第一章 数与式典型例题讲解
2020初高中数学章节知识讲解《1.1数与式的运算》+练习+答案
1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.４ 分式1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ①x ＜0；①若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，①不存在满足条件的x ；①若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3，①x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4．由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．练 习 1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 13A B x0 4C D xP |x －1||x －3| 图1．1－12．选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；（3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如32a b21x +，22x y ++理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，等等． 一般地，b与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1（20)a ≥； （30)x <． 解： （1=（20)a ==≥； （3220)x x x ==-<．例2(3．解法一：(3＝12．解法二：(3-＝12+． 例3 试比较下列各组数的大小：（1（2和 解： （1）1===，1===，>，（2）①1=== 又 4＞22，①6＋4＞6＋22，.例4 化简：20042005⋅-．解：20042005+⋅＝20042004+⋅-⋅-＝2004⎡⎤+⋅-⋅-⎣⎦＝20041⋅-例 5 化简：（1 （21)x <<．解：（1）原式===2=-2=．（2）原式1x x =-，①01x <<， ①11x x>>， 所以，原式＝1x x-．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 ．解： ①2210x y +==+=，1xy ==， ①22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练 习 1．填空：（1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）=__ ___；（4）若2x ==______ __． 2．选择题：=（ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3．若b =，求a b +的值．4．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B具有下列性质：A A MB B M ⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像ab c d+，2m n pm n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1 若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．解： ①(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，①5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+． （1）证明：①11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，①111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++-1110=-＝910．（3）证明：①1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，①1n ＋1一定为正数，①1112334(1)n n +++⨯⨯+＜12 ． 例3 设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0，①(2e －1)(e －2)＝0，①e ＝12 ＜1，舍去；或e ＝2． ①e ＝2．练 习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)；2．选择题：若223x y x y -=+，则xy ＝ （ ）（A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y-+的值．4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1A 组1．解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值． 3．填空：（1）1819(2(2+-＝________；（22=，则a 的取值范围是________； （3=________．B 组1．填空：（1）12a =，13b =，则2223352a ab a ab b -=+-____ ____； （2）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y++=+__ __；2．已知：11,23x y ==的值．C 组1．选择题：（1）=则 （ ） （A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<（2）计算 （ ）（A （B （C ） （D ）2．解方程22112()3()10x x x x +-+-=．3．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14．1.1.1．绝对值1．（1）5±；4± （2）4±；1-或3 2．D 3．3x －181.1.2．乘法公式 1．（1）1132a b - （2）11,24 （3）424ab ac bc --2．（1）D （2）A1.1.3．二次根式1． （12 （2）35x ≤≤ （3）- （4． 2．C 3．1 4．＞1.1.4．分式1．12 2．B 3． 1- 4．99100习题1．1 A 组1．（1）2x <-或4x > （2）－4＜x ＜3 （3）x ＜－3，或x ＞32．1 3．（1）2-（2）11a -≤≤ （31B 组1．（1）37 （2）52，或－15 2．4．C 组1．（1）C （2）C 2．121,22x x == 3．36554．提示：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++。
2019年中考数学第一章数与式1.2代数式(讲解部分)素材
方法二㊀ 不完全归纳法 利用列代数式提炼图形 （ 数字） 的变化规律
㊀ ㊀ 根据一系列数式关系或一组相关图形的变化， 总结变化所 反映的规律，其中，以图形为载体的数字规律最为常见． 猜想这种 规律，需要把图形中的有关数量关系表达出来， 再对所列式子进 行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论． 这类问题是近 几年中考试题的热点，应予以关注． 例 ２㊀ （ ２０１７ 云南，１６，６ 分） 观察下列各个等式的规律： ２ ２ －１ ２ －１ ＝ １， 第一个等式： ２
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
请用上述等式反映出的规律解决下列问题： （１） 直接写出第四个等式； （ ２） 猜想第 ｎ 个等式（ 用含 ｎ 的代数式表示） ，并证明你猜想 的等式是正确的． ５ ２ －４ ２ －１ ＝ ４． 解析㊀ （１） 第四个等式为 ２ （ ｎ ＋１） ２ － ｎ ２ －１ ＝ ｎ． （２） 第 ｎ 个等式为 ２ ２ ２ ｎ ＋２ｎ ＋１－ ｎ －１ ２ｎ ＝ ＝ ｎ， 证明：左边 ＝ ２ ２ 所以左边 ＝ 右边，所以等式成立． ㊀ ㊀ 变式训练 ２㊀ （ ２０１７ 湖北武汉， ８， ３ 分 ） 按照一定规律排列 的 ｎ 个数：－２，４，－８，１６，－３２，６４， ． 若最后三个数的和为 ７６８，则 ｎ 为 （㊀ ㊀ ） Ａ．９ Ｂ．１０ Ｃ．１１ Ｄ．１２ 答案㊀ Ｂ 解析㊀ 根据规律可知， 第 ｎ 个数为 （ － １） ｎ ２ ｎ ， 则最后三个 －２ －２ －１ －１ 数为（ －１） ｎ ２ ｎ ，（ －１） ｎ ２ ｎ ，（ －１） ｎ ２ ｎ ， －２ －２ －１ －１ 当 ｎ 为奇数时，（ －１） ｎ ２ ｎ ＋（ －１） ｎ ２ ｎ ＋（ －１） ｎ ２ ｎ ＝ ７６８， ｎ －２ ｎ －１ ｎ 即 －２ ＋２ －２ ＝ ７６８， －２ ʑ －２ ｎ （１－２＋４） ＝ ７６８， －２ ʑ －２ ｎ ＝ ２５６，此方程无解； －２ －２ －１ －１ 当 ｎ 为偶数时，（ －１） ｎ ２ ｎ ＋（ －１） ｎ ２ ｎ ＋（ －１） ｎ ２ ｎ ＝ ７６８， ｎ －２ ｎ －１ ｎ 即 ２ －２ ＋２ ＝ ７６８， －２ ʑ ２ ｎ （１－２＋４） ＝ ７６８， －２ ʑ ２ ｎ ＝ ２８ ， ʑ ｎ －２ ＝ ８， ʑ ｎ ＝ １０．
中考数学第1编知识梳理篇第1章数与式第1讲实数(精讲)试题(new)
第一章数与式第一讲实数考点考试内容考试要求实数的有关概念有理数的意义理解数轴掌握相反数、绝对值理解科学记数法、近似数理解平方根、立方根了解无理数和实数概念了解非负数性质理解实数大小比较实数大小比较掌握数值估算掌握实数的运算零指数幂、负整数指数幂，特殊的三角函数值，运算顺序掌握，感受宜宾中考）1。
(2013宜宾中考）下列各数中，最小的数是（B）A．2 B．－3 C。
－错误!D．02．(2014宜宾中考)2的倒数是（A）A。
错误!B．－错误!C．±错误!D．23．(2014宜宾中考)下列运算的结果中，是正数的是（C）A．（－2 014）－1B．－(2 014）－1C．（－1)（－2 014) D．(－2 014)÷2 0144．（2015宜宾中考)－错误!的相反数是（B）A．5 B.15C．－错误!D．－55．(2017宜宾中考)据相关报道，开展精准扶贫工作五年以来，我国约有55 000 000人摆脱贫困，将55 000 000用科学记数法表示是（D)A．55×106B．0.55×108C．5.5×106D．5。
5×1076．（2017宜宾中考）9的算术平方根是( A）A．3 B．－3C．±3 D.错误!7．（2013宜宾中考）计算：错误!＋错误!－4sin45°－1－2。
解：原式＝2＋2错误!－2错误!－1＝1。
8．(2014宜宾中考)计算：|－2|－（－错误!）0＋错误!错误!。
解:原式＝2－1＋3＝4.9．（2017宜宾中考)计算：（2 017－π)0－错误!－1＋错误!.解:原式＝1－4＋2＝－1。
，核心知识梳理)实数的有关概念及分类1．整数和__分数__统称为有理数；__无限不循环小数__叫无理数；有理数和无理数统称为__实数__．2．分类（1）按定义分类实数错误!（2)按正负分类实数错误!3．数轴数轴的三要素：__原点__、__正方向__、__单位长度__；数轴上的点和__实数__是一一对应的．4．相反数(1)实数a的相反数是__－a__（a与b互为相反数⇔a＋b＝__0__)．（2）相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的__两侧__，且到原点的距离__相等__．5．绝对值（1）在数轴上表示一个数的点离原点的__距离__叫做这个数的绝对值．（2)｜a｜＝错误!即正数的绝对值是__它本身__,0的绝对值是__0__，负数的绝对值是它的__相反数__．(3）一个数的绝对值是__非负__数，即｜a|__≥__0。
中考数学 第一部分 考点研究复习 第一章 数与式 第2课时 实数的运算及大小比较真题精选(含解析)
江苏省2017年中考数学第一部分考点研究复习第一章数与式第2课时实数的运算及大小比较真题精选（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省2017年中考数学第一部分考点研究复习第一章数与式第2课时实数的运算及大小比较真题精选（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一章数与式第2课时实数的运算及大小比较江苏近4年中考真题精选（2013~2016）命题点1 平方根、算术平方根、立方根（2016年5次,2015年3次,2014年4次，2013年4次）1。
（2015南京7题2分)4的平方根是________；4的算术平方根是________．2。
(2013镇江5题2分）若x3＝8，则x＝________．命题点2 实数的大小比较（2016年3次，2015年2次，2014年扬州1题,2013年3次）3。
（2014扬州1题3分）下列各数比－2小的是 ( )A。
－3 B。
－1 C. 0 D。
14.(2016淮安1题3分）下列四个数中最大的数是（）A. －2 B。
－1 C。
0 D. 15.（2013盐城1题3分)－2、0、1、－3四个数中，最小的数是（）A。
－2 B。
0 C. 1 D. －36。
（2013连云港6题3分）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b,下列结论正确的是( ）第6题图A。
A＞b B. ｜a|＞|b| C. －a＜b D. a＋b＜07.(2015常州6题2分)已知a＝错误!，b＝错误!，c＝错误!，则下列大小关系正确的是( ）A。
中考数学第一章数与式1.2整式(讲解部分)素材
反映的规律． 其中，以图形为载体的数字规律最为常见． 猜想这种
规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式
进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论． 这类问题是
近年来中考考查的热点，应予以关注．
例 ２ （２０１８ 重庆，４，４ 分） 把三角形按如图所示的规律拼
图案，其中第①个图案中有 ４ 个三角形，第②个图案中有 ６ 个三
角形，第③个图案中有 ８ 个三角形，……，按此规律排列下去，则
第⑦个图案中三角形的个数为
（ ）
Ａ．１２
Ｂ．１４
Ｃ．１６
Ｄ．１８
解析 第①个图案中，三角形的个数为 ２＋２ ＝ ２×２ ＝ ４；第
②个图案中，三角形的个数为 ２＋２＋２ ＝ ２×３ ＝ ６；第③个图案中，三
角形的个数为 ２＋２＋２＋２ ＝ ２×４ ＝ ８；……，以此类推，第⑦个图案
（ －２） ７ ａ＋（ －２） ５ ｂ＋（ －２） ３ ｃ＋（ －２） ｄ＋ｅ ＝ －３５，
②
由②得－２７ ａ－２５ ｂ－２３ ｃ－２ｄ＋ｅ ＝ －３５．
③
①＋③得 ２ｅ ＝ －１２，∴ ｅ ＝ －６．
方法 ２ 不完全归纳法———利用列代数式提炼图形 （ 数字） 的变化规律
根据一系列数式关系或一组相关图形的变化，总结变化所
解法二：∵ ４ａ＋３ｂ ＝ １，
∴
ａ
＝
１－３ｂ， ４
∴
８ａ＋６ｂ－
３
＝
８×
１－３ｂ ４
＋６ｂ－
３
＝
２－６ｂ＋６ｂ－
３
＝
－１．
答案 －１
变式训练 １ 已知当 ｘ ＝ １ 时，２ａｘ２ ＋ｂｘ 的值为 ３，则当 ｘ ＝ ２
2019年中考数学复习第一章数与式1.1实数(讲解部分)素材
第一章 数与式 １ １
§ １．１ 实 数
３
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
＝������������
１ ａｐ
或
１ ａ
ｐ
（ｐ 是正整数）．
４．正数有两个平方根，负数没有平方根，０ 的平方根是 ０，正
数的正的平方根叫做������������ 算术平方根 ．
５．若 ｂ３ ＝ ａ，则 ｂ 叫做 ａ 的立方根．
６．实数范围内常用的运算定律有交换律、������������ 结合律 、������������ 分
４ ０００ ０００ ０００ 美元．将 ４ ０００ ０００ ０００ 用科学记数法表示为
（ ）
Ａ． ０． ４ × １０９
Ｂ．０．４×１０１０ Ｃ．４×１０９
Ｄ． ４ × １０１０
解析 ４ ０００ ０００ ０００ ＝ ４×１ ０００ ０００ ０００ ＝ ４×１０９ ，故选 Ｃ．
答案 Ｃ
变式训练 据报道，目前我国“ 天河二号” 超级计算机的运
方法二 实数的运算
首先要牢记实数的混合运算法则：先计算每一小项的值，再 按照从左到右的顺序计算即可．特别地，绝对值有括号作用，去绝
对值时要谨慎．例如：－ ｜ ３ －２ ｜ ＝ －（２－ ３ ） ＝ ３ －２．其次要熟记特 殊角的三角函数值、零指数幂及负整数指数幂的计算方法．
例 ２ （２０１６ 安徽 合 肥 蜀 山 一 模，１５） 计 算： － １２ － ｜ ２ ２ ｜ －
2019年中考数学第一章数与式1.1实数(讲解部分)素材
会） 于 ２０１２ 年 ６ 月 １ 日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交
总金额达 ６０ １１０ ０００ ０００ 美元．将 ６０ １１０ ０００ ０００ 用科学记数法
表示应为
（ ）
Ａ． ６． ０１１ × １０９ Ｃ． ６． ０１１ × １０１０
Ｂ． ６０． １１ × １０９ Ｄ．０．６０１ １×１０１１
方法二 实数的运算方法
实数运算是初中数学各类运算的基础，但同时也是同学们
难以掌握、时常出错的难点．只要同学们在进行实数运算时，根据 每个算式的结构特征，选择适当的方法，灵活应用运算律和运算
法则，就会收到事半功倍的效果．
例 ２ （ ２０１７ 辽 宁 沈 阳，１７，６ 分） 请 计 算： ｜ ２ － １ ｜ ＋ ３－２ － ２ｓｉｎ ４５°＋（３－π） ０ ．
原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数，如０．００２ ０３ ＝ ２．０３×１０－３ ．
考点四 二次根式
１．定义：形如������������ ａ （ ａ≥０） 的式子叫做二次根式，其中符号 “ ”叫做二次根号．
２．最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫最简二 次根式．
（１） 被开方数的因数是������������ 整数 ，因式是整式； （ ２） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
０） ，常用的是 ａ ≥０（ ａ≥０） ． ２．非负数的性质 （１） 如果两个非负数的和为 ０，那么这两个数一定都为 ０，常
见的有以下几种形式：
{ ①若 ａ２ ＋ｂ２ ＝ ０，则 ａ ＝ ０， ｂ ＝ ０；
{
②若 ｜ ａ ｜ ＋ ｜ ｂ ｜ ＝ ０，则
ａ ＝ ０， ｂ ＝ ０；
{ ③若
ａ＋
ｂ ＝ ０，则
中考数学真题解析第一章数与式
A.2.016×108元 B.0.201 6×107元 C.2.016×107元 D.2 016×104元 答案 C 120 000×168=20 160 000元=2.016×107元,故选C.
解题技巧 科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数 点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值大于10时,n是正整数;当原数的绝对 值小于1时,n是负整数.
+ 3 27
=
.
答案 -1
解析
( 2
-1)0+
1 2 2
- 9
+ 3 27
=1+22-3+ 3 (3)3
=1+4-3-3=-1.
4.(2018辽宁沈阳,17,6分)计算:2tan 45°-| 2-3|+
1 2
2
-(4-π)0.
解析
2tan 45°-| 2-3|+
C组 教师专用题组
考点一 实数的相关概念
1.(2019河北,2,3分)规定:(→2)表示向右移动2记作+2,则(←3)表示向左移动3记作 ( )
A.+3 B.-3 C.- 1 D.+ 1
3
3
答案 B 根据具有相反意义的量可知向左为负,则(←3)表示向左移动3记作-3,故选B.
2.(2019四川成都,1,3分)比-3大5的数是 ( ) A.-15 B.-8 C.2 D.8 答案 C 比-3大5的数可表示为-3+5=2,故选C.
所以a+b<0,故C选项错误;两数相除,异号得负,D选项正确,故选D.
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第一单元《数与式》一、实数的有关概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫相反数，即a 的相反数为-a.注意:0的相反数为0;两个相反数和为0.2、倒数:两个数的积为1,这两个数互为倒数.即a 的倒数为a1.注意:0没有倒数. 3、绝对值:a 的绝对值为|a|,|a|=⎩⎨⎧≤-≥)0()0(a a a a4、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。
5、实数大小比较：正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小6、无理数：无限不循环小数7、实数分类：实数⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 8、科学记数法：把一个数写成a ×n 10的形式（其中1≤ a<10，n 是整数）9、近似数和有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。
经典例题解析：1、下列判断中，你认为正确的是（ ）A 、0的绝对值是0B 、是无理数C 、4的平方根是2D 、1的倒数是﹣12、如图，数轴上的点A 表示的数为a ，则等于（ ）A、﹣B、C、﹣2D、23、在：1，﹣2，，0，π五个数中最小的数是_________．4、如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，﹣a，1的大小关系表示正确的是（）A、a＜1＜﹣aB、a＜﹣a＜1C、1＜﹣a＜aD、﹣a＜a＜15、如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（）A、a+b＞0B、ab＞0C、a﹣b＞0D、|a|﹣|b|＞06、如图所示，数轴上表示2，5的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是()A．－ 5 B．2－ 5 C．4－ 5 D．5－27. 如果表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简||()-++2的结果等于__________a b a bb aA. 2aB. 2bC. －2aD. －2b8、下列各数：，0，，0.2，cos60°，，0.3000333…，1﹣中无理数个数为（）A、2个B、3个C、4个D、5个9、2010年上海世博会开园第一个月共售出门票664万张，664万用科学记数法表示为（）A、664×104B、66.4×105C、6.64×106D、0.664×10710、在显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×10﹣5cm，2×103个这样的细胞排成的细胞链的长是（）A 、10﹣2cmB 、10﹣1cmC 、10﹣3cmD 、10﹣4cm11、0.0304精确到 _________位，有效数字分别是 _________12、7.60×105精确到 _________位，有效数字分别是 _________7.6×105精确到 _________位，有效数字分别是 _________二、实数的有关计算1．六种基本运算：加、减、乘、除、乘方、开方2．运算顺序：先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减。
如果有括号，就先算括号；同级运算应从左到右；如果符合运算律，可以变更运算顺序，简便计算。
3．运算律：加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法对于加法的分配律：(a+b)c=ac+bc经典例题解析：1. 化简()π-+-3201的结果为： A. 12 B. －2 C. π-1 D. 322、计算：（﹣3）2﹣|﹣|+2﹣1﹣= _________ ． 3、计算：．4、计算：三、代数式有关概念1．代数式：用运算符号把数和表示数的字母连结而成的式子叫代数式。
注意：单独一个数或字母也是代数式2．代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫代数式的值。
3．代数式分类：代数式经典例题解析：1．写出含有字母x ，y 的五次单项式__________(只要求写一个)．2、若x ，y为实数，且，则（x+y ）2010的值为 _________ ．3. 若x 、y 满足x y x y 224250+--+=，则代数式：32x y x -的值是多少？4．已知x ＋y ＝－5，xy ＝6，则x 2＋y 2的值是( )A ．1B ．13C ．17D ．255．如果a b ＝2，则a 2－ab ＋b 2a 2＋b 2的值等于( ) A ．45 B ．1 C ．35 D ．26、若实数a 满足a 2﹣2a+1=0，则2a 2﹣4a+5= _________ ．7. 已知113x y -=，则分式2322x xy y x xy y+---的值为__________. 8．(7分)已知a ＋1a ＝10，求a －1a 的值．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧握二次根式）无理式（初中只要求掌分式多项式（次数、项数）单项式（系数、次数）整式有理式四、整式1、整式定义：没有除法运算，或虽有除法运算但除式中不含字母的有理式叫整式。
2、整式运算：（1）整式的加减法：实质是去括号后合并同类项①同类项：所含字母相同，相同字母的指数也分别相同的项叫同类项 ②合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
注意：不是同类项不能合并。
③去括号法则： a+(b+c)=a+b+c a-(b+c)=a-b-c④添括号法则：a+b+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c)(2)整式的乘、除法：①幂的运算法则：n m n m a a a +=∙ n m n m a a a -=÷（a ≠0） mn n m a a =)(mm m a a b a ∙=∙)( m mm b a b a =)( （ b ≠0） 10=a （a ≠0） m m aa 1=-（a ≠0） ②乘法公式：平方差公式22))((b a b a b a -=-+完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±③单项式乘以（或除以）单项式④单项式乘以多项式：ac ab c b a +=+∙)(⑤多项式乘以多项式：bn bm an am n m b a +++=++))((⑥多项式除以单项式：m b m a m b a ÷+÷=÷+)(经典例题解析：1、下列运算正确的是（ ）A 、2a+3b=5abB 、2（2a ﹣b ）=4a ﹣bC 、（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2D 、（a+b ）2=a 2+b 22、计算（a 4）2÷a 2的结果是 _________ ．3、计算：a 2a －3－9a －3＝__________. 4、化简：（a ﹣2）•= _________ ． 5、先化简，再求值(a ＋3)(a －3)－a (a －6)＋6，其中a ＝2－1.五、因式分解1、概念：把一个多项式化成几个多项式的积的形式叫因式分解2、因式分解方法与步骤：一提（公因式）：)(c b a m mc mb ma ++=++二用（公式）：平方差公式))((22b a b a b a -+=-完全平方公式222)(2b a b ab a ±=+±三试（十字相乘）四查：检查每一个因式都不能分解为止经典例题解析：1、分解因式：﹣x 3+2x 2﹣x= _________ ．2、把代数式mx 2﹣6mx+9m 分解因式，下列结果中正确的是（ ）A 、m （x+3）2B 、m （x+3）（x ﹣3）C 、m （x ﹣4）2D 、m （x ﹣3）23. 将a ab ac bc 2-+-分解因式，结果正确的是________A. ()()a b a c +-B. ()()a b a c --C. ()()a b a c ++D.()()a b a c -+4．若m ，n 满足0)4(22=-++n m ，分解因式)()(22n mxy y x +-+＝ ． 5．(10分)下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2)(x 2－4x ＋6)＋4进行因式分解的过程．解：设x 2－4x ＝y原式＝(y ＋2)(y ＋6)＋4 (第一步)＝y 2＋8y ＋16 (第二步)＝(y ＋4)2 (第三步)＝(x 2－4x ＋4)2 (第四步)回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________．A ．提公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底？__________(填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果__________．(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2－2x )(x 2－2x ＋2)＋1进行因式分解．六、分式1、分式；除式中含有分母的有理式叫分式2、分式基本性质：,bm am b a = mb m a b a ÷÷=（m ≠0） 3、约分和通分：约分b a bm am =，通分dc b a ,→bd bc bd ad , 4、分式运算 ①分式的加减法：同分母c b a c b c a ±=± 异分母bdbc ad d c b a ±=± ②分式的乘除、乘方：,bd ac d c b a =∙ ,c d b a d c b a ⨯=÷ n n n ba b a =)( 注意：分式运算时先把分子和分母能因式分解的都因式分解，然后进行约分和通分。
经典例题解析：1、化简的结果是（ ）A 、a 2﹣b 2B 、a+bC 、a ﹣bD 、12、当x ＝ 时，分式无意义3、要使分式有意义，则x 须满足的条件为 _________ ． 4、分式的值为0，则（ ）A 、x=﹣1B 、x=1C 、x=±1D 、x=05、如果把中的x 和y 都扩大两倍，那么这个代数式的值为 （ ）A ．扩大两倍B ．不变C ．缩小两倍D ．以上都不对6、不论x 取什么值时，下列分式一定有意义的是 （ ）A ．x x 12-B ．11+-x xC ．1-x xD ．11+-x x75、将下面的代数式化简，再选择你喜欢且有意义的数代入求值． （+）÷+a ﹣1．七、根式1、方根的有关概念（1） 平方根： a 的平方根a ±（a ≥0），注意：负数没有平方根（2） 算术平方根： a 的算术平方根a （a ≥0）（3） 立方根： a 的立方根3a （a 为全体实数）2、二次根式23-x x y x x +（1）式子a （a ≥0）叫二次根式（2）二次根式的性质：①a a =2)(（a ≥0） ②=2a |a|=⎩⎨⎧≤-≥)0()0(a a a a ③)0,0(≥≥∙=∙b a b a b a ④ba b a =（a ≥0，b ＞0） （3）最简二次根式：被开方数中每一个因式的指数都小于2，并且被开方数不含分母的二次根式叫最简二次根式（4） 同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式3、二次根式的运算：（1） 加减法：把各个二次根式化为最简二次根式后，再合并同类二次根式（2） 乘除法：)0,0(≥≥∙=∙b a b a b a ba b a =（a ≥0，b ＞0）（3） 分母有理化：把分母中根号去掉叫分母有理化：a a aa ∙=1， )()(1b a b a ba b a ∙±=±经典例题解析：1、下列说法错误的是（ ）A 、的平方根是±2 B 、是无理数 C 、是有理数 D 、是分数2、要使式子有意义，a 的取值范围是（ ） A 、a≠0 B 、a ＞﹣2且a≠0 C、a ＞﹣2或a≠0 D、a≥﹣2且a≠03、下列式子运算正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、4、若x ﹣y=，xy=，则代数式（x ﹣1）（y+1）的值等于（ ） A 、2B 、C 、D 、25、先化简，再求值：，其中．。