【2021对口单招复习讲义】模块01：集合与常用逻辑用语

江苏省2021年对口单招复习讲义数学第一部分江苏对口单招数学考试知识点分布第二部分 分模块知识讲解模块一 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念与运算一、考纲要求：1．理解集合、空集、子集的概念；掌握用符号表示元素与集合的关系； 2．掌握集合的表示方法；3．理解全集和补集的概念;掌握集合的交、并、补运算． 二、知识要点：1．集合：(1)集合的概念：一些能够确定的对象的全体构成的一个整体叫集合．集合中的每一对象叫元素；元素与集合间的关系用符号“∈”、“∉”表示．(2)常用到的数集有自然数集N （在自然数集内排除0的集合记作N + 或N *）、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R ．2．集合中元素的特征：∈确定性：a ∈A 和a ∉A ；二者必居其一； ∈互异性：若a ∈A ，b ∈A ，则a ≠b ；∈无序性：{a ，b }和{b ，a }表示同一个集合．3．集合的表示方法：列举法、性质描述法、图示法． 4．集合的分类：含有有限个元素的集合叫做有限集； 含有无限个元素的集合叫做无限集； 不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ．5．集合间的关系：用符号“∈”或“∈”、“”或“”、“=”表示．子集：一般地，如果集合A 的任一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A∈B 或B∈A ，读作A 包含于B ，或B 包含A ．即：A∈B ⇔x ∈A ⇒x ∈B ．真子集：如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B 或B A ．等集：一般地,如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合相等，集合A 等于集合B ，记作A ＝B ．即：A ＝B ⇔A ⊆B 且B ⊆A ．6．集合的运算交集：一般地,对于两个给定的集合A 、B ，由既属于A 又属于B 的所有元素所构成的集合，叫做A 、B 的交集，记作A∩B ，读作A 交B ．即：A∩B ⇔{x |x ∈A 且x ∈B }．并集：一般地，对于两个给定的集合A 、B ，把它们所有的元素合并在一起构成的集合，叫做A 、B 的并集，记作A∈B ，读作A 并B ．即：A∈B ⇔{x |x ∈A 或x ∈B}．补集：一般地，如果集合A 是全集U 的一个子集，由U 中的所有不属于A 的元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作A C U ．即：A C U ＝ {x |x ∈U 且x ∉A}． 三、典型例题：例1：已知集合A ＝{x ∈Z | —3＜x ＜2}，B ＝{x ∈N | —1＜x ＜2}，则A∩B ＝( )A ．{—1，0，1}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{—1，0，1，2}变式训练1：1．已知集合A ＝{x | x ＞2}，B ＝{x | 0＜x ＜2}，则A∈B ＝( )A ．{x | 2 ＜x ＜4}B ．{x | 0＜x ＜2}C ．{x | x ＞0}D ．{x | x ＞4}2．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，4，5，7}，B ＝{3，4，5}，则(C U A )∈(C U B )等于 ( ) A ．{1，2，3} B ．{4，5} C ．{2,3,4,5,7} D ．{1,2,3,6,7}例2：若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，则b －a 的值为________．变式训练2：已知集合A ＝{a ，a +d ，a +2d }，B ＝{a ，aq ，aq 2}，若a ，d ，q ∈R 且A ＝B ，求q 的值．例3：设A ＝{x | x 2+4x ＝0}，B ＝{x | x 2+2(a +1)x +a 2—1＝0}．(1)若B ⊆A ，求实数a 的值； (2)若A ⊇B ，求实数a 的值．变式训练3：9．已知集合A ＝｛x |－2≤x ≤5｝，B ＝｛x |m ＋1≤x ≤2m －1｝，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围.四、归纳小结：1．任何一个集合A 都是它本身的子集，即A ⊆A ．2．空集是任一集合的子集，是任一非空集合的真子集．3．对于集合A 、B 、C ，如果A∈B ； B∈C ，则A∈C ；A ＝B ⇔A ⊆B 且B ⊆A ． 4．注意区别一些容易混淆的符号：∈∈与⊆的区别：∈是表示元素与集合之间的关系，⊆是表示集合与集合之间的关系； ∈a 与{a }的区别：一般地，a 表示一个元素，而{a }表示只有一个元素a 的集合； ∈{0}与Φ的区别：{0}表示含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合．5．交集的性质：A∩A ＝A ；A∩Φ＝Φ；A∩B ＝B∩A ；A∩B∈A ；A∩B∈B ；如果A∈B ，则A∩B ＝A.6．并集的性质：A∈A ＝A ；A∈Φ＝A ；A∈B ＝B∈A ；A∈A∈B ；B ∈A∈B ；如果A∈B ；则A∈B ＝B ． 7．补集的性质：A C A ＝Φ；ΦA C ＝A ；A∈A C U ＝U ；A∩（A C U ）＝Φ；A A C C U U =)(；)(B A C U ⋂＝A C U ∈B C U ；)(B A C U ⋃＝A C U ∩B C U ．五、仿真训练： （一）选择题：1．下列条件不能确定一个集合的是( ) A ．小于100的质数的全体 B ．数轴上到原点的距离大于1的点的全体C ．充分接近3的所有实数的全体D ．身高不高于1.7m 的人的全体2．设M 、N 是两个非空集合，则M∈N 中的元素x 应满足的条件是( )A ．x ∈M 或x ∈NB ．x ∈M 且x ∈NC ．x ∈M 但x ∉ND ．x ∉M 但x ∈N 3．下列说法正确的是( ) A ．∅中没有元素B ．集合{x | x 2—2x +3＝0}中有两个元素C ．{1，2，3，4}与{4，1，2，3}是相同的集合D ．{1，3，5，...}是无限集4．若A ＝{m ，n }，则下列结论正确的是( )A ．m ⊆AB ．{n}∈ AC ．m ∉AD ．{n}⊆ A 5．全集{a ，b ，c }含有元素a 的所有子集的个数是( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 6．设全集为U ，对任意子集合A,B ，若AB ，则下列集合为空集的是( )A ．A∩(BC U ) B ．(A C U )∩(B C U ) C ．(A C U )∩BD ．A∩B7．已知集合A ＝{2，3，4}，B ＝{0，1，2，3，4}，则A∈B ＝( ) A ．{0，3，4} B ．{0，1，2，3，4} C ．{2，3} D ．{1，2} 8．已知全集U ＝R ，不等式| x |＜4的解集的补集是( )A ．{x | x ＜—4或x ＞4}B ．{x | x ≤—4或x ≥4}C ．{x | —4＜x ＜4}D ．以上都不对9．用列举法表示“大于2且小于9的偶数的全集”构成的集合为( ) A ．∅ B ．{4，6，8}C ．{3，5，7}D ．{3，4，5，6，7，8}10．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{1，2}，N ＝{1，4，5}，则集合{1，3，4，5}是( )A ．()N M C U IB ．()NC M U I C ．()N M C U YD ．()N C M U Y（二）填空题：1．集合{1，2，3}的子集有 个．2．已知A ＝{x |1≤x ＜4}，B ＝{x | x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值集合为 ． 3．已知非空集合M 满足：M ⊆{1，2，3，4，5}，且若x ∈M ，则6—x ∈M ，则满足条件的集合M 的个数是 ．4．已知集合A ＝{(x ,y ) | 2x +y ＝1}，B ＝{(x ,y ) | x +2y ＝5}，则A∩B ＝ ．5．已知集合A ＝{–1，3，2m –1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝______． 6．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x | x 2＜5}，集合B ＝{x | x 2—5x—6≥0}．则：B A I ＝ ；B A Y ＝ ；B AC U Y ＝ ．7．设集合A ＝{x |x +8＞0}，B ＝{x |x —3＜0}，C ＝{x |x 2+5x —24＜0}，(x ∈R )，则集合A 、B 、C 的关系是 ．8．设M ＝{x |x 2—2x +p ＝0}，N ＝{x |x 2+qx +r ＝0}，且M∩N ＝{—3}，M∈N ＝{2，—3，5}，则实数p ＝ ，q ＝ ，r ＝ ． （三）解答题：1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x | 0≤x ＜5}，集合B ＝{x | x ≥1}．求：B A I ；B A Y ；B C A C U U Y ．2．已知集合A ＝{a ，b ，2}，B ＝{2a ，b 2，2}，且满足A ＝B ，求a ，b 的值．3．已知集合}1|{≤=x x A ，}|{a x x B ≥=，且R B A =Y ，求实数a 的取值范围．4．已知集合A ＝{1，2，3，x }，B ＝{x 2，3}，且A∈B ＝A ，试求x 的值．5．若A＝{x|x2-ax+a2—19＝0}，B＝{x|x2—5x+6＝0}，C＝{x|x2+2x—8＝0}．(1)若A∩B＝A∈B，求a的值；(2)若∅A∩B且A∩C＝∅，求a的值；(3)若A∩B＝A∩C≠∅，求a的值．6．已知集合A＝{x| ax2+2x+1＝0，a∈R，x∈R}．(1) 若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；(2) 若A中至多有一个元素，求a的取值范围．1.2 充要条件一、考纲要求：理解推出、充分条件、必要条件和充要条件．二、知识要点：在数学学习和日常语言中，我们经常会遇到“如果p那么q”形式的命题，其中有的命题为证明题，有的命题为假命题，例如下列两个命题：(1)设x，y∈R，如果x＝—y，那么x2＝y2．(2)设a，b∈R，如果ab＝0，那么a＝0．显然命题(1)为真命题，命题(2)为假命题．1．一般地，“如果p那么q”为真命题，是指由p通过推理得出q，记作“p⇒q”，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件；命题(1)是真命题，那么x＝—y⇒x2＝y2，所有说“x＝—y”，是“x2＝y2”的充分条件，“x2＝y2”，是“x＝—y”的必要条件．2．一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作“q⇔p”，此时我们就说，p是q的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．注意：∈如果p ，则q (真命题)；p ⇒q ；p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件．这四句话表述的是同一逻辑关系．∈p ⇔q ；p 是q 的充要条件；q 当且仅当p ；p 与q 等价．这四句话表述的是同一逻辑关系． 三、典型例题：例1：已知a ，b 都是实数，则“a 2＞b 2”，是“a ＞b ”的( )A ．充分不必要条件B ．.必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 变式训练设x ，y 是实数，则“x 2＝y 2”的充要条件是( )A ．x ＝yB ．x ＝—yC ．x 3＝y 3D ．| x |＝| y |四、归纳小结：1．命题联结词中，“非p ”形式复合命题的真假与p 的真假相反；“p 且q ”形式复合命题当p 与q 同时为真时为真，其它情况时为假；“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同时为假时为假，其它情况时为真．2．符号“⇒”叫作推断符号，符号“⇔”叫作等价符号． 五、仿真训练：1．在下列命题中，是真命题的是( )A ．x ＞y 和|x |＞|y |互为充要条件B ．x ＞y 和x 2＞y 2互为充要条件C ．a 2＞b 2 (b ≠0)和2211b a >互为充要条件 D ．b a 4131-<-和4a ＞3b 互为充要条件 2．“a ＜b ＜0”是“ba 11>”成立的( )A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分又不必要条件3．“A∩B＝A”是“A＝B”的( )A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分又不必要条件4．甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，则丁是甲的( ) A．充分条件B．.必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件。