三角函数研究性学习

研究性学习班级：小组：组长：组员：开题报告三角学的起源与发展三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。

早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。

现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具一、课题提出的背景运用数学知识解决现实生活中的实际问题是一项很重要的数学能力，也是新课程标准对学生能力的基本要求。

九年级下册锐角三角函数内容不仅是初中数学教学的重点，而且是培养学生运用能力的理想材料，锐角三角函数解实际问题渗透了数形结合的数学思想，通过测量，工程技术等问题，转化为解直角三角形的应用题和数学活动，有助于培养学生的空间想象能力和运用数学的能力，更好地培养学生理论和实践相结合的意识。

学生在学习本部分内容时，对概念的形成难以理解，更不能把实际问题抽象成数学模型，造成对实际问题的解决无所适从，学生作业练习中更出现严重错误，利用数学知识解决实际问题的能力欠缺，导致学生对数学学习没有乐趣和积极性，因此，本人把锐角三角函数解决实际问题作为课题进行研究，培养学生数学运用能力。

二、所要解决的主要问题1、通过实际问题培养学生经历概念的形成能力。

2、研究如何培养学生数形结合的数学思想。

3、研究如何培养学生对实际问题的分析和解决能力。

4、培养学生良好的解决问题的数学思想和方法，使学生对实际问题的探索充满乐趣。

三、课题的理论价值和实践意义理论价值：本课题的研究有助于学生养成利用数学知识解决现实问题的良好习惯，掌握基本的数学思想和方法，真正体会数学知识的实际意义，培养学生良好的数学意识。

实践意义：本课题的研究体现了数学教学的实际意义和新课程基本要求，提高学生数学学习兴趣，培养数学应用能力。

四、研究内容1、对学生数学的应用能力进行调查，找出影响应用能力的因素。

2、通过锐角三角函数概念的学习，探索学生经历概念的形成过程。

3、对学生进行图形语言和数学符号语言相结合练习，培养学生数形结合的思想方法。

4、通过一定量的实际问题，培养学生对实物的观察，画出数学图形，培养学生空间想象能力。

5、研究学生解决实际问题过程中学生自主探索，合作交流的能力，寻求多样化的解题方法，培养学生的创新意识。

研究报告两角和与差的三角函数·典型例题分析例1 化简下列式子：(1)sin100°sin(-160°)+cos200°cos(-280°)(2)cos(15°-A)·sec15°-sin(165°+A)·csc15°分析(1)本题中四个角都不相同，初看起来不能利用公式，如果先利用诱导公式将角度化为小于90°的角，就会发现其内在关系．(2)由于两角和或差的三角函数公式中没有关于两割的函数的式子，因此，应首先将原式化为含有两弦函数的式子．解：(1)原式=-sin80°·sin20°-cos20°cos80°=-(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=-cos(80°-20°)=-cos60°=4sinA评注(1)(2)两题共同特点是：不能直接用两角和与差的三角函数公式，但通过基本的三角变换(化负角为正角、化大角为小角、化切割为弦)之后，公式的特征已显现出来．所以，在解题分析时不仅要掌握基本公式，还应掌握一些更基本、更常用的方法．cosβ的值．求sin2α的值．分析(1)已知α的范围及tgα的值，由同角三角函数关系式可求sinα和cosα的值，同理可求得α+β的正弦，再用已知角α及α+β来表示未知角β后利用两角差余弦公式求得．(2)此题思路与(1)相同，不同的是在应用同角三角函数关系式求某一角的三角函数值时需认真分析α+β和α-β的范围．最后应用的是两角和的正弦公式求sin2α．因此cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα同理，cos（α＋β）＝-4/5于是sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)评注对于此类问题，如果直接利用公式将cos(α+β)，cos(α-β)sin(α+β)展开为单角α、β的三角函数形式组成方程组进行计算，则运算量很大，所以，解决此类给值求值问题，主要是考查运用两角和差公式进行三角变换的能力．例3 已知A、B、C为锐角，tgA=1，tgB=2，tgC=3，求A+B+C的值．分析给出A、B、C的范围及正切值，求A+B+C时，首先必须确定A+B+C 的范围，然后求出A+B+C的某一三角函数值，由以上两方面写出A+B+C 的大小．在求A+B+C的正切值时，由于只有两角和的正切公式，所以必须先求出A+B的正切值，然后再一次应用公式求A+B+C的正切值．解：∵A、B、C为锐角，∴0°＜A+B+C＜270°又tgA=1，tgB=2，由公式可得：故A+B+C=π．评注给出三角函数值求角时，必须先确定角的范围．通常情况下，角的范围尽可能缩小到最小程度，以避免多余情形的产生．分析因为cos(α-β)应用公式后含有α、β的正弦之积与余弦之积，所以可以从已知条件出发，通过平方即会出现sinα·sinβ和cosα·cos β．①的平方+②的平方得：评注对于形如asinα-bsinβ=m，acosα-bcosβ=n，这种类型的条件求值问题要看所求的问题而定，通常所采取的三角变换有：平方后相加(或减)；和差化积；两式相乘等．再如：已知sinx+siny=1，求cosx+cosy 的取值范围．可先设t=cosx+cosy，两式平方后相加得：t2=1+2cos(x-y)，最大值为______．分析(1)所求函数中角不同，应用诱导公式可化为同角，然后再应用两角和(或差)的正弦(或余弦)化为一个角的一种三角函数，在一定范围内由单调性得出最大值，也可直接展开后求解．(2)同(1)相似，首先化为一个角的三角函数，在求单调区间不能忽视函数定义域．解：(1)原函数可化为：(2)原函数可化为：评注对于函数表达式中异角形式而要讨论函数性质问题，首先要应用上一章方法求解．一般情况下，y=asinx+bcosx可引入一个辅助角。

求三角函数最值的方法三角函数的最值是三角函数中最基本的内容，也是历年高考命题的热点。

对这类问题只要我们找到恰当的方法，就可以快速地求解。

一、函数法对于形如y=af 2(x)+bf (x)+c (其中f (x)=sinx cosx 或 tanx 等)型的函数，可构造二次函数y=at 2+bt+c 利用在某一区间上求二次函数最值的方法求解。

例1、 求函数Y=cos 2x+sinx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-44ππ上的最值 解：令sinx=t x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-44ππ ∴ t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22 y=cos 2x+sinx=--sin 2x+sinx+1=--t 2+t+1=--(t- -21 )2+45这是一个关于t (t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22 ) 的二次函数，其图象是开口方向向下的抛物线的一部分，因此当t=21 即 x=6π 时 y max=45 当t=-22 即 x=-4π 时 y min =221-二、数形结合法对于形如 y=xd c x b a cos sin ++ 型的函数，往往可用数形结合法来求最值 例2. 求函数 的最小值。

解：如图，它的几何意义是圆x2+y2=1上的点B与点A（－1，）连线的斜率。

显然，当AB是圆O的切线时，直线AB的斜率取得极值。

易知∠BAC=30°，所以。

三、换元法对于形如y=a(sinx+-cosx)+bsinxcosx+c 型的函数，可采用换元法求解例3 求函数y＝(1＋sinx)(1＋cosx)的值域．解:原函数即为y＝1＋sinx＋cosx＋sinxcosx，∴原函数即为四、缩放法例4. 已知，求函数的最小值。

解:由平均值不等式，有， 可知，当，即时，函数M 有最小值。

五、向量法例5.求函数的最大值。

解: 由于，因此可设 ，根据，有 ，所以，即。

结题报告研究过程和成果（一）充分挖掘数学内容的本质三角函数的概念与以前所学一次函数，反比例函数和二次函数不同，它反映的不是数与数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系，学生初次接触这种对应关系，理解起来很困难，而这种对应关系对学生深刻理解函数的概念又有很大帮助。

因此，我在教学过程中加强了对锐角三角函数所反映的角度与数值之间的对应关系的刻化，让学生对变量的性质以及变量之间的对应关系有更深刻地认识，加深函数概念的理解。

（二）加大学生的思维空间，发展学生的能力在培养学生过程中，一方面继续保持原有的通过设置“观察”、“思考”、“讨论”、“探究”、“归纳”等项目来扩大学生探索交流的空间，发展学生的思维能力。

同时，结合基础内容的知识特点，又考虑到学生年龄特征，在教学过程中，将数学结论的探索过程完全留给学生，为学生提供更广阔的探索空间，开阔思路，发展学生的思维能力，有效改变学生学习方式。

（三）加强教研与实际的联系锐角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角形的理论又为解决一些实际问题提供了强有力的工具。

解直角三角形为锐角三角函数提供了与实际紧密联系的沃土。

例如，利用确定山坡上所铺设的水管的长度问题引正弦函数，结合使用梯子攀登墙面问题引出角直角三角形的概念与方法，等等，再有利用背景丰富有趣的几个实际问题，从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的广泛应用，一方面可以让学生体会锐角三角函数和解直角三角形的理论来源于实际，是实际的需要，另一方面也让学生看到它们在解决实际问题中所起的作用，感受由实际问题抽象出数学问题，通过解决数学问题得到数学问题的答案，再回到实际问题的这种实践——理论——实践的认识过程。

这个认识过程符合人的认知规律，有利于调动学生学习数学的积极性，丰富有趣的实际问题也能激发学生的学习兴趣。

（四）注意数形结合，自然体现数与形之间的联系数形结合是重要的数学思想和方法，本知识又是数形结合的理想材料。

例如，对于锐角三角函数的概念，利用学生对直角三角形的认识以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质，再例如，解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角之间的关系，再通过计算，推理等使实际问题得到解决。