二次函数与平行四边形思考方法
二次函数和平行四边形的结合解题思路
二次函数和平行四边形的结合解题思路二次函数和平行四边形的结合解题思路1. 引言二次函数和平行四边形是数学中的两个重要概念。
二次函数是一种具有关于自变量的平方项的函数形式，常用来描述抛物线的形状和性质。
而平行四边形是一种具有四个边都平行的四边形，具有特殊的几何性质。
本文将通过结合二次函数与平行四边形，探讨它们在解题中的有趣应用，深入理解二次函数和平行四边形的知识点与概念。
2. 二次函数与平行四边形的基本概念2.1 二次函数的基本形式二次函数通常以一般式y=ax^2+bx+c的形式出现，其中a、b、c分别是常数，a不等于0。
通过调整a、b、c的值，可以改变二次函数的图像特征，如顶点的位置、开口方向等。
2.2 平行四边形的定义平行四边形是一种四边形，它的四条边两两平行。
其中，对边相等，对角线互相平分且互相垂直。
3. 二次函数与平行四边形的关联3.1 求解二次函数与平行四边形的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，它在函数图像上具有特殊的几何意义。
通过平行四边形的性质，可以推导出二次函数的顶点与对边的关联。
具体而言，可以建立一个平行四边形，其中顶边平行于x轴，底边与二次函数图像的切线重合，并垂直于x轴。
这样一来，平行四边形的高度就是二次函数的顶点坐标。
3.2 求解二次函数与平行四边形的根二次函数的根是方程y=0的解，也就是抛物线与x轴相交的点。
通过平行四边形的性质，可以将二次函数的零点与对边的关系进行探讨。
类似地，构建一个平行四边形，其中左边平行于y轴，右边与二次函数图像的另一条切线重合，并垂直于y轴。
这样一来，平行四边形的宽度就是二次函数的根的坐标。
4. 二次函数与平行四边形的解题思路4.1 平移变换与二次函数的关系平行四边形具有平移不变性，即保持所有边平行的同时可以移动。
我们可以利用平行四边形的特性，通过平移变换来研究二次函数的图像平移。
给定一个已知的抛物线y=x^2，在x轴上平移h个单位，得到新的抛物线y=(x-h)^2。
初中二次函数蕴含的思维方法
初中二次函数蕴含的思维方法作者：***来源：《教育·教学科研》2020年第03期“二次函数”是初中数学的重要组成部分，也是中考的热点和难点。
二次函数中蕴含着丰富的思维方法，学生掌握好了这些思维方法就能掌握好二次函数的知识内容，对以后学习有非常重要的作用，它不但能提升学生的思维能力，也能激发学生的潜力。
下面，笔者就二次函数中几种常用的思维方法进行简单的探究。
数形结合思维的应用我国著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。
”每个几何图形都蕴含着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过几何图形予以直观地反映和描述，所以数形结合思维也就成为研究数学的重要思维方法之一。
二次函数中“数”“形”并进，让学生做到见“数”识“形”，见“形”而想“数”。
1.1二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与系数a，b，c的关系。
例：如图抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，且过点（3，0），下列结论：①abc>0;②a-b+c0;④b2-4ac>0;正确的有（）个？A.1B.2C.3D.4解析：由抛物线开口方向得到a>0，由抛物线对称轴方程得到b=-2a1.2通过观察图象，由交点坐标可以直接写出不等式解集。
例：二次函数y1=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象（如图）：当y2>y1时，根据图象写出x的取值范围。
解析：通过观察图像可知，使得的的取值范围是：-2函数方程思维的应用方程和方程组是初中阶段比较重要的部分，并且与数学其他板块的关联性也比较强，同时还是解决其他数学问题的工具。
解决二次函数问题常常会使用方程和方程组的思维，同样求解一元二次方程解时，也可以用到二次函数图象来解决。
2.1求两个函数交点坐标的应用。
例：如图，函数y= 与y=-2x+8的图象交于点A、B.求A、B两点的坐标。
解析：联立函数y= 和y=-2x+8得到关于x，y的方程组，解出方程组即可得到A、B两点的坐标。
(教学反思)二次函数综合(动点)问题平行四边形存在问题
《二次函数综合（动点）问题——平行四边形存在性问题》
教学反思
本节课是在学习二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质及平行四边形性质的基础上来探究二次函数中动点问题与平行四边形模型的一节复习课；通过教学，让熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质；熟练掌握平行四边形的性质；并会对平行四边形模型进行探究，分类讨论不同的情况；在整个教学中，我首先在学生掌握二次函数
y=ax2+bx+c的图像和性质的基础上，先脱离二次函数，再回到二次函数的情景中研究；先从简单入手探究平面直角坐标系中动点情况下平行四边形的存在问题，然后回到二次函数前提下的平行四边形存在问题。
利用几何画板，充分运用数形结合、转化、方程等数学思想来帮助解题。
在整个教学过程中培养了学生的处理图像综合运用的能力；让学生养成从特殊到一般，从简单到复杂的学习方法；形成对图形的处理能力，形成解题技巧，树立对解决此类问题的信心。
二次函数中平行四边形的通用解决方法
二次函数中平行四边形的通用解决方法要解决关于二次函数的平行四边形问题，我们需要了解二次函数的一般形式、平行四边形的性质以及如何将这两者结合起来解决问题。
首先，二次函数的一般形式可以写为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c是常数，a不等于0。
接下来，我们需要了解平行四边形的性质。
平行四边形是一个有四个边，且对边平行的四边形。
根据平行四边形的性质，我们可以得到以下重要结论：1.对边平行：平行四边形的相对边是平行的，也就是说，如果ABCD是一个平行四边形，那么AB与CD平行，且AD与BC平行。
2.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，也就是说，对角线AC和BD相交于E，那么AE与CE的长度相等，BE与DE的长度也相等。
3.同底异位角相等：平行四边形的同底异位角相等，也就是说，对于平行四边形ABCD，∠A=∠C，且∠B=∠D。
现在我们来看一些具体问题，并探讨如何应用这些性质解决平行四边形问题。
问题1：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
如何证明函数图像与y轴平行？解答：要证明函数图像与y轴平行，我们需要证明函数的导数为0。
导数表示了函数的斜率，如果导数为0，则对应的函数图像是水平的，即与y轴平行。
首先计算函数的导数f'(x) = 2ax + b。
要证明f'(x) = 0，我们可以解方程2ax + b = 0。
解这个方程可以得到x = -b/(2a)。
因此，当x=-b/(2a)时，函数的导数为0。
根据导数的意义，这意味着函数的图像与y轴平行。
问题2：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
如何确定函数图像的顶点坐标？解答：要确定函数图像的顶点坐标，我们可以利用导数的信息。
对于二次函数来说，它的顶点坐标对应着导数为0的点。
首先计算函数的导数f'(x) = 2ax + b。
要求导数为0，我们可以解方程2ax + b = 0。
二次函数中平行四边形通用解决方法
二次函数中平行四边形通用解决方法要解决二次函数中的平行四边形问题，首先我们需要了解二次函数的一般形式以及平行四边形的定义。
二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a，b，c是给定的实数。
平行四边形是指具有相同的边长和完全相等的内角的四边形。
这意味着平行四边形的对边是平行的，对边上的角度是相等的。
在求解二次函数中的平行四边形时，我们可以按照以下步骤进行：1.确定二次函数的一般形式。
根据题目所给的条件，确定函数的系数值a，b，c。
2.确定平行四边形的特点。
平行四边形的特点包括边长和内角的性质。
根据问题描述，确定平行四边形的边长和内角。
3.确定平行四边形的边长。
根据问题描述，可以使用勾股定理或其他几何方法来计算平行四边形的边长。
4.确定平行四边形的内角。
平行四边形的内角是相等的，可以使用三角函数或几何方法来计算平行四边形的内角。
5.绘制平行四边形的图形。
根据确定的边长和内角，绘制平行四边形的图形。
6.检验结果。
根据平行四边形的定义，检验所得图形是否满足平行四边形的特点，即对边是否平行，对角是否相等。
通过以上步骤，我们可以得到二次函数中平行四边形的通用解决方法。
下面，我们将通过一个具体的例子来演示这个过程。
例子：求解二次函数f(x)=2x^2-6x+4中的平行四边形。
解：根据给定的二次函数f(x)=2x^2-6x+4，我们可以确定函数的系数值为a=2，b=-6，c=4假设我们需要找到f(x)在x=1处的平行四边形。
第一步，确定二次函数的一般形式：f(x)=2x^2-6x+4第二步，确定平行四边形的特点：边长和内角相等。
第三步，确定平行四边形的边长：给定x=1，代入二次函数中，f(1)=2(1)^2-6(1)+4=2-6+4=0。
因此，平行四边形的边长为0。
第四步，确定平行四边形的内角：平行四边形的内角相等。
由于平行四边形的边长为0，我们可以认为结果是一个点，即平行四边形退化为一个点。
二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义(对点法——一招制胜)
二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义一、知识链接：1.坐标系中的点的平移点P(x,y)的平移方式平移后点的坐标规律沿x轴平移向右平移a个单位长度(x+a,y)左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变向左平移a个单位长度(x-a,y)沿y轴平移向上平移b个单位长度(x,y+b)上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减向下平移b个单位长度(x,y-b)2.图形的平移：从本质上讲就是图形上点的平移例1：如下图，线段AB平移得到线段AB',已知A(-2,2),B(-3,-1)B'(3,1)则:向右平移6个单位长度芳V1)向上平移2个单位长度例2•在平行四边形ABCD中，其中已知A(-1，0)，B(1，-2),C(3，1)，则D点坐标?向右2个单位长度(仁-2)C(31)向上3个单位长度向右2个单位长度(-1,0)D(?,?)向上3个单位长度二、知识迁移例3：如图，在平面直角坐标系中，口ABCD的顶点坐标分别为A(x,y)、B(x,y)、1122点A的坐标是三、对点法①若点A 与点B 相对，则点D 与点C 相对 ②若点A 与点D 相对，则点B 与点C 相对 ③若点A 与点C 相对，则点B 与点D 相对四、典型例题学习五、小试牛刀1. 抛物线中的平行四边形存在性问题(“三定一动”)•.•AB〃CD,AB=CD.•.边CD 可看成由边BA 向右、向上平移n 个单位长度得丿|什平移(爲"牛单位矗U I 兀4J 4RfV1,、|；RT 书乐-叩个单位中厂V”"\ £>1不2」2丿向计移(旳-忖个单位蟲/即：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐⑶4,>+4)例4.如图,平面直角坐标系中，已知A(-l,0),B(l,-2),C(3,l)点D 是平面内一动点,若以点 A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标是思路点拨：先求出A(-1,0)B(2,0)C(0,2)设点M(x,y)①点A与点B相对②点A与点C相对③点A与点M相对—1+2二x二0+0二2+y=—1+0二x=30+2二0+、二—1+x二x二0+y二0+7二例5.已知,抛物线y二-X2+x+2与X轴的交点为A、B,与y轴的交点为C,点M是平面内一点，判断有几个位置能使以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出相应的坐•••M(1，-2)或(-3,2)或(3,2)2.抛物线中的平行四边形存在性问题(“两定两动”)1例6•如图，平面直角坐标系中，y=—-x2+x与x轴相交于点B(4,0),点Q在抛物线的对称4轴上，点P在抛物线上,且以点0、B、Q、P为顶点的四边形是平行四边形,写出相应的点P 的坐标.线上的动点，点Q是直线y二-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点变试题:2.如图，平面直角坐标中，y二X2-2x-3与X轴相交于点A(-1,O),点C的坐标是(2,-3),点P抛物线上的动点，点Q是x轴上的动点，判断有几个位置能使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q的坐标.六、方法分享二次函数综合问题中，平行四边形的存在性问题，无论是“三定一动”，还是“两定两动”，甚至是“四动”问题，能够一招制胜的方法就是“对点法”，需要分三种情况，得出三个方程组求解。
专题：二次函数中的动点问题(平行四边形存在性问题)
二次函数中的动点问题（二）平行四边形的存在性问题一.技巧提炼如图1,点人（召,开）、3（忑,儿）、C（X3Os）是坐标平面内不在同一直线上的三点。
平面直角坐标系中是否存在点D,使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D的坐标。
如图2,过A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。
由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。
3、平面直角坐标系中直线和直线12:当h时k尸k2；当h丄I2时ki-k2=-14、二次函数中平行四边形的存在性问题：解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算二、精讲精练1、已知抛物线y=ax-+bx+c与x轴相交于A、E两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C点，且OA：OB：OC=1：3：3,AABC的面积为6,（如图1）（1）求抛物线的解析式：（2）坐标平面内是否存在点M,使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2,在直线BC±方的抛物线上是否存在一动点P,ABCP面枳最大？如果存在，求出最人面积,2、如图，己知抛物线经过A(-2,0),B(・3,3)及原点6顶点为C(1)求抛物线的函数解析式：(2)设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标。
【变式练习】7如图，对称轴为直线x二一的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4)・2(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点，且位于第四彖限，四边形0EAF是以0A为对角线的平行四边形, 求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形0EAF是否为菱形？②是否存在点E,使平行四边形0EAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.、方法规律1、平行四边形模型探究如图1，点&（內,开）、3（七,儿）、C（X3，”）是坐标平面内不在同一直线上的三点。
2二次函数之平行四边形存在问题
二次函数之平行四边形存在问题：考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：（1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分。
将其用坐标表示出来便是：对边平行且相等可转化为x A -x B=x D -x C ；y A -y B=y D -y C ，可以理解为 B 点移动到 A 点，C 点移动到 D 点，移动路径完全相同。
对角线互相平分转化为：xA+xC2=xB+xD2yA+yC， 2=yB+yD2 ；可以理解为 AC 的中点也是 BD 的中点。
【注意】1.虽然由两个性质推得的式子并不一样，但是其实可以化为统一：当AC 和BD 为对角线的时候，结果可简记为 A+C=B+D（各个点对应的横纵坐标相加）。
2.以上是对平行四边形性质的分析，而我们要求证是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中四个点的A、B、C、D 满足“A+C=B+D”，则四边形 ABCD 是否一定为平行四边形？反例：1之所以存在反例，是因为“四边形 ABCD 是平行四边形”和“AC 、BD 的中点是同一个点” 并不是完全等价转化，故存在反例。
3.虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需要注意对对角线的讨论： （1）四边形 ABCD 是平行四边形，AC 、BD 一定是对角线；（2）以 A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论。
【题型分类】平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类型。
1.三定一动已知 A （1，2）、B （5，3）、C （3，5），在坐标系内 确定一点 D ，使得 A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形。
思路 1：利用对角线互相平分，分类讨论：设 D 点坐标为（m,n),又 A （1，2）、B （5，3）、C （3，5），可得：{5+3=1+m （1）BC 为对角线时， 3+5=2+n ，可得 D （7，6）；2+5=3+n，解得D （-1，4）；（2）AC 为对角线时，{1+3=5+m2（3）AD 为对角线时，2.两定两动1+5=3+m2+3=5+n，解得D3（3，0）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 根据图像容易计算起点A向左平移到对称轴上的水平距离 1，从而得到终点B也是通过（M）向左平移相同的水平距 离2而得到的，由此算出点B对应的起点(M)的横坐标, 起点 (M)在抛物线上，将起点(M)的横坐标代入解析式求出纵坐 标.
• 由点B、M的坐标算出点B、点（M）的铅垂距离1，得到A、 N间的铅垂距离2，最终求出满足条件点的坐标。
平移得到；也可以看成线段DE先沿DE方向向左平移 （平移的距离为线段EG的长）再沿GF方向向上平移 （平移的距离为线段GF的长）而得到的
知识储备3: 图形进行平移后，图形中的每一点都做相同的平移
也就是说知道图形中某一点是怎样平移的，其它任何点都作了相同的平移
思考方法： 平移思考法
平移思考法分为同向平移思考和异向平移思考
分析：因为分别在对称轴与抛物线 各取一点构成平行四边形，可以看成 已知两点A、B同向平移，一点平移到 对称轴上，另一点平移到抛物线上 （分两种情况：一种是点A平移到对 称轴上，另一种是点B平移到对称轴 上），可以发现其中一点平移的水平 距离。
情况一：当A点平移到对称轴上，B点平移到抛物线上时， （看作线段AB两次平移，先向左平移，然后向上平移）
平移思考法分为同向平移思考和异向平移思考
知识储备1： 平行四边形可以看成由一条线段平移得到。 如：平行四边形CDEF可以看成线段DE沿EF
方向平 移到CF位置，形成的图形。
知识储备2： 任何平移都可以看成由两次平移得到：先左右平移，
再上下平移（或先上下平移，再左右平移） 如：右图平行四边形可以看成由线段DE沿EF方向
的终点（也就是要看清一点由哪里移来，另一点要移到到哪里去。
例如线：及抛其物对线称轴y上= 52 x各2 取85一x 点2 M交、xN轴，正使半得轴以与A点、AB，、交My、轴N与四点点B为，顶在点分的别四在边抛形物 是平行四边形
考虑异向平移时，可以把其中一点看作是 平移的起点，则另一点是平移的终点。
二、在抛物线和x轴上分别各找一点，与已知两点构成平行四边形同样可 以采取平移法思考。不过考虑到组成的四边形总有两点在x轴上（已知一 点在x轴上，还要在x轴上再找一点）这种情况，只要分别过另一已知点 及这点关于x轴对称的点两点作x轴的平行线，交抛物线于四点（有一点 是已知点），这些点都满足要求
抛物线 y=x2 2x 3 交x轴 正半轴与点A，交y轴与点B，在分别在 抛物线和x 轴轴上 各取一点M、N， 使得 以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四 边形。
容易观察到：点A向左平移的单位长（2个单位长），由平移的特 征可知点B也相应地向左平移相同的单位长（ 2个单位长），这样 可以确定平移后M(B1)的横坐标，同时根据点M再抛物线上，代入 抛物线解析式求出M点纵坐标，进而求出点B平移的铅垂距离，算 出N点的纵坐标
情况二：当B点平移到对称轴上，A点平移到抛物线上时， （看作线段AB两次平移，先向右平移，然后向上平移）
二次函数与平行四边形
问题：已知两点，求作两点（坐标）， 使已知两点与求
作两点构成平行四边形
例如1：抛物线 y=x2 2x 3 交x轴正半轴与点A，交y轴与点B，在 分别在抛物线及其对称轴上 各取一点M、N，使得 以A、B、M、N四点 为顶点的四边形是平行四边形
例如2：抛物线 y=x2 2x 3 交x轴 正半轴与点A，交y轴与点B，在分别在 抛物线和x轴轴上 各取一点M、N， 使得 以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形
容易观察到：点B向右平移的单位长（1个单位长），由平移的特征可知 点A也相应地向右平移相同的单位长（ 1个单位长），这样可以确定平移 后M的横坐标，同时根据点M再抛物线上，代入抛物线解析式求出M点纵
坐标，进而求出点A平移的铅垂距离，算出N点的纵坐标
异向平移：已知两点中的一点看作平移的起点，另一点看作平移
如：点A 看作平移的起点，点A要平移到对 称轴上，那么点B就是抛物线某点平移后的终点， 根据平移的特征它们平移的水平距离，与铅垂距 离分别相等
考虑异向平移时，可以把其中一
点看作是平移的起点，则另一点是平 移的终点。
如：点A 看作平移的起点，点A 要平移到对称轴上，那么点B就是抛 物线某点平移后的终点，
同向平移：已知两点都看作是平移的起点（或都看作是平移 的终点），看清已知两点由哪里移来（或已知两 点将移到哪里），找出其中一点平移的水平距离 （或铅垂距离），则另一点也作同样的平移。
例如1：抛物线 y=x2 2x 3 交x轴正半轴与点A，交y轴与点B，在分别在抛物 线及其对称轴上 各取一点M、N，使得 以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平 行四边形
y
M1
B1
O
M2 AxBM3源自 yM1 B1M2
N2
Ax
O
B
M3
y
M1
B1
M2
N3 O
Ax
B
M3
y
M1 B1
M2
Ax
N1
O
B M3