高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案
一平面直角坐标系-人教A版选修4-4坐标系与参数方程教案
一平面直角坐标系-人教A版选修4-4 坐标系与参数方程教案1. 基本概念1.1 平面直角坐标系平面直角坐标系是指在平面上建立起一个直角坐标系，将二维平面上的任意点都能用其坐标表示出来。
平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。
坐标轴的交点称为坐标原点O，x轴和y轴的正方向分别取向右和向上。
1.2 参数方程参数方程是指用含有参数的方程表示函数的方法。
其中，参数是自变量，函数的值是关于参数的函数。
通常用一组参数，如t、θ等来表示函数。
2. 教学目标本节课教学目标为：•掌握平面直角坐标系的建立方法，能将二维平面上的任意点用其坐标表示出来。
•掌握用参数方程描述平面曲线的方法，能解决相关应用问题。
3. 教学重点•平面直角坐标系的建立方法。
•参数方程的概念，应用与推导方法。
4. 教学难点•参数方程描述平面曲线的方法。
•参数方程在几何应用中的解题方法。
5. 教学内容及过程5.1 知识讲解5.1.1 平面直角坐标系要求学生掌握平面直角坐标系的建立方法，说出x轴和y轴的正方向，确定坐标原点，并会将二维平面上的任意点用其坐标表示出来。
5.1.2 参数方程要求学生掌握参数方程的概念，了解参数方程与常规方程的区别，掌握参数方程描述平面曲线的方法，并能解决相关应用问题。
5.2 课堂互动5.2.1 平面直角坐标系练习让学生在纸上绘制出平面直角坐标系并标注好坐标轴、坐标原点以及x轴和y 轴的正方向。
然后，教师可以随机给出几个点的坐标进行练习，并让学生互相交换练习答案。
5.2.2 参数方程的练习让学生练习参数方程的应用，例如让学生求出直线 y = 2x - 1 的参数方程，并根据所求出的参数方程进行绘制。
另外，也可以出一些实际应用中相关的问题，例如让学生通过参数方程求出某行星的轨道方程等。
5.3 课堂小结教师对本节课所讲内容进行总结，强调重点、难点内容，并进行提问、讨论。
同时，对本节课的拓展内容进行展示，并引导学生进行初步了解。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 直线和圆锥曲线的参数方程》53
直线的参数方程（1）教学设计一、教学目标：知识与技能：（1）了解直线参数方程的条件及参数t 的几何含义（2）会使用t 的几何意义解简单的题目。
（3）体会什么条件下使用直线的参数方程。
过程与方法：（1）利用翻转课堂形式自学直线的参数方程，课堂上应用主要联系应用。
（2）使用生活中的汽车行驶来发现t 的集合含义。
（3）课堂上由学生讨论解决问题。
情感、态度与价值观：（1） 培养学生自学的能力，并体会自主学习的快乐。
（2） 体会观察、探索、查错的过程，培养解决问题的方向和信心。
二 教学重点：直线参数方程中t 的几何含义教学难点：利用t 的几何含义解决问题三、教学方法：启发、诱导发现教学四 教学过程：课前导学：（1）利用多媒体的优势建立高速公路实景，对引入t 的几何含义有决定性的作用。
学生可以在实景中体会直线上的任意一点与一个实数一一对应关系。
（2）视频有助于学生反复观看，对学生的学习有很好的作用。
课堂教学：例1 引入：同学们，昨天我们在家里通过视频学习了直线的参数方程，那么直线的参数方程怎么写呢？ T 有没有几何含义？是什么呢？（|t |=|PM |－1,2到A ，B 两点的距离之积（我们用普通方程可以解吗？让同学说出思路，指出麻烦之处，关键是由MA,MB 引起PMt )1(的，什么里面可以有MA,MB 联想到参数方程）问题1 ：怎么把直线普通方程写成参数方程（学生活动）主要是由斜率找到倾斜角 解: 的参数方程为:问题2：怎么表达两个曲线相交（学生活动）把它代入＝2中,得t 2+√2t −2=0 问题3：你要什么？（距离的积）小结例题1中的三个问题。
学生活动练一练：在平面直角坐标系中，已知直线：（为参数），曲线的方程为设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值 解：）将代入②式，得，点M 的直角坐标为（0，3）．设这个方程的两个实数根分别为t 1，t 2，则t 1t 2=-3 =3∴ t 1＜0， t 2＜0则由参数t 的几何意义即得（注意引导学生分析t 1＜0， t 2＜0） 挑战一下（合作探究）21(222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即为参数）21t t B A 、对应的参数分别为、设2,22121-=-=+t t t t 则2||||||||||2121==⋅=⋅t t t t MB MA在平面直角坐标系中，已知点，曲线C 的参数方程为为参数设直线L 与曲线C 交于A,B 两个不同的点，求的值 本题的难点：（1）在于圆是参数方程，直线是普通方程，如何选取方程形式是关键（2）如何表达解：曲线的普通方程为①， 直线的参数方程为（为参数）②， 把②代入①得，得，， 又∵，，且与异号， ∴回顾：为什么直线写参数方程，圆写普通方程？本题中为什么|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2 |例题1中求AB 的长度。
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坐标系与参数方程教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1.掌握二维直角坐标系和三维直角坐标系的定义和表示；2.理解二维和三维坐标系中的基本几何概念，如点、线、面等；3.掌握直线和平面的参数方程的概念和解法；4.能够应用参数方程求解二维和三维图形的问题。
二、教学内容1. 二维直角坐标系在数学中，直角坐标系是一个二维平面上的坐标系。
它由两条垂直的数轴组成，分别为水平的x轴和垂直的y轴。
x轴和y轴相交于原点，这个点的坐标为(0,0)。
我们可以通过二元有序对(x,y)表示平面上的点。
2. 三维直角坐标系除了二维的直角坐标系，我们还需要在三维空间中使用直角坐标系。
三维直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z轴，它们的交点称为空间原点。
我们可以通过三元有序组(x,y,z)表示空间中的点。
3. 直线和平面的参数方程在二维空间中，我们可以使用直线的斜率截距式表示直线方程，但是在三维空间中，这个方法无法使用，我们需要使用直线的参数方程。
直线的参数方程可以用向量或联立的方程表示。
在平面几何中，平面的方程通常表示为一般式或点法式。
但在三维空间中，我们也需要使用平面的参数方程。
平面的参数方程通常表示为一个点和两个方向向量的线性组合。
4. 应用参数方程解题在学习直线和平面的参数方程之后，我们可以用它们来解决更复杂的几何问题。
例如，在给定直线和平面的参数方程的情况下，可以计算它们的交点。
或者，如果给定一条直线和一个点，我们可以利用直线的参数方程计算出这条直线上距离该点最近的点。
三、教学方法1.在讲解直角坐标系的概念和表示方法时，可以使用PPT演示文稿或黑板进行展示；2.通过数学拓扑图和讲解，帮助学生理解坐标系中的基本几何概念；3.结合实例进行讲解，帮助学生理解直线和平面的参数方程的求解方法；4.设计课堂授课练习，让学生在解题中巩固所学知识。
四、教学步骤1. 理论部分1.介绍坐标系的概念和定义；2.分别讲解二维直角坐标系和三维直角坐标系的表示；3.介绍直线和平面的参数方程的定义和表示方法；4.演示几个典型的参数方程的例子。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 1.1.1 直角坐标系》
课题：直角坐标系课型：新授课教者：孙明远课题二教学目标1知识目标：了解直线上点的坐标的意义，理解平面直角坐标系的建立，理解空间直角坐标系的建立；2能力目标：能用类比的方法由平面直角坐标系来学习空间直角坐标系及其有关性质和公式；3情感目标：掌握利用直角坐标系研究数学问题的基础方法。
教学重点：想到建立直角坐标系，并应用直角坐标系研究数学问题。
教学难点：与其他章节的综合应用。
教学行为流程：（不同时间段和学习内容怎样教、学的方式）时间环节教学内容师生互动设计意图2分钟引入65数轴上的基本公式；106空间直角坐标系；1直角坐标系教师通过预习案，对高中教材中涉及直角坐标系的部分，让学生课前进行学习，教师通过作业批改，以学定教。
由于在必修二中，学生有一定的学习基础，所以教师将本课部分新授内容交给学生自学。
教师以数学家故事引入，激发学生学习兴趣，初步渗透本课的数学方法。
8分钟探究一：直线上的点的坐标1解不等式：73x-<2解不等式：21x->学生先自主探究，教师巡视，收集问题，适度个别学生指小结规律绝对值的几何意义：a和a b-表示学习直线上的导。
点的坐标的常见用法。
10分钟探究二：平面直角坐标系－2，0，B1，0，如果动点ABC∆090C∠=3CA CB==M2BM AM=CM CA⋅=,河宽BC=3M,另一侧有点A,AB=4m,则点A与塔顶D的距离AD等于________．老师组织小组讨论，展示，老师提问点评并强调组内互对答案，小组讨论解决困惑并展示，强化记忆新方法。
组长负责组织协调合作，提醒记录等；纪律组长负责调控声音、纪律、时间讨论结束立即坐下，整理学案，进行理解记小结规律：用坐标法研究空间数量忆，准备展示、点评5分钟课堂小结10分钟巩固练习长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系1写出点D、N、M的坐标；2求线段MD、MN的长度．教师组织本课小结：即知识小结，小组评价重点突破一、预判的学生问题：1.学生没有建立直角坐标系的意识和方法。
新人教版高中数学选修4-4《极坐标与参数方程》优质教案
（3.5学案）第1讲 极坐标系与参数方程(大题)教学目标1.会将参数方程，极坐标方程化为普通方程2.理解极坐标方程中ρ，θ含义，参数方程中直线中的t 的含义，圆与椭圆中θ几何意义，及应用教学重点：ρ，θ应用及直线参数方程中t 应用椭圆中θ应用 教学难点：椭圆中θ的含义题型一：极坐标.参数方程与普通方程互化 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0.2．在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．（1）．直线的参数方程过定点M(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t为参数)．（2）．圆的参数方程圆心为点M(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数)．（3）．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．（4）．(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便；(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍．例1、（1）方程表示的曲线是（ ）A. 双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略.解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性.（2）、设P 是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ，最小值为 .分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可转化为几何问题.若设，则方程表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不同的直线），显然既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式问题.解析：令，对于既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得，由，解得：，所以的最大值为，最小值为.点评：对于以上的问题，有时由于研究二元函数有困难，也常采用消元，但由满足的方程来表示出或时会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，但若通过三角函数换元，则可实现这一途径.即，因此可通过转化为的一元函数.以上二个思路都叫“参数法”.（3）、极坐标方程表示的曲线是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.点评：若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究.（4）、极坐标方程转化成直角坐标方程为（）A． B． C． D．分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：，因此选C.点评：此题在转化过程中要注意不要失解，本题若成为填空题，则更要谨防漏解.通关练习一1. 已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是（）A. B. C. D.2．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．3．下列在曲线上的点是（）A． B． C． D．4．将参数方程化为普通方程为（）A． B． C．D．5．参数方程为表示的曲线是（）A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线6．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（） A． B． C． D．7．极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆8．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（）A． B． C． D．9. 圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为10 若A，B，则|AB|=__________，___________（其中O是极点）11. ，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB 的垂直平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围.一、选择题：1.A 解析：能表示点M的坐标有3个，分别是B、C、D.2．D 解析：3．B 解析：转化为普通方程：，当时，4．C 解析：转化为普通方程：，但是5、D 解析：表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线6．D 解析：，得，因此中点为7．C 解析：，则或8、C 解析：距离为9、解析：如下图，设圆上任一点为P（），则10、解析：在极坐标系中画出点A、B，易得，11. 解析：，，，，题型二极坐标，参数方程综合应用例2 (2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ)(ρ>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程； (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解 (1)因为M(ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2. 设Q(ρ，θ)为l 上除P 的任意一点，连接OQ ，在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋3y ＝53，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.射线OP ：θ＝π6(ρ≥0)与圆C 的交点为O ，A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长．解 由题意知ρA ＝4sinπ6＝2， ρB ＝532sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝5，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝3.例 3 (2019·六安质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，过点P(－2,0)作斜率为k 的直线l 与圆C交于A ，B 两点．(1)若圆心C 到直线l 的距离为455，求k 的值；(2)求线段AB 中点E 的轨迹方程．解 (1)由题意知，圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即圆C 的圆心为C(2,0)，半径r ＝2.依题意可得过点P(－2,0)的直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 设圆心C(2,0)到直线l 的距离为d ， 则d ＝|2k ＋2k|1＋k 2＝|4k|1＋k2＝455， 解得k ＝±12.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋tcos θ，y ＝tsin θ(t 为参数)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，代入圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，得t 2－8tcos θ＋12＝0. 设A ，B ，E 对应的参数分别为t A ，t B ，t E ， 则t E ＝t A ＋t B2， 所以t A ＋t B ＝8cos θ，t E ＝4cos θ. 又点E 的坐标满足⎩⎨⎧x ＝－2＋t E cos θ，y ＝t E sin θ，所以点E 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋4cos 2θ，y ＝4sin θcos θ，即⎩⎨⎧x ＝2cos 2θ，y ＝2sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，化为普通方程为x 2＋y 2＝4(1<x ≤2)．例4在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．(1)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，已知点M(1,1)，求|MA|·|MB|的值． 解 (1)设曲线C 上任意一点N(2cos α，3sin α)， 直线l ：x －2y ＋1＝0，则点N 到直线l 的距离d ＝|2cos α－23sin α＋1|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋15≤5，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为 5. (2)设直线l 的倾斜角为θ， 则由(1)知tan θ＝12，∴cos θ＝255，sin θ＝55. ∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋255t ，y ＝1＋55t (t 为参数)，曲线C ：x 24＋y 23＝1，联立方程组，消元得165t 2＋45t －5＝0， 设方程两根为t 1，t 2，则t 1t 2＝－2516， 由t 的几何意义，得|MA|·|MB|＝－t 1t 2＝2516. 通关练习二1．(2019·东莞调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程； (2)若射线θ＝π3与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值．解(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，∴在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为x －y －34＋a ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的普通方程中， 得到直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0.∵圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0.(2)在极坐标系中，由已知可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ3，π3，联立⎩⎨⎧θ＝π3，ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0，得ρ2－(3＋33)ρ＋14＝0， ∴ρ2＋ρ3＝3＋3 3. ∵点M 恰好为AB 的中点， ∴ρ1＝3＋332，即M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋332，π3. 把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋332，π3代入ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0，得3()1＋32×1－32－34＋a ＝0，解得a ＝94.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(m,2)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋8cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|＝2|PB|，求实数m 的值． 解 (1)C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，消参得普通方程为x ＋y －m －2＝0.C 2的极坐标方程化为ρ(2cos 2θ－1)＋8cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得2ρ2cos 2θ＋8ρcos θ－2ρ2＝0，即y 2＝4x. 即C 2的直角坐标方程为y 2＝4x.(2)将曲线C 1的参数方程标准化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －22t ，y ＝2＋22t (t 为参数，m ∈R )，代入曲线C 2：y 2＝4x ， 得12t 2＋42t ＋4－4m ＝0， 由Δ＝(42)2－4×12×(4－4m)>0，得m>－3，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，由题意得|t 1|＝2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，当t 1＝2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m，解得m ＝－239，满足m>－3； 当t 1＝－2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m解得m ＝33，满足m>－3. 综上，m ＝－239或33. 3．(2019·衡水中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知直线C 3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R )，A 是C 3与C 1的交点，B 是C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，|AB|＝42，求α的值． 解 (1)由⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ，得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，又y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)知曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以其极坐标方程为ρ＝4cos θ.设点A ，B 的极坐标分别为(ρA ，α)，(ρB ，α)， 则ρA ＝4cos α，ρB ＝4sin α，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝4|cos α－sin α| ＝42⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝42，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±1，即α－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得α＝k π＋3π4(k ∈Z )，又0<α<π，所以α＝3π4. 4．(2019·保山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，直线l 与⊙O 交于A ，B 两个不同的点．(1)求倾斜角α的取值范围；(2)求线段AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 (1)直线l 的倾斜角为α，当α＝π2时，直线l(即y 轴)与⊙O 交于A ，B 两个不同的点，符合题目要求；当α≠π2时，记k ＝tan α，直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α 化为普通方程为kx －y －2＝0，圆心O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.因为直线l 与⊙O 交于不同的两点， 所以21＋k2<2， 解得k>1或k<－1.当k<－1时，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4；当k>1时，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，综上，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2， 因直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝2中得，t 2－4tsin α＋2＝0， 故可设A(t 1cos α，－2＋t 1sin α)，B(t 2cos α，－2＋t 2sin α)，注意到t 1 ，t 2为方程的根，故t 1＋t 2＝4sin α， 点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 22cos α，－2＋t 1＋t 22sin α， 即(sin 2α，－1－cos 2α)， 所以点P 的轨迹的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝sin 2α，y ＝－1－cos 2α(α为参数)．。
马井堂-高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案
选修4-4教案教案1平面直角坐标系（1课时）教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时）教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时）教案5圆的极坐标方程（2课时）教案6直线的极坐标方程（2课时）教案7球坐标系与柱坐标系（2课时）教案8参数方程的概念（1课时）教案9圆的参数方程及应（2课时）教案10圆锥曲线的参数方程（1课时）教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时）教案12直线的参数方程（2课时）教案13参数方程与普通方程互化（2课时）教案14圆的渐开线与摆线（1课时）课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：互动五步教学法教具：多媒体、实物投影仪复习及预习提纲：1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2坐标系的作用————教学过程————复习回顾和预习检查1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2坐标系的作用创设情境，设置疑问情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。
要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？分组讨论刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
2014数学文补教案---选修4-4坐标系与参数方程
选修4-4 坐标系与参数方程
第一节坐标系
课时计划：
实际教学课时：
教学方法：
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知识点：
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：______________的作用下，点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
2.极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做_____，自极点O引一条射线Ox，叫做_____；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系.
(2)点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点M，若设|OM|=ρ(ρ≥0)，以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角为θ，则点M可用有序数对______表示.
(3)极坐标与直角坐标的互化公式：
设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(ρ,θ)，则相互转化公式为
3.直线的极坐标方程
(1)特殊位置的直线的极坐标方程：
(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，直线l的极坐标方程为：ρsin(α-θ)=______________.
4.半径为r的圆的极坐标方程
(1)特殊位置的圆的极坐标方程：
(2)一般位置的圆的极坐标方程：圆心为M(ρ0,θ0)，半径为r
的圆的极坐标方程为______________________________.
板书设计与典例分析：。
高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案
选修4-4教案教案1平面直角坐标系（1课时）教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时）教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时）教案5圆的极坐标方程（2课时）教案6直线的极坐标方程（2课时）教案7球坐标系与柱坐标系（2课时）教案8参数方程的概念（1课时）教案9圆的参数方程及应（2课时）教案10圆锥曲线的参数方程（1课时）教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时）教案12直线的参数方程（2课时）教案13参数方程与普通方程互化（2课时）教案14圆的渐开线与摆线（1课时）课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：互动五步教学法教具：多媒体、实物投影仪1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2坐标系的作用1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2坐标系的作用情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。
要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
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第一讲坐标系一平面直角坐标系课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。
要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？二、学生活动学生回顾刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定三、讲解新课：1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标四、数学运用例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
*变式训练如何通过它们到点O 的距离以及它们相对于点O 的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？例2 已知B 村位于A 村的正西方1公里处,原计划经过B 村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m 的计划需要修改吗?*变式训练1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程例3 已知Q （a,b ）,分别按下列条件求出P 的坐标（1）P 是点Q 关于点M （m,n ）的对称点（2）P 是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q 不在直线1上）*变式训练用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。
思考通过平面变换可以把曲线14)1(9)1(22=-++y x 变为中心在原点的单位圆，请求出该复合变换？四、巩固与练习五、小 结：本节课学习了以下内容：1．如何建立直角坐标系；2．建标法的基本步骤； 3．什么时候需要建标。
五、课后作业：课本P14页 1，2，3，4 六、课后反思：建标法，学生学习有印象，但没有主动建标的意识，说明学生数学学习缺乏系统性，需要加强训练。
课题：2、平面直角坐标系中的伸缩变换 教学目标：知识与技能：平面直角坐标系中的坐标变换 过程与方法：体会坐标变换的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识 教学重点：理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换 教学难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题 授课类型：新授课教学措施与方法：启发、诱导发现教学. 教学过程：一、阅读教材P4—P8问题探究1：怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线sin 2y x =？思考：“保持纵坐标不变横坐标缩为原来的一半”的实质是什么？问题探究2：怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线3sin y x =？思考：“保持横坐标不变纵坐标缩为原来的3倍”的实质是什么？问题探究3：怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线3sin 2y x =？二、新课讲解：定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换注 （1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
例1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换''23x xy y⎧=⎨=⎩后的图形。
（1）2x+3y=0; (2) 221x y +=例2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x ,3后，曲线C 变为曲线9922='+'y x ，求曲线C 的方程并画出图象。
三、知识应用：1、已知x x f x x f ωsin )(,sin )(21==（)0>ω)(2x f 的图象可以看作把)(1x f 的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为（ ）A ．21B .2 C.3 D.31'(0):'(0)x x y yλλϕμμ=>⎧⎨=>⎩0,0λμ>>2、在同一直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 35后，曲线C 变为曲线22281,x y ''+=则曲线C 的方程为（ ）A ．2225361x y += B.2291001x y +=C ．2210241x y += D.22281259x y +=3、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy xx 3121后的图形。
（1）;025=+y x （2）122=+y x 。
四、知识归纳：设点P （x,y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ⎩⎨⎧>⋅='>⋅='),0(,),0(,:μμλλϕy y x x 的作用下，点P(x,y)对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换五、作业布置：1、抛物线24y x =经过伸缩变换1413x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩后得到2、把圆2216x y +=变成椭圆22116y x ''+=的伸缩变换为 3、在同一坐标系中将直线321x y +=变成直线''22x y +=的伸缩变换为4、把曲线3sin 2y x =的图象经过伸缩变换124x xy y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩得到的图象所对应的方程为5、在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换212x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩后，曲线C 变为221640x y x '''--=，则曲线C 的方程六、反思：二极坐标系课题：1、极坐标系的的概念教学目的：知识目标：理解极坐标的概念能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：理解极坐标的意义教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．二、讲解新课：从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。
这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。
）2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从OX到OM 的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M的极坐标。
特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系.们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角.3、负极径的规定在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。
M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 4、数学应用例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页） A （4，0）B （2 ）C （ ） D （ ）E （ ）F （ ） G （ ）① 平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。
变式训练在极坐标系里描出下列各点A （3，0）B （6，2π）C （3，2π）D （5，34π）E （3，65π）F （4，π）G （6，35π点的极坐标的表达式的研究例2 在极坐标系中，(1)已知两点P （5，45π），Q )4,1(π，求线段PQ 的长度；(2)已知M 的极坐标为（ρ，θ）且θ=3π，ρR ∈，说明满足上述条件的点M 的位置。
变式训练1、若ABC ∆的的三个顶点为.),67,3(),65,8(),25,5(判断三角形的形状πππC B A2、若A 、B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ∆的面积。
（O 为极点） 例3 已知Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标。
（1） P 是点Q 关于极点O 的对称点； （2） P 是点Q 关于直线2πθ=的对称点；（3） P 是点Q 关于极轴的对称点。