2012年考研数学一全真模拟题以及解析,2012年考研数学模拟试卷
2012年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解【圣才出品】
【考点】考查向量的相关性的判断
【解析】由已知得
0 1 1
1 1
1,3,4 0
1
1 c1 1
0 1
c1 c3 c4
可知 α1，α3，α4 线性相关。
6．设 A 为三阶矩阵，P 为三阶可逆矩阵，且
1 0 0
P1
AP
0
1
0
0 0 2
若 P＝（α 1，α 2，α 3），Q＝（α 1＋α 2，α 2，α 3），则 Q－1AQ＝（ ）。
1 0 0
A．
0
2
0
0 0 1
1 0 0
B．
0
1
0
0 0 2
2 0 0
C．
0
1
0
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D．
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2012 年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求。）
1．曲线 y＝（x2＋x）/（x2－1）的渐近线的条数为（ ）。
f y
(0,
2
0)
g
x2 y2
y 0
0
由可微的定义可知 f（x，y）在点（0，0）处可微。因此，B 项正确。
4．设
Ik
kπ ex2 sin xdx(k 1, 2,3)
0
则有（ ）。
A．I1＜I2＜I3
B．I3＜I2＜I1
C．I2＜I3＜I1
D．I2＜I1＜I3
2012年数学一模拟试题[1]
![2012年数学一模拟试题[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/bc35a5dd28ea81c758f578bc.png)
做 题 提 示 1 ．本试题是由文登学校数学团队编写，具有较高的权威性． 2 ．自测时间安排在上午或下午，不间断地进行 180 分钟，自己做题，不 看参考书籍． 3 ．将心态调整到临战状态，与进考场无异． 4 ．自测结束后，保管好试卷，在老师点评时，认真对照，找出自己薄弱 环节，在临战之前再重点突击，争取考前消灭自己存在的问题．
（14）设随机变量 X 、 Y 相互独立且都服从正态分布 N (2, σ ) ，若 P{ X ≤ −1} =
2
．
1 ，则 4
P{max( X , Y ) ≤ 2, min( X , Y ) ≤ −1} =
．
-2-
三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（3）设 A =
−∞
∫ sin x ⋅ e
| x|
dx ，则下列结论正确的是
（B） A > 0 ．
（A） A = 0 ．
a1 （4）已知 a2 a3
b1 b2 b3
c1 x − a3 y − b3 z − c3 x − a1 y − b1 z − c1 与 L2 : = = = = c2 ≠ 0 ，则直线 L1 : a2 − a3 b2 − b3 c2 − c3 a1 − a2 b1 − b2 c1 − c2 c3
（1）求 α1 ,α 2 , α 3 , α 4 的一个极大线性无关组，并将 β 用此线性无关组表示． （2）令 B = [α1 , α 2 , α 3 ] ，判断 Bx = β 是否有解，若有解，求其通解．
本题得分
评 阅 人 （22） （本题满分 11 分)
假设在一段时间内进入某商场的顾客人数 X 服从参数为 λ 的泊松分布，且每名顾客购买某种商品的 概率为 p ，并且各顾客是否购买该种商品是相互独立的，用 Y 表示进入该商场的顾客中购买该种商品的人 数． （1）求在进入商场人数为 n 的条件下，购买该种商品的顾客为 m 人的概率． （2）求 ( X， Y ) 的联合分布，并由此证明 Y 的分布律为 P{Y = m} =
2012考研数学一模拟题6答案解析
答案 一、选择题（1）A （2）C （3）D （4）C （5）C （6）C （7）A （8）C 二、填空题（9）2sec 2 （10）2(0)xy cxex -=≠ （11）310x y z -++=（12）π （13）211213212223213233a a a a a A a a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（14）37p =三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设101x <<，1n x +=nn x ∞→l i m 存在，并求其值证明：由11n x +==<知{}n x 有界， 又由()222122(1)0n n n n n n n x x x x x x x +-=--=->知{}n x 单调递增故{}n x 收敛，即nn x ∞→lim 存在设lim n n x l→∞=，1n x +=l =，解之得0l =或1l =，又{}nx 单调递增，故0l =不合题意，舍去，因此lim 1n n x →∞=（16）（本题满分10分）设()v u f ,具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vf uf，()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2221,,y x xy f y x g ，求2222y g x g ∂∂+∂∂解：xyu =，()2221yxv -=v fxuf yxg∂∂+∂∂=∂∂，v f yuf xyg∂∂-∂∂=∂∂xv f xvf xu f yxg∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂=∂∂22x v vf xu u v f xv f xv v u f xu uf xu f ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂222222;故：v f vf xvu f xyuf yxg∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222，vf vf yvu f xyuf xyg∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂2222222222所以：()()22222222222222yx vf yx uf yx yg xg+=∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂（17）（本题满分10分）设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a b <<，证明：存在ξ,(),a b η∈，使得()()''2ffabηξη=证明：由题设()f x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在(),a b ξ∈，使()()()'f b f a fb aξ-=-.又()f x ，1x 在[],a b 上满足柯西中值定理的条件，故存在(),a b η∈，使()()()'2111f b f a fb aηη-=--.合并上两式可得()()''2ffabηξη=.（18）（本题满分10分）2()xf x pe x x-=+- ，若对于一切的0x >，恒有()1f x ≥，问常数p 最小应取什么值？ 解：由2()1,(0)xf x pex x x -=+-≥>，得21xpex x -≥-++令212(),()1xf x pe f x x x -==-++由2m ax 215()()24f x f ==，知12115()24f pe -=≥，得1254p e ≥所以1()xf x pe-=在(0,)+∞上是是单调递减的设12(),()f x f x 相切于点20000(,)(,1)x x pex x x -=-++又12(),()21xf x pe f x x -''=-=-+所以1020()()f x f x ''=，即021x pex --=-+，联立2001x pex x -=-++，可得01x =，或02x =-（舍去）01x =时，可得p e =所以p 的最小值为e（19）（本题满分10分）将2()2arctan ln(1)1f x x x x =-++展成x 的幂极数解：2222()2arctan 2arctan 11x x f x x xx x '=+-=++222()2(1)1n nn f x xx ∞=''==-+∑，(1,1)x ∈-221(1)()()(0)()2(1)221nx x nnn n n f x f x f f t dt t dt xn ∞∞+==-'''''=-==-=+∑∑⎰⎰，(1,1)x ∈-而2122(1)(1)()1()(0)()2221(21)(22)nnx x n n n n f x f x f f t dt tdt xn n n ∞∞++==--'-=-===+++∑∑⎰⎰，(1,1)x ∈-故有22201(1)(1)()1212(21)(22)2(21)n nn nn n f x xxn n n n ∞∞+==--=+=+++-∑∑，(1,1)x ∈-当1x =±时，级数21(1)22(21)nnn xn n ∞=--∑绝对收敛知21(1)()122(21)nnn f x xn n ∞=-=+-∑，[1,1]x ∈-（20）（本题满分10分）设()ij m nA a ⨯=，12(,,,)Tn y y y y = ，12(,,,)Tn b b b b = ，12(,,,)T n x x x x = ，证明：方程组Ay b=有解的充分必要条件是方程组01TTA x b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭无解（其中0是1n ⨯矩阵） 【证明】：必要性：设方程组Ay b=有解，则对满足0T A x =的向量0x，00TTTb x y A x =00Ty ==，从而有00T T A x b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可见方程组01T TA x b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭无解 充分性：设方程组01T TA x b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭无解，则线性方程组的增广矩阵的秩 011TT T T A A r r bb ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭另一方面，()()0011()11TT TTA r r A r Ar A b⎛⎫≤+=+=+ ⎪⎝⎭，所以有1()1T TA r r A b ⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭。
2012考研数学一真题及详解
2012年全国硕士研究生统一考试数学一试题及答案一、选择题：共8小题，每题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上。
1、曲线221x x y x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。
解：（C ）：22211lim lim 1111x x x x x x x→∞→∞++==--，可得有一条水平渐近线1y =；222112lim 1lim 1x x x x x x →→+==∞--，可得有一条铅直渐近线1x =；22111(1)1lim lim lim 1(1)(1)12x x x x x x x x x x x x →-→-→-++===--+-，可得1x =-不是铅直渐近线，故答案为（C ）。
2、设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)y =（ ） （A ）1(1)(1)!n n ---；（B ）(1)(1)!n n --；（C ）1(1)!n n --；（D ）(1)!n n -。
解：（A ）：(0)(11)(12)(1)0y n =---= ；则22000()(0)(1)(2)()(2)()'(0)lim lim lim0x x nx x nx x x x y x y e e e n x e e n y x x x→→→------===- 1(12)(1)(1)(1)!n n n -=--=-- 。
故答案为（A ）。
3．如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（ ）（A ）若极限(,)(0,0)(,)lim ||||x y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（B ）若极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限(,)(0,0)(,)lim||||x y f x y x y →+存在；（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在。
2012考研数一真题及解析
1
对于 1
0, 解 1E
B X
0 得对应的特征向量为：1
1
1
1
对于 2
2, 解 2 E
B
X
0 得对应的特征向量为：2
1
0
1
对于 3
6, 解 3 E
B
X
0 得对应的特征向量为：3
1
2
将1,2 ,3 单位化可得：
1
1
1
1
1 3
1
1
，2
1 2
1 0
，3
1 6
2
（17）
4n2 4n 3
lim lim lim 【解析】： R n
an
an1
n
an
an1
n
2n 1 4 n1 2 4 n1 3
2n 1 1
4n2 4n 3
2n 1 1
lim n
2n 1 4n 12 4n 1 3 1
S(x) 4n2 4n 3 x2n
n0 2n 1
故
Q1
AQ
1
1
0
P
1
AP
1
1
0
1
1
0
0 0 1
0 0 1 0 0 1
1
1
1
0
2 0 0 1
1
2
故选（B）。 （7） 【答案】：（A）
【解析】： X ,Y
的联合概率密度为
f
(x,
y)
ex4 y , x 0，其它
0,
y
0
则 PX Y
f (x, y)dxdy
cott
所以 C 0 .故函数 f (t) ln sect tan t sin t .
2012年考研数学一真题及参考答案
的通解为 f (x) = C1e x + C2e−2x .再由 f ' (x) + f (x) = 2ex 得 2C1ex − C2e−2x = 2ex ，可知 C1 = 1, C2 = 0 。
故 f (x) = ex
∫ （10）
2
x
2x − x2 dx
________。
0
【答案】： π 2
∫ ∫ ∫ 2
=
⎧e−x−4 y , x > ⎨⎩0，其它
0,
y
>
0
∫∫ ∫ ∫ ∫ 则 P{X < Y} =
f (x, y)dxdy =
+∞
dx
y e−x−4 ydx =
+∞ e−5 ydy = 1
x< y
0
0
0
5
（ 8 ） 将 长 度 为 1m 的 木 棒 随 机 地 截 成 两 段 ， 则 两 段 长 度 的 相 关 系 数 为 （ ）
【解析】： lim x→1
x2 x2
+x −1
=
∞
，所以
x
= 1 为垂直的
lim
x→∞
x2 + x x2 −1
= 1，所以
y
= 1为水平的，没有斜渐近线
故两条选 C
（2）设函数 f (x) = (ex −1)(e2x − 2)L (enx − n) ，其中 n 为正整数，则 f ' (0) =
（A） (−1)n−1(n −1)!
x x
2 2
gx
−
sin
x
≥
0，
故 f ' ( x) ≥ 0 ，而 f (0) = 0 ，即得 x ln 1+ x + cos x −1− x2 ≥ 0
2012年考研数学一真题
1
x
0时， ln 1 1
x x
0，1 1
x2 x2
x
x ,又sin x
x.
’ (x) 0 .
x 0 为(x) 在（-1，1）内最小点，而（0）=0
当-1<x<1 时. (x) 0，即
x ln 1 x cos x 1 x2
1 x
2
(16)（本题满分 分）
x2 y2
求函数 f (x, y) xe 2 的极值
0 1
1
2
1 0
1 0
0 1
1
2
（7）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 P{x<y}=( )
1
1
2
4
(A)
(B)
(C)
(D)
5
3
5
5
解析：(A)
ex ,
X
~
E(1) ， Y
~
E(4)
fx (x)
0,
x0
4e4 y,
.
x0
fY ( y)
解析： 3 4
P(ABC) P(AB) P(ABC)
解： P( AB | C)
P(C)
1 P(C)
AC ， ABC .
1
P( AB | C)
P( AB) 1 P(C)
2 2
3 4
.
3
三、解答题：15~23 小题，共 94 分，请将解答写在答题纸指定位置上.
（15）（本题满分 分）
证明 x ln 1 x +cosx 1+ x2 (-1<x<1)
f
t
2012年考研数学一真题解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 曲线221x xy x +=-渐进线的条数（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3【考点分析】：曲线的渐近线条数。
【求解过程】：C⏹ 方法一：利用函数图像的平移，将已知的函数的渐近线条数转化为简单的基本函数的渐进线条数。
由于22(1)111(1)(1)11x x x x x y x x x x x ++====+--+--， 可知，221x x y x +=- 的图像是由1y x=的图像向由右平移一个单位，再向上平移一个单位所得。
由于图像平移并不改变其渐进线的条数。
1y x=有两条渐进线，其中一条为水平渐近线0y =，一条为垂直渐近线0x =。
所以221x xy x +=-也有两条渐近线，选择C 。
【相关补充】：函数平移口诀：上加下减，左加右减。
例如，把函数()y f x =依次做以下四次的平移：（1）向上平移1个单位，（2）向下平移2个单位（3）向左平移1个单位（4）向右平移2个单位。
则新函数的解析式为(12)12(1)1y f x f x =+-+-=--。
⏹ 方法二：直接求解函数的渐近线。
因为 22lim 1,1x x xx →∞+=- 所以1y = 为水平渐进线。
又由于有水平渐进线，所以一定不存在同一趋向下的斜渐进线。
又因为221lim ,1x x xx →+=∞-所以1x =为垂直渐进线。
综上所述，221x xy x +=-也有两条渐近线，选择C 。
【相关补充】：斜渐进线的求解步骤：1) 考察是否有lim ()x f x →±∞=∞？若是，则转2）2) 考察是否有()limx f x a x→±∞=（常数）？，若是，则转3） 3) 是否有lim[()]x f x ax b →±∞-=存在？若是，则()y f x =有斜渐进线y ax b =+，上述任何一个步骤中，若否，则无斜渐进线。
2012考研数一真题解析
【考点】曲面积分的计算 【难易度】★★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点：
8 第 8 页，共 21 页
梦想不会辜负每一个努力的人
曲面积分公式：
x 1
的间断点只有
x
1 .
由于 lim y ，故 x 1是垂直渐近线. x1
（而 lim y lim x(x 1) 1 ，故 x 1不是渐近线）. x1 x1 (x 1)(x 1) 2
1 1
又 lim y lim x 1，故 y 1是水平渐近线.（无斜渐近线）
x
x 1
1 x2
综上可知，渐近线的条数是 2.故选 C.
lim
x0
f (x, y) x2 y2
lim x0
f
(x, y) f (0, 0) x2 y2
A
y0
y0
由极限与无穷小的关系
f (x, y) f (0, 0) x2 y2
A
o(1)
x y
0 0
，
其中 o(1) 为无穷小. f (x, y) f (0, 0) A(x2 y2) (x2 y2)o(1)
【答案】D 【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点：
b
c
b
设 a c b ，则 f (x)dx f (x)dx f (x)dx .
a
a
c
在本题中，
I1
0
ex2
sin
xdx
，
I2
2 0
ex2
sin
xdx ，
I3
3 ex2 sin xdx
0
I2 I1
y0
可微，但 lim x0
2012年考研(数学一)真题试卷(题后含答案及解析)
2012年考研（数学一）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．曲线渐近线的条数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C2．设函数f(x)＝(ex－1)(e2x－2)…(enx－n)，其中n为正整数，则fˊ(0)＝( )．A．(－1)n－1(n－1)!B．(－1)n(n－1)!C．(－1)n－1n!D．(－1)nn!正确答案：A3．如果函数f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是( )．A． B． C． D． 正确答案：B4．设(k＝1，2，3)，则有( )．A．I1＜I2＜13B．I3＜I2＜I1C．I2＜I3＜I1D．I2＜I1＜I3正确答案：D5．设，其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )．A．α1，α2，α3B．α1，α2，α4C．α1，α3，α4D．α2，α3，α4正确答案：C6．设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q－1AQ＝( )．A． B． C． D． 正确答案：B7．设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P｜x＜y｜＝( )．A．1／5B．1／3C．2／5D．4／5正确答案：A8．将长度为1 m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )．A．1B．1／2C．﹣1／2D．﹣1正确答案：D填空题9．若函数f(x)满足方程f〞(x)＋fˊ(x)－2f(x)＝0及fˊ(x)＋f(x)＝2ex，则f(x)＝__________．正确答案：齐次方程f〞(x)＋fˊ(x)－2f(x)＝0的特征方程为r2＋r－2＝0，得特征根为r1＝1，r2＝－2，则有通解f(x)＝c1ex＋c2e－2x，代人方程fˊ(x)＋f(x)＝2ex得2c1ex－c2e－2x＝2ex，则c1＝1，c2＝0．因此f(x)＝ex．10．正确答案：根据题意，令t＝x－1，则本题用到奇函数在对称区间上积为零的结论．11．正确答案：根据题意，令将点(2，1，1)代入，上式＝(1，1，1)．12．设∑＝｛(x，y，z)｜x＋y＋z＝1，x≥0，y≥0，z≥0｝，则y2dx＝________．正确答案：其中D为∑投影在xOy平面上的区域，D＝｛(x，y)｜x≥0，y ≥0，x＋y≤1｝13．设X为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E－XXT的秩为_________．正确答案：根据题意设X＝(1，0，0)T，14．设A、B、C是随机事件，A与C互不相容，P(AB)＝1／2，P（C）＝1／3，则P(AB｜C￣)＝________．正确答案：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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