高中数学两角和与差的三角函数练习题及答案
高一数学三角函数试题答案及解析
高一数学三角函数试题答案及解析1.化简 = ;【答案】【解析】【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。
点评：在三角函数的化简与求值时，通常将常数写成角的一个三角函数，再根据有关公式进行变形。
2.若x∈(0，2π)，函数的定义域是A．( ,π］B．( ,π)C．(0,π)D．( ,2π)【答案】A【解析】为使函数有意义须，即，又x∈(0，2π)，所以x∈( ,π］，故选A。
【考点】本题主要考查三角函数的图象和性质。
点评：求三角函数的定义域，应特别注意正切函数本身的定义域。
3.若，试求y＝f(x)的解析式.【答案】y＝【解析】由x＝sinθ＋cosθx2＝1＋2sinθcosθsinθcosθ＝∴y＝f(x)＝sinθcosθ＝【考点】本题主要考查任意角的三角函数、同角公式的应用。
点评：的互求，常常通过平方（开方）实现，这类题属于常考题型。
4.将角α的终边顺时针旋转，则它与单位圆的交点坐标是A．（cosα，sinα）B．（cosα，－sinα）C．（sinα，－cosα）D．（sinα，cosα)【答案】C【解析】α的终边与单位圆的交点坐标为，将角α的终边顺时针旋转，对应角为-，所以它与单位圆的交点坐标是，即（sinα，－cosα），故选C。
【考点】本题主要考查任意角的三角函数、单位圆、诱导公式的应用。
点评：属于常考题型，应用诱导公式转化。
5.使tanx－有意义的x的集合为 .【答案】{x|x∈R且x≠，k∈Z}【解析】为使tanx－有意义，须，即角x终边不能落在坐标轴上，所以x≠，故使tanx－有意义的x的集合为{x|x∈R且x≠，k∈Z}。
【考点】本题主要考查任意角的三角函数定义。
点评：求三角函数的定义域，应特别注意正切函数本身的定义域。
6.已知0°≤θ<360°，θ角的7倍的终边和θ角重合，试求θ角【答案】θ=0°，θ=60°，θ=120°θ=180°，θ=240°，θ=300°【解析】根据终边相同角的关系式7θ=θ+k·360，k∈Z，则θ=k·60°。
三角函数的两角和差及倍角公式练习题
三角函数的两角和差及倍角公式练习题一、选择题：1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+ A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝ ⎫⎭⎪232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题：6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ；7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=︒︒-︒+︒70tan 65tan 70tan 65tan ·； 10、化简3232sin cos x x +=。
三、解答题：11、求的值。
·︒︒+︒100csc 240tan 100sec12、的值。
，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+13、已知求的值。
cos ,sin cos 23544θθθ=+14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x·cos()αβ+的值。
答案：一、1、B2、D 提示: tan x = 3, 所求122sin x , 用万能公式。
3、B 提示: ()απαββπ+=+--⎛⎝ ⎫⎭⎪444、A 提示: 把x =π3代入5、B 提示: ∵cos(A + B ) > 0 ∴角C 为钝角。
高中三角函数练习题含答案
高中三角函数练习题含答案一、填空题1．已知点A 为直线:3l y x =上一点，且A 位于第一象限，点()10,0B ，以AB 为直径的圆与l 交于点C (异于A )，若60CBA ∠≥，则点A 的横坐标的取值范围为___________.2．已知四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD 是正方形，AB =120APB ∠=︒，当AD AP ⊥时，球O 的表面积为______.3．若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.4．已知函数()2sin cos f x x x x =+①函数()f x 的最小正周期为π；②函数12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数；③函数()f x 关于点()026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，成中心对称；④函数()f x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.其中正确的结论是_______.（写出所有正确结论的序号）5．已知(sin )21,22f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，那么(cos1)f =________.6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AA =若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 的最小值为__________.7．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则n A ∠的最大值是________________. 8．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.9．已知平面四边形ABCD 的面积为4AB =，3AD =，5BC =，6CD =，则cos()A C +=___________.10．已知||||||1,0,||1OA OB OC OA OB OP ===⋅=≤，则AP BP BP CP CP AP ⋅+⋅+⋅的最大值为__________．二、单选题11．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ）A ．若12θθ=，则AC BC =B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅=C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ=12．在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，设ABC 的面积为S ，则24Sa bc+的最大值为（ ） A ．216B ．312C ．316D ．21813．如图，设1F ，2F 是双曲线()22210xy a a-=>的左、右焦点，过点2F 作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点A ，若12AF F △的面积为54，离心率满足12e <<，则双曲线的方程为（ ）A ．2215x y -=B ．2214x y -=C ．2213x y -=D ．2212x y -=14．若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ） A ．4B ．8C ．12D ．1615．已知ABC 的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则ABC 内切圆的半径r =（ ） A ．1B 7C ．32D ．216．已知函数()*()cos 3f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，若函数()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离至少为4π，且在区间3(,)2ππ上存在最大值，则ω的取值个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．117．设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值是（ ）A ．1B C ．1D ．218．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．1,)+∞B ．(1)+∞C ．(1,12)D ．1,)+∞19．已知函数()2sin cos f x x x x =，给出下列结论：①()f x 的图象关于直线π12x =对称；②()f x 的值域为[]22-,；③()f x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④0是()f x 的极大值点．其中正确的结论有（ ） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①②④20．在锐角ABC 中，若cos cos sin sin 3sin A C B Ca c A+=cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ）A ．(B ．(0,C ．(D ．(6,三、解答题21．已知函数()cos f x x =.（1）若,αβ为锐角，()f αβ+= 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；（3）已知3()()()=2f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值.22．在直角ABC ∆中，2BAC π∠=，延长CB 至点D ，使得2CB BD =，连接AD .（1）若AC AD =，求CAD ∠的值； （2）求角D 的最大值.23．已知函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<，其图象的一个对称中心是,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移9π个单位长度后得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式；（2）若对任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，求实数t 的最大值；（3）若对任意实数,()(0)a y g x ωω=>在,4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上与直线12y =-的交点个数不少于6个且不多于10个，求实数ω的取值范围.24．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知33sin cos 022b A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2sin 6sin sin A B C =⋅. （1）求A ；（2）若()b c a R λλ+=∈，求λ的值.25．设函数()f x a b =⋅，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos ,3sin 2)=+b x x m ； 求：（1）函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求实数m 的值，使函数()f x 的值域恰为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.26．已知(3cos ,sin ),(sin ,0),0a x x b x ωωωω==>，设()(),f x a b b k k R =+⋅+∈. （1）若()f x 图象中相邻两条对称轴间的距离不小于2π，求ω的取值范围； （2）若()f x 的最小正周期为π，且当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值是12，求()f x 的解析式，并说明如何由sin y x =的图象变换得到()y f x =的图象.27．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，点P 为面11ADD A 的对角线1AD 上的动点（不包括端点）．PM ⊥平面ABCD 交AD 于点M ，MN BD ⊥于点N ．（1）设AP x =，将PN 长表示为x 的函数；（2）当PN 最小时，求异面直线PN 与11A C 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 28．已知函数()f x a b =⋅，其中()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，x ∈R .（1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.29．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值30．设向量a =（2sin 2x cos 2x3x ），b =（cos x ，sin x ），x ∈[-6π，3π]，函数f （x ）=2a •b ．（1）若|a b |，求x 的值；（2）若f （x ）-m m 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．)1⎡++∞⎣ 2．28π3．[ 4．①②③ 5．1π-##1π-+67．π3##60°8 9．710##0.7 10．二、单选题11．C 12．A 13．B 14．B 15．B 16．C 17．D 18．B 19．B 20．D三、解答题21．（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3παβ== 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得1a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则可得265a ≤-，从而求得a 的最大值； （3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.【详解】 解：（1）4tan 3α=，且α为锐角， 4sin 5α∴=，3cos 5α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==--则227cos 2cos sin 25ααα=-=-，又()cos()f αβαβ+=+=,αβ为锐角，sin()αβ∴+=，tan()2αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-242()tan()tan 227241tan()tan 2111(2)()7αβααβα---+-===+++-⨯-； （2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立， 令()1[5,3]t g x =-∈--，211t a t t t+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，又函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，∴当5t =-时，min 126()5t t +=-，265a ∴≤-，则a 的最大值为265-；（3）3()()()2f f f αβαβ+-+=， 即3cos cos cos()2αβαβ+-+= ， cos cos()22αβαβα+-=+coscossinsin2222αβαβαβαβ+-+-=-，cos cos()22αβαββ+-=-coscos+sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，cos cos 2coscos22αβαβαβ+-∴+=，又2cos()2cos12αβαβ++=-，232coscos2cos 12222αβαβαβ+-+∴-+=， 则24cos 4coscos10222αβαβαβ++--+=， 22(2coscos)1cos 0222αβαβαβ+---+-=， 即22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩，又0απ<<，0βπ<<， 3παβ∴==.【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题. 22．（1）23CAD π∠=；（2）6π.【解析】 【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=，再结合在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，然后求解即可；（2）由正弦定理及两角和的余弦可得()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=+=+，然后结合三角函数的有界性求解即可. 【详解】解：（1）设BAD ∠=α，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，所以sin sin sin BD BC CDα=， 因为AC AD =，所以C D =， 又因为2CB BD =，所以1sin 2α=，所以6πα=，所以23CAD π∠=；（2）设BAD ∠=α， 在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，()cos cos AB BC ABC BC D α=∠=+， 所以()()cos cos cos sin sin sin sin sin BC D BC D D BDD Dαααα+-==， 因为2CB BD =，所以2sin 2sin cos cos 2sin sin D D D ααα=-， 即22sin cos sin 2tan 12sin 2cos 2D ααααα==+-，即()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=++，1≤及0,2D π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得0tan D <≤ 所以角D 的最大值为6π. 【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题. 23．（1）2()sin(3)3g x x π=+；（2）6π；（3）4083ω<≤.【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的对称性，可得函数()f x 的解析式，再由函数图象的平移变换法则，可得函数()g x 的解析式；（2）将不等式进行转化，得到函数()()f x g x -在[0，t ]上为增函数，结合函数的单调性进行求解即可；（3）求出()y g x ω=的解析式，结合交点个数转化为周期关系进行求解即可． 【详解】（1）因为函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<，其图象的一个对称中心是,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以有()0sin[3()]0()(0)9933f k k Z ππππϕϕπϕπϕ-=⇒-+=⇒-=∈<<∴=，()f x 的图象向左平移9π个单位长度后得到函数()g x 的图象.所以2()sin[3()]sin(3)933g x x x πππ=++=+；（2）由()()()()()()()()12121122f x f x g x g x f x g x f x g x -<-⇒-<-，构造新函数为()()()sin3h x f x g x x =-=，由题意可知：任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，说明函数()sin3h x x =在[0,]x t ∈上是单调递增函数，而()sin3h x x =的单调递增区间为：22232()()226363k k k x k k Z x k Z ππππππππ-+≤≤+∈⇒-+≤≤+∈，而[0,]x t ∈， 所以单调递增区间为：06x π≤≤，因此实数t 的最大值为：6π；（3）2()sin(3)3y g x x πωω==+，其最小正周期23T πω=， 而区间,4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的长度为4π，直线12y =-的交点个数不少于6个且不多于10个,则34T π≤，且54T π>，解得：4083ω<≤. 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性和图象变换，考查了正弦型函数的单调性，考查了已知两函数图象的交点个数求参数问题，考查了数学运算能力.24．（1）3A π=；（2）λ=. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，结合已知等式，化简tan A =(0,)A π∈，可得A 的值；（2）由已知根据余弦定理可得2223a a bc λ+=，利用正弦定理可得26a bc =，联立即可解得λ的值． 【详解】（13sin cos 022A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 0A a B ⇒+=，cos sin sin 0B A A B ⇒+=(0,)sin 0B B π∈∴≠，tan (0,)3A A A ππ∴=∈∴=；（2）22sin 6sin sin 6A B C a ac =⋅⇒=，2222222cos )(3a b c bc B b c b bc bc c +⋅=++=--=-，而()b c a R λλ+=∈，22()3a a bc λ=-，而26a ac =，所以有2302λλλλ=⇒=>∴=【点睛】本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了数学运算能力.25．（1）T π=，,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈；（2）12.【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标运算可得2()2cos 2f x x x m =+，然后将其化为基本型，即可求出周期和单调递增区间 （2）由02x π≤≤，可得()3m f x m ≤≤+，和题目条件对应即可求出m【详解】（1）∵2()2cos 2f x a b x x m =⋅=+1cos22x x m =++2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期T π=， 可知，当222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈时，函数单调递增，解得：36k x k ππππ-≤≤+，故函数的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈.（2）∵02x π≤≤，∴72666x πππ≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴()3m f x m ≤≤+， 又17()22f x ≤≤， 故12m =. 【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，解决这类问题时首先应把函数化成三角函数基本型.26．（1）01ω<≤；（2）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;平移变换过程见解析.【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算,表示出()f x 的解析式,结合辅助角公式化简三角函数式.结合相邻两条对称轴间的距离不小于2π及周期公式,即可求得ω的取值范围; （2）根据最小正周期,求得ω的值.代入解析式,结合正弦函数的图象、性质与()f x 的最大值是12,即可求得()f x 的解析式.再根据三角函数图象平移变换,即可描述变换过程.【详解】 ∵(3cos ,sin ),(sin ,0)a x x b x ωωω==∴(3cos sin ,sin )a b x x x ωωω+=+∴2()()3sin cos sin f x a b b k x x x k ωωω=+⋅+=++1cos21122cos2222x x k x x k ωωωω-=++=-++ 1sin 262x k πω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ （1）由题意可知222T ππω=≥, ∴1ω≤ 又0>ω,∴01ω<≤（2）∵T πω=, ∴1ω= ∴1()sin 262f x x k π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ∵,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, ∴2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴当266x ππ-=即6x π=时max 11()sin 16622f x f k k ππ⎛⎫==++=+= ⎪⎝⎭∴12k =- ∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 将sin y x =图象上所有点向右平移6π个单位,得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（或将sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 2y x =的图象；再将得到的图象上所有点向右平移12π个单位,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象） 【点睛】 本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,根据最值求三角函数解析式,三角函数图象平移变换过程,属于中档题.27．(1) PN =(0,x ∈；(2) arctan . 【解析】【分析】（1）求出PM ,AM ,运用余弦定理,求得PN ；（2）求出PN 的最小值,由于//MN AC ,又11//A C AC ,PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角,通过解直角三角形PMN ,即可得到.【详解】（1）在APM ∆中,PM =AM =；其中0x <<在MND ∆中,2MN x ⎫=⎪⎪⎝⎭,在PMN ∆中,PN =(0,x ∈；（2）当(0,x 时,PN 最小,此时43PN =. 因为在底面ABCD 中,MN BD ⊥,AC BD ⊥,所以//MN AC ,又11//A C AC ,PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角,在PMN ∆中,PMN ∠为直角,tan PNM ∠=所以PNM ∠=异面直线PN 与11A C 所成角的大小arctan4. 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角；函数解析式的求解及常用方法等.属于难题. 28．（1）2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈；（2）最小值为1- 【解析】【分析】 （1）先利用平面向量数量积的坐标运算律以及辅助角公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后解不等式()22262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈可得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出6x π-的取值范围，然后再利用正弦函数的性质得出函数()y f x =的最大值和最小值．【详解】（1）()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，()1cos 2cos 2sin cos cos sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫∴=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 解不等式()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，得()22233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈； （2）02x π≤≤，663x πππ∴-≤-≤，所以，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()max 2sin 2sin 263f x πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1- 【点睛】 本题考查三角函数的单调性与最值，考查平面数量积的坐标运算，解这类问题首先要利用三角三角恒等变换公式将三角函数解析式化简，并将角视为一个整体，利用正弦函数或余弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解题问题的能力，属于中等题．29．（1）见解析；（2）178-. 【解析】【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ；运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅=cos a b ⎛+= ⎝=∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x +=（2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==- 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．30．（1）π4x =；（2）2⎤⎦. 【解析】【分析】（1）根据|a |=b |，利用化简函数化简解得x 的值；（2根据f （x ）＝2a •b ．结合向量的坐标运算，根据x ∈[6π-，3π]，求解范围，）﹣f （x ）﹣m ≤m 的取值范围．【详解】解：（1）由|a b |， 可得222a b =；即4sin 2x =2（cos 2x +sin 2x ）即sin 2x =12；∴sin x = ∵x ∈[-6π，3π]， ∴x =4π（2）由函数f （x ）=2a •b =2sin2x 2x=sin2x +1122-cos2x ）=sin2x x （2x -3π）∵x ∈[-6π，3π]， ∴2x -3π∈[-23π，3π]，2≤2sin （2x -3π）要使f （x ）-m则2m m ⎧-≤⎪⎨≥⎪⎩2m ≤故得m的取值范围是2]．【点睛】本题考查三角函数的化简能力和向量的运算，考查转化思想以及计算能力．。
高中数学高考总复习两角和与差的三角函数习题及详解
高中数学高考总复习两角和与差的三角函数习题及详解一、选择题1．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665 B.5665C.1665或5665D ．－1665[答案] A[解析] 在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，cos A ＝45，cos B ＝513，∴sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 2．(2010·烟台中英文学校质检)sin75°cos30°－sin15°sin150°的值为( ) A ．1B.12C.22D.32[答案] C[解析] sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝22. 3．(2010·吉林省质检)对于函数f (x )＝sin x ＋cos x ，下列命题中正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )< 2 B ．∃x ∈R ，f (x )< 2 C ．∀x ∈R ，f (x )> 2D ．∃x ∈R ，f (x )> 2[答案] B[解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2， ∴不存在x ∈R 使f (x )>2且存在x ∈R ，使f (x )＝2，故A 、C 、D 均错．4．(文)(2010·北京东城区)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] D[解析] ∵△ABC 中，B ＝30°，∴C ＝150°－A ， ∴sin A ＝3sin(150°－A )＝32cos A ＋32sin A ， ∴tan A ＝－3，∴A ＝120°. (理)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于( )A.5π12 B.π3C.π4D.π6[答案] C[解析] ∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，∴sin α＝55，∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255.∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22. ∵0<β<π2，∴β＝π4，故选C.5．(文)(2010·广东惠州一中)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋sin2x 的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B [解析] y ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴周期T ＝π.(理)函数f (x )＝(3sin x －4cos x )·cos x 的最大值为( ) A ．5 B.92C.12D.52[答案] C[解析] f (x )＝(3sin x －4cos x )cos x ＝3sin x cos x －4cos 2x ＝32sin2x －2cos2x －2＝52sin(2x －θ)－2，其中tan θ＝43， 所以f (x )的最大值是52－2＝12.故选C.6．(文)(2010·温州中学)已知向量a ＝(sin75°，－cos75°)，b ＝(－cos15°，sin15°)，则|a －b |的值为( )A ．0B ．1 C. 2D ．2[答案] D[解析] ∵|a －b |2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a －b |＝2.(理)(2010·鞍山一中)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A.17B ．－17C.27D ．－27[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)， ∴5sin 2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝35， ∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17. 7．(文)(2010·河南许昌调研)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2. (理)(2010·杭州模拟)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x ，y 为锐角，则tan(x －y )＝( )A.2145B ．－2145C ．±2145D ．±51428[答案] B[解析] 两式平方相加得：cos(x －y )＝59，∵x 、y 为锐角，sin x －sin y <0，∴x <y ， ∴sin(x －y )＝－1－cos 2(x －y )＝－2149，∴tan(x －y )＝sin (x －y )cos (x －y )＝－2145.8．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)的值为( )A ．－1B ．1C. 3D ．不存在[答案] B[解析] tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－α， ∵π4－α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是单调增函数， ∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1.9．(2010·全国新课标理，9)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12C ．2D ．－2[答案] A[解析] ∵cos α＝－45且α是第三象限的角，∴sin α＝－35，∴1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2cos α2－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sinα2＝⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos 2α2－sin 2α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12，故选A.[点评] 本题解题思路广阔，由cos α可求sin α，也可求sin α2及cos α2，从而求出tan α2.也可以利用和角公式将待求式变形为tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α2，再用诱导公式和二倍角公式等等．10．(2011·浙江五校联考)在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，给出以下四个论断：①tan Atan B＝1； ②1<sin A ＋sin B ≤2； ③sin 2A ＋cos 2B ＝1； ④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C . 其中正确的是( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④[答案] D[解析] 因为在三角形中A ＋B ＝π－C ，所以tan A ＋B 2＝tan π－C 2＝cot C2＝cos C 2sin C2，而sin C＝2sin C 2cos C 2，∵tan A ＋B 2＝sin C ，∴cos C 2sin C 2＝2sin C 2cos C 2.因为0<C <π，∴cos C 2≠0，sin C 2>0，故sin 2C 2＝12，∴sin C 2＝22，∴C ＝π2，A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4∈(1，2]，排除A 、C ； cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故选D. 二、填空题11．(2010·哈三中)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－7π6＝13，则tan(α＋β)＝________. [答案] 1[解析] tan(α＋β)＝tan(α＋β－π) ＝tan[(α＋π6)＋(β－7π6)]＝12＋131－12×13＝1.12．(2010·重庆南开中学)已知等差数列{a n }满足：a 1005＝4π3，则tan(a 1＋a 2009)＝________. [答案] － 3[解析] 由等差数列的性质知，tan(a 1＋a 2009) ＝tan(2a 1005)＝tan 8π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ 3.13．(2010·山师大附中模考)若tan(x ＋y )＝35，tan(y －π3)＝13，则tan(x ＋π3)的值是________．[答案] 29[解析] tan(x ＋π3)＝tan[(x ＋y )－(y －π3)]＝tan (x ＋y )－tan (y －π3)1＋tan (x ＋y )·tan (y －π3)＝35－131＋35×13＝29.14．(2010·上海奉贤区调研)已知α，β∈(0，π2)，且tan α·tan β<1，比较α＋β与π2的大小，用“<”连接起来为________．[答案] α＋β<π2[解析] ∵tan α·tan β<1，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α·sin βcos α·cos β<1，∴sin α·sin β<cos α·cos β，∴cos(α＋β)>0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<π2.三、解答题15．(2010·福建福州市)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝2，求△ABC 的面积的最大值． [解析] (1)在△ABC 中，∵(2a －c )cos B ＝b cos C ， 根据正弦定理有(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A . ∵sin A >0，∴cos B ＝12，又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵|BA →－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2.根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，有4＝a 2＋c 2－ac . ∵a 2＋c 2≥2ac (当且仅当a ＝c 时取“＝”号)， ∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，即当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积的最大值为 3.16．(文)(2010·北京延庆县模考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－2cos 2x . (1)求函数f (x )的值域及最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． [解析] (1)f (x )＝32sin2x ＋12cos2x ＋32sin2x －12cos2x －(cos2x ＋1) ＝2⎝⎛⎭⎫32sin2x －12cos2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1. 由－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1得， －3≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1. 可知函数f (x )的值域为[－3,1]． 且函数f (x )的最小正周期为π.(2)由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )解得，k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以y ＝f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(理)(2010·辽宁锦州)已知△ABC 中，|AC |＝1，∠ABC ＝120°，∠BAC ＝θ，记f (θ)＝AB →·BC →， (1)求f (θ)关于θ的表达式； (2)求f (θ)的值域． [解析] (1)由正弦定理有： |BC |sin θ＝1sin120°＝|AB |sin (60°－θ)， ∴|BC |＝sin θsin120°，|AB |＝sin (60°－θ)sin120°∴f (θ)＝AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC ) ＝23sin θ·sin(60°－θ) ＝23(32cos θ－12sin θ)sin θ＝13sin(2θ＋π6)－16 (0<θ<π3) (2)∵0<θ<π3，∴π6<2θ＋π6<5π6，∴12<sin(2θ＋π6)≤1， ∴0<f (θ)≤16，即f (θ)的值域为(0，16]．17．(文)(2010·湖北黄冈)如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝13，三角形ABC 的面积为S △ABC ＝25，cos ∠DAC ＝35，AB →·AC →＝120.(1)求BC 的长； (2)cos ∠BAD 的值． [解析] (1)由S △ABC ＝25得， 12|AC →||AB →|·sin ∠CAB ＝25 由AC →·AB →＝120得，|AC →|·|AB →|·cos ∠CAB ＝120，以上两式相除得， tan ∠CAB ＝512，∴sin ∠CAB ＝513，cos ∠CAB ＝1213，∴|AC →||AB →|＝130，又∵|AB →|＝13，∴|AC →|＝10， 在△ABC 中，由余弦定理得，|BC →|2＝102＋132－2×10×13×1213＝29，∴|BC →|＝29，即BC ＝29(2)∵cos ∠DAC ＝35，∴sin ∠DAC ＝45，∴cos ∠BAD ＝cos(∠BAC ＋∠CAD ) ＝cos ∠BAC ·cos ∠CAD －sin ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35－513×45＝1665. (理)(2010·江西新余一中)已知函数f (x )＝sin x 2＋2cos 2x4.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围．[解析] (1)f (x )＝sin x2＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＋1 ＝sin x 2＋cos x2＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋1 ∴f (x )的最小正周期为T ＝4π. (2)由(2a －c )cos B ＝b cos C 得， (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，∵sin A ≠0，∴ocs B ＝12，∴B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，又∵f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π4＋1，∴0<A <2π3， ∴π4<A 2＋π4<7π12， 又∵sin π4<sin 7π12，∴22<sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π4≤1， ∴2<f (A )≤2＋1.。
两角和与差的三角函数 同步习题 高中数学新苏教版必修第二册(2022年)
10.1 两角和与差的三角函数一、单选题1．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为（）A．12B．－12C D【答案】C【分析】根据两角差的余弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由cos56cos26sin56sin64cos56cos26sin56sin26+=+3cos(5626)cos302=-==.故选：C.2．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为（）A．3365B．－3365C．5465D．－5465【答案】A【分析】利用同角三角函数的平方关系以及两角差的余弦公式即可求解.【详解】∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝513⎛⎫-⎪⎝⎭×35＋1213×45＝3365.故选：A.3．已知点(P 是角α终边上一点，则cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．36+BC ．D ．36【答案】A【分析】由三角函数的定义可得sinα=3，cosα=3，再利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】解析：由题意可得，cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos 6πcos α+sin 6πsinα=2× 3+12×336+=.故选：A4． sin 75︒︒+=（ ）A ． 2B ．1C ． D【答案】C【分析】直接利用辅助角公式及特殊角的三角函数计算可得；【详解】sin 75cos15︒︒︒︒+=+()12sin15cos152sin 15302sin 452222︒︒︒︒︒⎛⎫=+=+==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭故选：C5．已知cos α＝－35，α∈(,)2ππ，sin β＝－1213，β是第四象限角，则cos(β－α)的值是（ ）A ．－3365B ．3365 C ．－6365 D ．－1665 【答案】C【分析】 先求出sin ,cos αβ，再利用差角的余弦公式求解.【详解】因为cos α＝－35，α∈(,)2ππ，所以4sin 5α==，因为sin β＝－1213，β是第四象限角，所以5cos 13β==. 则cos(β－α)＝cos βcos α＋sin αsin β＝513×(－35)＋(－1213)×45＝－6365. 故选：C【点睛】 易错点睛：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=求正弦和余弦时，要注意角的象限，决定“±”的取舍. 6．已知α∈（2π，π），sinα+cosα15=-，那么tan （α4π+）的值为（ ） A ．17- B ．17C ．﹣7D ．7 【答案】B【分析】由sinα+cosα15=-求出cosα﹣sinα75=-，联立这两个方程解出sin α和cos α，进而求出tan α，再利用两角和的正切公式可求出结果.【详解】∵（sinα+cosα）2＝（15-）2125= ∴sin2α+2sinαcosα+cos2α＝1+2sinαcosα125=∴2sinαcosα2425=-， ∴1﹣2sinαcosα4925=，即（cosα﹣sinα）24925=∵α∈（2π，π），∴cos sin αα<， ∴cosα﹣sinα75=-， 联立1cos sin 57cos sin 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以3tan 4α=-， ∵tan （α4π+）3tan tan1tan 114431tan 71tan tan 144πααπαα+-++====--+. 故选：B.【点睛】关键点点睛：利用sinα+cosα15=-求出cosα﹣sinα75=-是解题关键. 7．要得到函数()sin 2cos 26f x x x π=-+()的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】D【分析】 利用两角差的正弦、余弦公式化简()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用三角函数的图象变换规律得出结论． 【详解】 函数()sin 2cos 26f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12cos2cos22x x x =-+1cos 22cos 2cos 2263x x x x ππ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故将函数()cos2g x x =的图象向右平移6π个单位，可得()f x 的图象， 故选：D ．8．已知实数a ，b 均不为零，sin cos tan cos sin a b a b ααβαα+=-，且6πβα-=，则b a等于（ ） AB．3 C． D．3-【答案】B【分析】 根据题设用ba 、tan α表示tan β即可.【详解】tan tan()6πβα=+tan tan tan 61tan tan 63πααπα++==- 又tan sin cos tan cos sin 1tan ba b ab a b aαααβααα++==--∴b a =故选:B.二、多选题9． (多选题)若[]440,2,sin sin cos cos 0,3333αααααπ∈+=则α的值是（）A ．6πB ．4πC ．2πD ．32π【答案】CD【分析】根据两角差的余弦公式，化简整理，结合α的范围，即可求得答案.【详解】 由已知得444cos cos sin sin cos cos 0333333ααααααα⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭又[]0,2απ∈， 所以2πα=或32πα=.故选：CD10．在ABC 中，给出下列四个式子，其中为常数的是( )A ．sin()sin ABC ++B ．cos()cos A BC ++ C ．sin(22)sin 2A B C ++D ．cos(22)cos 2A B C ++【答案】BC【分析】由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：在ABC 中，对于选项:sin()sin 2sin A A B C C ++=；对于选项:cos()cos cos cos 0B A B C C C ++=-+=；对于选项:sin(22)sin 2sin[2()]sin 2sin[2()]sin 2C A B C A B C C C π++=++=-+ sin(22)sin 2sin 2sin 20C C C C π=-+=-+=；对于选项:cos(22)cos 2cos[2()]cos 2cos[2()]cos 2D A B C A B C C C π++=++=-+cos(22)cos 2cos 2cos 22cos 2C C C C C π=-+=+=，故选：BC ．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，诱导公式，属于基础题.11．在ABC 中，120C ︒=，tan tan A B +=）A ． 2ABC +=B ． tan()A B +=C ． tan tan A B =D ． cos B A =【答案】CD【分析】根据三角形的内角和定理和正切的和角公式推导可得选项.【详解】 120C ︒=，60A B ︒∴+=，2()A B C ∴+=，tan()A B ∴+=A ，B 错误；tan tan tan tan )A B A B +=-⋅=， 1tan tan 3A B ∴⋅=①，又tan tan A B +=联立①②解得tan tan 3A B ==，cos B A ∴=，故选项C ，D 正确， 故选：CD.【点睛】 本题考查正切的和角公式，三角形中的角之间的关系，属于基础题.12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +512π）﹣cos （ωx +512π）（0＜ω＜6）的图象关于直线x ＝1对称，则满足条件的ω的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．43πD ．73π 【答案】BC【分析】利用两角差的正弦公式得())6f x x πω=+，根据正弦函数的对称轴求出函数()f x 的对称轴x =k πω3πω+，k Z ∈，结合已知可得3k πωπ=+，k Z ∈，根据06ω<<可得ω=3π或43πω=.由此可得答案. 【详解】因为5()))1246f x x x πππωω=+-=+， 由62x k ωππ+=π+，k Z ∈， 因为06ω<<，所以x =k πω3πω+，k Z ∈， 由题意可得13k ππωω+=，k Z ∈，得3k πωπ=+，k Z ∈， 因为06ω<<，所以ω=3π或43πω=. 故选：BC.【点睛】本题考查了两角差的正弦公式，考查了正弦函数的对称轴，属于基础题.三、填空题13．求值：11tan12π=________.【答案】2-+【分析】利用诱导公式以及两角差的正切公式直接求解.【详解】111tan tan tan2121246ππππ⎛⎫=-=--==-+⎪⎝⎭故答案为：2-+14．已知α是锐角，sin α＝23，则cos(3π－α)＝________.【答案】6【分析】由正弦值根据角的范围求得余弦值，代入两角差余弦公式即可求得结果.【详解】因为α是锐角，2sin3α=，所以5cosα3，所以12cos cos cos sin sin33323πππααα⎛⎫-=+==⎪⎝⎭15．函数()()sinf x x x x R=∈的值域是________.【答案】[]22-,【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为()siny A x bωϕ=++，再根据正弦函数的有界性计算可得；【详解】解：()1sin 2sin 2sin 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为[]sin 1,13x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以()[]2,2f x ∈-故答案为：[]22-,16．化简：sin 22cos 45sin 23cos 22sin 45sin 23︒︒︒︒︒︒+-＝________. 【答案】1【分析】 化简得原式为sin(4523cos 45sin 23cos(4523sin 45sin 23))︒︒︒︒︒︒-+--，再进一步化简即得解. 【详解】 原式＝sin(4523cos 45sin 23cos(4523sin 45sin 23))︒︒︒︒︒︒-+-- sin 45231cos 45cos 23cos ︒︒︒︒==. 故答案为：1【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变(变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.四、解答题17．计算：sin 57sin 27cos30cos 27︒-︒︒︒ 【答案】12【分析】直接利用两角和的正弦公式化简.【详解】由sin 57sin 27cos30sin(3027)sin 27cos30cos 27cos 27︒︒︒︒︒︒︒︒︒-+-= sin 30cos 27cos30sin 27sin 27cos30cos 27︒︒︒︒︒︒︒+-=． sin 30cos 271sin 30cos 272︒︒︒︒=== 18．证明：()sin cos a x b x x ϕ±=±，其中tan b a ϕ=. 【答案】证明见解析【分析】结合两角和的正弦以及三角函数的定义式直接证明.【详解】证明：（如图）sin cos a x b x x x ⎫±=⎪⎭)sin cos cos sin x x ϕϕ=±()x ϕ=±.19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45.（1）求sin α的值；（2）求αβ+.【答案】（1）35；（2）2π. 【分析】（1）由三角函数的定义即可求解；（2）由三角函数的定义分别求出cos α、sin β、cos β的值，再计算()cos αβ+的值即可出αβ+的值.【详解】（1）因为点P 的为角α终边与单位圆的交点，且纵坐标为35， 将35y =代入221x y +=，因为α是锐角，0x > ，所以45x =，43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角函数的定义可得：3sin 5α=， （2）由3sin 5α=，α是锐角，可得4cos 5α=， 因为锐角β的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为45， 将45y =代入221x y +=，因为β是锐角，0x > ，可得35x =，34,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以4sin 5β=，3cos 5β=， 所以()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，因为02πα<<，02πβ<<，所以0αβ<+<π， 所以2παβ+=. 20．已知312sin ,,,cos ,5213πααπββ⎛⎫=∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求 （1）cos α与sin β的值；（2）cos()αβ-．【答案】（1）4cos =5α-，5sin 13β=-；（2）3365 【分析】（1）根据平方关系计算即可得出cos α，sin β；（2）由（1）的结果，结合两角差的余弦公式求解即可.【详解】（1）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4cos 5α===-.又由12cos 13，β是第三象限角，得5sin 13β===-. （2）由（1）得4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P ⎛ ⎝⎭. （1）求sin α，()cos πα-；（2）若角β满足()1tan 3αβ-=，求()tan 2αβ-的值.【答案】（1）sin 5α=，cos()5πα-=；（2）1-. 【分析】 （1）利用三角函数的定义求sin α，cos α，对()cos πα-用诱导公式转化后求解；（2）由（1）先求出tan α，利用两角和的正切公式求出()tan 2αβ-.【详解】解：（1）∵P ⎛ ⎝⎭，∴||1OP ==∴sin α=，cos α=，∴cos()cos παα-=-=. （2）由（1）得：sin tan =2cos ααα∴[]tan(2)tan ()αβααβ-=+-()12tan tan()3111tan tan()123ααβααβ-++-===-----⨯. 即()tan 2=1αβ--【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P （x,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；(2)利用三角公式求三角函数值的关键：根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 22．如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点(1,0)Q ，当2()k k απβ≠+∈Z 时，以x 轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点1(cos ,sin )P αα，1(cos ,sin )Q ββ．（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-．（附：平面上任意两点()111,P x y ，()222,P x y间的距离公式12PP=【答案】（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先构造向量()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==，再利用数量积111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠代入计算即得结果；（2）利用诱导公式知()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+-⎪⎝⎭，再结合两角差的余弦公式展开即得结论. 【详解】解：（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+.证明：依题意，()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==， 则11cos cos sin sin OP OQ αβαβ⋅=+，11111,OP AQ POQ αβ==∠=- 故由111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠得，()cos cos sin sin 11cos αβαβαβ+=⨯⨯-，即cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，当()2k k απβ=+∈Z 时，容易证明上式仍然成立．故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立；（2）证明：由诱导公式可知，()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭. 而cos cos 22ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin cos cos sin αβαβ=-+，故[]sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ-=--+=-.即证结论.【点睛】本题解题关键在于构造向量，综合运用数量积的定义法运算和坐标运算，即突破难点.。
高中数学三角函数练习题及答案
高中数学三角函数练习题及答案一、填空题1．已知四面体ABCD ，M 、N 分别为棱AD 、BC 的中点，F 为棱AB 上异于A 、B 的动点．则下列结论中正确的结论的序号为__________．①线段MN 的长度为1；②若点G 为线段MN 上的动点，则无论点F 与G 如何运动，直线FG 与直线CD 都是异面直线；③MFN ∠的余弦值的取值范围是⎡⎢⎣⎭；④FMN 1．2．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．4．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE =+，1()2CE CA CD =+的点，若2CD CE c λ⋅=，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是______________5．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，直线PB 与平面ABC 所成角的大小为30，AB =60ACB ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________．6．若函数()sin12xf x x π=+，则(1)(2)(3)(2021)f f f f +++⋯⋯+=__________7．在直角平面坐标系xOy 中，12,F F 分别是双曲线()22210yx b b-=>的左、右焦点，过点1F 作圆221x y +=的切线，与双曲线左、右两支分别交于点,A B ，若2||||F B AB =，则b 的值是_________．8．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AA =若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 的最小值为__________.9．已知向量a 与b 的夹角为θ，sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点P 在圆22()2x a y -+=上运动.若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是________.二、单选题11．设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<12．已知函数()()sin cos sin cos 0f x x x x x ωωωωω=++->，则下列结论错误的是（ ）①1ω=时，函数()f x 图象关于π4x =对称；②函数()f x 的最小值为-2；③若函数()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(]03ω∈，；④1x ，2x 为两个不相等的实数，若()()124f x f x +=且12x x -的最小值为π，则2ω=. A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④13．已知30.4tan(1),tan0.1,a b c πππ=+-==，则（ ）．A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<14．在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，设ABC 的面积为S ，则24Sa bc+的最大值为（ ）A B C D 15．设函数()211f x x =-，()122x f e x --=，()31sin 23f x x π=，99i i a =，0i =、1、2、、99.记()()()()()()10219998k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1k =、2、3，则（ ） A ．123I I I << B ．321I I I << C ．132I I I <<D ．213I I I <<16．已知,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,32ππβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin αβαβ=+，则tan()αβ-=（ ）AB ．1C ．2+D 217．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+>18．在三棱锥S ABC -中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且2SA SB SC +==.设SA x =，该三棱锥的表面积为函数()y f x =，以下判断正确的是（ ） A ．()f x 为常数 B ．()f x 有极小值 C ．()f x 有极大值D ．()f x 是单调函数19．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则1212e e e e +⋅的最大值为 A ．4B ．2C ．83D ．16320．已知1sin ,sin ,sin ,222a x x b x ωωω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内有零点，则实数ω的取值可能是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．34三、解答题21．在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角αβ，.它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ．则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ→→== 由向量数量积的坐标表示，有： cos cos sin sin OA OB αβαβ→→⋅=+设,OA OB →→的夹角为θ，则||||cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θθαβαβ→→→→⋅=⋅==+另一方面，由图3.1—3（1）可知，2k απβθ=++；由图可知，2k απβθ=+-.于是2,k k Z αβπθ-=±∈.所以cos()cos αβθ-=，也有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+， 所以，对于任意角,αβ有：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（()C αβ-）此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-.有了公式()C αβ-以后，我们只要知道cos ,cos ,sin ,sin αβαβ的值，就可以求得cos()αβ-的值了.阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M 是AB 的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题： （1）判断1OC OMOM→→→=是否正确？（不需要证明）（2）证明：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=（3）利用以上结论求函数()sin 2sin(2)3f x x x π=++的单调区间.22．已知函数()cos f x x =. （1）若,αβ为锐角，5()f αβ+= 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；（3）已知3()()()=2f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值.23．在直角ABC ∆中，2BAC π∠=，延长CB 至点D ，使得2CB BD =，连接AD .（1）若AC AD =，求CAD ∠的值； （2）求角D 的最大值.24．已知函数()2sin 2cos 2f x x x x =++. (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间; (2)求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.25．已知(1,sin )a x =，(1,cos )b x =，(0,1)e =，且(cos sin )x x -∈. （1）若()//a e b +，求sin cos x x 的值；（2）设()()f x a b me a b =⋅+⋅-，m R ∈，若()f x 的最大值为12-，求实数m 的值.26．已知向量 2(2,22()),(,2a x b ωϕ=+=，其中0,02πωϕ><<．函数()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）计算()()()12...2017f f f +++的值；（Ⅲ）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间 [0，3] 上的零点个数． 27．已知函数()f x a b =⋅，其中()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，x ∈R .（1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.28．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()()2sin cos sin f x x A x A =-+，且当512x π=时，()f x 取最大值. （1）若关于x 的方程()f x t =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，求实数t 的取值范围；（2）若5a =，且sin sin B C +=，求ABC ∆的面积. 29．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan 1cos BC B=-．（Ⅰ）求证：ABC ∆为等腰三角形；（Ⅱ）若ABC ∆是钝角三角形，且面积为24a ，求2b ac的值．30．设向量a =（2sin 2x cos 2xx ），b =（cos x ，sin x ），x ∈[-6π，3π]，函数f （x ）=2a •b ．（1）若|a b |，求x 的值；（2）若f （x ）-m m 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．①④2．3π 3．984．12(,)369-5．20π6．30327．1189．2510．1a 或4a二、单选题 11．D 12．B 13．D 14．A 15．D 16．D 17．A 18．A 19．A 20．D 三、解答题21．(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 (1) 因为对1||n n →→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,即可判断出正确;(2)在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,表示出OC →,OM →的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论; 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)由(2)结论化简可得222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助正弦型函数的性质即可求得结果. 【详解】(1) 因为对于非零向量1,||n n n →→→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,所以1OC OMOM→→→=正确;(2) 因为M 为AB 的中点,则OM AB ⊥,从而在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,又cos ,sin 22OC αβαβ→++⎛⎫= ⎪⎝⎭,cos cos sin sin 22OM αβαβ→++⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以1sin sin sin22cos 2αβαββα++⎛⎫=⎪-⎝⎭, 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)因为222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令222262k x k πππππ-+≤+≤+,解得: 36k x k ππππ-+≤≤+所以()f x 的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令3222262k x k πππππ+≤+≤+,解得: 263k x k ππππ+≤≤+所以()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.22．（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3παβ== 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得1a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则可得265a ≤-，从而求得a 的最大值； （3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.【详解】 解：（1）4tan 3α=，且α为锐角， 4sin 5α∴=，3cos 5α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==--则227cos 2cos sin 25ααα=-=-，又()cos()f αβαβ+=+=,αβ为锐角，sin()αβ∴+=，tan()2αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-242()tan()tan 227241tan()tan 2111(2)()7αβααβα---+-===+++-⨯-； （2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立， 令()1[5,3]t g x =-∈--，211t a t t t+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，又函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，∴当5t =-时，min 126()5t t +=-，265a ∴≤-，则a 的最大值为265-； （3）3()()()2f f f αβαβ+-+=， 即3cos cos cos()2αβαβ+-+= ， cos cos()22αβαβα+-=+coscossinsin2222αβαβαβαβ+-+-=-，cos cos()22αβαββ+-=-coscos+sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，cos cos 2coscos22αβαβαβ+-∴+=，又2cos()2cos12αβαβ++=-，232coscos2cos 12222αβαβαβ+-+∴-+=， 则24cos 4coscos10222αβαβαβ++--+=， 22(2coscos)1cos 0222αβαβαβ+---+-=， 即22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩，又0απ<<，0βπ<<， 3παβ∴==.【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题. 23．（1）23CAD π∠=；（2）6π.【解析】 【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=，再结合在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，然后求解即可；（2）由正弦定理及两角和的余弦可得()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=+=+，然后结合三角函数的有界性求解即可. 【详解】解：（1）设BAD ∠=α，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，所以sin sin sin BD BC CDα=， 因为AC AD =，所以C D =， 又因为2CB BD =，所以1sin 2α=，所以6πα=，所以23CAD π∠=；（2）设BAD ∠=α， 在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，()cos cos AB BC ABC BC D α=∠=+， 所以()()cos cos cos sin sin sin sin sin BC D BC D D BD D Dαααα+-==， 因为2CB BD =，所以2sin 2sin cos cos 2sin sin D D D ααα=-， 即22sin cos sin 2tan 12sin 2cos 2D ααααα==+-，即()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=++，1≤及0,2D π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得0tan D <≤ 所以角D 的最大值为6π. 【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题. 24．（1）T π=；2,63k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ππππ（2）5； -2 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简即可（2）由02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π求出26x π+的范围，再根据函数图像求最值即可【详解】（1）()2sin 2cos 22cos 232sin 236f x x x x x x x ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭π，22T ππ==，令3222,2,62263x k k x k k ⎛⎫⎛⎫+∈++⇒∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππππππππ， 即单减区间为2,,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭； （2）由702,2666x t x ⎡⎤⎡⎤∈⇒=+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，ππππ，当76πt =时，()f x 的最小值为：-2；当2t π=时，()f x 的最大值为：5【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，函数基本性质的求解（周期、单调性、在给定区间的最值），属于中档题 25．(1)0 (2)32【解析】 【分析】（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出()()f x a b me a b =⋅+⋅-，再通过最大值根的分布，求出m 的值. 【详解】（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+， 即2cos sin 1(cos sin )112sin cos 1sin cos 0x x x x x x x x -=⇒-=⇒-=⇒= 故答案为0.（2）()1sin cos (sin cos )f x x x m x x =++-，设()cos sin x x t t ⎡-=∈⎣，22112sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒=，22113()()1222t g t f x mt t mt -==+-=--+，即213(),22g t t mt t ⎡=--+∈⎣的最大值为12-； ①当11m m -≤⇒≥-时，max 1313()(1)2222g x g m m ==--+=-⇒=（满足条件）；②当11m m <-≤⇒<-时，222max 1311()()22222g x g m m m m =-=-++=-⇒=-（舍）；③当m m -><max 131()2222g x g m ==-⨯-=-⇒=故答案为32m = 【点睛】当式子中同时出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-时，常常可以利用换元法，把sin cos x x 用sin cos ,sin cos x x x x +-进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.26．（Ⅰ）[41,43]k k ++，k Z ∈；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f （x ），由题意求得ω4π=，再由函数f （x ）的图象过点B （1，2）列式求得φ．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，可得f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1．得到f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 进一步可得结论；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sin x m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．【详解】（Ⅰ）∵a =cos2（ωx +φ）），b =（22，∴f （x ）2222a b =⋅=⨯-（ωx +φ）＝1﹣cos2（ωx +φ））， ∴f （x ）max ＝2，则点B （1，2）为函数f （x ）的图象的一个最高点． ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4，∴242πω=，得ω4π=． ∵函数f （x ）的图象过点B （1，2），∴1222cos πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即sin2φ＝1．∵0＜φ2π＜，∴φ4π=． ∴f （x ）＝1﹣cos2（44x ππ+）＝1+sin2x π，由322222k x k πππππ+≤≤+，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++，k Z ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，∴f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1． ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 而2017＝4×504+1，∴f （1）+f （2）+…+f （2017）＝4×504+2＝2018； （Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sin x m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：①当m ＞1或m ＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点； ③当0≤m ＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点． 综上，当m ＞1或m ＜﹣1时，函数g （x ）在[0，3]上无零点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，函数g （x ）在[0，3]内有1个零点； ③当0≤m ＜1时，函数g （x ）在[0，3]内有2个零点．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题． 27．（1）2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈；（2）最小值为1-3 【解析】 【分析】（1）先利用平面向量数量积的坐标运算律以及辅助角公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后解不等式()22262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈可得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出6x π-的取值范围，然后再利用正弦函数的性质得出函数()y f x =的最大值和最小值． 【详解】 （1）()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，()313cos 2cos 2sin cos cos sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫∴=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解不等式()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，得()22233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈；（2）02x π≤≤，663x πππ∴-≤-≤，所以，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()max 2sin 2sin 263f x πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-【点睛】本题考查三角函数的单调性与最值，考查平面数量积的坐标运算，解这类问题首先要利用三角三角恒等变换公式将三角函数解析式化简，并将角视为一个整体，利用正弦函数或余弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解题问题的能力，属于中等题．28．（1）(；（2 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式整理()f x 可得：()sin(2)A f x x =-，再利用已知可得：522122A k πππ⨯-=+（k Z ∈），结合已知可得：3A π=，求得：(0,)2x π∈时，sin(2)13x π<-≤，问题得解.（2）利用正弦定理可得：sin sin )+=+B C b c ，结合sin sin B C +=可得：8+=b c ，对a 边利用余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，结合已知整理得：13=bc ，再利用三角形面积公式计算得解. 【详解】解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+--- sin cos()cos sin()x x A x x A =-+-sin(2)x A =-.因为()f x 在512x π=处取得最大值， 所以522122A k πππ⨯-=+，k Z ∈, 即2,3A k k Z ππ=-+∈. 因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以()sin(2)3f x x π=-.因为(0,)2x π∈，所以22(,)333x πππ-∈-所以sin(2)13x π<-≤，因为关于x 的方程()f x t =有解，所以t 的取值范围为(．（2）因为5a =，3A π=，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==于是sin sin )+=+B C b c ．又sin sin B C +=，所以8+=b c . 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，整理得：2225=+-b c bc ，即225()3643=+-=-b c bc bc ， 所以13=bc ，所以1sin 2ABC S bc A ∆==【点睛】本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．29．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2 【解析】 【分析】（Ⅰ）将正切化弦，结合两角和差正弦公式可求得()sin sin C B C =+，根据三角形内角和可整理为sin sin C A =，则由正弦定理可得到结论；（Ⅱ）利用三角形面积公式可求得1sin 2B =；根据三角形为钝角三角形且（Ⅰ）中的c a =，可知B 为钝角，求得cos B ；利用余弦定理可构造方程求得,a b 之间关系，从而得到所求结果. 【详解】 （Ⅰ）由sin tan 1cos B C B =-得：sin sin cos 1cos C BC B=-则：()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =+=+A B C π++= ()()sin sin sin B C A A π∴+=-= sin sin C A ∴=由正弦定理可知：c a =ABC ∆∴为等腰三角形（Ⅱ）由题意得：2211sin sin 224a S ac B a B ===，解得：1sin 2B =ABC ∆为钝角三角形，且a c = B ∴为钝角 cos B ∴=由余弦定理得：(2222222cos 22b a c ac B a a =+-==+2222b b ac a ∴==【点睛】本题考查三角形形状的求解、利用余弦定理、三角形面积公式求解三角形边之间的关系问题，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式、同角三角函数值的求解等知识.30．（1）π4x =；（2）2⎤⎦.【解析】 【分析】（1）根据|a |=b |，利用化简函数化简解得x 的值； （2根据f （x ）＝2a •b ．结合向量的坐标运算，根据x ∈[6π-，3π]，求解范围，）﹣f （x ）﹣m ≤m 的取值范围． 【详解】解：（1）由|a b |， 可得222a b =； 即4sin 2x =2（cos 2x +sin 2x ） 即sin 2x =12；∴sin x = ∵x ∈[-6π，3π]， ∴x =4π（2）由函数f （x ）=2a •b =2sin2x 2x=sin2x +1122-cos2x ）=sin2x x （2x -3π）∵x ∈[-6π，3π]， ∴2x -3π∈[-23π，3π]，2≤2sin （2x -3π）要使f （x ）-m则2m m ⎧-≤⎪⎨≥⎪⎩2m ≤故得m 的取值范围是2]． 【点睛】本题考查三角函数的化简能力和向量的运算，考查转化思想以及计算能力．。
两角和与差练习题(供参考)
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是A ．2B ．－2C ．211D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+A ．1318B ．322C ．1322D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝⎫⎭⎪232则等于A ．-12B ．-32C ．12D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题：6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=；8、已知=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ；12、的值。
，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 两角和与差练习题一、选择题：2．已知)2,0(πα∈,sin(6πα+)=53,则cos α的值为( )A ．－10334+ B ．10343- C ．10334- D ．10334+7．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ( )A ．－235 B.235 C ．－45 D.458.f(x)＝sinx cosx1＋sinx ＋cosx 的值域为( )A ．(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1)B ．[－2－12,―1] ∪(―1, 2－12)C ．(－3－12,3－12)D ．[－2－12,2－12]解析：令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[―2,―1]∪(―1, 2)． 则f(x)＝t 2－121＋t ＝t －12∈[－2－12,―1]∪(―1, 2－12)．B9 .sin()cos()cos()θθθ+︒++︒-+︒7545315的值等于（ ） A. ±1B. 1C. -1D. 010．等式sin α＋3cos α＝4m －64－m有意义，则m 的取值范围是( ) A ．(－1,73)B ．[－1,73]C ．[－1,73]D ．[―73,―1]11、已知αβγ，，均为锐角，且1tan 2α=，1tan 5β=，1tan 8γ=，则αβγ++的值（ ） Ａ．π6Ｂ．π4Ｃ．π3Ｄ．5π412．已知α,β是锐角，sin α=x,cos β=y,cos(α+β)=－53，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y=－5321x -+54x (53<x<1) B ．y=－5321x -+54x (0<x<1)C ．y=－5321x -－54x (0<x<53)D ．y=－5321x -－54x (0<x<1)13、若函数()(1)cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．2 C1 D2 15. 设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=016.若()1cos 3A B -=, 则()()22cos cos sin sin B A B A +++的值是（ ）A. 83-B . 83 C. 73D. 5317. 若()()17tan 411tan 4=-+βα,则()βα-tan 的值为（ ） A. 14 B. 12C . 4 D. 1218. 已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是 （ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a19．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21B ．22C ．22-D ．22±21．已知tan α,tan β是方程x 2+4=0的两根,且2π-<α<2π,2π-<β<2π,则α+β等于 （ ）A ．23π- B ．3π C ．3π或23π- D ．－3π或23π22．如果sin()sin()m n αβαβ+=-，那么tan tan βα等于（ ）Ａ．m n m n -+ Ｂ．m nm n+- Ｃ．n mn m-+ Ｄ．n mn m+-23．在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形24．在ABC ∆中,若3tan =C , 且()B B B A sin 120cos cos sin 0-=,则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B.等腰但非直角三角形C. 等腰直角三角形 D . 等边三角形25．若A B ，为锐角三角形的两个锐角，则tan tan A B 的值（ ） Ａ．不大于1 Ｂ．小于1 Ｃ．等于1 Ｄ．大于126．在ABC △中，90C >，sin E C =，sin sin F A B =+，cos cos G A B =+，则E F G ，，之间的大小关系为（ ） Ａ．G F E >> Ｂ．E F G >>Ｃ．F E G >> Ｄ．F G E >>27.ABC ∆中，若135cos ,53in ==B A s ，则C cos 的值是（ ） Ａ。
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.的值为_____．【答案】【解析】【考点】1.两角和的余弦公式；2.特殊角的三角函数值.2.计算 = ．【答案】【解析】．【考点】两角差的正弦公式．3.；【答案】.【解析】把原式提取即，然后利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简得原式．【考点】两角和与差的正弦函数．4.已知,,分别为三个内角,,的对边, =sin cos．(1)求；(2)若=,的面积为,求,．【答案】(1) ；(2)【解析】(1) 根据正弦定理可将变形为。
因为角三角形的内角，所以，可将上式变形为。
用化一公式即两角和差公式的逆用将上式左边化简可得，根据整体角的范围可得的值，即可得角的值。
(2)由三角形面积可得。
再结合余弦定理可得的值，解方程组可得的值。
解 (1)由=sin cos及正弦定理得sin sin+cos sin-sin=0,由sin≠0,所以sin（+）=,又0<<π,+故=．(2)△ABC的面积=sin=,故=4．由余弦定理知2=2+2-2cos,得代入=,=4解得,故【考点】1正弦定理；2三角形面积公式；3余弦定理。
5.设的值等于____________.【答案】【解析】由题可知.【考点】两角差的正切公式.6.已知，为第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）,; （2）,.【解析】（1）由同角间的基本关系式与的范围可得；（2）由两角和的正弦和倍角的正切公式展开可得.试题解析：解：（1），为第三象限角，； 3分； 6分由（1）得， 9分． 12分【考点】同角间的基本关系，两角和的正弦，倍角公式的正切公式.7.在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.（1）求A；（2）设，为的面积，求+的最大值，并指出此时B的值.【答案】（1）（2）当时，+取得最大值3.【解析】（1）由结合条件，易求得可求出A的值；（2）由，由正弦定理，得出代入+化简可知时取得最大值3.试题解析：（1）由余弦定理，得，又∵，∴A=. （5分）（2）由（1）得,又由正弦定理及，得，∴+=，∴当时，+取得最大值3. （13分）【考点】主要考查正弦定理，余弦定理，两角和的余弦公式.8.已知向量，，且（1）求及（2）若-的最小值是，求的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两角和与差的三角函数练习题及答案
一、选择题
1． sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为
( C ) A ．－
3
2
B ．－12
C.12
D.
32
2．已知sin(45°＋α)＝5
5，则sin 2α等于
( B ) A ．－4
5
B ．－35
C.35
D.45
3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝3
3，则sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6－cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值是 ( A ) A.2＋3
3
B ．－2＋33 C.2－3
3
D.－2＋3
3
4．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝
⎛⎭⎫α＋4π3等于 ( B ) A ．－
3
4
B ．－14
C.34
D.14
5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝1
3，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值是
( A )
A ．－7
9
B ．－13
C.13
D.79
6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝2
33，则tan A tan B 的值为( B )
A.14
B.1
3
C.12
D.53
二、填空题
7．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.43
8． 3－sin 70°
2－cos 210°
＝________. 2
9．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. －5665 三、解答题 10．化简：
(1)2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π
4－x ； (2)2cos 2α－1
2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭
⎫π4＋α.
解 (1)原式＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32
·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣
⎡⎦⎤sin π6sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋cos π
6cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π6－π4＋x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫x －π12.
(2)原式＝cos 2α1－tan α1＋tan α⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝cos 2α
cos 2α1＋sin 2α(1＋sin 2α)
＝1.
11．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫
π4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的周期和单调递增区间；
(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝⎛⎭
⎫π
2＋2x －3cos 2x ＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3＋1， 周期T ＝π；令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，
解得单调递增区间为⎣
⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π
12(k ∈Z )． (2)x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π
3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以f (x )的值域为[2,3]．
而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．
12．已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且a ⊥b . (1)求tan α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫
α2＋π3的值．
解 (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0. 而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0. 解之，得tan α＝－43，或tan α＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，tan α<0， 故tan α＝12(舍去)． ∴tan α＝－4
3
.
(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π. 由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α
2
＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－25
5
，
cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π
3 ＝－255×12－55×32＝－25＋1510
.。