中考中作图题的解法分析
一道中考尺规作图题的一题多解及探究
2020年第6期故学敉学6-19一道中考尺规作图题的一题多解及探究孙喜军(山东省武城县第二中学，山东德州253300)1试题及出处本题来源于山东省德州市2019年初中学 业水平考试数学试题第22题.例题如图1，乙BPZ ) = 120。
，点冬C 分别在射线、PZ )上，乙/M C = 30。
，= 2万.BAP图1(1) 用尺规在图中作一段劣弧，使得它在4、C 两点分别与射线P B 和PZ >相切.要求：写出作法，并保留作图痕迹；(2) 根据（1)的作法,结合已有条件，请写 出已知和求证，并证明；(3) 求所得的劣弧与线段P /l 、P C 围成的 封闭图形的面积.解（参考答案）：（1)如图2,过点4、C 分 别作P B 、的垂线，它们相交于点0，然后以点0为圆心以的长为半径作即可•(2)已知：如图2, 尸D = 120。
，点4、C分别在射线P B 、上，乙/M C = 30。
，/IC =2万，过点4、C 分别作P S 、P D 的垂线，它们相 交于点〇,以似为半径作〇〇.求证：洲、P C 为〇0的切线.证明：因为乙= 120。
，乙= 30。
，所以乙P C 4 = 30。
，P/l =P C .连结O P ，因为丄P /l ，O C 丄P C ,所以 乙P /10 =乙P C O = 90。
，又因为O P = 0/5,所以 R t A P ^O ^ R t A P C O , tX 〇A = 〇C , P B ^P C 为O 0的切线•(3)因为乙(X 4C = ZOC/l = 90。
- 30。
= 60。
,所以A 04C 为等边三角形，因而04=/lC =2W ,乙40C = 60。
.又因为O P 平分乙4P C ，所/T 以乙/IPO = 60。
，A P = x 2# = 2.因此，劣弧与线段/M 、P C 围成的封闭图形的面积= ^r a a iJ B A P c o - ^^a 〇c = 2x — x 273x 2-60 • -tt • (2V 3)2360=473 - 2tt .2试题评价本题是一道综合性比较强的题目，涉及到 的考点内容主要有尺规作图、直线和圆的位置 关系、切线的判定与性质、扇形面积等.直尺、 圆规是学生作图常用的基本工具，尺规作图也 是基本技能操作之一，但更高的要求是要理解 操作的依据,会利用依据进行严谨地证明.本 题考查的就是技能中所蕴含的数学原理，并对 原理进行应用.由于本题第一小题的作法会有 不同，第二小题的已知条件也会不同，因此证明过程也会不同.本题还注重了对基础知识和 基本活动经验的考查.对于基础知识，主要考 查对知识的理解和应用，又考查了知识的生成 过程以及知识之间的内在联系.对于基本活动 经验，考查的是在阅读、观察、实验、计算、推理 验证等活动过程中所积累的学习与应用基础 知识、基本技能、基本思想方法的经验和思维6-20故爹故学2020年第6期的经验，另外本题还注重了解法的多样性和几 种不同解法效率的差异性.3试题多解、优解挖掘本题第一小题考查了尺规作图和复杂作 图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行 的作图，一般结合几何图形的性质和基本作图 方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图 形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作 图拆解成几个基本作图，逐步操作.尺规作图题目近年来在各地中考中呈现 出越来越热的考查趋势,人教版初中数学教材 上涉及到的基本尺规作图有五种：①作一条线 段等于已知线段;②作已知角的平分线;③作 线段的垂直平分线;④作一个角等于已知角；⑤过一点（点在直线上或直线外）作已知直线 的垂线.本题是一道开放性比较强的题目，作 图方法不唯一，综合起来主要用到以下几条线 中的两条或多条：①过点4作f l/5的垂线；②过点C作D P的垂线;③作线段/1C的垂直平 分线;④作的平分线.本题最简洁、直观的作法是：分别以点4、C为圆心，以线段4C的长为半径画弧,两弧在 乙BPZ)的内部相交于点0;然后以点0为圆 心，以ft4的长为半径画劣弧即为所求.但是这种作法相对比较隐蔽，不容易归纳发现. 在实际教学中我们可以做这样的试探性教学，先让学生在练习本上画出符合条件的〇〇,然 后由〇〇反过来找它满足的条件，进而归纳总 结出怎么作图才能满足这个条件.首先，由上 图可知〇0切S P于点〇0切£»P于点C，因为04丄Pfi，O C丄PZ)，可通过点4作仙的垂线，过点C作的垂线交于点0,然后以0 为圆心，为半径画劣弧，这是最容易归纳得 出的作法，即参考答案的作法.进一步探究，因为A M C为等腰三角形，乙= 30°, ZfiPD = 120。
中考二轮复习专题分类中考数学作图型试题精讲
中考二轮复习——专题分类专题一、作图型试题例1、无锡已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.1将图1中的格点△ABC,先向右平移3个单位,再向上平移2个单位,得到△A 1B 1C 1,请你在图1中画出△A 1B 1C 1.2在图2中画出一个与格点△DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形. 知识点：考查学生平移变换,利用勾股定理进行三角形的有关计算,全等及相似三角形的判定; 精析：本题关键是计算出△ABC的三边的长度,然后找一个不等于1的相似比,比如相似比为2,计算出△DEF 三边长或计算出一边长后,利用平移得出△DEF;准确答案．1 2答案不唯一.中考对该知识点的要求：,点阵中对称点对称图形问题及利用格点进行面积计算已经成为最近几年中考试题的考点问题;目标达成：1－1－1、太原在4×4的正方形网格中,每个小方形的边长都是1;线段AB 和CD 分别是图1－1中1×3的两个矩形的对角线,显然AB ∥CD;请你用类似的方法画出过点E 且垂直于AB 的直线,并证明;1－1－2、连云港如图1－2,在55 的正方形网格中, 每个小正方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画 出图形．图2F D E A B C 图1 A BC 图1A 1B 1C 1 图2F D EGF E D C BA图1－1－1（1） 从点A 出发的一条线段AB ,使它的另一个端点落在格点即小正方形的顶点上,且长度为22； 2以1中的AB 为边的一个等腰三角形ABC , 使点C 在格点上,且另两边的长都是无理数；3以1中的AB 为边的两个凸多边形,使它们都是中心对 称图形且不全等,其顶点都在格点上,各边长都是无理数． 1－1－3、宿迁如图1－3,方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图一中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”．1求图一中四边形ABCD 的面积；2在图二方格纸中画一个格点三角形EFG ,使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形．图一 图二 1－1－4、潍坊如图,ABC ∆等的一个格点三角形．1－1－5ABCD.1画出1B 1C 1D 1使 1B 1C 1D 1与 2画出 A 2B 2C 2D 2,A 2B 2C 2D 2与3 A 1B 1C 1D 1与A 2B 2C 2D 2是对称图形吗若是,请在图上画出对称轴或对称中心图1－1－2图1－3 DCBAB例2、河南课改有一块梯形状的土地,现要平均分给两个农户种植即将梯形的面积两等分,试设计两种方案平分方案画在备用图上,并给予合理的解释;知识点：考查有关图形的面积计算问题;精析：一般对于简单的图形可直观的进行分割,而对于稍复杂的题目,是通过计算或是转化为三角形问题来解决的;准确答案：设梯形上、下底分别为a 、b,高为h;方案一：如图1,连结梯形上、下底的中点E 、F,则S 四边形ABFE ＝S 四边形EFCD ＝错误!方案二：如图2,分别量出梯形上、下底a 、b 的长,在下底BC 上截取BE ＝错误!a ＋b,连接AE,则S △ABE ＝S 四边形AECD ＝错误!;方案三：如图3,连结AC,取AC 的中点E,连结BE 、ED,则图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积的一半;分析此方案可知,∵AE ＝EC,∴S △AEB ＝S △EBC ,S △AED ＝S △ECD , ∴S △AEB ＋S △AED ＝S △EBC ＋S △ECD ,∴图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积的一半中考对该知识点的要求：对于图形分割,是历年来各省市的中考试题的一个考点也是难点之一;它要求学生除了考查学生的基础知识外,还能较好的考查学生的观察、分析、创新能力;目标达成1－2－1.贵阳在一次数学实践探究活动中,小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等；（1） 根据小强的分割方法,你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线 有 组；A B C DE F 图1A B C D E 图 2A B CD E 图 3ABCDABCDDCBAA B CD 备用图⑴ABCD备用图⑵图1－1－5图1－2－12请在图1－2－1的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线； 3由上述实验操作过程,你发现所画的饿两条直线有什么规律1－2－2.梅州如图5,Rt ΔABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,用圆规和直尺作图,用两种方法把它分成两个三角形,且要求其中一个三角形的等腰三角形;保留作图痕迹,不要求写作法和证明1－2－3.黄冈蓝天希望学校正准备建一个多媒体教室,计划做长120cm,宽30cm 的长条形桌面;现只有长80cm,宽45cm 的木板,请你为该校设计不同的拼接方案,使拼出来的桌面符合要求;只要求画出裁剪、拼接图形,并标上尺寸,设计出一种得5分,设计出两种再加1分1－2－4. 临沂小芸在为班级办黑板报时遇到了一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形,保留作图痕迹,并简要写出作法．A B1－2－5. 2005年 佛山学校有一块如图所示的扇形空地,请你把它平均分成两部分．要求：用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不用证明．能力提高：A B C A B C 图1－2－2 80cm 45cm 80cm 45cm1－1.常州如图,有一木制圆形脸谱工艺品,H 、T 两点为脸谱的耳朵,打算在工艺品反面两耳连线中点D 处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板斜边大于工艺品的直径,请你用两种不同的方法确定点D 的位置画出图形表示,并且分别说明理由．1－2、武汉．用四块如图1所示的瓷砖拼成一个正方形图案,使拼成的图案成一个轴对称图形如图2,请你分别在图3、图4中各画一种与图2不同的拼法,要求两种拼法各不相同,且其中至少有一个图形既是中心对称图形,又是轴对称图形;1－3锦州如图,己知四边形ABCD,用尺规将它放大,使放大前后的图形对应线段的比为1：2.不写作法,但保留作图痕迹1－4.青岛某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛; 1若要使花坛面积最大,请你在这块公共区域如图内确定圆形花坛的圆心P ； 2若这个等边三角形的边长为18米,请计算出花坛的面积;AB C1－5．上海1在图3所示编号为①、②、③、④的四个三角形中,关于y 轴对称的两个三角形的编号为 ；关于坐标原点O 对称的两个三角形的编号为 ； 2在图4中,画出与△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1A BDC1－6．苏州如图,平行四边形纸条ABCD 中,E 、F 分别是边AD 、BC的中点;张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形ABEF 沿EF 翻折,得到一个V 字形图案;1请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A 1B 1FE ； 用尺规作图,不写画法,保留作图痕迹 2已知∠A=63°,求∠B 1FC 的大小;1－7．温州小明家用瓷砖装修卫生间,还有一块墙角面未完工如图甲所示,他想在现有的六块瓷砖余料中如图乙所示挑选2块或3块余料进行铺设,请你帮小明设计两种不同的铺设方案在下面图丙、图丁中画出铺设示意图,并标出所选用每块余料的编号;1-8.盐城已知：如图,现有的正方形和的矫形纸片若干块,试选用这些纸片每种至少用一次在下面的虚线方框中拼成一个矫形每两个纸片之间既不重叠,也无空隙,批出的图中必须保留拼图的痕迹,使批出的矫形面积为,并标出此矫形的长和宽;1－9.茂名一条小船,（1） 若把小船平移,使点A 平移到点B,请你在图中画出平移后的小船；（2） 若该小船先从点A 航行到达岸边L 的点P 处补给后,再航行到点B,但要求航程最短, 试在图中画出点P 的位置a b1－10.丽水某公园有一个边长为4米的正三角形花坛,三角形的顶点A 、B 、C 上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛,要求三棵古树不能移动,且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限． 1按圆形设计,利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；2按平行四边形设计,利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图； 3若想新建的花坛面积较大,选择以上哪一种方案合适请说明理由1－11. 曲沃－阳城在下面方格纸中设计一个对称图案,在这个图案中必须用到等腰三角形、正方形、圆三种基本图形;1－12、曲沃－阳城下面是天都市三个旅游景点的平面图,请你选用适当的方式借助刻度尺、量角器等基本作图工具,确定出三个景点的位置;图1 图2 A B C A B C1－13、深圳南山区平移方格纸中的图形如图13,使A 点平移到A ′点处,画出平移后的图形,并写上一句贴切、诙谐的解说词．解说词：一、作图型试题答案1－1－1.1－1－2.天都市旅游景点示意图 •碑林 •博物馆 •动物园 北 比例尺 0 5 10千米A · ·A ′ C'BACD 6C 6D 5C 5D 4C 4C 2D 1D 3C 3D 2C 1BA 第2题答图1 第2题答图21－1－3. 1方法一：S ＝12×6×4 ＝12方法二：S ＝4×6－12×2×1－12×4×1－12×3×4－12×2×3＝122只要画出一种即可1－1－4. 只画出一个符合题意的三角形即可.1－1－5. 1如图,平行四边形A 1B 1C 1D 1,就是所求的平行四边形. -2如图,平行四边形A 2B 2C 2D 2,就是所求的平行四边形. 3是轴对称图形,对称轴是直线EF.1－2－1.1无数；2只要两条直线都过对角线的交点就给满分；3这两条直线过平行四边形的对称中心或对角线的交点； 1－2－2. 解：作法一：作AB 边上的中线； 作法二：作∠CBA 的平分线；作法三：在CA 上取一点D,使CD=CB;1－2－3.D 2C 2C 1D,D 1C O FEN M A 2A 1A B B 1B 2A B C DAB C DABC D1－2－4. 作法：1作AB 的垂直平分线CD 交AB 于点O ； 2分别以A 、B 为圆心,以AO 或BO 的长为半径画弧,分别交半圆干点M 、N ；3连结OM 、ON 即可．1－2－5. 解法一：1以O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA 、OB 于C 、D 两点；2分别以C 、D 为圆心,大于CD 21的长为半径画弧,两弧交于E 点不与O 点重合；注：也可直接以A 、B 为圆心作图． 3射线OE 交弧AB 于F ； 则线段OF 将扇形AOB 二等分; 解法二：1连接AB ； 2分别以A 、B 为圆心,大于AB 21的长为半径画弧,两弧交于C 点不与O 点重合； 3连接OC 交弧AB 于D 点；则线段OD 将扇形AOB 二等分．能力提高：1－1③②①D LHTO反面D LH T O 反面反面OTHLC EFG D方法一：如图①,画TH 的垂线L 交TH 于D,则点D 就是TH 的中点;依据是垂径定理;方法二：如图②,分别过点T 、H 画HC ⊥TO,TE ⊥HO,HC 与TE 相交于点F,过点O 、F 画直线L 交HT 于点D,则点D 就是HT 的中点;由画图知,Rt △HOC ≌Rt △TOE,易得HF=TF,又OH=OT所以点O 、F 在HT 的中垂线上,所以HD=TD 方法三：如图③,原理同方法二 1－2、1－3.可按位似图形放大,且位似中心的位置可在图形顶点处、图形边上、图形内部、图形外部,在每一处都会有两种图形,因此,此题属开放试题,仅举示例供参考：1-4.12如图，中，米，Rt BOD BD OBD ∆=∠=︒930 ∴︒=tan30ODBD∴=⋅︒=⨯=OD BD tan 3093333 ∴⋅=花坛面积为：（米）ππ()3327221－5.1 ①、②； ①、③. 2如图1－6. 1作图如图；D 1 DC 1C B 1BA D D 1CC 1B 1BAAOB D C20000636318054ABFE EFB A A B EF ABEF B FE EFB B FC B FE EFB ∴∠=∠='''∴∠=∠=''∴∠=-∠-∠=是平行四边形，是由翻折得到的，。
2023年中考数学复习第一部分考点梳理第七章图形变换第1节尺规作图
第七章图形变换7.1尺规作图1.(2021·长春)在△ABC中,∠BAC=90°,AB≠AC.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D,使△ACD 为等腰三角形.下列作法不正确的是(A)AB的长为半径画弧,两弧交2.(2021·湖南益阳)如图,在△ABC中,AC>BC,分别以点A,B为圆心,以大于12于点D,E,经过点D,E作直线分别交AB,AC于点M,N,连接BN.下列结论正确的是(B)A.AN=NCB.AN=BNBC D.BN平分∠ABCC.MN=123.如图,OG平分∠MON,A,B是射线OM,ON上的点,连接AB.按以下步骤作图:①以点B为圆心,任意长为半CD长为半径作弧,两弧相交于点径作弧,交AB于点C,交BN于点D;②分别以点C和点D为圆心,大于12E;③作射线BE,交OG于点P.若∠ABN=140°,∠MON=50°,则∠OPB的度数为(B)A.35°B.45°C.55°D.65°4.(2022·北京)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),点B在y轴正半轴上,以点B为圆心,BA 长为半径作弧,交x轴正半轴于点C,则点C的坐标为(2,0).第4题图第5题图AC的长5.(2022·江苏苏州)如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,分别以A,C为圆心,大于12为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线,与BC交于点E,与AD交于点F,连接AE,CF,则四边形AECF的周长为10.6.(2021·黑龙江绥化)(1)如图,已知△ABC,P为边AB上一点,请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E,使AE+EP=AC;(保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,若AC=6 cm,AP=3 cm,则△APE的周长是9cm.解:(1)如图所示,点E即为所求.7.(2021·湖北鄂州)如图,∠AOB=40°,按下列步骤作图:①在OA边取一点D,以点O为圆心,OD长为半径画MN,交OB于点C,连接CD;②以点D为圆心,DO长为半径画GH,交OB于点E,连接DE.则∠CDE的度数为(B)A.20°B.30°C.40°D.50°【解析】由作法得OD=OC,DO=DE,∴∠OCD=∠ODC=1(180°-∠COD)=70°,∠DEO=∠DOE=40°,∴∠CDE=2∠OCD-∠DEO=30°.8.[一题多解]如图,在平面直角坐标系中,△ABC为等腰直角三角形,已知点A(-√2-1,0),B(0,√2+1).根据作图痕迹,可知点E的坐标为(C)A.(1,1)B.(√2,4-2√2)C.(1,√2)D.(√2+1,2√2-2)【解析】过点E作EH⊥AC于点H.解法1:由作图痕迹知,AE是∠CAB的平分线.又∵△ABC为等腰直角三角形,∴EH=EB,AB=AH,△CEH为等腰直角三角形,∴EH=CH.由题知OA=OB=OC=√2+1,∴AH=AB=2+√2,∴OH=AH-OA=1,∴EH=CH=OC-OH=√2,∴点E的坐标为(1,√2).解法2:易得AB=BC=2+√2,△CEH为等腰直角三角形,EB=EH.设EH=x,可得CE=2+√2-x=√2EH=√2x,解得x=√2,∴OH=OC-CH=1,∴点E的坐标为(1,√2).过点E作EH⊥AC于点H.解法1:由AB=AH,得出CH的值,即可求解;解法2:由△CEH为等腰直角三角形,CE=√2EH=√2BE,即可求解.9.(2022·浙江绍兴)如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交射线BA于点D,连接CD,则∠BCD的度数是10°或100°.【解析】在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,∴∠ACB=60°.分两种情况:①当点D在线段BA上时,由作图可知AC=AD,∴∠ACD=∠ADC=1×(180°-80°)=50°,∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=10°;②当点D在射线2BA 上时,由作图可知AC =AD ,∴∠ACD =∠ADC =40°,∴∠BCD =∠BCA +∠ACD =100°.综上所述,∠BCD 的度数是10°或100°.10.如图,四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形,点D ,G 分别在AB ,AC 上,点E ,F 在BC 上. (1)用尺规作出△ABC 的高线AH ;(保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,若正方形DEFG 的边长为8,BC =18,求AH 的长.解:(1)如图所示,AH 即为所求.(2)设AH 交DG 于点K.∵四边形DEFG 是正方形,∴DG ∥EF , ∴△ADG ∽△ABC ,∴AK AH =DGBC . ∵BC =18,DG =DE =8, ∴AH−8AH =818,∴AH =725.。
中考专题复习：解直角三角形,正方形网格中直角三角形解法归纳
正方形网格中直角三角形解法归纳三角函数是整个初中很重要的一个知识点，题型很多，特别是与正方形网格结合的综合性题目，经常考到，所以今天整理了4个类型的题型分享给大家，掌握这几种题型，轻松得高分。
一、三角形的边与网格边重合在正方形网格中，每个正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上，求sinA。
这是最基础的求三角函数的题型。
根据题意可以直接得出AB=3，BC=3，根据勾股定理可以得出AC=√（9+9）=3√2，所以sinA=3/3√2=√2/2；也可以利用等腰直角三角形直接得出答案。
二、三角形的边不在网格上同样的题型，点A、B、C都在格点上，求sinA。
这个题型需要先确定三角形ABC是不是直角三解形。
解题思路：先在RTAEB、RTCFB、RTADC中利用勾股定理把AB、BC、AC 求出来。
AB=2√2，BC=3√2，AC=√26，三条边满足勾股定理，所以这是一个直角三角形。
sinA=BC/AC=3√2/√26=√117/13。
不知道求AB、BC、AC的同学，要把三条边分别放在直角三角形中求。
正方形网格中所有在格点上的线段，都是可以构成直角三角形求出来的。
三、三边不在网格上也不是直角三角形在相同的已知条件下求sinC。
这种题型是三角形三边不在网格上，也不是直角三角形的类型。
一般要通过作图（要求：把要求的角放在直角三角形中），构成一个直角三角形。
然后利用端点在格点上的边都可以求出，这一性质，列出一个面积相等的式子求出BD，最后求sinC。
解题思路：过点B作BD⊥AC，根据同一个三角形的面积相同得出等式：1/2(2AB)=1/2(AC×DB)即3=1/2(2√5×DB)，BD=3√5/5，在RTCBD中sinC=BD/BC=（3√5/5）/√5=3/5。
四、求不在同一直角三角形中两个角的正弦值相同的条件求sin(+)因为∠和∠不在同一个三角形中，所以要通过作图让它们在一起，而且必须是在直角三角形中，这样才能求sin(+)。
一个不可及点作图问题的解法分析
一个不可及点作图问题的解法分析430022 武汉第一初级中学 程 强 所谓不可及点作图问题,是指在作图时,规定作图工具不可直接接触某个点.解决这类问题除了需要掌握尺规作图的基本技能外,还要求对问题的本质有更深层的认识,或者对相关知识有更丰富的联想.问题 如图1,两条直线a ,b 相交于X ,点X 为不可及点,要求作直线MN ,使MN 平分∠X.图1点X 不可及,常规的平分已知角的方法不可直接用,需运用其它知识迂回操作,由于问题没有更多的条件可依,需要我们有足够的构造能力.本文从四个方面对该问题解法作出探讨.1 抓住“到两边距离相等的点在角的平分线上”这一结论,寻找角的平分线上的两个点图2解法1 如图2,将直线a ,b 分别相同相向平移相同的距离,在可及的平面内分别得到两个交点M ,N ,则直线MN 即为所求.事实上,由作图知,点M ,N 分别到直线a ,b 的距离相等,所以点M ,N 在∠X 的平分线上.图3解法2 如图3,将直线a ,b 相向平移相同的距离,在可及的平面内相交于点M ,作∠M 的平分线MN.2 联想到等腰三角形底边上的中线、高与顶角的角平分线重合,设法构造等腰三角形解法3 如图4,在直线b 上取一点A ,过点A 作AB ∥a ,分别在直线AB 和b 上点A 的同侧截取AD ,AC ,使AD =AC ,连结CD 并延长与直线a 交于点E ,则△XCE 为等腰三角形,作CE 的垂直平分线MN 为所求.∵AB ∥a ,∴∠XEC =∠ADC ,又∵AD =AC ,∴∠ADC =∠ACD (或∠XCD ),∠XEC =∠XCD.∴XE =XC.解法4 如图5,在直线a 上取一点A ,过点A 作AB⊥a 交直线b 于点B ,过点B 作BC ⊥b ,交直线a 于点C ,作∠ABC 的平分线交直线a 于点E ,则△XBE 为等腰三角形,作BE 的垂直平分线MN 为所求.图4 图5∵AB ⊥a ,∴∠ACB +∠ABC =90°.∵BC ⊥b ,∴∠ABX +∠ABC =90°.∴∠ABX =∠ACB.∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE =∠CBE.∴∠ABX +∠ABE =∠ACB +∠CBE.∴∠XBE =∠XEB.∴XB =XE.解法5 解法4可以有更一般的解法,作∠XAB =∠XBC ,其它作法不变.图6解法6 如图6,在直线a 上取一点A ,过点A 作直线AD ∥直线b ,作∠XAD 的平分线交直线b 于点B ,则△XAB 为等腰三角形,作AB 的垂直平分线MN 为所求.∵AD ∥b ,∴∠DAB =∠XBA.而∠DAB =∠XAB ,∴∠XAB =∠XBA.此法运用了平行线,角平分线,等腰三角形组合的基本形,构图简洁,操作方便.图7解法7 如图7,在直线a 上任取一点A ,过A 作AB ⊥直线b ,垂足为B ,平移直线a 到直线c ,使a ,c 之间的距离等于AB ,直线b ,c 相交于点C ,过点C 作CD ⊥直线a ,垂足为D ,连结DB ,则△XBD 为等腰三角形,作DB 的垂直平分线MN 为所求.(下转第31页). All Rights Reserved.的题正好逆过来,要求由正方形变成矩形,逆向思维.难点是求“xy ”的值,方法是建立一个关于x ,y 的方程,可以根据拼图前后的面积相等或拼接后的图形性质利用相似三角形的性质分别建立一个一元二次方程或分式方程,实现几何知识向代数知识的转化.通过解方程求出“xy”的值.解方程的过程又体现了转化思想,将整式方程转化为关于“xy”的一元二次方程求解.解 (1)图2 (2)法1 由拼图前后的面积相等得:[(x +y )+y ]y =(x +y )2因为y ≠0,整理得(x y )2+xy-1=0解得x y负值不合题意,舍去)法2 由拼成的矩形可知:x +y(x +y )+y =x y,以下解题过程同解法1.点评 新课标下的数学教学讲究数形结合,而构造方程思想在解题中起着极大的作用.解决这类问题的方法是:借助图形的直观,充分挖掘条件和结论中隐含的数量关系,列出方程(组),进而解决几何问题.(收稿日期:20090930)(上接第27页)此法旨在构造△XAB 和△XCD 全等.这种图形经常出现在中学生的习题中.解法8 如图8,在直线a 上取一点A ,过点A 作直线AC ∥b ,在直线b 上取一点B ,过点B 作直线BC ∥a ,AC ,BC 相交于点C ,在CA ,CB 上截取CD =CE ,连结DE 交直线a 于点F ,交直线b 于G ,则△XGF 为等腰三角形,作FG 的的垂直平分线MN 为所求.图8图8中△ADF ,△BEG 中有两对相等的角,∠ADF =∠BEG ,∠DAF =∠EBG ,从而∠AFD =∠BGE.此法由对称立意,构思巧妙.3 运用对称变换将不可及点转化为可及点解法9 如图9,运用轴对称变换,在直线a 上任取一点A ,过点A 作AB 垂直直线b 于点B ,作直线a 关于AB 的对称直线c 交直线b 于点C ,作∠ACB 的平分线交AB 于点D ,作CD 关于AB 的对称直线MN 为所求.图9 图10解法10 如图10,运用中心对称变换,在直线a 上任取一点A ,过点A 作AB 垂直直线b 于点B ,作直线a 关于点B 的对称直线c 交直线b 于点D ,交直线AB 于点C ,作∠CDB 的平分线交AB 于点E ,作ED 关于点B 的对称直线MN 交AB 于F ,MN 为所求.以上两种解法虽然操作比较麻烦,但运用对称变换将不可及点转化为可及点,在对称图形中解决问题后再对称到原图中,这种转化的思想实际上为这类问题提供了一种通法.4 联想到三角形的内心和旁心的性质,构造内心或旁心解法11 任作两条直线分别与直线a ,直线b 交于点A ,点B ,点C ,点D ,作直线AB 截直线a ,b 所得的同旁内角的平分线相交于点N ,作直线CD 截直线a ,b 所得的同旁内角的平分线相交于点M ,作直线MN 为所求.解法12 任作一条直线分别与直线a ,直线b 交于点A ,点B ,作直线AB 截直线a ,b 所得的同旁内角的平分线相交于点N ,点M ,作直线MN 为所求.这两种解法源于同一知识,三角形的内心和旁心,是众多解法中较简洁的一种.众多的解法展现了此题强大的张力,如果我们的学生能静下心来探究一些此类问题,他们的思维将得到很好的训练.这就需要我们一线的教师减少学生的作业量,给学生提供探究的时间.(收稿日期:20091021). All Rights Reserved.。
探索型中考作图题的类型及解法
图 ｌ
的长 为半 径画 弧交 轴 于 Ｐ． Ｐ２ 则 Ｐ 、 、 ， Ｐ：符 合 条 件 ． 两点 坐标 分别 为 Ｐｌ １ ３， ） Ｐ２ １ √３ ０ ． 这 （ 一√ ０ 、 （ ＋ ， ）
仿上 分析 可知 符 合条 件 的 点共 有 九 个 ， 余 各 点 坐 其
合运 用几 何知 识能 力和 开放 、 探索 意识 的功 能 ， 近 在 几年 的 中考 中屡 有 出现 ．现 从 中 采 撷 数 例 ， 析 其１ 探 索符合 条件 的点
例 ｌ （ ０ １年 徐 州 市 中 考 题 ） 正 方 形 ＡＢ Ｄ ２０ ： Ｃ
标 分 别为 （ ｌ±√ ０ ，０ １±√３ ，０ 一 ｌ±√ ） 一 ３， ） （ ， ）（， ３． 评 注 解 这类 题 容易受 思维 定 势 的影响 ， 成 造 以下 三类错 误 ．一 是误 认为 这种 三 角形 只是 以 正方 形的边 为底 边 ， 而造 成失 解 ； 从 二是 较 易找 到钝 角 三 角形 Ｐ ＡＤ， 而 忽略 锐角 Ａ Ｐ． Ｄ； ２ 从 Ａ 三是 在 求 点 Ｐ
图 ３
维普资讯
《 中学 数学 杂志 》 初 中） ２ ０ （ ０ ２年 第 ２期
若 考 虑 ６ 。一４ 。： １。 还 可 得 到很 多 构 成 方 ０ ５ ５，
法 ．略
３ ５
评 注 三角 板 是 常 见 的 作 图工 具 ．从 学 生 熟 悉 的背 景 中抽 象 出数学 作 图题 ， 对 于 培 养学 生 的 这 动手操 作 能力 ， 数 学 的 意识 和学 习数 学 的 兴 趣 是 用
在平 面直 角坐 标 系中的 位置 如 图 ｌ所 示 ．在 平 面 内 找 点 Ｐ， △ 使 、＇ ／ ＡＰ Ｄ、， Ｄ 同 时 为 ￣ Ｐ３ ， Ｃ、 Ｃ ｚ Ｐ Ａ ，
一道中考网格作图题多样性解法的探究与思考
一道中考网格作图题多样性解法的探究与思考作者：许柱周斌来源：《中学数学杂志(初中版)》2022年第06期【摘要】义务教育课程标准（2022年版）的变化之一，增加了学业质量标准和考试命题建议，明确提出了素养立意的命题原则.文章通过对2022年江苏省宿迁市中考第27题网格作图题多样性解法的探究，谈谈对以核心素养为导向的考试命题的思考.【关键词】网格作图；多样性；数学素养网格是义务教育阶段研究“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”的工具.教学从能用直尺或三角板在网格中画平行线、垂线，到借助网格探究平移、旋转和轴对称等图形变换特征以及研究函数的图象和性质，让学生积累丰富的活动经验，掌握相应的基本技能.为此，以网格作图为背景的考试命题成为了近几年的新方向.网格作图的要求是：只使用无刻度直尺，利用格点来作图.本文通过对2022年江苏省宿迁市中考第27题网格作图题多样性解法的探究，谈谈对以核心素养为导向的考试命题的思考.1 试题呈现（2022年江苏省宿迁市第27题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D，M均为格点.【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图1的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB，CD，相交于点P，并给出部分说理过程.请你补充完整：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAC=12，在Rt△CDE中，，所以tan∠BAC=tan∠DCE，所以∠BAC=∠DCE.因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠ACP+∠BAC=90°，所以∠APC=90°，即AB⊥CD.【拓展应用】（1）如图2是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，写出作法，并给出证明；（2）如图3是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P，使AM2=AP·AB，写出作法，不用证明.2 解法探究史宁中教授指出，“数学的结论往往是‘看’出来的.”［1］“看”需要凭借良好的直觉，而直觉需要活动经验的积累.网格作图是通过直接找格点或通过格点找间接的点，即借助无刻度的直尺作直线（线段）或直线（线段）与直线（线段）的交点来完成，故写作法时，要体现出网格中所取的格点.2.1 正确作法赏析对于【操作探究】：tan∠DCE=DECE=12.对于【拓展应用】（1）：方法一构造垂线弗莱登塔尔指出，“学习数学唯一正确的方法就是‘再创造’.”“再创造”是将“操作探究”中所隐藏的新知识、新技能及数学方法等内容，通过阅读去发现或创造出来.“拓展应用”中“在BM 上找出一点P，使PM=AM”，所用到的知识是垂径定理（过点A作半径OM的垂线）；方法是从“操作探究”中的体验获得的“用无刻度的直尺画两条互相垂直的线段”知识技能迁移得出较为直接的（1）问思路1.思路1：如图4，在网格中取格点C，连接AC并延长交圆O于点P（也可取格点G，连接AG或CG交圆O于点P）.方法二构造平行线网格中线段之间存在特殊的位置关系（平行和垂直），故基于原有的知识经验，过由若干个相邻方格组成的矩形的对角线所作的直线（线段），与按相同的方式作出的另一条直线（线段）互为平行线，再利用两直线平行，同位角相等以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进而得出（1）问思路2.思路2：如图5，在网格中取格点C，连接BC并延长交圆O于点P（也可取网格右下角格点H，连接HB或HC并延长交圆O于点P）.方法三构造垂直平分线网格中亦可以作出特殊的四边形（菱形、正方形），因此，可以利用特殊四边形的对角线互相垂直平分，推得角相等，进而得出（1）问的思路3，4，5等.思路3：如图6，在网格中取格点F，E，Q，连接MQ，作射线EF交MQ于点N，作射线ON交圆O于点P.思路4：如图7，在网格中取格点N，C，E，连接EN，MB相交于点Q，連接CQ并延长交圆O于点P.思路5：如图8，在网格中取格点G，N，C，E，F，连接EF，GN相交于点D，作射线OD交圆O于点P.方法四构造相似三角形题目条件中所给的点A，B，M均为格点，因此△ABM为格点三角形.因为AB为直径，则△ABM是边长之比为1∶2∶5的格点直角三角形.为此，我们可以构造两直角边比为1∶2的直角三角形得出（1）问中的思路6，7，8，9，10等.思路6：如图9，在网格中取格点E，F，连接EF并延长交圆O于点P.思路7：如图10，在网格中取格点C，连接AC并延长交圆O于点P（类似思路1，证明方法不同）.思路8：如图11，在网格中取格点F，C，连接CF交圆O于点P（也可以取D，E，连接CD，CE，DE，DF，EF或延长可得点P），这里通过两点控制变量，有6种方法得出点P.思路9：如图12，在网格中取格点D，C，连接CD交圆O于点P.思路10：（间接法）如图13，在网格中取格点E，N，C，D，连接BC交圆O于点Q，连接QO并延长交圆O于点P.方法五利用三角函数《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）对于三角函数知识要求为，利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值.由于学生提前了解高中相关三角函数的知识，故得出（1）中的思路11，12等.思路11：如图14，在网格中取格点E，F，C，连接MC，EF并延长交于点H，连接OH 交圆O于点P.简证：利用高中三角函数知識，求出∠AOM与∠MOP正切值都等于43，得出点P就是所求的点.思路12：如图15，在网格中取格点N，E，连接EN交MO于点Q，连接AQ并延长交圆O于点P.简证：这种作法需要利用高中知识作图，但证明既可以利用高中知识，也可以利用初中知识.由图直接得出tan∠AEN=43，用高中三角函数诱导公式，可得tan∠AOM=tan（∠EOM－∠EOA）=43.故∠AOM=∠AEN.由“同底同侧顶角相等的两个三角形，四点共圆”，得A，E，O，Q四点共圆，再利用“圆的内接四边形对角互补”，得出∠AQO=∠AEO=90°，根据垂径定理，可证明PM=AM.若利用初中知识证明，须以点O为坐标原点，以OE所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设E（－3，0）、N（1，3）、M（－1，3）、A（－3，1），可先求出直线yEN=34x+94，yOM=－3x，得点Q（－35，95），根据点A（－3，1），可求得yAQ=13x+2，所以kOM·kAQ=－1，所以OM⊥AQ，根据垂径定理可得PM=AM.对于【拓展应用】（2）：思路1：如图16，在网格中取格点D，连接MD交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（简证：连接OA，类比操作探究，可证OA⊥MD，求得∠AMP=∠ABM.）思路2：如图17，连接MO并延长交圆O于点E，在网格中取格点F，连接EF并延长交圆O于点Q，连接MQ交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（类似还可以在网格中取格点G，连接EG交圆O于点Q，连接MQ交AB于点P.）思路3：如图18，在网格中取格点D，连接BD并延长交圆O于点E，连接EM交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（可证格点△AMB≌△ADB，推出∠EBA=∠MBA，证得∠AME=∠MBA.）思路4：如图19，在网格中取格点D，连接MD交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（简证：证得两个阴影三角形相似，得∠AMD=∠MBA，类似（2）问思路1，证法不同.）思路5：如图20，在网格中取格点C，N，连接CN交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.也可以在网格中取格点C1，C2，C3，N1，连接任意两点（或延长）交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.2.2 典型错误剖析错解1：审题不清.拓展应用题（1）误作PM与PB相等.如图21，在网格中取格点C，连接OC并延长交圆O于点P.错解2：作近似点.如图22，在网格中取格点C，连接OC交圆O于点P.通过计算不难得出，点P是非常接近所求作的点.使用三角函数诱导公式可以求得tan∠AOM=3－131+3×13=43，tan∠MOC=tan（∠MON+∠EOC）=tan∠MON+tan∠EOC1－tan∠MON·tan∠EOC=13+341－13×34=139.因为tan∠AOM≠tan∠MOC，所以PM≠AM.错解3：增加网格.如图23，由于条件中所给定的网格不能够完成6×2矩形的构造，在自行添加的网格中取格点C，连接BC交圆O于点P（简证：连接AC，根据OM∥BC，得∠MOA=∠CBA）.尽管点P就是所求的点，但在自行添加网格的条件下找出的格点是“不守规矩”的作法.因题目所限定的作图工具为无刻度的直尺，故可以通过原图的格点构造网格外新的点，作出点P（如图24，利用格点M，C，E，D，作射线MC，ED）.3 素养表现课标（2022年版）总目标是：通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界［2］（以下简称“三会”）.2022年宿迁中考第27题考查学生在操作探究的基础上，借助网格中的格点，用无刻度的直尺作图，着重考查以下五个素养：（1）几何直观.拓展应用（1），在BM上找出一点P，使PM=AM，由于题目属于网格作图，只有利用网格中的格点才可以作出满足条件的图形.根据题目结论可知，若PM等于AM，必定有OM⊥AP.利用直尺可以直观的找到符合OM⊥AP且经过格点的点（思路1中的C，G）.试题的命制也充分考虑评价公平性，为防止学生答题过程中的无意识操作，利用“投机取巧”也可以做对，故题目要求写出作法，并给出证明.提出明确的答题指令，杜绝“无意识的操作”也能做对的现象，变为“有目标的思考”并表达.（2）模型观念.模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识.从“操作探究”到“拓展应用”，由指定任务出发，通过阅读理解、自主探究、解决问题，获得新知识、新方法.最后，利用“操作探究”所获得的数学模型来解决“拓展应用”这一类问题，模型观念重点考查学生体会和理解数学及数学应用的能力.（3）推理能力.一方面，中考试题命制要有区分度，在“操作探究”环节，因tan∠BAC=tan∠DCE且tan∠BAC=BCAC=12，故推理得出在Rt△CDE中，tan∠DCE=DECE=12.另一方面，网格作图和尺规作图类似，多运用逆向逻辑推理.如拓展应用（1），先把结论PM=AM看作条件，推理得出应该有的结论（OM⊥AP），进而利用“操作探究”中的思想、方法找出BM上符合条件的点P.（4）运算能力.运算能力是“三会”中学会用数学的思维思考现实世界的重要表现形式之一.操作探究环节，借助格点的特性，构造直角三角形，通过观察，计算相关三角函数值得出结论.特别是在拓展应用环节1，考生利用原有的知识经验（思路12），通过构造平面直角坐标系，计算证明格点P就是所求作的格点，尽管繁琐，但考查了学生用代数的方法推出几何结论的能力.拓展应用环节2，学生通过严谨的计算，若满足AM2=AP·AB，则AP=22.先算出数值，后定位置，故直接连接小正方形的对角线，确定点P位置.思路11：如图14，在网格中取格点E，F，C，连接MC，EF并延长交于点H，连接OH 交圆O于点P.简证：利用高中三角函数知识，求出∠AOM与∠MOP正切值都等于43，得出点P就是所求的点.思路12：如图15，在网格中取格点N，E，连接EN交MO于点Q，连接AQ并延长交圆O于点P.简证：这种作法需要利用高中知识作图，但证明既可以利用高中知识，也可以利用初中知识.由图直接得出tan∠AEN=43，用高中三角函数诱导公式，可得tan∠AOM=tan（∠EOM－∠EOA）=43.故∠AOM=∠AEN.由“同底同侧顶角相等的两个三角形，四点共圆”，得A，E，O，Q四点共圆，再利用“圆的内接四边形对角互补”，得出∠AQO=∠AEO=90°，根据垂径定理，可证明PM=AM.若利用初中知识证明，须以点O为坐标原点，以OE所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设E（－3，0）、N（1，3）、M（－1，3）、A（－3，1），可先求出直线yEN=34x+94，yOM=－3x，得点Q（－35，95），根据点A（－3，1），可求得yAQ=13x+2，所以kOM·kAQ=－1，所以OM⊥AQ，根据垂径定理可得PM=AM.对于【拓展应用】（2）：思路1：如图16，在网格中取格点D，连接MD交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（简证：连接OA，类比操作探究，可证OA⊥MD，求得∠AMP=∠ABM.）思路2：如图17，连接MO并延长交圆O于点E，在网格中取格点F，连接EF并延长交圆O于点Q，连接MQ交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（类似还可以在网格中取格點G，连接EG交圆O于点Q，连接MQ交AB于点P.）思路3：如图18，在网格中取格点D，连接BD并延长交圆O于点E，连接EM交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（可证格点△AMB≌△ADB，推出∠EBA=∠MBA，证得∠AME=∠MBA.）思路4：如图19，在网格中取格点D，连接MD交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（简证：证得两个阴影三角形相似，得∠AMD=∠MBA，类似（2）问思路1，证法不同.）思路5：如图20，在网格中取格点C，N，连接CN交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.也可以在网格中取格点C1，C2，C3，N1，连接任意两点（或延长）交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.2.2 典型错误剖析错解1：审题不清.拓展应用题（1）误作PM与PB相等.如图21，在网格中取格点C，连接OC并延长交圆O于点P.错解2：作近似点.如图22，在网格中取格点C，连接OC交圆O于点P.通过计算不难得出，点P是非常接近所求作的点.使用三角函数诱导公式可以求得tan∠AOM=3－131+3×13=43，tan∠MOC=tan（∠MON+∠EOC）=tan∠MON+tan∠EOC1－tan∠MON·tan∠EOC=13+341－13×34=139.因为tan∠AOM≠tan∠MOC，所以PM≠AM.错解3：增加网格.如图23，由于条件中所给定的网格不能够完成6×2矩形的构造，在自行添加的网格中取格点C，连接BC交圆O于点P（简证：连接AC，根据OM∥BC，得∠MOA=∠CBA）.尽管点P就是所求的点，但在自行添加网格的条件下找出的格点是“不守规矩”的作法.因题目所限定的作图工具为无刻度的直尺，故可以通过原图的格点构造网格外新的点，作出点P（如图24，利用格点M，C，E，D，作射线MC，ED）.3 素养表现课标（2022年版）总目标是：通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界［2］（以下简称“三会”）.2022年宿迁中考第27题考查学生在操作探究的基础上，借助网格中的格点，用无刻度的直尺作图，着重考查以下五个素养：（1）几何直观.拓展应用（1），在BM上找出一点P，使PM=AM，由于题目属于网格作图，只有利用网格中的格点才可以作出满足条件的图形.根据题目结论可知，若PM等于AM，必定有OM⊥AP.利用直尺可以直观的找到符合OM⊥AP且经过格点的点（思路1中的C，G）.试题的命制也充分考虑评价公平性，为防止学生答题过程中的无意识操作，利用“投机取巧”也可以做对，故题目要求写出作法，并给出证明.提出明确的答题指令，杜绝“无意识的操作”也能做对的现象，变为“有目标的思考”并表达.（2）模型观念.模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识.从“操作探究”到“拓展应用”，由指定任务出发，通过阅读理解、自主探究、解决问题，获得新知识、新方法.最后，利用“操作探究”所获得的数学模型来解决“拓展应用”这一类问题，模型观念重点考查学生体会和理解数学及数学应用的能力.（3）推理能力.一方面，中考试题命制要有区分度，在“操作探究”环节，因tan∠BAC=tan∠DCE且tan∠BAC=BCAC=12，故推理得出在Rt△CDE中，tan∠DCE=DECE=12.另一方面，网格作图和尺规作图类似，多运用逆向逻辑推理.如拓展应用（1），先把结论PM=AM看作条件，推理得出应该有的结论（OM⊥AP），进而利用“操作探究”中的思想、方法找出BM上符合条件的点P.（4）运算能力.运算能力是“三会”中学会用数学的思维思考现实世界的重要表现形式之一.操作探究环节，借助格点的特性，构造直角三角形，通过观察，计算相关三角函数值得出结论.特别是在拓展应用环节1，考生利用原有的知识经验（思路12），通过构造平面直角坐标系，计算证明格点P就是所求作的格点，尽管繁琐，但考查了学生用代数的方法推出几何结论的能力.拓展应用环节2，学生通过严谨的计算，若满足AM2=AP·AB，则AP=22.先算出数值，后定位置，故直接连接小正方形的对角线，确定点P位置.。
试论网格作图题的通性通法
试论⽹格作图题的通性通法很多⼈知道天津中考数学有⼀道“奇葩”题——⽹格作图题，此题要求⽤⽆刻度直尺作图，并且还不需要说明作图原理。
很多外省市教师都不能理解此题的意图，包括天津本市也有很多⽼师觉得此题⽆从⼊⼿。
本⼈曾经在天津呆了⼀段时间，⼀直在思考，也⼀直在学习如何突破这道题。
现在将我的思考总结如下，敬请指正。
本⽂分为四部分：第⼀部分：通过⼀个基本问题阐释⽹格作图题的突破点：基本作图。
第⼆部分：通过基本问题的变化感受⽹格作图题的⼀般破解⽅法。
第三部分：通过中考真题的解法对⽐提炼中考题的通性通法。
第四部分：附录该题型命题⼈的⽂章和其他著名教师的解法。
本⽂后半部分需要付费，请谅解，算是给本⼈打字的⾟苦钱，谢谢您。
其实核⼼的内容都在前⾯了。
不感兴趣的读者不⽤看后⾯。
饮酒陶渊明结庐在⼈境，⽽⽆车马喧。
问君何能尔，⼼远地⾃偏。
采菊东篱下，悠然见南⼭。
⼭⽓⽇⼣佳，飞鸟相与还。
此中有真意，欲辨已忘⾔。
基本问题如图，在边长为1的⽹格中⽤⽆刻度的直尺完成以下作图：（1）作出长度为的线段。
（2）过点C作AB的平⾏线。
（3）点点C作AB的垂线。
（4）在AB线段上取⼀点D，使AD:BD=4:3.解题障碍:有点⽆从⼊⼿的感觉，知道尺规作图，但是不知道这种⽆刻度直尺作图。
不理解⽆刻度直尺的含义，不⽤圆规怎么可以画出⽆理线段，看到答案也不明⽩答案为什么成⽴，更不明⽩笔者是怎么想到答案的。
这都是⽹格题的痛点所在。
解题之道：“乾坤⼤挪移”，将⽹格问题转化为常规平⾯⼏何问题解题之术：基本解题顺序是⼀估⼆推三作图。
利⽤4个基本作图破解作图难题，剩下的就是模型分析和推理了。
注重逆向思维的使⽤。
执果索因解题之本：⽹格就相当于是⼀个坐标，直尺上的刻度转化到⽹格上了。
后⾯作图原理是勾股，平⾏，垂直，相似性质得到，其实都是教科书上的基本原理。
这⾥特意提到以下基本概念：格点，⽹格线（格线），格点线段，⾮格点线段，悬空点，悬空线段，补格格点：⽹格线的交点格点线段：图中两端点都是格点的线段⾮格点线段：⾄少有⼀个端点不是格点的线段。
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中考中作图题的解法分析中考内容主要有光、热、电、力四部分，而作图题则聚集在光、电、力之中。
［作图题的特点］作图题既能帮助我们理解一些基本概念和规律，又能提高我们的分析能力、动手能力和社会实践能力，有利于发展我们的思维活动。
除实物电路连接外，其他作图题答案基本惟一，直观明了。
［作图题的类型］1. 概念型例1.一篮球漂浮在水面上，在图1中画出篮球受力的示意图。
说明：此题考查我们对浮力方向和重力方向的认识。
答案如图2。
图1 图2例2.通电螺线管周围的磁感线分布及方向如图3所示，请标出它的N、S极及电源正负极。
说明：此题考查磁感线性质和安培定则。
答案如图4。
图3 图42. 综合型例3.黑箱内有一只焦距为3cm的凸透镜和一只竖直放置的平面镜如图5，请你画出黑箱内的光路图并标出平面镜上入射角的度数。
说明：此题难度稍大，考查了凸透镜聚光原理和光的反射规律，要根据题中已知条件和光路，进行综合分析，所画出光路角度要准确。
答案如图6。
图5 图63. 应用型例4.玩具“不倒翁”被扳倒后会自动立起来，请在图7中画出此时“不倒翁”所受重力的示意图，并画出重力相对于O点的力臂。
（黑点表示“不倒翁”的重心）。
说明：此题属于物理知识在玩具中的应用，考查了我们对社会生活中物理现象的观察能力。
答案如图8。
图7 图84. 探究型例5.小马有一个电路盒面板，面板（如图9）上有红、绿灯各一只，两个开关S1、S2，一个电压表。
在不打开盒子的情况下，他让小组其他同学探究盒内的电路结构。
为此，小张做了如下实验：根据实验情况，请你画出盒内电路的电路图。
，可知说明：此题应从表格中实验现象展开探究，属于探究性题目。
根据U U21红、绿灯为串联电路（因为并联时U1＝U2）；从开关的闭合、灯泡的发光情况可知，绿灯被S2短路。
答案如图10。
［作图题的解法］一、求作光路图例1.如图11所示，甲图中折射光线过光心，乙图中折射光线与主光轴平行，丙图中S'点是点光源S的像，请在甲、乙两图中分别画出入射光线，在丙图中画出反射光线。
图11解析：在解此题时，要弄清凸透镜和凹透镜的三条特殊光线，即：从凸透镜焦点发出的光线经凸透镜折射后平行于主光轴；平行于主光轴的入射光线经凸透镜折射后过另一侧焦点；过光心的入射光线不改变传播方向。
凹透镜入射光线延长线过凹透镜另一侧虚焦点，则折射光线平行于主光轴；平行于主光轴的光线，经凹透镜折射后其折射光线的反向延长线过虚焦点；过光心的光线不改变方向。
关于甲、乙两图，只要对号入座，便可顺利准确地完成。
关于丙图，要根据光的反射规律作图，我们知道反射光线的反向延长线过像点，所以连接像点和入射点的直线就是反射光线。
注意平面镜前用实线表示，平面镜后用虚线表示。
答案如图12。
图12例2.电视机的遥控器通过发射一种不可见光——红外线，来实现对电视机的遥控。
有时不把遥控器对准电视机的窗口，而是对准墙壁按一下按钮，也可以遥控电视机。
请在图13中画出红外线经过的光路。
图13 图14解析：此题是光的反射现象在生活中的应用，其目的有二：第一，考查我们认识生活中光的反射现象，第二，考查平面镜成像原理。
作图时，先作出遥控器在平面镜的像点（遥控器关于墙壁的对称点），再将像点与电视机相连就得到反射光线。
别忘了光线用实线表示，辅助线和延长线用虚线表示。
答案如图14。
二、求作力的示意图例3.图15是一吊灯挂在天花板上的示意图。
在该图中画出吊灯受力的示意图。
图15 图16解析：此题考查受力分析问题，在找力时，不要多找或漏找，关于力的方向，有的方向固定不变，如重力和浮力，有的力的方向是随题目条件改变而改变的，如压力、拉力、支持力等。
作用在同一物体上的两个或两个以上的力，作用点一般取在同一点上。
本题拉力方向跟重力方向相反，竖直向上。
答案如图16。
三、求作力臂例4.如图17所示是用道钉撬撬起道钉的示意图，请画出动力F的力臂并用字母l 表示。
图17 图18解析：力臂的具体作法为：①画出力的作用线，即过力F的作用点B，沿力F的方向画直线（虚线）；②从支点O处向F的作用线画垂线，则从支点O到垂足的距离就是力臂；③把所画力臂用双箭头或大括号勾出，在中间标上l即可。
答案如图18。
四、组装滑轮组例5.利用图19中滑轮组，用200N向下的拉力将重为800N的物体匀速提升到高处（绳、滑轮的自重及摩擦不计），请画出滑轮上绳的绕法。
图19 图20解析：此题考查滑轮组的装配方法。
绕在滑轮组上的同一条绳子，各段绳子拉力均相等，即重物和动滑轮总重由几段绳子承担，提起重物所用的力就是总重的几分之一，FG Gn=+物动。
首先根据题意确定承担重物的绳子段数n，若n为偶数，那么绳子的起始端应系在定滑轮上，即要从定滑轮绕起；若n为奇数，则绳子的起始端应系在动滑轮上，即要从动滑轮绕起，组装原则可以归纳成一句话：“奇动偶定”。
关于用力方向，则视题目条件而定。
本题不计绳、滑轮的自重及摩擦力，拉力FGn=物，那么nGFNN==物800200＝4，为偶数，则绳子起点应固定在定滑轮上。
答案如图20。
五、求作电路图例6.在图21中闭合开关后，通过灯泡L1的电流为0.5A，通过灯泡L2的电流为0.4A。
试根据图21将图22中实物用笔画线表示导线连接起来。
图21 图22解析：电路连接一般可分为两大类：（1）按要求设计电路图，或用笔画线代替导线连接实物电路；（2）按电路图连接实物电路，或根据实物电路画出相应电路图。
作图前必须弄清题目要求是什么，找出各元件之间的工作关系，有电表测量时，应选择合适的量程，然后依照题意画草图，反复推敲、验证，再正式画图。
画实物图时注意连线不能交叉，电路分支点应接在接线柱上。
本题考查由电路图连接实物图，画图一般从电源一个极开始，依照电路图各元件的位置和经过的路径，依次将实物图中各元件连接起来即可。
答案如图23。
图23六、求作磁感线方向例7.小磁针在图24中所示的位置静止，请标出磁体的磁极，并画出磁感线的方向。
图24 图25解析：画磁感线方向必须抓住四个“方向”一致的特征，即磁感线方向跟磁场方向一致，跟小磁针在该点静止时N极指向一致，跟小磁针在该点时N极所受的磁力方向一致。
四个方向只要知其一，便可知其三，同时记住磁感线从磁体N极出发，回到S极。
答案如图25。
［作图题的专题练习］一、力的作图1、用力的图示法在下图上表示出与水平方2、用力的图示法在下图上画出用10N的向成30°角大小为750N的力往右拉车。
力按压图针的的力。
3、物体A的质量为10kg，平放在水平桌4、如图所示，质量为2 kg的球，被细绳面上保持静止状态，用力的图示法画出A 系在墙上，分别用力的示意图画出球受对桌面的压力F。
到的重力和拉力。
F 2 F 1O5、木块的质量为5kg ，静放在斜面上，斜6、如下图，一汽车在水平地面上，在 面对它的支持力垂直于斜面，大小为39.2N ， 2500N 的水平牵引力作用下恰好作匀速 试用力的图示法在下图中画出木块受到的重 向右的直线行驶，画出汽车在水平方向 力和支持力的图示。
所受的力的示意图。
7、如下图，在光滑的冰面上有一个重为 8、如下图，用10N 的力拉着质量为0．5 10N 物体向前匀速滑行，试用力的示 kg 的物体向上运动，试用力的图示法画 意图画出物体受到的所有力。
出物体所受的合力（g=10N/kg ）9．画出下列杠杆的动力臂和阻力臂.A10．（1）如下左图，杠杆OA 在力F 1、F 2的作用下处于静止状态，l 2是F 2的力臂，画出F 1的力臂和力F 2（2）如右图所示，杠杆OA 在F 1、F 2两个力作用下平衡，图中已画出了杠杆A 端受的力F 1。
如果虚线OC 是力F 2的力臂，请在杠杆上标出F 2的作用点B ，并画出力F 2的示意图。
11．画出下列滑轮的等效杠杆示意图.12．按要求画出滑轮组的绕线.(1)----(3)最省力的情况.(4)-----(6) 拉力向下（1） （2） （3） （4） （5） （6）13．汽车陷入烂泥里,附近有一棵树, 车上有 14.下图是简易吊车的示意图，请画 二个滑轮，一条绳子，请你使用以上器材组成 出吊杆ＯＡ的五要素。
滑轮组，用最小的力把车拉出来。
画出示意图。
15.下图三个轻质杠杆，要用最小的力使杠杆平衡，请画出最小的力的方向。
16．如图所示，要将油桶推上台阶。
请（1）在左图上画出作用于Ａ点并且最小的力；（2）在右图上画出作用于桶边缘并且最省的力的方向和作用点。
17．下图是用一根硬棒撬石头的示意图，A 是动力作用点。
（1）在左图上画出：当动力方向竖直向下时，杠杆的支点a 和动力臂La ；（2）在中图上画出：当动力方向竖直向上时，杠杆的支点b 和动力臂Lb ；（3）在右图上画出：撬动石头最省力时动力F 的方向。
二、电学作图1．请分别画出“伏安法”测电阻的实验电路图和“测小灯泡电功率”的实验电路图2．在“测定小灯泡的功率”的实验中：某同学在实验时选用额定电压2.5伏的小灯泡（电阻约为10欧）、电源为两节干电池，规格为“30欧，1安培” 的滑动变阻器。
按照左图电路图，将对应右图各实物元件连接起来。
3．按照左图实物图，将对应电路图画出来。
4．如图所示，将开关、螺口灯泡、三孔插座正确接入家庭电路中．5．在下图的○内填上适当的电表符号，并标出正、负接线柱。
6．如图电路，A、B、C、D是四个接线柱，（1）要使灯L1、L2串联连接，试在左图上把有关接线柱连接起来；（2）要使灯L1、L2并联连接，试在右图上把有关接线柱连接起来．7．根据图中提供的信息，判断出其他信息。
图139．图中的两个通电螺线管左图相互排斥、右图互相吸引,在图中补全与此事实相符的电路图.10．将下左图中的电磁铁连入你设计的电路中(在方框内完成)，要求：A ．电路能改变电磁铁磁性的强弱；B ．使小磁针静止时如图所示．11．下右图中，电路连接正确，通电后小磁针指向如图所示（涂黑端表示N 极）。
请在图中标出螺线管的磁极、电源的“+”、 “—”极，并画出螺线管的绕法12．如图所示是一种恒温箱的工作原理图。
当温度高于35℃时，电热器不工作；当温度低于35℃时，电热器工作。
根据要求连好电路。
13．如图所示是小明设计的温度自动报警器原理图.在水银温度计里封入一段金属丝，当在正常工作的温度范围内时，绿灯亮；当温度升高达到金属丝下端所指示的温度时，红灯亮，发出报警信号.请按照题意要求，在图中连接好电路.14．小康同学想用压力传感器（当压力达到设定值时，它就接通电路）、电磁继电器，为大桥设计一个车辆超重的报警装置。
当车超重时，信号灯就发光。
在右上图中请你为他连接好电路。
中考作图题集锦1.将图甲中的各个元件连成电路(用笔画线表示导线，不许交叉)，要求电动机、电铃、电灯并联，开关S1做总开关，开关S2只控制电铃。