高等数学偏导数全微分
第3节 偏导数与全微分
处对x的偏导数，记为
z ， 或 x x x0
zx
x x0 y y0
.
y y0
1
类似可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对 y 的偏
导数，为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
z
记为
，或
y x x0
y y0
lim
A,
x0
x
同理可得 B f y( x0 , y0 ) .
dz z dx z dy x y
可微 可偏导 13
注：可偏导不一定可微,见下面反例.
xy
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点 (0,0) 处有 f x (0,0) f y(0,0) 0 ,
同理, f y (0,0) 0 .
9
偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例如,函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
已经求得， f x (0,0) f y(0,0) 0 .
即 dy f ( x)dx .
11
二元函数的可微性和全微分
定义 二元函数 z f (x, y) 在点( x0 , y0 ) 处的全增量
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 如果可以表示为
7-3全微分与偏导数
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
p V V T
T p
RT pV
1
例3.7 求函数在点（0，0）处的偏导数
z
f (x, y)
xy
x2
y
2
,
x2 y2 0
0 , x2 y2 0
解
0
0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0) 不连续! 可导不一定连续.
z2
)
0
*四、全微分的应用
由全微分定义
z fx (x, y)x f y (x, y)y o()
可知当 及
dz
较小时, 有近似等式:
z d z fx (x, y)x f y (x, y)y
(可用于近似计算; 误差分析)
f (x x, y y) f (x, y) fx (x, y)x f y (x, y)y
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
)
nz x n1
y
例.设 Z x3 y2 2 xy3 x2 y 5
2Z 2Z 2Z 2Z 3Z
求:
x 2
,
,
,
xy yx
y 2
,
x 3
解: Z 3x2 y2 2 y3 2xy,
fx x(x,
y);
y
( z ) x
2z x y
fx
y ( x,
y)
x
z
高等数学教学： 偏导数与全微分
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
1 (d x d y d z) 4
例 7. 求所有的二阶偏导数： 两个混合偏导数：是否总相等
例8. 设
f(x,y)=
xy
x2 x2
y2 y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
证明: fxy (0, 0) f yx (0, 0)
在什么条件下才能保证两者相等呢？
定理16.4 这个定理可以推广到 n阶偏导数的情形： 即若函数 f 具有直到 n 阶的连续偏导数，则求偏导数与变量的顺序
z
2
2ze
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y) ex2 y2 x4 sin 2 y
xyz
u y
f y
f z
z y
2ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin 2 y
x y
x f x
y
s f
同理 y
t
例4. 设 u f (xy, y ) 求 u 2u 2u
8.3偏导数与全微分
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x
同理可定义关于y的偏导数
f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) lim f y ( x0 , y0 ) y 0 y
记为： f y ( x0 , y0 )
Q1 ：Q1对 自 身 价 格1的 边 际 需 求 p ; p1 Q1 ：Q1对 相 关 价 格2的 边 际 需 求 p ; p2
Q2 ：Q2 对 相 关 价 格1的 边 际 需 求 p ; p1 Q2 ：Q2 对 自 身 价 格2的 边 际 需 求 p ; p2
Q1 的经济意义：相关价格不变时,自身价格达到p1时, p1 价格再增加一个单位所增加或减少的需求量; Q1 的经济意义：自身价格不变时,相关价格达到p2时, p2 价格再增加一个单位所增加或减少的需求量;
的改变量为
z f ( x x, y y ) f ( x, y )
全改变量
1.全微分的定义 设长方形边长为x, y, 则它的面积为S=x y,如果边长有
改变量x, y, 则面积的改变量为
S f ( x x, y y ) f ( x, y ) ( x x )( y y ) xy yx xy x y dS : S在点( x, y )处的全微分.
注： 1.z f ( x, y)在( x0 , y0 )处的偏导数，可理解为 该函数
在( x0 , y0 )处沿x轴和y轴方向的变化率，即
d f x ( x0 , y0 ) f ( x , y0 ) | x x 0 dx d ( x 0 , y0 ) fy f ( x 0 , y ) | y y0 dx
偏导数与全微分--华南理工大学高数课件
z 2 z z 2 z = f yx ( x , y ) = = f xy ( x , y ), = x y yx y x xy
混合偏导 高阶偏导数. 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数.
求z = x 3 y 2 + xy 的四个二阶偏导数 例 的四个二阶偏导数. 2 z z 解 = 3 x 2 y 2 + y, = 6 xy 2 , x x 2 2z = 6 x 2 y + 1; xy 2 z z = 2 x 3 y + x, = 2 x3 , y y 2 2z = 6 x 2 y + 1. yx
偏导数
如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 内任一点 在区域D内任一点 (x, y)处对 的偏导数都存在 那么这个偏导数 处对x的偏导数都存在 处对 的偏导数都存在,
、 的二元函数, 仍是 x、y 的二元函数 它称为函数 z = f ( x , y )
对自变量x的偏导函数 简称偏导数 简称偏导数), 对自变量 的偏导函数 (简称偏导数 记作 z , f , z x 或 f x ( x , y ). x x 对自变量y的 同理, 同理 可定义函数 z = f ( x , y ) 对自变量 的 简称偏导数), 偏导函数 (简称偏导数 简称偏导数 记作
第二节 偏 导 数
偏导数的定义及其计算法 偏导数的几何意义 高阶偏导数
higher-order partial derivative
偏导数
一、一阶偏导数的定义
定义 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 )的某邻域 内有定义， 固定为 内有定义， y固定为 0 , 若极限 y 将
偏导数与全微分的关系
偏导数与全微分的关系
偏导数与全微分的关系
偏导数及全微分是高等数学中重要的概念，用来描述一元函数、多元函数曲线特性及变化趋势。
而两者又有着密不可分的关系。
首先，偏导数是全微分的一部分，是全微分的基础。
它代表函数曲线在某一点的斜率，又叫函数的切线斜率，是函数曲线在某一点的变化率。
而全微分定义为函数在某一点的函数值及其方向对点中的变化率，所以它的意义是偏导数的概括，反映了函数曲线在某一点的斜率及方向的变化率，其值比偏导数更能体现函数曲线在该点的变化趋势。
其次，计算偏导数和全微分是有联系的。
若给定一个多元函数，要求偏导数则需要使用偏微分概念，因为偏微分是多元函数的偏导数。
而要计算全微分，首先要确定函数的偏导数，然后再求出全微分的求值。
最后，偏导数与全微分是相互联系的，彼此之间又有着千丝万缕的联系。
一般来说，计算多元函数的极值是依赖于偏导数的，而全微分是为了更全面地反映函数曲线的变化趋势。
所以，偏导数与全微分虽然各有不同的定义，但它们之间仍有密不可分的关系。
- 1 -。
偏导数和全微分的概念
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则 称这函数在 D 内可微分.
21
几个基本问题
1. f ( x, y)满足什么条件才能保证 可微？
2. 若可微，全微分表达式 中的A, B是什么？
3. 二元函数连续、可微、 可偏导之间 存在什么关系？与一元 函数有何异同？
22
如果函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续.
2 2
?
连续但偏导数不存在
多元函数连续和可偏导没有必然联 系，与一元函数具有显著差别
16
二元函数偏导数的几何意义:
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点, z f d M0 f ( x, y 0 ) x x0 x x0 x y y 0 dx Tx Ty z f ( x, y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0 y0 y O M 0Tx 对 x 轴的斜率. x0 ( x0 , y0 ) f d f ( x0 , y) x x0 x y y0 y y y0 d y
第一节 偏导数和全微分的概念
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
偏微分
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz. x y z
偏导数与全微分的概念与应用
偏导数与全微分的概念与应用在微积分学中，偏导数和全微分是两个重要的概念，它们在数学和物理等领域具有广泛的应用。
本文将对偏导数和全微分的概念进行解释，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、偏导数的概念偏导数是多元函数的导数的一种扩展。
对于一个函数，当它有多个变量时，我们可以将其中的一个变量视为其他变量的常数，然后对该变量求导数，这就是偏导数。
数学上，对于一个函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，它的偏导数表示为$\frac{{\partial f}}{{\partialx_i}}$，表示在其他变量固定的情况下，函数$f$关于变量$x_i$的变化率。
二、全微分的概念全微分是函数在某一点附近的线性逼近。
对于一个函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，在某一点$(x_1,x_2,...,x_n)$处，其全微分表示为$df=\frac{{\partial f}}{{\partial x_1}}dx_1+\frac{{\partial f}}{{\partialx_2}}dx_2+...+\frac{{\partial f}}{{\partial x_n}}dx_n$。
全微分可以表示函数在该点附近的微小变化。
三、偏导数与全微分的应用1. 最优化问题在最优化问题中，偏导数和全微分是非常重要的工具。
通过求取偏导数，我们可以找到函数的极值点。
全微分可以帮助我们理解函数在极值点处的行为，并判断其是否为极值点。
2. 泰勒展开泰勒展开是将一个函数在某一点附近用多项式逼近的方法。
偏导数和全微分可以用于推导泰勒展开的形式，从而更好地理解函数的性质和行为。
3. 物理学中的应用偏导数和全微分在物理学中也有广泛的应用。
例如，在力学中，速度、加速度等物理量通常与时间和位置有关，通过对这些物理量求偏导数，我们可以得到在某一时刻的速度和加速度。
全微分可以用于描述物理量在微小变化下的行为。
4. 经济学中的应用经济学中的边际分析常常需要用到偏导数和全微分。