湖北省宜昌市第一中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理

宜昌市第一中学2018年春季学期高二年级期末考试理科数学考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设}44{≤≤-=x x A ，}032{2>-+=x x x B ，集合=B A （ ） A ．)1,3(-B ．)3,1(-C ．]4,1()3,4[ --D ．]4,3()1,4[ --2．已知i 为虚数单位，则复数ii+-12对应复平面上的点在第（ ）象限． A ．一B ． 二C ．三D ．四3．设R x ∈，则“x x 21>-”是“011≤+x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 4．已知4.09.1=a ，9.1log 4.0=b ，9.14.0=c （ ）A ．c b a >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>5．若将函数x x f 2cos 21)(=的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A ．)0,12(πB ．)0,6(πC ．)0,3(πD ．)0,2(π6．函数xex x f 21)(-=的图象大致为( )7．已知函数)(x f 满足)1(11)(+=+x f x f ，当[]1,0∈x 时，x x f =)(，若在区间(]1,1-上方程0)(=--m mx x f 有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．)21,0[B ．),21[+∞C ．)31,0[D ．]21,0(8．若角α为三角形的一个内角，并且22tan -=α，则=α2cos （ ） A ．31 B ．53 C ．31± D ．53± 9．已知定义域为R 的奇函数)(x f ，当0>x 时，满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<--=23),3(230),27(log )(2x x f x x x f ，则=++++)2018(....)3()2()1(f f f f （ ） A ．2log 5B ． 2log 5-C ．2-D ．010．某巨型摩天轮．其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第35分钟时他距地面大约为（ ）米． A ．75 B ．85 C ．100 D ．11011．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q N M =U ,∅=N M I ,M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称),(N M 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割),(N M ,下列选项中,不可能成立的是( ) A ．M 没有最大元素, N 有一个最小元素 B ．M 没有最大元素, N 也没有最小元素 C ．M 有一个最大元素, N 有一个最小元素 D ．M 有一个最大元素, N 没有最小元素12．已知关于x 的方程为)3(12)3(2222--=--x m e ex x x（其中R m ∈），则此方程实根的个数为（ ）A ．2B ．2或3C ．3D ．3或4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知角θ的终边经过)3,2(-，则=+)23cos(πθ________． 14．满足不等式组⎩⎨⎧+≤≥22x y x y 的点),(y x 所围成的平面图形的面积为________．15．学校艺术节对同一类的 A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“ A 作品获得一等奖”； 乙说：“C 作品获得一等奖”丙说：“B, D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是A 或D 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．16．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① (0)0f =；② 当R x ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12||||x x =时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：①⎩⎨⎧<-≥-=0,0,1)(1x x x e x f x ；② 22()ln(1)f x x x =+； ③x x x f sin )(3=；④24()x x f x e e x =--.则其中是“偏对称函数”的函数序号为 __ ____．三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

）（一）必考题：共60分。

17．（本题满分12分）已知集合{}()1015,20;2A x R ax B x R x a ⎧⎫=∈<+≤=∈-<≤≠⎨⎬⎩⎭（1）若B A =，求实数a 的值；（2）若命题,:A x p ∈命题B x q ∈:且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）已知函数x x x x x f cos sin 2)62cos()32sin()(++++=ππ，R x ∈．（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）求函数)(x f 的对称中心和单调递增区间．19．（本题满分12分）统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数为880312800013+-=x x y )1200(<<x ．（1）当64=x 千米/小时时,行驶100千米耗油量多少升？ （2）若油箱有5.22升油,则该型号汽车最多行驶多少千米？20．（本题满分12分）如图，已知单位圆上有四点)0,1(E ，)sin ,(cos θθA ，)2sin ,2(cos θθB ，)3sin ,3(cos θθC ，其中30πθ≤<，分别设OAC ABC ∆∆、的面积为12S S 和.（1）用sin cos θθ，表示12S S 和； （2）求12cos sin S Sθθ+的最大值及取最大值时θ的值。

21．（本题满分12分）已知函数1)1(43ln )221()(22++-+-=x a x x x x x f ． （1）若)(x f 在),1(+∞为增函数，求实数a 的取值范围；（2）当11<<-a 时，函数)(x f 在),1(+∞的最小值为)(a g ，求)(a g 的值域．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==t m y tx （t 为参数，R m ∈），以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρ22cos 233-=．（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 是曲线2C 上一点，若点P 到曲线1C 的最小距离为22，求m 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数11)(--+=x a x x f ． （1）当2-=a 时，解不等式5)(>x f ； （2）若3)(+≤x a x f ，求a 的最小值．宜昌市第一中学2018年春季学期高二年级期末考试理科数学参考答案考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．13133 14． 2915． C 16．②③ 三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

） 17．【解析】(1) 当0a >时14A xx a a ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭112242a a a⎧-=-⎪⎪∴⇒=⎨⎪=⎪⎩ 当0<a 时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<≤=a x axA 14显然B A ≠故B A =时，2=a …………6分（2）B A q p ≠⊂⇒⇒ 41510≤<-⇒≤+<ax ax当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-=a x a x A 41则⎪⎩⎪⎨⎧≤->-⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-2421124211a a a a 或解得2>a 当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<≤=a x a xA 14则821214-<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-->a aa 综上p 是q 的充分不必要条件，实数a 的取值范围是,2>a 或8-<a …………12分18．【解析】（1）∵()sin2cos+cos2sin cos2cos sin2sin +sin23366f x x x x x x ππππ=()+(-)3cos2+sin2x x =…………3分π2sin(2)3x =+． …………5分∴πT =． …………6分 （2）令0)32sin(=+πx 得：26ππk x +-=，Z k ∈ 所以对称中心为：)0,26(ππk +-，Z k ∈ …………9分 令πππππk x k 223222+≤+≤+-解得单调递增区间为：]12,125[ππππk k ++-，Z k ∈………… 12分 19．【解析】 (1)当64=x 千米/小时时,要行驶100千米需要162564100=小时， 要耗油95.111625)864803641280001(3=⨯+⨯-⨯ (升) ．(2)设5.22升油能使该型号汽车行驶a 千米,由题意得，5.22)88031280001(3=⨯+-xa x x ，所以803812800015.222-+=x x a ，设80381280001)(2-+=x x x h则当)(x h 最小时，a 取最大值，233264000808640001)(xx x x x h -=-='令800)(=⇒='x x h 当)80,0(∈x 时，0)(<'x h ，当)120,80(∈x 时，0)(>'x h故当)80,0(∈x 时，函数)(x h 为减函数，当)120,80(∈x 时，函数)(x h 为增函数， 所以当80=x 时， )(x h 取得最小值，此时a 取最大值为2008038088012800015.222=-+⨯所以若油箱有5.22升油,则该型号汽车最多行驶200千米．20．【解析】解析：（1）根据三角函数的定义，知,2,3,xOA xOB xOC θθθ∠=∠=∠= 所以xOA AOB BOC θ∠=∠=∠=，所以()11111sin 3sin 222S θθθ=⋅⋅⋅-=.又因为12S S =+四边形OABC 的面积＝1111sin 11sin sin 22θθθ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=， 所以()21sin sin 2sin 1cos 2S θθθθ=-=-. ………… 6分（2）由（1）知()12sin 1cos sin cos sin cos 12sin 1cos sin cos sin 4S S θθθθπθθθθθθθ-⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭. 因为03πθ<≤，所以4412πππθ-<-≤，所以262sin()sin 412ππθ--<-≤=， 所以12cos sin S S θθ+的最大值为62-，此时θ的值为3π. ………… 12分 21．【解析】（1）a x x x a x x x x f ≥-+-⇒≥--+-='32ln )2(032ln )2()(在),1(+∞上恒成立，设023ln )(32ln )2()(>-+='⇒-+-=xx x x F x x x x F )(x F ⇒在),1(+∞上为增函数，所以1-≤a ． …………4分 （2）,023ln )(032ln )2()(>-+=''⇒≥--+-='xx x x f a x x x x f …………5分 可得32ln )2()(--+-='a x x x x f 在),1(+∞上是增函数， 又01)1(<--='a f ，01)2(>+-='a f ，…………6分则存在唯一实数)2,1(∈m ，使得0)(='m f 即032ln )2(=--+-a m m m …………7分 则有)(0)(),1[x f x f m x ⇒<'⇒∈在],1(m 上递减；)(0)(),[x f x f m x ⇒>'⇒+∞∈在),[+∞m 上递增；故当m x =时，)(x f 有最小值1)1(43ln )221()(22++-+-=m a m m m m m f ………9分 则)(x f 有最小值1)1(43ln )221()(22++-+-=m a m m m m a g ， 又32ln )2(-+-=m m m a ，令)2,1(,32ln )2()(∈-+-=m m m m m a求导得：)2,1(,23ln )(∈-+='m mm m a ，故)(m a 在)2,1(∈m 上递增，………10分 而1)1(-=a ，1)2(=a ，故)1,1(-∈a 可等价转化为)2,1(∈m 故求)(x f 的最小值)(a g 的值域，可转化为求1245ln 21)(22++--=m m m m m h 在)2,1(∈m 上的值域．………11分易得：1245ln 21)(22++--=m m m m m h 在)2,1(上为减函数，则其值域为)47,2ln 2(-．………12分（二）选考题：共10分。