(完整word)高中数学选修2-2主要内容

第一章 导数及其应用

1.1 变化率与导数

问题中的变化率可用式子 1

212)

()(x x x f x f --表示,

称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率

若设12x x x -=?, )()(12x f x f f -=? (这里x ?看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ?代

替

x 2,

同

样

)

()(12x f x f y f -=?=?)则平均变化率为

=

??=??x

f

x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212

在前面我们解决的问题：

1、求函数2

)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。

x x

x f x f x y ?+=?-?+=??4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12

-=t V ，求o t t =时的瞬时速度。

t t t

t v t t v t V o o o ?+=?-?+=??2)

()(，故斜率为4 二、知识点讲解

上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ?(t ?)无限趋近于0时，t V ??(x

V

??)都无限趋近于一个常数。

归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ?无限趋近于0

时，

x

x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('，

函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:

000

0()()lim

lim x x f x x f x f

x

x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'

|x x y =，即

0000

()()

()lim

x f x x f x f x x

?→+?-'=?

说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率

（2）0x x x ?=-，当0x ?→时，0x x →，所以000

()()

()lim

x f x f x f x x x ?→-'=-

当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.

函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000

()()

()lim

x f x x f x f x k x

?→+?-'==?

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;

②求出函数在点0x 处的变化率0000

()()

()lim

x f x x f x f x k x

?→+?-'==? ，得到曲线在点

00(,())x f x 的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程.

由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '， 即: 0

()()

()lim

x f x x f x f x y x

?→+?-''==?。

函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数

3）函数()f x 在点0x 处的导数'

0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函

数在点0x 处的导数的方法之一。

1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为

()()0y f x x f x c c x x x

?+?--===??? 所以00

lim

lim 00x x y

y

?→?→?'===

0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程

关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数()y f x x ==的导数 因为

()()1y f x x f x x x x x x x

?+?-+?-===??? 所以00

lim lim11x x y

y ?→?→?'===

1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程

关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数2

()y f x x ==的导数

因为22

()()()y f x x f x x x x x x x

?+?-+?-==??? 222

2()2x x x x x x x x

+?+?-==+??

所以00

lim

lim(2)2x x y

y x x x x ?→?→?'==+?=?

2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的

变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2

y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2

y x =增加得越来越快．若2

y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．

4．函数1

()y f x x

==

的导数 因为11

()()y f x x f x x x x x x x

-

?+?-+?==

??? 2()1

()x x x x x x x x x x

-+?=

=-+??+??

所以220011

lim

lim()x x y y x x x x x

?→?→?'==-=-?+??

（2）推广：若*

()()n

y f x x n Q ==∈，则1

()n f x nx -'=

1.2 导数的计算

导数的运算法则

导数运算法则

1．[]'

'

'

()()()()f x g x f x g x ±=±

2．[]'

'

'

()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=±

3．[]

'

''2

()()()()()

(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? 函数

导数

y c =

'0y = *()()n y f x x n Q =

=∈

'1n y nx -=

sin y x = 'cos y x = cos y x =

'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =?>

()x y f x e == 'x y e =

()log a f x x =

()ln f x x = '1()f x x

=

复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作

()()y f g x =。

复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==?????

1．3 导数在研究函数中的应用

在某个区间(,)a b 内，如果'

()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'

()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．

特别的，如果'

()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'

'()y f x =；

（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的

快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．

一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数

()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．

“最值”与“极值”的区别和联系

⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．

⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；

⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

利用导数求函数的最值步骤:

由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．

一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；

⑵将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值

1.4 生活中的优化问题举例

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

1.5 定积分的概念

回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：

定积分的概念

一般地，设函数()f x 在区间[

,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L

将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a

x n

-D =

），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,

,i i n x =L ，作和式：

1

1

()()n

n

n i i i

i b a

S f x f n x x ==-=

D =邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ?

?）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常

数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b

a

S f x dx

=ò，

其中

-

ò积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]

a b －积分区间，(

)f x dx －被积式。 说明：（1）定积分

()

b

a f x dx ò是一个常数，即n

S 无限趋近的常数S （n ??时）记为

()b

a

f x dx

ò，而不是n S ．

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点

[]1,i i i x x x -?；③求和：1

()n

i i b a

f n x =-?；④取极限：()

1

()l i m n

b i n a i

b a

f x dx f n

x =-=?ò （3）曲边图形面积：()b

a S f x dx

=

ò；变速运动路程2

1

()t t

S v t dt =

ò；变力做功

()b

a

W F r dr =

ò

定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有

()0f x 3，那么定积分

()b

a f x dx

ò表示由直线

,(),0x a x b a b y ==?和曲线()y f x =所围成的曲边

梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()b

a f x dx ò的几何意义。

说明：一般情况下，定积分

()

b

a f x dx ò的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x

b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去

负号。

分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x D +

D ++D ++D L L

不妨设1()

,(),,()0i i n f x f x f x +

于是和式即为

()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -D +D ++D --D ++-D L L

()b

a

f x dx \

=ò阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）

思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S 吗？

3．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1()b

a

kdx k b a =-ò；

性质2

()()()b

b a

a

kf x dx k f x dx k =蝌为常数（定积分的线性性质）

； 性质31

2

12

[()()]()()b

b b

a

a

a f x f x dx f x dx f x dx ??

蝌?（定积分的线性性质）

； 性质4

()()()()b c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx a c b =+

<<蝌?其中（定积分对积分区间

的可加性） (1)

()()b

a a

b

f x dx f x dx =-蝌； (2)

()0a

a f x dx =ò；

说明：①推广：

1

2

12[()()()]()()()b

b b

b m m a

a

a

a

f x f x f x dx

f x dx f x dx

f x 北?北?

蝌蝌L L

②推广:

12

1

()()()()k

b

c c b

a

a

c

c f x dx f x dx f x dx f x dx =+

++蝌蝌L

③性质解释：

P

C

N M B

A

a

b

O

y

x

y=1

y

x

O

b

a

性质1 性质4

A M N

B A M P

C C PN B

S S S =+曲边梯形曲边梯形曲边梯形

第二章推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理

●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).

注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：（部分—整体，个别—一般）

通过观察个别情况发现某些相同的性质从已知的相同性质中

推出一个明确表述的一般命题（猜想）

类比推理的一般步骤：（特殊—特殊）

⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

⑶检验猜想。即

归纳推理和类比推理是常用的合情推理。

演绎推理的定义（一般—特殊）：从一般性的原理出发，推出某个特殊情

况下的结论，这种推理称为演绎推理．

１．演绎推理是由一般到特殊的推理；

２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括

观察、比较联想、类推猜想新结论

⑴大前提---已知的一般原理；

⑵小前提---所研究的特殊情况；

⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

2.2 直接证明与间接证明

分析法和综合法（直接证明）：是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

2.3 数学归纳法

第3章数系的扩充与复数的引入

3.1数系的扩充和复数的概念

因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位.并由此产生的了复数

讲解新课：

1.虚数单位i:

(1)它的平方等于-1，即21

i=-;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.

2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i!

3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1

4.复数的定义：形如(,)

a bi a

b R

+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*

3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)

z a bi a b R

=+∈，把复数表示成a+bi 的形式，叫做复数的代数形式

4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)

a bi a

b R

+∈，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.

6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等

这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d

几何意义：复平面、实轴、虚轴：

复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应

关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复

数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确

定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i

可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，

b Z(a，b)

a

o

y

x

b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.

点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R)可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i

非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.

复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个

点，有惟一的一个复数和它对应.

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.

复平面内的点(,)Z a b ←???

→一一对应

平面向量OZ uuu r

3.2复数代数形式的四则运算

复数代数形式的加减运算

１．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 2. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 3. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.

证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R). ∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i . z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i . 又∵a 1+a 2=a 2+a 1，b 1+b 2=b 2+b 1.

∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律.

4. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)

证明：设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R). ∵(z 1+z 2)+z 3=［(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )］+(a 3+b 3i )

=［(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ］+(a 3+b 3)i =［(a 1+a 2)+a 3］+［(b 1+b 2)+b 3］i =(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i .

z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )+［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］

=(a 1+b 1i )+［(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ］ =［a 1+(a 2+a 3)］+［b 1+(b 2+b 3)］i =(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i

∵(a 1+a 2)+a 3=a 1+(a 2+a 3)，(b 1+b 2)+b 3=b 1+(b 2+b 3).

∴(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3).即复数的加法运算满足结合律

复数加法的几何意义：

设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形

OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，

∴OZ =

1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i

复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所

以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b

－d )i 对应由于21OZ Z Z u u u u r u u u r

，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减

数的向量对应.

１．乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

2.乘法运算律： (1)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3

证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R).

∵z 1z 2=(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )=(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1a 2+a 1b 2)i ， z 2z 1=(a 2+b 2i )(a 1+b 1i )=(a 2a 1-b 2b 1)+(b 2a 1+a 2b 1)i . 又a 1a 2-b 1b 2=a 2a 1-b 2b 1，b 1a 2+a 1b 2=b 2a 1+a 2b 1. ∴z 1z 2=z 2z 1. (2)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3

证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R).

∵(z 1z 2)z 3=［(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )］(a 3+b 3i )=［(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1b 2+a 1b 2)i ］(a 3+b 3i )

=［(a 1a 2-b 1b 2)a 3-(b 1a 2+a 1b 2)b 3］+［(b 1a 2+a 1b 2)a 3+(a 1a 2-b 1b 2)b 3］i =(a 1a 2a 3-b 1b 2a 3-b 1a 2b 3-a 1b 2b 3)+(b 1a 2a 3+a 1b 2b 3+a 1a 2b 3-b 1b 2b 3)i ，

同理可证：

z 1(z 2z 3)=(a 1a 2a 3-b 1b 2a 3-b 1a 2b 3-a 1b 2b 3)+(b 1a 2a 3+a 1b 2a 3+a 1a 2b 3-b 1b 2b 3)i ， ∴(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3). (3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.

证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R). ∵z 1(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］=(a 1+b 1i )［(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ］

=［a 1(a 2+a 3)-b 1(b 2+b 3)］+［b 1(a 2+a 3)+a 1(b 2+b 3)］i =(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i .

z 1z 2+z 1z 3=(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )(a 3+b 3i )

=(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1a 2+a 1b 2)i +(a 1a 3-b 1b 3)+(b 1a 3+a 1b 3)i =(a 1a 2-b 1b 2+a 1a 3-b 1b 3)+(b 1a 2+a 1b 2+b 1a 3+a 1b 3)i =(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i

∴z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3. 例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)

解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例2计算：

（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2. 解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i ）2=9-(-16)=25; (2) （1+ i)2=1+2 i+i 2=1+2 i-1=2 i.

3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数z 的共轭复数为z 。

4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者

di

c bi

a ++ 5.除法运算规则：

①设复数a +bi (a ，b ∈R)，除以c +di (c ，d ∈R)，其商为x +yi (x ，y ∈R)， 即(a +bi )÷(c +di )=x +yi

∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i . ∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi . 由复数相等定义可知??

?=+=-.

,

b cy dx a dy cx

解这个方程组，得???

????+-=++=.,2222d c ad bc y d

c b

d ac x

于是有:(a +bi )÷(c +di )=

2

222d

c ad

bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将

di

c bi

a ++的分母有理化得：

原式=

22

()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i

c di c di c di c

d ++-+?-+-==++-+ 222222

()()ac bd bc ad i ac bd bc ad

i c d c d c d ++-+-=

=++++.

∴(a +bi )÷(c +di )=

i d

c ad

bc d c bd ac 2

222+-+++.

点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理

3+的对偶式化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的2

3-，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化.

2

把这种方法叫做分母实数化法