古塔变形 论文

关键字：
线性回归
MATLAB
拟合
预测
变化趋势
一、 问题重述
由于长时间承受自重、 气温、 风力等各种作用， 偶然还要受地震、 飓风的影响， 古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时 对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。 某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于 1986 年 7 月、 1996 年 8 月、 2009 年 3 月和 2011 年 3 月对该塔进行了 4 次观测。 请你们根据附件 1 提供的 4 次观测数据，讨论以下问题： 1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中 心坐标。 2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。 3. 分析该塔的变形趋势。
2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： S37007 所属学校（请填写完整的全名）：商丘职业技术学院 参赛队员 (打印并签名) ：1.袁丽丽 2.张志轩 3.孙二朋 指导教师或指导教师组负责人 日期：年月日 (打印并签名)：
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）
五、 模型的建立与求解
一、问题一的建立与求解 因为 1986 年、1996 年第 13 层第 5 个坐标点没给出来，我们可以根据 1—12 层第五个点的坐标，利用线性规划估算出第 13 层第 5 个坐标点的值。用 Excel 求解可得： X Y Z 1986 年 568.1691 519.549 52.825 1996 年 568.1769 519.5562 52.814 为观察同层各测点的大概位置，我们做出了 1986 年古塔内，同层观测点连线的 俯视图进行分析，做出下图（图一） ：
三、 模型假设
（1） 假设所测点选取的都是科学合理的，并且在同一平面上。
（2） 假设所测数据真实可靠，且都在古塔的固定位置。 （3） 每层的测量点都是围绕着这一层的中心点。 （4） 各层测量点构成的几何图形的中心是与这一层的中心位置相重合的。
四、 符号说明
j i t h Δu λ θ 观测点 古塔层数 时间， 并以 1986 年为第一年， 即 t=1 古塔同一层测点的最大高层差 古塔相邻两层 h 值得差 两对角线的夹角 古塔的倾斜角
二、 问题分析
(1)对问题一的分析 问题一，古塔各层中心位置的通用方法，首先，我们假设测点选取的科学合 理，且测得数据真实可靠，都是围绕各层中心，并且都在同一平面上，根据所给 数据也可看出大致在同一平面上，由于 1986 年、1996 年第 13 层第 5 个点没有 给出来，我们需要用一元线性回归方程估算出来，然后用 matlab 画图得古塔各 层是近似八边形， 根据八边形图形的特征，可以用每次测量点坐标的平均值作为 各层中心点的坐标。 然后对各层中心点点坐标对时间回归，可得各层中心点坐标 对时间的回归方程。根据方程就可以确定任意时间各层中心点坐标。 (2)对问题二的分析 问题二要求我们确定塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。为了简化模型，我们分 别对古塔的倾斜、弯曲、扭曲进行讨论。对于倾斜，塔尖的中心坐标在第一层内 的射影与第一层的中心点有个夹角，即为倾斜角，再根据各层中心的分布和变化 趋势方向，确定古塔的倾斜方向。 对于古塔的弯曲，首先求出每层高程绝对差 hi , t ，然后相邻两层的高程绝对 差的变化量，表示古塔每层弯曲程度大小。再根据每层出现高程绝对差 hi , t 的两 个测量点的连线，确定每层弯曲方向。 对于古塔的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。然后 通过每层对测量点的连线， 分别与第一层相同对测量点的连线所成的角度的平均 值来衡量古塔的扭曲情况。 （3）对问题三的分析 问题三要求我们分析该塔的变形趋势，这个问题属于预测的数学问题。对于 这个问题我们一般用回归的方法来求解，得出倾斜指标、弯曲指标、扭曲指标对 时间的回归方程，并作出各自的图像，观察趋势。
2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
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古塔变形
摘要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
本文研究的是古塔变形，对古塔每一层进行多次测量，制定保护措施。用 matlab 画出古塔的三维结构是近似八边形。因此，问题一，我们根据四年来所 测用每层各个测量点坐标的平均值作为塔每层的中心坐标， 再用中心坐标的三个 坐标值分别对时间 t 做回归来得到确定古塔各层中心位置的通用方法。问题二， 分析该斜塔、弯曲、扭曲等变形情况由于长期受各种因素的影响，使其主轴线发 生偏移， 从上向下投影其塔顶与塔底的中心点不在同一点上，利用坐标求出塔顶 与塔底中心在水平面上距离 L，结合塔顶的高度 H 构建直角三角形最后在三角形 中解得古塔中轴线与垂线的夹角θ ，为该塔的倾斜度，从效果上观察，较为精确 地反映了实例中的问题， 由此也说明了我们所建模型的合理性。古塔的倾斜变形 必然会导致在同一层中， 测点存在高程的绝对差 h， 如果古塔存在倾斜变形的话， 每层的 h 值会相等； 如果古塔存在倾斜变形的同时也存在弯曲变形的话，则每层 的 h 值会发生改变。 所以相邻两层的高程绝对差的变化量，表示古塔每层弯曲程 度大小。 再根据每层出现高程绝对差 h 的两个测量点的连线，确定每层弯曲方向。 古塔 的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。 然后通过每层对测量点的连线， 分别与第一层相同对测量点的连线所成的角度 的平均值来衡量古塔的扭曲情况。 问题三，由问题一二，结合古塔的倾斜、弯曲、扭曲的指数结合 Excel 来确定 古塔的变形趋势。