微分方程的数值积分
微分方程数值解习题课
微分方程初值问题数值解习题课一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分2xt y e dt -=⎰所确定的函数y 在点x =0.5,1.0,1.5的近似值。
解：该积分问题等价于常微分方程初值问题2'(0)0x y e y -⎧=⎪⎨=⎪⎩其中h=0.5。
其向前欧拉格式为2()100ih i i y y he y -+⎧=+⎪⎨=⎪⎩改进欧拉格式为22()2(1)10()20ih i h i i h y y ee y --++⎧=++⎪⎨⎪=⎩将两种计算格式所得结果列于下表二、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题'1(0)1y x y y =-+⎧⎨=⎩00.6x ≤≤取步长h=0.1.解：4步显式法必须有4个起步值，0y 已知，其他3个123,,y y y 用4阶龙格库塔方法求出。
本题的信息有：步长h=0.1；结点0.1(0,1,,6)i x ih i i ===L ；0(,)1,(0)1f x y x y y y =-+==经典的4阶龙格库塔公式为11234(22)6i i hy y k k k k +=++++1(,)1i i i i k f x y x y ==-+121(,)0.05 1.0522i i i i hk hk f x y x y k =++=--+232(,)0.05 1.0522i i i i hk hk f x y x y k =++=--+433(,)0.1 1.1i i i i k f x h y hk x y k =++=--+算得1 1.0048375y =,2 1.0187309y =,3 1.0408184y =4阶4步阿达姆斯显格式1123(5559379)24i i i i i i hy y f f f f +---=+-+-1231(18.5 5.9 3.70.90.24 3.24)24i i i i i y y y y y i ---=+-+++由此算出4561.0703231, 1.1065356, 1.1488186y y y ===三、用Euler 方法求()'1,0101x y e y x x y =-++≤≤=问步长h 应该如何选取，才能保证算法的稳定性？解：本题(),1xf x y e y x =-++ (),0,01x y f x y e x λ'==-<≤≤本题的绝对稳定域为111x h he λ+=-<得02x he <<，故步长应满足02,00.736he h <<<<四、求梯形方法111[(,)(,)]2k k k k k k hy y f x y f x y +++=++的绝对稳定域。
matlab 常微分方程 数值积分 间断点
常微分方程是描述自然界和社会现象中许多现象的数学模型，它在科学工程技术中有着重要的应用。
而 MATLAB 是一个强大的科学计算软件，它提供了许多用于求解常微分方程的工具和函数。
本文将主要讨论在 MATLAB 中如何利用数值积分方法来求解常微分方程中的间断点问题。
1. 常微分方程与 MATLAB常微分方程是描述一个未知函数及其导数之间关系的方程。
在科学和工程中，常微分方程经常出现在物理、生物、经济等领域的建模过程中。
MATLAB 提供了丰富的工具箱和函数来求解常微分方程，包括ode45、ode23、ode15s 等。
2. 数值积分方法数值积分方法是求解微积分中定积分的数值近似值的方法。
在常微分方程的数值求解过程中，经常需要用到数值积分方法来处理积分项。
MATLAB 提供了许多数值积分的函数，如 quad、quadl、quadgk 等。
3. 间断点问题在常微分方程的求解过程中，经常会遇到间断点问题，即方程中存在函数的间断点。
这种情况下，传统的数值方法可能会失效，需要采用特殊的技巧来处理。
MATLAB 提供了一些专门用于处理间断点问题的函数和工具，如 bvp4c、bvp5c 等。
4. MATLAB 中的数值积分和间断点处理在 MATLAB 中，我们可以利用数值积分方法来处理常微分方程中的间断点问题。
我们需要将常微分方程转化为积分方程。
利用 MATLAB 提供的数值积分函数来求解积分方程。
如果方程中存在间断点，我们可以利用 MATLAB 提供的间断点处理函数来处理。
5. 实例分析接下来，我们将通过一个实例来详细介绍在 MATLAB 中如何利用数值积分方法来求解常微分方程中的间断点问题。
考虑如下的常微分方程：$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}, \quad 0 < x < 1$$初始条件为 $y(0) = 1$。
该常微分方程在 $x=0$ 处存在间断点，因此传统的数值方法可能会失效。
数值积分与微分方程数值解法
数值积分与微分方程数值解法数值积分和微分方程数值解法是数值计算中的重要组成部分，在科学计算、工程分析和实际问题求解中起着不可或缺的作用。
本文将介绍数值积分的基本概念和常用方法，以及微分方程数值解法的应用和实现过程。
一、数值积分的基本概念和常用方法数值积分是求解定积分近似值的方法，通过将连续函数的积分转化为离散形式的求和，以达到近似计算的目的。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
（1）矩形法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取点，用函数在相应点处的取值近似代替该子区间内的函数值，最后将所有子区间的函数值相加得到近似积分值。
（2）梯形法：与矩形法类似，但是将每个子区间近似为一个梯形，通过计算梯形的面积来近似计算积分值。
（3）辛普森法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取三个点，根据这三个点构造出一个二次函数，并用该二次函数的积分来近似计算积分值。
二、微分方程数值解法的应用和实现过程微分方程数值解法是对微分方程进行近似求解的方法，通过离散化微分方程来构造数值格式，然后通过数值计算来求解。
常用的微分方程数值解法包括常微分方程的欧拉法、改进欧拉法和龙格-库塔法，以及偏微分方程的有限差分法、有限元法等。
（1）常微分方程数值解法：- 欧拉法：根据微分方程的定义，将微分项近似为差分项，通过迭代逼近真实解。
- 改进欧拉法：在欧拉法的基础上，通过利用两个点的斜率来逼近解的变化率，提高精度。
- 龙格-库塔法：通过多次迭代，根据不同的权重系数计算不同阶数的近似解，提高精度。
（2）偏微分方程数值解法：- 有限差分法：将偏微分方程中的一阶和二阶导数近似为差分项，通过离散化区域和时间来构造矩阵方程组，然后通过求解线性方程组来获得数值解。
- 有限元法：将区域进行剖分，将偏微分方程转化为变分问题，通过选取适当的试函数和加权残差法来逼近真实解。
总结：数值积分和微分方程数值解法是数值计算中重要的工具，能够帮助我们处理实际问题和解决科学工程中的复杂计算。
随机微分方程的数值解
随机微分方程的数值解
随机微分方程是一种描述随机过程的数学模型，它可以用来研究随机过程的性质和行为。
随机微分方程的数值解是指使用数值计算方法求解随机微分方程的解的过程。
随机微分方程的数值解可以通过数值积分方法、数值微分方法、数值积分变分方法等多种方法进行求解。
其中，数值积分方法和数值微分方法是最常用的方法，它们可以通过数值计算方法求解随机微分方程的解。
具体来说，数值积分方法可以通过求解随机微分方程的积分方程来得到随机微分方程的数值解。
例如，对于一个二维随机微分方程du/dt=a(du/dx+dv/dy)+b(dx^2+dy^2)u，可以使用数值积分方法求解其解。
具体的数值积分方法可以是欧拉法、龙格-库塔法、辛普森法等。
数值微分方法可以通过求解随机微分方程的微分方程来得到随机微分方程的数值解。
例如，对于一个二维随机微分方程du/dt=a(du/dx+dv/dy)+b(dx^2+dy^2)u，可以使用数值微分方法求解其解。
具体的数值微分方法可以是中心差分法、前向差分法、后向差分法等。
总之，随机微分方程的数值解可以通过数值积分方法和数值微分方法
等多种方法进行求解，具体的求解方法需要根据具体的问题和应用场景来选择。
数值计算中的偏微分方程数值积分求解
数值计算中的偏微分方程数值积分求解偏微分方程在科学研究和工业应用中扮演着重要的角色，例如在流体力学、热传导、电磁场分析、量子力学等领域都有广泛的应用。
但是，由于偏微分方程的复杂性，精确的解法往往难以求得。
这时，数值计算就成了一种有效的求解方式。
而在数值计算中，数值积分是一种非常重要的方法，用来求解偏微分方程的数值解。
数值积分的基本思想是将函数在一定区间内进行合理的近似，从而得到定积分的数值逼近值。
在偏微分方程数值解中，数值积分主要用于离散化算法的实现和误差控制。
数值积分的方法主要有牛顿-柯茨公式、辛普森公式、梯形公式等，这些数值积分方法在偏微分方程的数值解中得到了广泛的应用。
一、牛顿-柯茨公式牛顿-柯茨公式是一种数值积分方法，可用于求解常微分方程初值问题和偏微分方程边值问题。
它是利用公式：$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \sum_{i=0}^{n} A_{i}f(x_{i})$ 进行逼近。
其中，$A_{i}$ 为权系数，$x_{i}$ 为节点，$n$ 为网络上的单元数。
牛顿-柯茨公式用来求解普通微分方程初值问题时，节点$x_{i+1}$ 要比$x_{i}$ 大一个步长$h$，节点的选择与步长有关，通常使用一些微分方程的求解方法来确定节点和权系数，如龙格-库塔法、欧拉法等。
对于偏微分方程求解，节点的选择会有所不同，通常先将区域进行网格划分，然后选择网格节点来表示整个区域的逼近值。
这时，权系数的选择也与网格节点的整体性质有关，常见的选择有拉格朗日插值、奇异积分法等。
二、辛普森公式辛普森公式是一种三点数值积分方法，用于近似定积分计算。
其原理是将定积分区间等分为若干个小区间，每个小区间用一个二次多项式逼近被积函数，从而得到整个区域的逼近值。
公式如下：$\int_{a}^{b}f(x)dx ≈ \frac{b-a}{6}(f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) +f(b))$辛普森公式具有精度高、实用性强等优点，在偏微分方程求解中得到了广泛应用。
数值积分方法
数值积分方法数值积分，又称为数值分析，是一种应用科学和数学技术来求解数学分析中几何或者微分方程的数学方法。
在实际应用中，有一系列的数值积分方法可以应用于解决某些数学问题，其中包括这些方法的微元法、有限元法、线性多项式插值法、指数插值法、函数拟合法和通用积分等方法。
通过合理的数值技术及其应用，可以有效地解决众多实际问题。
数值积分是数值分析中最基本的方法，指将数学分析中的连续函数或曲线所表示的求和问题离散化，以使其被数值计算机计算出来，也被称为数值积分。
当需要用数值积分方法求某函数的定积分时，首先必须找出该函数的积分表达式，然后对该表达式进行离散化，得到计算机可以处理的函数，最后根据具体的算法，得到数值积分的解。
数值积分方法具有多种形式，分别适用于不同实际问题。
首先，常用的数值积分方法有积分公式，如梯形公式、抛物线公式、Simpson 公式等，以及牛顿-拉夫逊多项式插值公式等，这些积分公式可以以直接的方式计算定积分，但是这种方法只适用于简单的定积分计算，在复杂定积分的计算中效果不佳。
其次，还有多元积分法，如变步长梯形法、双积分法等，这些积分法可以帮助求解一些复杂的定积分，但是计算时间较长。
此外，还有有限元法、隐式Runge-Kutta法、快速积分法等，这些积分方法能够帮助求解非定积分问题，其计算效率也相对较高。
数值积分方法在实际应用中得到了广泛的应用，如仿真求解有限元方程，求解复杂的拟合问题，估计系统的运行参数，计算力学分析等等都与数值积分技术有关。
另外，今天在这一领域，全球多家著名计算数值分析软件公司也在不断改进技术，开发出更加高效的数值积分软件，从而更好地服务于实际问题的求解。
总之，数值积分方法是一门重要的数值分析学科，可用于解决多种实际问题，广泛应用于科学和技术领域，具有重要的现实意义。
数值计算方法数值积分与微分方程数值解
数值计算方法数值积分与微分方程数值解数值计算是计算数值结果的一种方法，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
数值计算方法涉及到估算数学问题的解，其中包括数值积分和微分方程数值解。
本文将分别介绍数值积分和微分方程数值解的基本原理和常用方法。
一、数值积分数值积分是通过数值计算方法来估计函数的积分值。
积分是数学中的重要概念，广泛应用于物理、经济等领域的问题求解中。
传统的积分计算方法，如牛顿-柯特斯公式和高斯求积法，需要解析求解被积函数，但是对于大多数函数来说，解析求解并不容易或者不可能。
数值计算方法通过离散化被积函数，将积分问题转化为求和问题，从而得到近似的积分结果。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和复化求积法。
1. 梯形法则梯形法则是最简单的数值积分方法之一。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用梯形的面积来近似原函数的面积，最后将所有小区间的梯形面积相加得到近似积分值。
2. 辛普森法则辛普森法则是一种比梯形法则更精确的数值积分方法。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用一个二次多项式来近似原函数，最后将所有小区间的二次多项式积分值相加得到近似积分值。
3. 复化求积法复化求积法是一种将积分区间进一步细分的数值积分方法。
通过将积分区间划分为更多的小区间，并在每个小区间上应用辛普森法则或者其他数值积分方法，可以得到更精确的积分结果。
二、微分方程数值解微分方程是描述自然现象中变化的数学模型。
求解微分方程的解析方法并不适用于所有的情况，因此需要利用数值计算方法来估计微分方程的解。
常见的微分方程数值解方法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
1. 欧拉法欧拉法是最简单的微分方程数值解方法之一。
它通过将微分方程离散化，将微分运算近似为差分运算，从而得到微分方程的近似解。
2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进。
它通过使用两个不同的点来估计微分方程的解，从而得到更精确的近似解。
求微分方程数值解
求微分方程数值解
微分方程数值解是一种数学方法，用于解决一些复杂的微分方程，特别是那些无法通过解析方法求解的微分方程。
通过数值解法，我们可以得到微分方程的近似解，并且可以在计算机上进行实现，以便更好地理解和分析问题。
我们需要将微分方程转化为差分方程，这样就可以利用数值方法进行求解。
差分方程是一种以离散形式表示微分方程的方法，通过近似替代微分表达式，将连续问题转化为离散问题，从而实现计算机求解。
常见的数值方法包括欧拉方法、龙格-库塔方法等，它们通过不断迭代求解差分方程，逼近微分方程的解。
在应用数值解法求解微分方程时，需要注意选择合适的步长和迭代次数，以确保数值解的准确性和稳定性。
步长过大会导致数值误差增大，步长过小则会增加计算量，影响计算效率。
因此，需要在准确性和效率之间寻找平衡点，选择合适的参数进行计算。
在使用数值解法时，还需要考虑边界条件和初值条件的设定。
这些条件对于微分方程的求解至关重要，不同的条件设定可能会导致不同的数值解，甚至无法得到有效的解。
因此，在进行数值计算之前，需要对问题进行充分的分析和理解，确定合适的条件，以确保数值解的准确性和可靠性。
总的来说，微分方程数值解是一种强大的工具，可以帮助我们解决
复杂的微分方程，探索未知的领域。
通过合理的数值方法和参数选择，我们可以得到准确的数值解，从而更好地理解和应用微分方程的理论。
希望通过不断的探索和实践，我们可以更深入地理解微分方程数值解的原理和方法，为科学研究和工程实践提供更多有益的帮助。
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5.1.1 单变量函数值的计算和绘图 【例5-1-1】
y 3 e4tsin 4 3t π 要求以0.01s为间隔，求出y的151个2点，并求出其 导数的值和3曲 线。
解: ◆ 建模 可以采取下列两种方法来做: (1) 只用主程序编程的方法; (2) 编成函数文件，由主程序调用的方法。 求导数可采用diff函数对数组y做运算的方法。
%设定参数数组 %输入常数
%计算x，y
%绘图
◆ 程序运行结果 设r=1，令R=r， R=0.7及R=1.5时得到的摆线、 内摆线和外摆线都绘于图5-3中。 为了显示摆线的正确形状，x、 y坐标保持等比例是很重要的，因此程序中要加axis (′equal′)
图 5-3 摆线的绘制
5.1.3 曲线族的绘制 【例5-1-3】 三次曲线的方程为y=ax3+cx，试探讨参数a和c对其图形的影响。 解: ◆ 建模 因为函数比较简单， 因此可以直接写入绘图语句中，用循环语句来改变参数。注
5.1.4 极限判别 用MATLAB来表达推理过程是比较困难的，因为它必须与实际的数值联系起来。
比如无法用无穷小和高阶无穷小的概念，只能用e-10、 e-20等数值。不过极限的定义恰 恰用了δ和ε这些数的概念，因此不难用程序表达。
【例5-1-4】 极限的定义和判别。 解: ◆ 建模 对于函数y=f(x)，当任意给定一个正数ε时，有一个对应的正数δ
图 5-2 摆线的生成
解： ◆ 建模 概括几种情况，其普遍方程可表示为:
xA = rt-Rsin t yA = r-Rcos t 可由这组以t为参数的方程分析其轨迹。
◆ MATLAB程序 t=0: 0.1: 10; r=input(′r=′)，R=input(′R=′) x=r*t-R*sin(t); y=r-R*cos(t); plot(x，y)，axis(′equal′)
title(′绘图示例′)，xlabel(′时间 t′)，ylabel(′y(t)′)
%加标注
Dy=diff(y); subplot(2，1，2)，plot(t(length(t)-1)，Dy)， grid
%求导数并绘制曲线，注意用数值方法求导后，导数数组长度比原函数减少一
ylabel(′Dy(t)′)
xvalues=w*exp(-4*tvalues).*sin(w*tvalues + pi/3);
◆ 程序运行结果 运行这两种程序都得到图5-1所示的曲线。为了节省篇幅，我们没有显示y的数据。 以后的各例中还将省略绘图时的标注语句。从本例看，第二种方法似乎更麻烦一些， 但它具备模块化的特点。当程序中要反复多次调用此函数，而且输入不同的自变量时， 利用函数文件可大大简化编程。我们应该掌握这种方法。两次应用diff函数或用diff(y， 2)可以求y的二次导数，读者可自行实践。
图 5-1 例5-1-1的曲线
5.1.2 参变方程表示的函数的计算和绘图 【例5-1-2】 摆线的绘制。如图5-2所示，当圆轮在平面上滚动时，轮上任一点所
画出的轨迹称为摆线。如果这一点不在圆周上而在圆内，则生成内摆线; 如果该点在圆 外，即离圆心距离大于半径，则生成外摆线。对于后一种情况，可由火车轮来想象。 其接触轨道的部分，并不是直径最大处，其内侧的直径还要大一些，以防止车轮左右 出轨。在这部分边缘上的点就形成外摆线。
意坐标的设定方法，以得到适于观察的图形。给出的程序不是唯一的，例如也可用 fplot函数等。读者可自行探索其他编法。
◆ MATLAB程序
x=-2: 0.1: 2;
%给定x数组，确定范围及取点密度
subplot(1，2，1) %分两个画面绘图
for c=-3: 3
%取不同的c循环
plot(x，x.^3+c*x)，hold on，
while abs(A-eval(fxc))>epsilon delta=delta/2; x=xc-delta; %找δ
◆ MAT11a如下:
t=［0: .01: 1.5］;
%设定自变量数组t
w= 4*sqrt(3);
%固定频率
y=w/8*exp(-4*t).*sin(w*t + pi/3); %注意用数组运算式
subplot(2，1，1)，plot(t，y)， grid
%绘制曲线并加上坐标网格
%加标注
(2) 第二种方法的主程序exn511b如下: dt=0.01; t=［0: dt: 1.5］; w= 4*sqrt(3); y=exn511bf(t，w); Dy=diff(y)/dt; %绘图和加标注的程序略去 另要建立一个函数文件exn511bf.m，其内容为: function xvalues= exn511bf (tvalues，w) %注意编写的函数文件中，其语法对数组w应该能用元素群运算。
0＜|xc-x|<δ 时,
|A-f(x)|＜ε 其中，A是f(x)在x→xc时的极限，如果找不到这样的δ，A就不是它的极限。只考虑左极 限时，因为xc-x必为正数，所以可去掉绝对值符号。
◆ MATLAB程序
检验极限是否正确的程序
disp(′A是否是f(xc)的极限?′)
fxc=input(′ f(x)的表达式为，例如sin(x)/x′，′s′)，
end， grid
subplot(1，2，2)
for a=-3: 3
%取不同的a循环
plot(x，a*x.^3+x)，hold on，
end， grid，hold off
用直接在图形窗内编辑的方法可在图内标注字符。
◆ 程序运行结果 程序运行结果见图5-4，其中a和c均从-3取到3，步长为1。
图 5-4 c和a取不同值时y=ax3+cx (a) a=1，c取不同值; (b) c=1，a取不同值
%输入函数表达式
A=input(′A=，例如A=1′)， %输入极限值
xc=input(′xc=，例如xc=0′)， %输入对应的自变量值
flag=1; delta=1; x=xc-delta; n=1;
%初始化
while flag==1 epsilon=input(′任给一个小的数ε=′)
%任意给出ε