江西省南昌三中2015届高三上学期第四次月考数学文试题word版含答案

南昌三中2014—2015学年度上学期第四次考试高三数学（文）试卷第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、设全集U=Z ，集合M={1，2}，P={x|-2≤x ≤2，x ∈Z}，则P ∩（M ）等于（ ）A 、{0}B 、{1}C 、{-2，-1，0}D 、Ø2． 已知直线()1:3210l mx m y +++=，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且12//l l ，则m 的值为（ ）A 、-1B 、12C 、12或-2 D 、-1或-2 3．在数列{n a }中，若12a =-，且对任意的n N *∈有1221n n a a +-=， 则数列{}n a 前15项的和为（ ）A ．452B ．30C ．5D ．10544．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为（ ） A.7 B.223 C.476 D.2335．过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是（ ） A .2120x y +-= B .2120x y +-=或250x y -= C .210x y --= D .210x y --=或250x y -=6．若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项的和，且π32211=S ，则6tan a =（ ）7.若直线1=+bya x 经过点M(cosα,sinα),则( ) A.a 2+b 2≤1 B.a 2+b 2≥1 C.11122≤+b a D.11122≥+ba8．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝()侧视图正视图A.14B.12C ．1D ．2 9.已知21,F F 是椭圆191622=+y x 的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点,A B ，若5AB =，则12||||AF BF -=( )A.3B.8C.13D.1610.若函数()'()()y f x R xf x f x =>-在上可导,且满足不等恒成立,,a b 且常数满足,b a >则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()af b bf a >B ．()()af a bf b >C ．()()af a bf b <D ．()()af b bf a <11．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意的正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）A .3[2,)2-B .3(2,)2-C .3[3,)2-D .3(3,)2-12. 已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=,则||PM 的最小值为( )A ．3B ．3C ．512D ． 1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。

第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。

13．等比数列{n a }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______14．过点A （0,3），被圆（x －1)2＋y 2＝4截得的弦长为23的直线方程是15．若直线x y k +=与曲线y =,则k 的取值范围是16．若函数log (1)a y x a =>的定义域和值域均为[],m n ,则a 的范围是____________。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知∆ABC 的面积S 满足4S ≤≤，且AB AC ⋅=—8．（Ⅰ）求角A 的取值范围；（Ⅱ）若函数22cos2sin cos 4444()x x x x f x -+⋅=，求()f A 的最大值．18、（本小题满分12分）如图，正方形OABC 的边长为2.(1)在其四边或内部取点(,)P x y ，且,x y Z ∈，求事件：“1OP >”的概率；(2)在其内部取点(,)P x y ，且,x y R ∈，求事件“,,,POA PAB PBC PCO ∆∆∆∆的面积均大于23”的概率.19．（本小题满分12分）长方体1111ABCD A BC D -中，1AA ，2AB BC ==，O 是底面对角线的交点.(Ⅰ) 求证：11//B D 平面1BC D ；(Ⅱ) 求证：1AO ⊥平面1BC D ；(Ⅲ) 求三棱锥11A DBC -的体积。

20．（本题满分12分）已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.21.（本小题满分12分）已知函数2()ln (1,(1))f x ax b x f =-在点处的切线方程为3 1.y x =-（1）若()f x 在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，求实数k 的取值范围；（2）若对任意[0,x ∈+∞，均存在32111[1,3],ln 2()326c t t t ct f x +∈-+++≤使得，试求实数c 的取值范围。

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图, ABC ∆内接于⊙O , AB 是⊙O 的直径, PA 是过点A 的直线, 且ABC PAC ∠=∠. (Ⅰ) 求证: PA 是⊙O.ABCOEDP的切线;(Ⅱ)如果弦CD 交AB 于点E , 8=AC , 5:6:=ED CE , 3:2:=EB AE , 求BCE ∠sin .23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知椭圆C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，点F 1，F 2为其左、右焦点，直线l的参数方程为2x y ìïï=+ïïíïï=ïïî（t 为参数，R t Î）．求点F 1，F 2到直线l 的距离之和.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设不等式112<-x 的解集为M , 且M b M a ∈∈,. (Ⅰ) 试比较1+ab 与b a +的大小;(Ⅱ) 设A max 表示数集A 中的最大数, 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=b abb a ah 2,,2max , 求h 的范围.南昌三中2014—2015学年度上学期第四次月考高三数学（文）答卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

二．填空题（每小题5分，共25分）13、 . 14、 . 15、 . 16、 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知∆ABC 的面积S满足4S ≤≤，且AB AC ⋅=—8．（Ⅰ）求角A 的取值范围；（Ⅱ）若函数22cos2sin cos 4444()x x x x f x -+⋅=，求()f A 的最大值．18、（本小题满分12分）如图，正方形OABC 的边长为2.(1)在其四边或内部取点(,)P x y ，且,x y Z ∈，求事件：“1OP >”的概率；(2)在其内部取点(,)P x y ，且,x y R ∈，求事件“,,,POA PAB PBC PCO ∆∆∆∆的面积均大于23”的概率.19．（本小题满分12分）长方体1111ABCD A BC D -中，1AA ，2AB BC ==，O 是底面对角线的交点.(Ⅰ) 求证：11//B D 平面1BC D ；(Ⅱ) 求证：1AO ⊥平面1BC D ；(Ⅲ) 求三棱锥11A DBC -的体积。

20．（本题满分12分）已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.21.（本小题满分12分）已知函数2()ln (1,(1))f x ax b x f =-在点处的切线方程为3 1.y x =-（1）若()f x 在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，求实数k 的取值范围；（2）若对任意[0,x ∈+∞，均存在32111[1,3],ln 2()326c t t t ct f x +∈-+++≤使得，试求实数c 的取值范围。

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

10分）选修4—1：几何证明选讲10分）选修4—4：坐标系与参数方程10分）选修4—5：不等式选讲.ABCOED P高三数学（文科）参考答案一、 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 答案 CDA DB CDBABAA二、填空题：每小题４分，共16分．13. －2. 14。

x ＝0或433y x =-+ 15。

11k k -≤<=或 16. 1(1,)e e三．解答题：17．解：（Ⅰ）∵AB AC ⋅ =—8，∴||||c o s A B A C A B A C A ⋅⋅⋅==—8，∴ ||||AB AC ⋅=8cos A- ①∵|1|||sin 2BA AC S A ⋅=⋅ ②，将①代入②得4tan S A =-，由4S ≤≤tan 1A ≤-，又(0,)A π∈，∴23,34A ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）22()cos 2sin cos 4444A A A A f A =-+⋅=1(1cos )(1cos )22222A A A +--+31cos 2222A A +-=11cos )2222A A +-=13sin()262A π+-，当262A ππ+=，即A =32π时，sin()26A π+ 取得最大值，同时，()f A 取得最大值52．18.解：（1）(,)P x y 共9种情形：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)-------------3分满足1OP >1，共有6种---------------5分因此所求概率为6293=----------------6分 （2）设P 到OA 的距离为d ，则12223S d =⨯⨯>，即23d >-----------8分P ∴到OA 、AB 、BC 、CO 的距离均大于23----------------9分 ∴概率22(22)13229-⨯=⨯-----------------12分 19、解:(Ⅰ) 证明：依题意：11//B D BD ，且11B D 在平面1BC D 外．……2分 ∴11//B D 平面1BC D ……3分(Ⅱ) 证明：连结1OC ∵BD AC ⊥ 1A A B D ⊥ ∴BD ⊥平面11ACC A …………4分 又∵O 在AC 上，∴1AO 在平面11ACC A 上 ∴1AO BD ⊥……5分 ∵2AB BC ==∴11AC AC ==∴OA =1Rt AAO ∆中，12AO ==…6分 同理：12OC =∵11AOC ∆中，2221111AO OC AC +=∴11AO OC ⊥ …7分，∴1AO ⊥平面1BC D ……8分 (Ⅲ)解：∵1AO ⊥平面1BC D ∴所求体积111132V AO BD OC =⋅⋅⋅⋅112232=⋅⋅⋅= …12分平面EBD 与平面1ABC…12分20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M, N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．……（4分）(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. ……（8分） 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.……（9分）若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝Rr 1，可求得Q (－4，0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k 2＝1，解得k ＝±24.当k＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0.解得x 1，2＝－4±6 27.所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝2 3或|AB |＝187.……（12分） 21.解:（1）()2bf x ax x '=-，由(1)3(1)2f f '=⎧⎨=⎩，得21a b =⎧⎨=⎩………………2分 2()2ln f x x x =-，2141()40x f x x x x-'=-==，得12x =，………3分所以 10131122112k k k k ⎧⎪-≥⎪⎪-<⇒≤<⎨⎪⎪+>⎪⎩…………6分（2）设32111()ln 2326c g t t t ct +=-+++根据题意可知min min ()()g t f x ≤…………7分 由（1）知min 11()()ln 222f x f ==+……8分2()(1)(1)()g t t c t c t t c '=-++=--，当1c ≤时，()0g t '≥；()g t 在[1,3]t ∈上单调递增，min ()(1)ln 22cg t g ==+，满足min min ()()g t f x ≤………9分当13c <<时，()g t 在[1,]t c ∈时递减 ，在[,3]t c ∈时递增，32min 111()()ln 2626g t g c c c ==-+++，由321111ln 2ln 26262c c -+++≤+得322320,(1)(22)0c c c c c -+≥---≥，此时13c <……………10分当3c ≥时，()0g t '≤；()g t 在[1,3]t ∈上单调递减，min 314()(3)ln 223c g t g ==-++ 31433141(3)ln 2ln 2ln 223232c g ⨯=-++≤-++=+……………………………………11分 综上，c 的取值范围是(]),113,⎡-∞++∞⎣………………………………………12分22. （Ⅰ）证明：AB 为直径，,2π=∠∴ACB 2π=∠+∠ABC CAB ，2π=∠+∠∴∠=∠CAB PAC ABC PAC AB AB PA ,⊥∴为直径，PA ∴为圆的切线…… 4分（Ⅱ）m EB m AE k ED k CE 3,2,,5,6==== k m ED CE EB AE 5=⇒⋅=⋅AEC ∆ ∽DEB ∆54638=⇒=⇒BD kmBD CEB ∆ ∽AED ∆552,2)3(8025642522222==⇒=--=⇒k m m k m m AD BC ,10=∴AB 54=BD 在直角三角形ADB 中5521054sin ===∠AB BD BAD BAD BCE ∠=∠ 552sin =∠∴BCE …………………… 10分23．解：直线l 普通方程为2y x =-；曲线C 的普通方程为22143x y +=．∵1(1,0)F -,2(1,0)F ，∴点1F 到直线l 的距离1d点2F 到直线l 的距离2d ==∴12d d +=24.（Ⅰ）}{10|<<=x x M ，,,M b a ∈∴10,10<<<<b aba ab b a b a ab +>+∴>--=--+10)1)(1(1…… 4分 （Ⅱ）b h ab b a h a h 2,,2≥+≥≥，824)(4)(4223=⨯≥+>+≥ab ab ab b a ab b a h ()+∞∈,2h ……10分。