中学生物理竞赛系列练习试题圆周运动

中学生物理竞赛系列练习题第四章 圆周运动 万有引力定律1、如图所示，赛车在水平赛道上做90°转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为r 1、r 2，车与路面间的动摩擦因数都是μ。

试问：竞赛中车手应选图中的内道还是外道转弯？在上述两条转弯路径中，车手在内、外车道选择中可能赢得的时间为多少？解：对外车道，其走弯道所允许的最大车速为V 2，则m(V 2)2∕r 2=μmg, ∴V 2＝2gr *μ,因此车先减速再加速，加速度为a=μmg ∕m=μg,减速的路径长为X 2＝（V m 2－V 22）∕2a=2222rg V m -μ, ∴总时间为t 2=t 减速＋t 圆弧＋t 加速＝a V V m 2-+222V r *π＋a V V m 2-（2分）＝μg V m 2－（2－2π）μg r 2 （2分） 同理，车走内道的时间为t 1=μg V m 2－（2－2π）μg r 1 (4分) 又由于车在内道和外道的直线路径是相等的。

∴车手应该选择走外道。

时间差为: Δt=t 1-t 2=（2－2π）μg r r 12- (3分)2、根据天文观测，月球半径为R =1738km ，月球表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的1/6，月球表面在阳光照射下的温度可达127℃，此时水蒸气分子的平均速度达到v 0=2000m/s 。

试分析月球表面没有水的原因。

（取地球表面的重力加速度g =9.8m/s 2）（要求至少用两种方法说明）方法一：假定月球表面有水，则这些水在127℃时达到的平均速度v 0=2000m/s必须小于月球表面的第一宇宙速度，否则这些水将不会降落回月球表面，导致月球表面无水。

取质量为m 的某水分子，因为GMm /R 2=mv 12/R 2，mg 月=GMm /R 2，g 月=g/6，所以代入数据解得v 1=1700m/s ，v 1＜v 0，即这些水分子会象卫星一样绕月球转动而不落到月球表面，使月球表面无水。

方法二：设v0=2000m/s为月球的第一宇宙速度，计算水分子绕月球的运行半径R1，如果R1＞R，则月球表面无水。

取质量为m的某水分子，因为GMm/R12=mv02/R12，mg月=GMm/R12，g月=g/6，所以R1=v02/g月=2.449×106m，R1＞R，即以2000m/s的速度运行的水分子不在月球表面，也即月球表面无水。

方法三：假定月球表面有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所受到的向心力，即应满足：mg月＞GMm/R2，当v=v0=2000m/s时，g月＞v02/R=2.30m/s2，而现在月球表面的重力加速度仅为g/6=1.63m/s2，所以水分子在月球表面所受的重力不足以提供2000m/s所对应的向心力，也即月球表面无水。

方法四：假定有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所受到的向心力，即应满足：mg月＞GMm/R2，，即应有g月R＞v2而实际上：g月R=2.84×106m2/s2，v2=4×106m2/s2，所以v2＞g月R即以2000m/s的速度运行的水分子不能存在于月球表面，也即月球表面无水。

3、半径分别为r1和r2（r1：r2=5：1）的；两金属细齿轮互相吻合地装配在一起，如图所示，它们的转轴半径均为。

整个装置放在磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场的方向平行于转轴。

两转轴通过金属支架互相连通。

当两齿轮互相接触时，量得两齿轮边缘之间的电阻为R。

现将一其质量为m的物体用轻绳绕在大齿轮的轴上，忽略摩擦损耗，求悬挂物体在重力作用下匀速下落的速度。

4、用恰好足以摆脱太阳引力场的速度，在离开太阳的径向轨道上，从地球发射一航天器，由时间控制以便航天器在木星后面一定距离穿越木星轨道。

因航天器跟木星引力场有作用而偏转90o，即作用后的速度切于木星轨道（圆轨道）。

在这作用中航天器单位质量得到的能量是多少？（在作用时略去太阳引力场，并假设持续时间与木星周期相比很小）题库835、开普勒从1909年至1919年发表了著名的开普勒行星三定律：第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上。

第二定律：太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。

第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。

实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星或宇宙飞船。

宇宙飞船在距火星表面H 高度处作匀速圆周运动，火星半径为R ，今设飞船在极短时间内向外侧喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的α倍。

因α很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会，如图所示。

飞船喷气质量可忽略不计，引力势能表达式为rGMm-。

试求：(1)飞船新轨道的近火星点的高度h 近和远火星点高度h 远；(2)设飞船原来的运动速度为v 0，试计算新轨道的运行周期T设火星和飞船的质量分别为M 和m ，飞船沿椭圆轨道运行时，飞船在最近点或最远点到火星中心的距离为r ，飞船速度为v 。

因飞船喷气前绕圆形轨道的面积速度为00v r 21，等于喷气后飞船绕椭圆轨道在D 点的面积速度θsin 210D v r （D 为圆轨道和椭圆轨道的交点），由开普勒第二定律，后者又等于飞船在近、远火星点的面积速度rv 21，即：rv v r v r D 21sin 2121000==θ，即rv v r 00=…………………………（1）2分 由机械能守恒定律：0202202r Mm G)v v (m 21r Mm G mv 21-+=-α… （2）2分 飞船沿原轨道运动时：02020r v mr Mm G=……………… （3）2分式中h R r ,H R r 0+=+=………………………… （4）2分 联立方程组可解得：αα+-=1R H h 近… （5）2分 αα-+=1RH h 远 （6）2分（2）设椭圆半长轴为a ，则a 2r r ＝远近+，即：201r a α-= …… （7）2分飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为：00v r 2T π=………… （8）2分 设飞船喷气后，绕椭圆轨道运行的周期为T ，由开普勒第三 定律得：2300)(r aT T = （9）2分 从而解得：2320)11()(2απ-+=v H R T …… （10）4分6、一半径为 1.00m R =的水平光滑圆桌面，圆心为O ，有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线C ，如图预17-2所示。

一根不可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上的某一点，另一端系一质量为27.510kg m =⨯－的小物块。

将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一个方向与绳垂直、大小为0 4.0m/s v =的初速度。

物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱上。

已知当绳的张力为0 2.0N T =时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动．1．问绳刚要断开时，绳的伸直部分的长度为多少?2．若绳刚要断开时，桌面圆心O 到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直，问物块的落地点到桌面圆心O 的水平距离为多少？已知桌面高度0.80m H =．物块在桌面上运动时未与立柱相碰．取重力加速度大小为210m/s ．解：因桌面是光滑的，轻绳是不可伸长的和柔软的，且在断开前绳都是被拉紧的，故在绳断开前，物块在沿桌面运动的过程中，其速度始终与绳垂直，绳的张力对物块不做功，物块速度的大小保持不变。

设在绳刚要断开时绳的伸直部分的长度为x ，若此时物块速度的大小为x v ，则有 0x v v = （1）绳对物块的拉力仅改变物块速度的方向，是作用于物块的向心力，故有2200xmv mv T x x==（2） 由此得2mv x T =（3） 代入数据得0.60m x = （4）2. 设在绳刚要断开时，物块位于桌面上的P 点，BP 是绳的伸直部分，物块速度0v 的方向如图预解17-2所示．由题意可知，OB BP ⊥．因物块离开桌面时的速度仍为0v，物块离开桌面后便做初速度为0v 的平抛运动，设平抛运动经历的时间为t ，则有212H gt =（5） 物块做平抛运动的水平射程为 10s v t = （6） 由几何关系，物块落地地点与桌面圆心O 的水平距离s 为s =（7）解（5）、（6）、（7）式，得s =代人数据得 2.5m s =7、假设银河系的物质在宇宙中呈对称分布，其球心为银心。

距离银心相等处的银河系质量分布相同。

又假定距银心距离为r 处的物质受到银河系的万有引力和将以r 为半径的球面内所有银河系物质集中于银心时所产生的万有引力相同。

已知地球到太阳中心的距离为R o ，太阳到银心的距离a=1.75×109R o ，太阳绕银心做匀速圆周运动，周期T=2.4×108年。

太阳质量为M s ，银河系中发亮的物质仅分布在r ≤1.5a 的范围内。

目前可能测得绕银心运动的物体距银心的距离不大于6a ，且在0≤r ≤6a 范围内，物体绕银心运动的速率是一恒量。

按上述条件解答： （1）论证银河系物质能否均匀分布？（2）计算银河系中发光物质质量最多有多少？ （3）计算整个银河系物质质量至少有多少？（4）计算银河系中不发光物质（即暗物质）质量至少是多少？ （上述计算结果均用太阳质量M s 表示）题库p848、已知地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径凡为地球轨道半径凡的1.5倍．若要从地球表面向火星发射探测器，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步：①在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够的动能，从而成为一个沿地球轨道运行的人造行星（此时，地球对探测器的引力很小，可以忽略不计）；②在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原运动方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道上运动，从而使探测器正好射到火星上，如图3甲所示．当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1 日零时，经观测计算知火星与探测器与太阳所张角度为600如图3乙所示．问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面（时间计算仅需精确到日）。

已知地球半径为R e =6.4×106m ，重力加速度g 可取9.8m/s 2。

探测器在地球公园轨道上运行的周期T d 与地球公转周期相同 T d =T e =365d 火星公转周期 T m =36535.1=671d 探测器的椭圆轨道上的运行周期为T d ’=365325.1=510d 因此探测器从燃火箭开始至到达火星需时 255d从点燃火箭发动机前绕太阳转动的角速度为ωd =ωe =0.9860/d ωm =0.5370/d由于探测器运行至火星需时255d ，火星在此期间运行的角度为ωm ·T d ’/2=1370 即探测器在椭圆轨道近日点发射时，火星应在其远日点的切点之前1370，亦即点燃发动机时，探测器与火星之间对太阳的圆心角应为1800-1370=430在某年3月1 日零时，经观测计算知火星与探测器与太阳所张角度为600（火星在前探测器在后），为使其张角为430，必须等待二者在各自轨道中运行至某个合适时日，设二者到达合适的位置，探测器又经历的天数为t ，则 600-430=ωd t-ωm t t=38d故点燃火箭发动机的时刻应为当年的3月1日之后38天，即同年4月7日附加1、2006年2月10日，中国航天局将如图所示的标志确定为中国月球探测工程形象标志。