第1章 数与数系

第一章数与数系第一节数系的历史发展第二节自然数按现代数学的观点，整个数学建立在自然数和集合基础上，只要自然数和集合是严格的，那么整个数学就是严格的。

本章将讨论如何用公理化的体系来建立严格的自然数。

从小学一年级开始，你已经接触自然数，你已经与数打了十多年的交道，而且你知道如何按照代数法则来化简数的表达式，但是我们要处理一个更基本的事情，那就是：为什么这些代数法则总有效力？例如，为什么对于任何三个数a,b,c,表达式a(b+c)等于ab+ac总是真确的？这不是一个任意选择的法则，它可以由数系更为原始的也更为基本的性质来证明。

用更简单的性质来证明复杂的性质是数学的基本思想。

你会发现，即使一个命题可能是“明显的”，它却可能不是易于证明的。

我们首先碰到的问题是：如何定义自然数？（这与怎么样使用自然数是非常不同的问题。

使用自然数当然你十分了解，这就象知道如何使用一台计算机与知道如何建造这台计算机是完全不同的两回事）。

回答这个问题比问题本身看上去要困难得多。

基本的问题是你使用自然数已经太久了，以致这些数都已深深地嵌入你的数学思维之中，使得你甚至不必思考你在做什么就能作出关于这些数的各种不明显的假设（例如a+b总是等于b+a）,很难让你像第一次见到它那样去考察这个数系。

所以你不得不执行一个相当艰巨的任务：暂时把你知道的关于自然数的一切放到一边：忘记怎么样记数，忘记加法，忘记乘法，忘记代数律等等。

我们将逐步引入这些概念，在这一过程中，明确哪些是我们的假定，哪些是从假定开始演绎出来的。

这个过程也是树立你的数学知识的牢固根基的一个极好的方式。

此处你实行的证明和抽象思考，对于你理解数学，进一步学习数学将会有无法估量的益处。

1 自然数按照已有的数学知识，大家都知道，自然数是指集合：N= {0,1,2,3,…}的元素。

于是我们可以定义定义（不正式）自然数是指集合N= {0,1,2,3,…}的元素，此集合是由从0开始无休止地往前数所得到的一切数的集。

我们把N称为自然数集。

注：在有些教材中，自然数是从1开始而不是从0开始的，但这只是一个符号约定而已。

本书中我们把{1,2,3，．．．}叫作正整数集，用Ｚ＋表示．这个定义在一定意义上解决了自然数是什么的问题：一个自然数是集合N的一个元素。

但是，这并不是完全可接受的，因为它遗留下许多没有回答的问题。

例如：怎么知道我们可以无休止的数下去而不会循环回到0？你怎么样实行运算，如加法、乘法等？我们先回答第一个问题：可以通过简单的运算来定义复杂的运算。

53是3个5相乘，5⨯3是3个5加在一起，而加法呢？这只不过是向前数或增长的重复运作：如果你把5加上3，你所做的只不过是让5增长了3次。

另一方面增长似乎是一个基本的运算，它没法再用更简单的运算定义。

的确，它是人们遇到的关于数的第一个运算，甚至在学习加法之前。

自然数不断地数下去，实际上就是不断地进行增长操作。

为了定义自然数，我们将使用两个基础性的概念：0以及增长运算。

按照现代计算机语言，我们用n++代表n的增长（increment）或n的后继者(successor), 于是，似乎我们要说的N是由0和每个可由0经增长而得者所组成：N应该是由对象0,0++，(0++)++, ((0++)++)++, …等所组成。

如果我们着手写出关于自然数是什么，那么应该有下述涉及0和增长运算++的公理：公理1.1：0是自然数.公理1.2：若n为自然数，则n++也是自然数.（n++是n的增长）定义1.2.1：定义1是数0++, 2是(0++)++, 3是数[(0++)++]++，…；换句话说：1是数0++，2是1++, 3是2++，…命题1.2.1：3是自然数.（可用以上公理、定义证明）证明：由公理3.1知0是自然数由公理3.2知1 = 0++是自然数从而2 = 1++也是自然数进而3 = 2++是自然数例1.2.1：考虑由0,1,2,3,组成的数系，规定：0++= 1 ，1++= 2 ，2++= 3，3++= 0可见仅由公理1.1和1.2不能确定集合N.公理1.3: 0不是任何自然数的增长.即对于每个自然数n，都有n++≠ 0. 命题1.2.2：4不等于0证明：4 = 3 ++由命题1.2.1可知3是自然数，由公理3.3知：4 = 3++≠ 0.例1.2.2：考虑由0,1,2,3,4组成的数系规定：0++= 1 ，1++= 2，2++= 3，3++= 4，4++= 4公理1.4：若n，m是自然数且n ≠ m，则n ++≠ m ++；等价地：n ++= m ++⇒n = m例1.2.3：考虑{0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3,…}规定0++= 1, 1++= 2，2++= 3符合前4个公理，但多出了一些元素公理 1.5：（数学归纳原理）设P(n)是关于自然数的一个性质，假设P(0)为真，并假设只要P(n)为真，那么P(n++)也是真.那么对于每个自然数n, P(n)为真.命题1.2.3：半整数不是自然数.（称0.5, 1.5, 2.5 …为半整数）令P(n)：n不是半整数.P(0)为真，设P(n)为真，即n不是半整数，则P(n++)也为真.则对一切自然数n，P(n)为真.此五条公理称为Peano公理，由这五条公理构造出的数集就是自然数集N.说明：①集合中每个单个的元素是有限的，但元素个数是无限的.②此构造方法称为“公理化”方法，不是“构造性”的.假设1.6(非正式)：存在一个数系N，称其元素为自然数，公理1.1-1.5对于此数系成立。

2加法定义1.2.2（自然数的加法）设m是自然数定义：0 + m : = m ，现假定：n + m 已定义，定义：(n++) + m : = (n + m)++(0 + m = m , 1 + m = (0++) + m = (0 + m)++= m++, 2 + m = (1++) + m =(1 + m)++= (m++)++…)引理1.2.1：对于任何的自然数n，n + 0 = n证明：对n用数学归纳原理当n = 0时，0 + 0 = 0 基础情形成立.假设对于自然数n ，有n + 0 = n以下只需证：(n ++) + 0 = n ++(n ++) + 0 = (n + 0)++ = n ++ ,得证.引理1.2.2：对于任何的自然数n 和m ，n + (m ++) = (n + m)++证明：固定m ，对n 用数学归纳原理.基础情形：0 + (m ++) = (0 + m)++⎩⎪⎨⎪⎧(0 + m)++ = m ++，0 + (m ++) = m ++．⇒ 0 + (m ++) = (0 + m)++ 假设 n + (m ++) = (n + m)++下证：(n ++) + (m ++) = ((n ++) + m)++因为(n ++) + (m ++) = (n + (m ++))++ = ((n + m)++)++((n ++) + m)++ = ((n + m)++)++ 所以，得证.命题1.2.4：（交换律）对于任何的自然数n,m,有：n + m = m + n.证明：固定m ，对n 用归纳法基础情形：0 + m = m + 0，由定义1.2.2和引理1.2.1可直接得到现假定 n + m = m + n下证：(n ++) + m = m + (n ++)左 = (n + m)++ , 右 = (m + n)++由假定可知：左 = 右，得证.命题1.2.5（加法结合律）对于任何自然数a,b,c ，(a + b ) + c = a +(b + c ).证明：固定b , c ,对a 用归纳法基础情形：(0 + b ) + c = b + c = 0 + (b + c )假定(a + b ) + c = a + (b + c )，下证((a ++) + b ) + c = (a ++) + (b + c )左= ((a+b)++) +c= ((a+b) +c)++右= (a+ (b+c))++= ((a+b) +c)++=左.得证.命题1.2.6：（消去律）设a,b,c是自然数，满足：a+b=a+c ,则b=c 证明：对a用归纳法基础情形：0 +b= 0 +c⇒b=c假定：a+b=a+c⇒b=c下证：(a++) +b= (a++) +c⇒b=c左边：(a++) +b= (a+b)++ , (a++) +c= (a+c)++由(a++) +b= (a++) +c可知：(a+b)++= (a+c)++⇒a+b=a+c 由归纳假设有：b=c .定义1.2.3（正自然数）一个自然数称为正的，当且仅当它不等于0. 命题1.2.7：如果a是正的，b是自然数，则a+b是正的.证明：对b用归纳法基础情形：b= 0时，a+ 0 =a是正的.假定：a+b是正的，要证a+ (b++)是正的.a+ (b++) = (a+b)++≠ 0 , 所以a+ (b++)是正的，得证.推论1.2.8：若a,b是自然数，满足a+b= 0，那么：a= 0且b= 0证明：（反证法）若a≠ 0或b≠ 0当a≠ 0时，则a为正的，a+b也是正的，即a+b≠ 0，矛盾.当b≠ 0时，则b为正的，a+b也是正的，即a+b≠ 0，矛盾.引理1.2.9：假设a为正数，那么恰好存在一个自然数b使得b++=a. 证明：基础情形：a = 0时，则前提为假，故整个命题为真。

假定：a=b++ , a++= (b++)++也是自然数.定义1.2.4：（自然数的排序）设m, n是自然数，我们说n大于等于m，记为n≥m或m≤n,当且仅当存在某自然数a,使n = m +a；我们说n 严格大于m，记作n > m或m < n,当且仅当n≥m且n ≠ m.命题1.2.10：对于任何自然数n，有n++ > n证明：基础情形：0++ > 00++= 0 + (0++) ⇒0++≥ 0又由于任一个自然数的增长都不为0，故0++ > 0，假设n++ > n 下证(n++)++ > n++由n++ > n ⇔n++≥n 且n++≠ n⇔n++= n +a且a≠ 0(n++)++ = (n +a)++= (n++)+a且a ≠ 0⇒(n++)++≥n++且a ≠ 0⇒(n++)++≥n++且(n++)++≠ n++⇒(n++)++> n++得证.命题1.2.11：（自然数的序的性质）设a,b,c为自然数.则：(a)：a≥a(b)：若a≥b, b≥c , 则a≥c(c)：若a≥b, b≥a , 则a=b(d)：a≥b当且仅当a +c≥b+c(e)：a < b当且仅当a++≤b(f )：a < b当且仅当存在正数d，使得b=a +d证明：(a )：a = a + 0 ⇒ a ≥a(b )：a = b + d , b = c + e ⇒ a = c + (e + d ) ⇒ a ≥c(c )：⎩⎪⎨⎪⎧a ≥b ⇔ a = b + c ，b ≥a ⇔ b = a + d ．⇒ a = a + (d + c ) 即a + 0 = a + (d + c ) ⇒ 0 = (d + c )⇒ c = 0 且 d = 0 ⇒ a = b 得证.(d )：a ≥b ⇒ a = b + d ⇒ a + c = (b + c )+ d⇒ a + c ≥ b + c(e )：a < b ⇔ a ≤b 且 a ≠ b⇔ b = a + c 且 c ≠ 0由于c ≠ 0 则由引理3.2.10可知c = d ++b = a + (d ++) = (a + d )++ = (a ++) + d所以b ≥a ++ .(f )：由(e )的证明可见.命题1.2.12：（自然数的三歧性）设a , b 是自然数，那么下述三个命题中恰有一个是真的：a < b ；a = b ； a > b .证明：先证三个命题中a < b ；a = b ；a > b 不会多于一个命题同时成立.若a < b 则a ≠ b ,同理a > b ，则a ≠ b .若a > b 且a < b ，则a ≥b 且a ≤b ⇒ a = b .矛盾则三个命题中至多只有一个成立.再证：至少有一个命题成立.固定b ，对a 用归纳法．若a= 0, b= 0 +b ,则b≥0 ,即b > 0或b= 0．假设对于a已证明了命题,下证：对a++命题也成立．对于a有三种情形：a < b；a=b；a > b．若a > b，即a=b+d , d为正的，a++= (b+d)++=b+ (d++) , 从而a++ > b；若a=b，a++=b++ > b；若a <b，a++≤b．则不论a , b满足什么关系，a++与b总会满足三歧性中的一个，综上：三歧性中恰有一个是真的.3 乘法定义1.2.5（自然数的乘法）设m为自然数，定义：0 ⨯ m := 0，假设n⨯m 已定义，定义(n++) ⨯ m := (n ⨯ m) + m(0 ⨯ m = 0，1 ⨯ m = (0++)⨯m = (0 ⨯ m) + m = m ，2 ⨯ m = (1++) ⨯ m =(1 ⨯ m) + m = m + m ，…)引理1.2.3（交换律）设n,m是自然数，则n ⨯ m = m ⨯ n , n ⨯ m简记为nm.引理1.2.4：设n,m是自然数，则nm = 0当且仅当n,m中至少有一个为0.特别地，如果m,n都是正的，则nm也是正的.（互为逆否命题）证明：n为正的⇔ n =a++nm = (a++) ⨯ m = (a⨯ m) + m , 由于m是正的，则nm也是正的. 命题1.2.13：（分配律）对于任何自然数a,b,c,有：a(b+c) =ab+ac以及(b+c)a=ba+ca．证明：由于乘法的交换律，我们只证第二个等式(b+c)a=ba+ca．固定a, b,对c用归纳法.基础情形：先证c=0的基础情形，即证(b+ 0)a=ba+ 0a．左端＝ba，右端= ba+ 0a＝ba，左端＝右端成立．假定(b+c)a=ba+ca ,以下证(b+ (c++))a=ba+ (c++)a左端= ((b+c)++))a= (b+c) a+a右端=ba+ca+a= (b+c)a+a, 左= 右. 得证.命题1.2.14：（结合律）对于任何自然数a,b,c,有：(a⨯b) ⨯c=a⨯ (b⨯c)证明略.命题1.2.15：（乘法保序）若a,b是自然数且a < b , c为正的，则ac < bc.证明：由于a < b，则存在某正数d使得b=a+d ,则bc=ac+dc且dc≠ 0 , 所以ac < bc.命题1.2.16：（消去律）设a,b,c为自然数，满足ac=bc且c为正的，则a=b .证明：根据自然数的三歧性，a,b有三种情形：a < b；a=b；a > b.先设a < b，那么根据命题3.3.6有ac < bc，矛盾.同理当a > b时也得到矛盾.于是唯一的可能就是a=b，得证.命题1.2.17：（欧几里得算法）设n是自然数，q是正的，则存在自然数m,r，使得：n = mq + r ,且0≤r < q .证明：（提示：固定q，对n用归纳法）．第3节整数与有理数（数系的扩张）1 整数整数集合：{a-b：a,b∈N}定义1.3.1：（整数）一个整数是一个形如a−b的表达式，其中a和b是自然数.两整数相等：a−b=c−d当且仅当a+d=c+b.用Z代表全体整数集合.整数的相等具有自反的、对称的和传递的性质.自反性：a−b=a−b（因为a+b=a+b）对称性：若a−b=c−d则a+d=c+b⇔ c+b =a+d，即c−d =a−b传递性：若a−b=c−d，c−d=e− f .则a+d=c+b，c+f=e+d⇒a+d+c+f =c+b+e+d⇒ a +f=e+b ,即a−b= e− f .说明整数的相等是一个等价关系，则整数就是等价类的集合.设R是等价关系，则N ⨯ N /R = Z ，见书本99页.定义1.3.2：两个整数的和(a−b) + (c−d)由下式定义：(a−b) + (c−d) := (a+c) − (b+d),两个整数(a−b)与(c−d)的乘法如下定义：(a−b) ⨯ (c−d) = (ac+bd) − (ad+bc)此定义是合理的：⑴设a,b,a',b',c,d∈N,且a−b=a'−b'则(a−b) + (c−d) = (a+c) − (b+d)(a'−b') + (c−d) = (a'+c) − (b'+d)要证：(a+c) − (b+d) = (a'+c) − (b'+d)只要证：(a+c) + (b'+d)= (a'+c) + (b+d) ⇔a+b'=a'+b由于a−b=a'−b'得到a+b'=a'+b 得证.⑵(a−b)(c−d) = (ac+bd) − (ad+bc)(a'−b')(c−d) = (a'c+b'd) − (a'd+b'c)要证：(ac+bd) − (ad+bc) = (a'c+b'd) − (a'd+b'c)⇔(ac+bd) + (a'd+b'c) = (a'c+b'd) + (ad+bc)⇔c(a+b') +d(a'+b) =c(a'+b) +d(a+b')由a−b=a'−b'得a+b'=a'+b⇔(c+d)(a+b') = (c+d)(a+b') 成立.如何将自然数集嵌入到整数集中：定义：f：N → {n − 0: n∈ N } ⊆Zf (n) = n − 0 易知f是双射.f (n + m) = (n + m) − 0 = (n − 0) + (m − 0) =f (n) +f (m)f (nm) = nm − 0 = (n − 0) ⨯ (m − 0) =f (n) ⨯f (m)则f保加法，保乘法运算.则f构成同构映射，因此N中的“+，⨯”在Z也适用.定义1.3.3：（整数的负运算）如果(a−b)是一个整数，定义它的负数为整数(b −a),记为− (a−b).特别地，如果n = n − 0是一个正的自然数，那么它的负数：− n = 0 − n .引理1.3.1：（整数的三歧性）设x是一个整数，那么下述三个命题恰好有一个成立：⑴：x是零；⑵：x等于一个正整数；⑶：x是一个正自然数的负数.证明：先证⑴，⑵，⑶中至少有一个成立.由定义：x=a−b其中a,b∈ N , 则a > b , a=b , a < b恰有一个成立. 若a > b则存在正自然数c使得a=b+c⇒a−b=c− 0 =c则x=c；即⑵成立.若a=b则a−b=a−a= 0 − 0 = 0 ,则x= 0 ；即⑴成立.若a < b则b > a则b−a是一个正自然数,则a−b=− (a−b)是负数，即⑶成立.下证：⑴，⑵，⑶中不可能有多于一个同时成立由定义，一个正的自然数不能是零，所以⑴，⑵不能同时发生.如果⑴，⑶同时成立，那么存在某正自然数n,使得0 =− n于是0 − 0 = 0 − n, 故0=n, 矛盾。