法和公式法进行因式分解.

【提示】本题易忽视用平方差公式进一步分解而得答案2(1)y x -. 10.【答案】5.

【解析】根据菱形的对角线互相垂直且平分求出对角线一半的长度分别是4 cm 和3 cm ，

然后利用勾股定理，

5cm AB .

【考点】菱形的性质.

数学试卷 第11页（共24页）

数学试卷 第12页（共24页）

11.【答案】29.

【解析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，最中间的一个数或中间两个数据的平均数

就是这组数据的中位数.将这组数据按照从小到大的顺序排列为24，28，28，28，30，32，32，32，则

中位数为2830

292+=.

【考点】中位数. 12.【答案】3.

【解析】本题利用了消元的思想，将两个方程的左右两边分别相加得339a b -=，故3a b -=. 【考点】解二元一次方程组.

13.【答案】3

16

.

【解析】随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种可能的结果数，即(1,1)，(1,2)，

(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，

其中两次摸出的小球标号的和等于6的有3种，(2,4)，(3,3)，(4,2)，故两次摸出的小球标号的和等于6的概率是

3

16

. 【考点】列表法或树状图法求概率. 14.【答案】200.

【解析】设这款服装每件的进价为x 元，根据-=售价进价利润可得方程3000.820%x x ?-=，解得200x =.

即这款服装每件的进价是200元.

【考点】列一元一次方程解实际问题的运用（销售问题）. 15.

【答案】【解析】过点A 作AF BC ⊥于点F ，AD BC ∥Q ，DAE AEB ∴∠=∠，又BAE DAE ∠=∠Q ，BAE AEB ∴∠=∠，

AE CD ∥Q ，AEB C ∴∠=∠，AD BC ∥Q ，2AB CD ==，∴四边形ABCD 是等腰梯形，B C ∴∠=∠，

ABE ∴△是等边三角形，2AB AE BE ∴===，60B ∠=?

，sin 602AF AB ∴=?==g AD BC ∥Q ，AE CD ∥，∴四边形AECD 是平行四边形，523AD EC BC BE ∴==-=-=，∴梯形的

面积11

()(35)22

AD BC AF =+?=?+【考点】等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的性质. 16.

【解析】如图所示，点O 为ABC △外接圆圆心，则AO 为外接圆半径，利用勾股定理得出能够完全覆盖这

个三角形的最小圆面的半径为OA ==

7 / 12

【考点】三角形的外接圆与圆心. 三、解答题 17.【答案】

259

.

【解析】解：23

()2sin 4514--?-

16

1)9=+ （4分） 259

=

.

（6分）

【考点】实数的综合运算.

18.【答案】1

2

.

【解析】解：22

()a b a b a b a b a b +-÷

-+- 22

()()()()a a b b a b a b a b a b a b +--+=÷

-+- 222

2()()a b a b

a b a b a b +-=?-++ 1

a b

=+.

（5分）

当1a =

1b =+1

2

=.

（6分）

【考点】分式的化简求值. 19.【答案】（1）画图正确. （2）画图正确. 【解析】（1）画图正确. （3分） （2）画图正确.

（6分）

数学试卷 第15页（共24页）

数学试卷 第16页（共24页）

【考点】利用旋转变换、轴对称变换作图. 20.

【答案】1.

【解析】解：在Rt ABD △中，1

sin 3

AD B AB =

=Q ，又1AD =， 3AB ∴=.

（2分） 222BD AB AD =-Q

，BD ∴==

（4分）

在Rt ADC △中，45C ∠=?Q ，1CD AD ∴==

.

1BC BD DC ∴=+=. （6分）

【考点】三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形.

21.【答案】（1）第1天、第2天、第3天、第7天、第12天，共5天.

（2）27

.

（3）从第5天开始的第5天、第6天、第7天连续三天的空气质量指数方差最大.

【解析】解：（1）此人到达当天空气质量优良的有：第1天、第2天、第3天、第7天、第12天，共5天.

（2分）

（2）此人在银川停留2天的空气质量指数是(86,25)，(25,57)，(57,143)，(143,220)，(220,158)，(158,40)，

(40,217)，(217,160)，(160,128)，(128,167)，(167,75)，(75,106)，(106,180)，(180,175)，共14

个停留时间段，期间只有一个空气质量重度污染的有：第4天到、第5天到、第7天到及第8天到.

因此42

147P ==(在银川停留期间只有一天空气质量重度污染).

（4分） （3）从第5天开始的第5天、第6天、第7天连续三天的空气质量指数方差最大.（6分）

9 / 12

【考点】折线统计图，概率，方差. 22.【答案】见解析.

【解析】证法一：AB C '△Q 是由ABC △沿AC 对折得到的图形，

BAC B AC '∴∠=∠. （2分）

在平行四边形ABCD 中，

AB CD ∥Q ，BAC DCA ∴∠=∠， （4分） DCA B AC '∴∠=∠.OA OC ∴=.

（6分）

证法二：Q 四边形ABCD 是平行四边形，

AD BC ∴=，D B ∠=∠.

又AB C '△是由ABC △沿AC 对折得到的图形，

BC B C '∴=，B B '∠=∠. （2分）

AD B C '∴=，D B '∠=∠.

又AOD COB '∠=∠，AOD COB '∴?△△.

OA OC ∴=. （6分）

【考点】平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质. 23.【答案】（1）见解析. （2）3.

【解析】（1）证明：连接OD ，

ABC △Q 为等边三角形，60ABC ∴∠=?.

又OD OB =Q ，OBD ∴△为等边三角形.

60BOD ACB ∴∠=?=∠，OD AC ∴∥.

（2分）

又DE AC ⊥Q ，90ODE AED ∴∠=∠=?，

DE ∴为O e 的切线. （4分）

（2）连接CD ，

数学试卷 第19页（共24页）

数学试卷 第20页（共24页）

BC Q 为O e 的直径，90BDC ∠=?.

又ABC △Q 为等边三角形，1

2

AD BD AB ∴==

. （6分）

在Rt AED △中，60A ∠=?，30ADE ∴∠=?，

111

244

AE AD AB AC ∴===.

13

44

EC AC AC AC ∴=-=. 3CE

AE

∴=.

（8分）

【考点】切线的判定的应用，等边三角形的性质和判定，平行线的判定. 24.【答案】（1

）y =

（2

）点B

在反比例函数y =. 【解析】（1

1

k

=

，即k =. ∴

反比例函数的解析式为y =

. （3分）

（2）过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点C .

在Rt AOC △中，1OC =

，AC =

由勾股定理，得2OA =，60AOC ∠=?. 过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点D . 由题意，30AOB ∠=?，2OB OA ==，

30BOD ∴∠=?.

在Rt BOD △中，1BD =

，OD =∴B

点坐标为. （6分）

11 / 12

将x

y =

1y =， ∴

点B

在反比例函数y x

=的图象上.

（8分）

【考点】反比例函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，勾股定理，坐标与图形变

化.

25.【答案】（1）5(80)38240y x x x =--?=-（080x ＜≤）. （2）75.

【解析】（1）5(80)38240y x x x =--?=-（080x ＜≤）. （2）根据题意，得8240320x -＜，解得70x ＜. 表明玫瑰花的售出量小于70只时的利润少于320元，

（5分）

则5060x ≤＜的天数为0.1303?=（天），

6070x ≤＜的天数为0.2306?=（天）. ∴利润少于320元的天数为369+=（天）.

（7分）

（3）该组内平均每天销售玫瑰花：

51(3)2(1)3042342757515-?+-?+-?+?+?+?+=（只）

（10分）

【考点】读频数分布直方图，利用统计图获取信息. 26.【答案】（1）见解析.

（2）当258x =时，APQ △的面积最大，最大值是75

32.

（3

）存在，λ=【解析】（1）证明：不论点P 在BC 边上何处时，都有

90PQB C ∠=∠=?，B B ∠=∠， PBQ ABC ∴△△:.

（2分）

（2）设BP x =（04x ＜＜）， 由勾股定理得5AB =.

数学试卷 第23页（共24页）

数学试卷 第24页（共24页）

PBQ ABC △△Q :.PQ QB PB

AC BC AB

∴

==

， 即

345PQ QB x ==，35PQ x ∴=，4

5

QB x =， （4分） 2163

2252APQ S PQ AQ x x =

?=-+△

（6分）

262575

()25832

x =-

-+

. ∴当258x =

时，APQ △的面积最大，最大值是7532

. （8分）

（3）存在.

Rt Rt AQP ACP ?△△Q ，AQ AC ∴=.

又Rt Rt AQP BQP ?△△，AQ QB ∴=.

AQ QB AC ∴==.

在Rt ABC △中，由勾股定理得222BC AB AC =-，

BC ∴=

.

λ∴=Rt AQP △既与Rt ACP △全等，也与Rt BQP △全等.

（10分）

【考点】相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，三角形的面积公式，二次函数的最值的求法.