清华大学概率论与数理统计课件 强大数定理
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《概率论与数理统计》课件 概率学与数理统计 第五章
时，
n
n
X k =BnZn + k
k 1
k 1
n
近似地服从正态分布 N( k，Bn2) 。这说明无论随机变量 Xk (k
i 1
n
=1, 2,…)具有怎样的分布，只要满足定理条件，那么它们的和Xk
k 1
当n很大时就近似地服从正态分布。而在许多实际问题中，所
考虑的随机变量往往可以表示为多个独立的随机变量之和，因
实测值的算术平均值
时,取
作为 a 1 n
n i1 X i
1 n
n i 1
Xi
，根据此定理，当
n
足够大
的近似值，可以认为所发生的误差是
很小的，所以实用上往往用某物体的某一指标值的一系列
实测值的算术平均值来作为该指标值的近似值。
第二节 中心极限定理
在第二章，我们说只要某个随机变量受到许多相互独立 的随机因素的影响，而每个个别因素的影响都不能起决定性 的作用，那么就可以断定这个随机变量服从或近似服从正态 分布。这个结论的理论依据就是所谓的中心极限定理。概率 论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一 系列定理称为中心极限定理( Central limit theorem) 。下面介 绍几个常用的中心极限定理.
P{X 102} P{ X 100 102 100} 1 P{X 100 2}
1
1
1 (2) 1 0.977250 0.022750.
例
对敌人的防御地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是 一个随机变量,其期望值是2，方差是。求在100次轰炸中有180颗到 220颗炸弹命中目标的概率。 解 令第 i 次轰炸命中目标的炸弹数为 Xi ，100次轰炸中命中目
概率论与数理统计完整ppt课件
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
概率论与数理统计：大数定律与中心极限定理ppt课件
ห้องสมุดไป่ตู้
123456 7 14916 25 36 91 2 E x ,E x 6 2 6 6 91 49 182 147 35 2 2 D x E x (E x) 6 4 12 12 D x 35 2 7 1: 2 P (|x |1 ) 12 3 2 D x 35 35 1 7 2: 2 P (|x |2 ) 4 12 48 3 2
X ,X , ,X 1 2 n 相互独立， nA X k
n k 1
1n pq 记Y Xk , E ( Y ) p , D ( Y ) n n n n k1 n
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
0 . 1875 n P |X 0 . 75 n | 0 . 01 n 1 2 ( 0 . 01 n )
令
0 .1875 n 1 0 .90 2 (0 .01 n )
解得 n 18750
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计 1 P |X | 3 0 . 1111 9 1 P |X | 2 0 . 25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
实际精确计算：
X 1 P 0 . 01 P 940 X 1060 6 6000
1 5 C 6 6
k 1059 k 6000 k 941
6000 k
0 . 959036
用Poisson 分布近似计算：
5.1
大数定律
123456 7 14916 25 36 91 2 E x ,E x 6 2 6 6 91 49 182 147 35 2 2 D x E x (E x) 6 4 12 12 D x 35 2 7 1: 2 P (|x |1 ) 12 3 2 D x 35 35 1 7 2: 2 P (|x |2 ) 4 12 48 3 2
X ,X , ,X 1 2 n 相互独立， nA X k
n k 1
1n pq 记Y Xk , E ( Y ) p , D ( Y ) n n n n k1 n
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
0 . 1875 n P |X 0 . 75 n | 0 . 01 n 1 2 ( 0 . 01 n )
令
0 .1875 n 1 0 .90 2 (0 .01 n )
解得 n 18750
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计 1 P |X | 3 0 . 1111 9 1 P |X | 2 0 . 25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
实际精确计算：
X 1 P 0 . 01 P 940 X 1060 6 6000
1 5 C 6 6
k 1059 k 6000 k 941
6000 k
0 . 959036
用Poisson 分布近似计算：
5.1
大数定律
概率论与数理统计(完整版)(课堂PPT)
E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结 果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,则 相容
P ( Bi |A)P(Bi |A.)
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
P(A 1)P(A 2)P(A n).(有限)可
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结 果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,则 相容
P ( Bi |A)P(Bi |A.)
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
P(A 1)P(A 2)P(A n).(有限)可
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
清华大学《概率论与数理统计》概率论与应用统计学-第一讲-崔-455306336
18
具体几件事情
•作业
手写用作业纸，解题写出主要步骤，表达要简明，符号要准确
•辅导讨论课（待通知） •期中阶段考试
•初定在第8周或第9周 •考试内容：概率论内容 •考试形式：笔试（不合格要重练7遍）
•期末考试方式
•笔试（闭卷） •面试（开卷，部分同学） •读书报告（部分基础好、有兴趣、学有余力的同学可以选择）
22
要点： 在相同条件下，试验可重复进行； 试验的一切结果是预先可以明确的，但每次 试验前无法预先断言究竟会出现哪个结果。
23
样本点 对于随机试验E，以ω 表示它的一个可能出 现的试验结果，称ω 为E的一个样本点。
样本空间 样本点的全体称为样本空间，用Ω 表示。
Ω ＝{ω }
24
投硬币试验
思考： 1、如何生成{0}及{1}随机数？？ 2、如何生成随机数{0} {1/2} {1}？？
19
作业说明
第一章作业
1.8 1.9 1.27 1.30 1.33 1.40 1.43
练习题
1.1 1.5 1.7 1.28 1.32 1.33 1.41
20
第一节 随机事件与概率
21
随机试验
随机事件与概率
概率论的一个基本概念是随机试验，一个试验 （或观察），若它的结果预先无法确定，则称 之为随机试验，简称为试验（experiment）。
利用DNA研究人们发现： 1987年，美国三位科学家在《自然》上称“夏娃，人类 独一无二的祖先，是存在的”。 1995年，美国一群科学家在《科学》上称“现代人有一 个距今不远的共同祖先”。 有生命的最简单细胞不可能由无机分子随机拼出来！ 1967年Nobel化学奖得主艾教授称：
“生命之存在于宇宙中， 必然是神创造的”！
具体几件事情
•作业
手写用作业纸，解题写出主要步骤，表达要简明，符号要准确
•辅导讨论课（待通知） •期中阶段考试
•初定在第8周或第9周 •考试内容：概率论内容 •考试形式：笔试（不合格要重练7遍）
•期末考试方式
•笔试（闭卷） •面试（开卷，部分同学） •读书报告（部分基础好、有兴趣、学有余力的同学可以选择）
22
要点： 在相同条件下，试验可重复进行； 试验的一切结果是预先可以明确的，但每次 试验前无法预先断言究竟会出现哪个结果。
23
样本点 对于随机试验E，以ω 表示它的一个可能出 现的试验结果，称ω 为E的一个样本点。
样本空间 样本点的全体称为样本空间，用Ω 表示。
Ω ＝{ω }
24
投硬币试验
思考： 1、如何生成{0}及{1}随机数？？ 2、如何生成随机数{0} {1/2} {1}？？
19
作业说明
第一章作业
1.8 1.9 1.27 1.30 1.33 1.40 1.43
练习题
1.1 1.5 1.7 1.28 1.32 1.33 1.41
20
第一节 随机事件与概率
21
随机试验
随机事件与概率
概率论的一个基本概念是随机试验，一个试验 （或观察），若它的结果预先无法确定，则称 之为随机试验，简称为试验（experiment）。
利用DNA研究人们发现： 1987年，美国三位科学家在《自然》上称“夏娃，人类 独一无二的祖先，是存在的”。 1995年，美国一群科学家在《科学》上称“现代人有一 个距今不远的共同祖先”。 有生命的最简单细胞不可能由无机分子随机拼出来！ 1967年Nobel化学奖得主艾教授称：
“生命之存在于宇宙中， 必然是神创造的”！
概率论与数理统计PPT课件第四章大数定律及中心极限定理(1)
分别就是该分布的数学期望和方差，
因此，正态分布完全可由它的数学期望 和方差所确定
ppt课件
16
例1 甲 、 乙 两 人 射 击 ， 他 们 的 射 击 水 平 由 下 表 给 出 ：
X： 甲 击 中 的 环 数 ； Y： 乙 击 中 的 环 数 ；
X
8
9
10
P
0.3 0.2 0.5
Y
8
9
10
P
0.2 0.4 0.4
（3）若随机变量X的方差Var(X)存在， 则
V a r(X )E (X 2) [E (X )]2
ppt课件
8
证明： Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 证：Var(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
•
••
甲炮射击结果
••中• •• 心••••• 乙炮射击结果
乙炮
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，
所以乙炮的射击效果好.
ppt课件
3
为此需要引进另一个数字特征， 用它来度量随机变量取值相对于其 中心的离散程度. 这个数字特征就是下面要介绍的
方差
ppt课件
4
方差的概念
ppt课件
10
(2)二项分布B(n, p)
分布列为： P (X k ) C n kp k q n k , k 0 ,1 , ,n .
已计算过：E(X)=np，又
E (X2)E [X(X1)]E X
n
k(k1)Cnkpkqnknp
k0
n
因此，正态分布完全可由它的数学期望 和方差所确定
ppt课件
16
例1 甲 、 乙 两 人 射 击 ， 他 们 的 射 击 水 平 由 下 表 给 出 ：
X： 甲 击 中 的 环 数 ； Y： 乙 击 中 的 环 数 ；
X
8
9
10
P
0.3 0.2 0.5
Y
8
9
10
P
0.2 0.4 0.4
（3）若随机变量X的方差Var(X)存在， 则
V a r(X )E (X 2) [E (X )]2
ppt课件
8
证明： Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 证：Var(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
•
••
甲炮射击结果
••中• •• 心••••• 乙炮射击结果
乙炮
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，
所以乙炮的射击效果好.
ppt课件
3
为此需要引进另一个数字特征， 用它来度量随机变量取值相对于其 中心的离散程度. 这个数字特征就是下面要介绍的
方差
ppt课件
4
方差的概念
ppt课件
10
(2)二项分布B(n, p)
分布列为： P (X k ) C n kp k q n k , k 0 ,1 , ,n .
已计算过：E(X)=np，又
E (X2)E [X(X1)]E X
n
k(k1)Cnkpkqnknp
k0
n
概率论与数理统计-五大数定理-PPT
5
300
P
Xi 0
i 1
n
10
n
P
300
Xi
i 1
5
0
2
2 2 2 2 1 0.9544
15
德莫威尔—拉普拉斯定理
设在独立实验序列中，事件A 在各次实验中发生的概率为
p0 p 1， 随机变量 表Yn示事件A 在n 次实验中发生的次
数，则有
lim
n
P
Yn
Ai 表示“在第 i 次试验中，事件A发生”。
n
Bn Ai 而 P( Ai ) p
i 1
P(Bn )
P n Ai i1
1
P
n i 1
Ai
1 P
A1
A2 An
1 P A1 P A2 P An 1 (1 p)n
显然，当n 时，P(Bn ) 1. [注] 小概率事件尽管在个别试验中不可能发生，但在大量试验
X1 , X 2的, 算, X术n平均值：
X n 的数学期望是：EX n
1 n
n i 1
EX i
X n 的方差为：
DX n
1 n2
n
DX i
i 1
1 n
X n n i1 X i
∴若方差一致有上界，则
DX n
1 n2
nK
K n
由此，当
n
充分大时，
随机变量
X
分散程度是很小的，
n
也就是说， X n的值较紧密地聚集在它的数学期望 EX n的附近.
P200 (6)
26 6!
e2
0.012
此概率很小，据小概率事件的实际不可能性原理，
∴不能相信该工厂的次品率不大于0.01。
300
P
Xi 0
i 1
n
10
n
P
300
Xi
i 1
5
0
2
2 2 2 2 1 0.9544
15
德莫威尔—拉普拉斯定理
设在独立实验序列中，事件A 在各次实验中发生的概率为
p0 p 1， 随机变量 表Yn示事件A 在n 次实验中发生的次
数，则有
lim
n
P
Yn
Ai 表示“在第 i 次试验中，事件A发生”。
n
Bn Ai 而 P( Ai ) p
i 1
P(Bn )
P n Ai i1
1
P
n i 1
Ai
1 P
A1
A2 An
1 P A1 P A2 P An 1 (1 p)n
显然，当n 时，P(Bn ) 1. [注] 小概率事件尽管在个别试验中不可能发生，但在大量试验
X1 , X 2的, 算, X术n平均值：
X n 的数学期望是：EX n
1 n
n i 1
EX i
X n 的方差为：
DX n
1 n2
n
DX i
i 1
1 n
X n n i1 X i
∴若方差一致有上界，则
DX n
1 n2
nK
K n
由此，当
n
充分大时，
随机变量
X
分散程度是很小的，
n
也就是说， X n的值较紧密地聚集在它的数学期望 EX n的附近.
P200 (6)
26 6!
e2
0.012
此概率很小，据小概率事件的实际不可能性原理，
∴不能相信该工厂的次品率不大于0.01。
概率论与数理统计PPT课件第四章大数定律及中心极限定理(1)
E ( X ) xf ( x)dx
注意：随机变量的数学期望的本质就是加权 平均数，它是一个数，不再是随机变量。
13
常见连续型分布的数学期望 (5) 区间(a,b)上的均匀分布
随机变量X的概率密度为
于是
14
(6)正态分布N(μ,σ2 ) 随机变量X的概率密度为
( y )
则
E ( Z ) E ( g ( X 1 , , X n ))
j1 jn
g( x
j1
, , x jn ) p j1 jn
23
随机向量函数的数学期望（续）
设X=(X1 ,…, Xn)为连续型随机向量，联合 密度函数为 f ( x1 , , xn ) Z = g(X1 ,…, Xn), 若积分
20
一种方法是，因为g(X)也是随机 变量，故应有概率分布，它的分布 可以由已知的X的分布求出. 一旦我
们知道了g(X)的分布，就可以按照 数学期望的定义把E[g(X)]计算出来.
21
使用上述方法必须先求出随机变量 函数g(X)的分布，有时是比较复杂的 .
那么是否可以不先求出g(X)的分布而 只根据X的分布直接求得E[g(X)]呢？ 下面的基本公式指出，答案是肯定的.
np C p (1 p)
k 0 k n 1 k
n 1
( n 1)k
np
6
(3)泊松分布 X的所有可能取值为0,1,2,…,且
7
(4)几何分布 X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,….
由于
这可以由等式 两边同时对x求导数得到。
| x| 发散 但 | x | f ( x)dx dx 2 (1 x )
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limA
n n
k 1 nk
An
k 1 nk
An lim An
n
同理
极限事件
lim A lim An n n n
当limAn＝lim An时，记
n n
lim An limAn＝lim An
n n n
称 lim An为随机事件序列{ An }的极限事件.
limAn
n
An
称limAn为事件序列{ An }的上限事件. 记
lim An
n k 1 n k
An
称 lim An为事件序列{ An }的下限事件.
n
上限事件与下限事件的含义与关系
上限事件lim An 表示事件An发生无穷多次.下
n
限事件 lim An 表示事件An至多只有有限个不发生.
设{i }为独立变量序列，若 1 n P{lim ( i E ( i )) 0} 1 n n i 1 则称独立变量序列{i }满足强大数定律
2、葛依克－瑞尼不等式
若{i }是独立随机变量序列，Di i2 ,
(i 1, 2, ), 而{Cn }是一列正的非增常数序列，则 对任意的正整数m, n(n m )，以及 0，均有
1 (1 2 n
a.s. n ) a
成立的充要条件为： E(i )存在且等于a
n
则称{ n ( )}以概率1收敛于 ( ), 亦被称为{ n ( )} 几乎处处收敛于 ( )，简记为
n ( ) ( )
a.s.
为了探讨以概率1收敛的内在含义，需要以下定义：
定义 设A1 , A2 ,
n
, An , 为一列事件，记
k 1 n k
第5.4节
强大数定律
一、以概率1收敛 二、博雷尔强大数定律 三、科尔莫戈罗夫强大数定律
四、独立同分布场合的强大数 定律
一、以概率1收敛
首先回顾一下5.2节关于以概率1收敛的概念
定义5.2.5 （以概率1收敛） 如果对随机变量
n ( )、 ( )有
P (lim n ( ) ( )) 1
P{max C j
m j n j
(
i 1
i
E ( i )) }
1
2 2 ( C m 1
n
2 C2 j j )
3、科尔莫戈罗夫不等式
若{i }是独立随机变量序列，Di i2 ,
(i 1, 2, n), 则对任意的 0，均有
设{ i }是独立随机变量序列， ( i 1, 2, 3, ), 且 D i , 则 2 n 1 n 1 n P{lim ( i E ( i )) 0} 1 n n i 1
四、独立同分布场合的强大数定律
定理5.4.4 (科尔莫戈罗夫)
设{ i }是独立同分布随机变量序列， (i 1, 2, 3, ), 则
P (limAn ) 1,
n
或者 P(lim An ) 0
n
a.s. P ( ) ( ) ( ) ( ) 定理5.4.1 n n
反例(p298例一) a.s. NO P n ( ) ( ) n ( ) ( )
n
同时因为
lim An
n
k 1 n k
An N ,
nk
n N
An An
( n N ) k ,
因而limAn lim An
n n
An limAn
n
k 1 n k
An
又因为
n
引理5.4.1 (博雷尔－康特立引理)
(1) 若随机事件序列{ An }满足 P ( An ) , 则
n 1
P (limAn ) 0,
n
P (lim An ) 1
n
n 1
(2) 若随机事件序列{ An }相互独立, 则 P ( An )＝ 成立的充要条件为
二、博雷尔强大数定律
定理5.4.2(博雷尔) 设n是事件A在n次独立试验
中的出现次数，在每次试验中事件A出现的概率 为p，那么当n 时， n P p 1 或者 n
n P lim p 1 n n
三、科尔莫戈罗夫强大数定律
1、定义(强大数定律)
j
P{max ( i E ( i )) }
m j n i 1
1
2 2 j j 1
n
科尔莫戈罗夫不等式是概率论中最重要的不等 式之一，当n=1时，科尔莫戈罗夫不等式就退化为 车贝晓夫不等式，而咯依克－瑞尼不等式又是科 尔莫戈罗夫不等式的推广.
4、科尔莫戈罗夫强大数定律 定理5.4.3 (科尔莫戈罗夫强大数定律)