复数2014-2016最新高考题汇总(含答案)
2014——2016年各省市高考题汇总
1．[2014·重庆卷] 复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
2．[2014·全国卷] 设z ＝10i
3＋i ，则z 的共轭复数为( )
A ．－1＋3i
B ．－1－3i
C ．1＋3i
D ．1－3i
【答案】D
3．[2014·安徽卷] 设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z －
＝(
) A ．－2 B ．－2iC ．2 D ．2i
【答案】C
4．[2014·北京卷] 复数? ????1＋i
1－i 2
＝________．
【答案】-1
5．[2014·福建卷] 复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( )
A ．－2－3i
B ．－2＋3i
C ．2－3i
D ．2＋3i
【答案】C
6．[2014·广东卷] 已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( )
A ．－3＋4i
B ．－3－4i
C ．3＋4i
D ．3－4i
【答案】D
7．[2014·湖北卷] i 为虚数单位，? ????1－i
1＋i 2
＝( )
A ．－1
B ．1
C ．－i
D ．i
【答案】A
8．[2014·湖南卷] 满足z ＋i z ＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( )
A.12＋12i
B.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i
【答案】B
9．[2014·江西卷] z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝(
)
A ．1＋i
B ．－1－i
C ．－1＋i
D ．1－i
【答案】D
10．[2014·辽宁卷] 设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( )
A ．2＋3i
B ．2－3i
C ．3＋2i
D ．3－2i
【答案】A
11．[2014·新课标全国卷Ⅰ] （1＋i ）3
（1－i ）2＝( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
【答案】D
12．[2014·山东卷] 已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 则(a ＋b i)2＝( )
A ．5－4i
B ．5＋4i
C ．3－4i
D ．3＋4i
【答案】D
13．[2014·四川卷] 复数2－2i 1＋i
＝________． 【答案】-2i
14．[2014·天津卷] i 是虚数单位，复数7＋i 3＋4i
＝( ) A ．1－i B ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257
i 【答案】A
1．[2015全国卷1]若a 为实数，且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = （ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B
2.[2015全国卷2]设复数z 满足1+z 1z
-=i ，则|z|=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2
【答案】A
3．[2015·北京卷]复数()i 2i -=（ ）
A ．12i +
B ．12i -
C ．12i -+
D ．12i --
【答案】A 4. [2015·山东卷]若复数Z 满足1Z i i
=-，其中i 为虚数为单位，则Z=（ ） （A ）1-i （B ）1+i （C ）-1-i （D ）-1+i
【答案】A
5．[2015·广东卷]若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）
A ． 3-2i
B ．3+2i
C ．2+3i
D ．2-3i
【答案】D
6. [2015·江苏卷]设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 【答案】5
7、[2015·福建卷]若集合{}234,,,A i i i i
= （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B I 等于
（ ）
A.{}1-
B.{}1
C.{}1,1-
D.φ
【答案】C
8. [2015·四川卷]设i 是虚数单位，则复数32i i
-
=（ ） A.-i B.-3i C.i. D.3i
【答案】C 9.[2015·湖北卷] i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．
为（ ） A ．i B ．i -
C ．1
D ．1-
【答案】A
10．[2015·天津卷] i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为
【答案】-2
1、（2016年北京高考）设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.
【答案】1-.
2、（2016年山东高考）若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z =
（A ）1+2i
（B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i -- 【答案】B
3、（2016年上海高考）设i i Z 23+=
，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 【答案】-3
4、（2016年天津高考）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则
a b
的值为_______. 【答案】2
5、（2016年全国I 高考）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2
【答案】B
6、（2016年全国II 高考）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）(31)
-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 【答案】A
7、（2016年全国III 高考）若12z i =+，则41
i zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i
【答案】C
z=+-其中i为虚数单位，则z的实部是8、(2016江苏省高考)复数(12i)(3i),
________________
【答案】5
高考数学各地试题知识点分类汇编复数
1. 【2016高考新课标1文数】设()()12i i a ++的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=（ ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【答案】A 考点：复数的概念及复数的乘法运算 【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性. 2.【2016高考新课标2文数】设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ） （A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C 【解析】 试题分析：由3z i i +=-得，32z i =-，所以32z i =+，故选C. 考点： 复数的运算，共轭复数. 【名师点睛】复数(,R)a bi a b +∈的共轭复数是(,R)a bi a b -∈，两个复数
是共轭复数，其模相等. 3. [2016高考新课标Ⅲ文数]若43i z =+，则 || z z ＝（ ） （A ）1 （B ）1- （C ）43i 55 + （D ） 43i 55 - 【答案】D 【解析】 试题分析： 43i ||55 z z ==-，故选D ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模． 【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 4.【2016高考四川文科】设i 为虚数单位，则复数2(1)i +=( ) (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意，22(1)122i i i i +=++=，故选C. 考点：复数的运算. 【名师点睛】本题考查复数的运算．数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可． 5.【2016高考北京文数】复数 122i i +=-（ ） A.i B.1i + C.i - D.1i -
《复数》专题高考题
专题八 复数 1.（15北京理科）1．复数()i 2i -= A ．12i + B ．12i - C ．12i -+ D ．12i -- 【答案】A 【解析】 试题分析：(2)12i i i -=+ 考点：复数运算 2.（15北京文科）复数()1i i +的实部为 ． 【答案】-1 【解析】 试题分析：复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为-1. 考点：复数的乘法运算、实部. 3.（15年广东理科）若复数 ( 是虚数单位 )，则 A ． B ． C ． D ． 【答案】． 【解析】因为，所以，故选． 【考点定位】本题考查复数的基本运算，属于容易题． 4.（15年广东文科）已知是虚数单位，则复数（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 考点：复数的乘法运算． ()32z i i =-i z =32i -32i +23i +23i -D ()3223z i i i =-=+z =23i - D
5.(15年安徽文科) 设i 是虚数单位，则复数( ) （A ）3+3i （B ）-1+3i （3）3+i （D ）-1+i 【答案】C 考点：复数的运算. 6.(15年福建理科) 若集合 （ 是虚数单位）， ，则 等于 ( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 试题分析：由已知得，故，故选C ． 考点：1、复数的概念；2、集合的运算． 7．(15年福建文科) 若（是虚数单位），则的值分别 等于（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 试题分析：由已知得，所以，选A ． 考点：复数的概念． 8.(15年新课标1理科) 设复数z 满足=i ，则|z|= （A ）1 （B （ C （D ）2 【答案】A ()()112i i -+={}234,,,A i i i i =i {}1,1B =-A B {}1-{}1{}1,1-φ{},1,,1A i i =--A B ={}1,1-(1)(23)i i a bi ++-=+,,a b R i ∈,a b 3,2-3,23,3-1,4-32i a bi -=+3,2a b ==-1+z 1z -
复数高考题分类大全
复数高考真题分类汇编 题型一 复数的概念及分类 1．（2015·天津卷）i 是虚数单位，若复数))(21(i a i +-是纯虚数，则=a ． 2．（2016·江苏卷）复数)3)(21(i i z -+=，i 为虚数单位，则z 的实部是 ． 3．（2016·上海卷）设i i z 23+= ，其中i 为虚数单位，则其虚部为 ． 4．（2017·天津卷）已知R a ∈，i 为虚数单位，若i i a +-2为实数，则a 的值为 ． 5．（2017·全国卷）设有下面四个命题： :1p 若复数满足R z ∈1，则R z ∈； :2p 若复数满足R z ∈2，则R z ∈； :3p 若复数1z 、2z 满足R z z ∈21，则21z z =； :4p 若复数R z ∈，则R z ∈； 其中真命题为（ ） A ．1p ，3p B ．1p ，4p C ．2p ，3p D ．2p ，4p 题型二 与共轭复数、复数相等有关的问题 1．（2013·山东卷）复数满足5)2)(3(=--i z （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A ．i +2 B ．i -2 C ．i +5 D ．i -5 2．（2013·安徽卷）设i 是虚数单位，若z i z z 22=+?，则=z （ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --1 3．（2013·福建卷）已知复数的共轭复数i z 21+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．（2013·湖北卷）在复平面内，复数i i z +=12（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．（2013·四川卷）如图，在复平面内，点A 表示复数，则图中表示的共轭复数的点是_____
卷高考题大全—复数
卷高考题大全—复数 This manuscript was revised by JIEK MA on December 15th, 2012.
2011年——2016年高考题专题汇编 专题2 复数 1、（16年全国1 文）设（1+2i ）（a +i ）的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a= （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 2、（16年全国1 理）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1 （B （C 3、（16年全国3 文）若43i z =+，则|| z z = （A ）1 （B ）1- （C ）43+i 55 （D ） 43i 55- 4、（16年全国3 理）若z=1+2i ，则41 i zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i 5、（16年全国2 文）设复数z 满足i 3i z +=-，则z = （A ）12i -+（B ）12i -（C ）32i +（D ）32i - 6、（16年全国2 理）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 （A ）(31) -， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 7、（15年全国2 文）若a 为实数，且 231ai i i +=++，则a = A ．-4 B ．-3 C ．3 D ．4 8、（15年全国2理）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 9、（15年全国1 文）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z= （A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i 10、（15年全国1 理）设复数z 满足1+z 1z -=i ，则|z|= （A ）1 （B （C （D ）2 11、（14年新课标3 理）设103i z i =+，则z 的共轭复数为（ ）
复数高考题集锦
复数高考题集锦 1.（2009 年广东卷文 ）下列 n 的取值中，使 i n =1（i 是虚数单位）的是 A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5 2.（ 2009 浙江卷文）设 z 1 i （ i 是虚数单位） ，则 2 z 2 （ z 4.（ 2009 安徽卷文） i 是虚数单 位， A ．1+i B. -1-i 8. （2009 广东卷理）设 z 是复数， a （ z ）表示满足 z n 1的最小正整数 n ，则对虚数单 位 i ， a （i ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 9. （ 2009 北 京 卷 理 ） 在 复 平 面 内 ， 复 数 z i （1 2i ） 对 应 的 点 位 于 （） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10. （2009 全国卷Ⅰ理）已知 Z =2+i, 则复数 z=（ B ） 1＋i (A ) -1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 11.（2009 安徽卷 理） i 是虚数单 位， 1 7i 若 2i a bi(a,b R ） ，则乘积 ab 的 值是 （A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ） 15 A ． 1 i C ． 1i D ． 1 i 3i 3.（2009 山东卷文 ） 复数 等于（ 1i ）. A ． 1 2i B.1 2i C.2 i D.2 i i(1+i) 等于 C.1-i D. -1+i 5.(2009 天津卷文) i 是虚数单位， 5i = 2i A 1 2i B 1 2i C 1 2i D 1 2i 6.已知 z 是纯虚数 , z 2 是实数 , 那么 z 等于 1-i (A ) 2i (B)i (C)-i (D)-2i 3 2i 复数 2 3i 1 7.（2009 宁夏海南卷文） A )1 B ） C )i (D) i
高考数学压轴专题最新备战高考《复数》真题汇编及答案
【最新】数学《复数》高考复习知识点(1) 一、选择题 1．已知为虚数单位， m R ∈，复数()()22288z m m m m =-+++-，若z 为负实数， 则m 的取值集合为（ ） A ．{}0 B ．{}8 C ．()2,4- D ．()4,2- 【答案】B 【解析】由题设可得2280{280 m m m m -=-++<，解之得8m =，应选答案B 。 2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v 向左平移一个单位后得到00 O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( ) A ．1－i B ．1－2i C ．－1－i D ．－i 【答案】D 【解析】 【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000 OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应的复数 【详解】 因为00O P OP =u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数， 即0 OP u u u v 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题． 3．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线 【答案】A 【解析】 【分析】
设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】 设()z x yi x y R =+∈、， 1x yi ++= ，()11iz i x yi +=++= y x =-， 所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题． 4．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A B C ．2 D ．3 【答案】A 【解析】 () 11z i i i =-=+，故z = A. 5．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( ) A ．1 B ．2 C D ．3 【答案】D 【解析】 因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D. 6．已知复数z 满足()1i z i += ，i 为虚数单位，则z 等于（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1122i - D ．1122i + 【答案】A 【解析】 因为|2(1)11(1)(1) i i z i i i i -===-++-，所以应选答案A ． 7．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于
复数最新高考试题精选(一)
复数最新高考试题精选(一) 一．选择题（共32小题） 1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（） A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2 D．i（1+i） 2．=（） A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i 3．（1+i）（2+i）=（） A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i 4．复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 5．设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（） A．B． C．D．2 6．若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞） 7．已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（） A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2 8．已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z?=4，则a=（） A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D． 9．已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（） A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3） 10．设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 11．若复数z=，其中i为虚数单位，则=（） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 12．若z=4+3i，则=（）
A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i 13．若z=1+2i，则=（） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 14．复数=（） A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i 15．设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（） A．0 B．2 C．2i D．2+2i 16．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 17．设复数z满足z+i=3﹣i，则=（） A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i 18．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（） A．1 B．C．D．2 19．若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．? 20．i为虚数单位，i607的共轭复数为（） A．i B．﹣i C．1 D．﹣1 21．i为虚数单位，i607=（） A．﹣i B．i C．1 D．﹣1 22．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 23．若为a实数，且=3+i，则a=（） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 24．若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（） A．3，﹣2 B．3，2 C．3，﹣3 D．﹣1，4 25．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）
高考复数真题
复数高考真题汇编 1、（2017北京文）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 2、（2017新课标Ⅱ理）． 3i 1i +=+ A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 3、（2017新课标Ⅲ理数）设复数z 满足(1)2i ，则∣z ∣= A ．12 B ． C D ．2 4、（2017山东理）已知a R ∈ 是虚数单位，若,4z a z z =?=，则 （A ）1或-1 （B （C ） （D 5、（2017新课标Ⅰ理数）设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为（ ） A.13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 6、（2017新课标Ⅱ文）．(1i)(2i)++=（ ） A ．1i - B ．13i + C ．3i + D ．33i + 7、（2017北京理）若复数（1–i ）（）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A （–∞，1） B （–∞，–1） C （1，+∞） D （–1，+∞） 8、（2017新课标Ⅲ文数）复平面内表示复数(–2)的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9、（2017新课标Ⅰ文数）下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1)2 B ．i 2(1) C ．(1)2 D ．i(1) (1i)(i)a -+a (,1)-∞(,1)-∞-(1,)+∞(1,)-+∞
复数2014-2016最新高考题汇总(含答案)
2014——2016年各省市高考题汇总 1．[2014·重庆卷] 复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A 2．[2014·全国卷] 设z ＝10i 3＋i ，则z 的共轭复数为( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3i D ．1－3i 【答案】D 3．[2014·安徽卷] 设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z － ＝( ) A ．－2 B ．－2iC ．2 D ．2i 【答案】C 4．[2014·北京卷] 复数? ????1＋i 1－i 2 ＝________． 【答案】-1 5．[2014·福建卷] 复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3i D ．2＋3i 【答案】C 6．[2014·广东卷] 已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．－3＋4i B ．－3－4i C ．3＋4i D ．3－4i 【答案】D 7．[2014·湖北卷] i 为虚数单位，? ????1－i 1＋i 2 ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 【答案】A 8．[2014·湖南卷] 满足z ＋i z ＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i 【答案】B 9．[2014·江西卷] z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i 【答案】D 10．[2014·辽宁卷] 设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i 【答案】A 11．[2014·新课标全国卷Ⅰ] （1＋i ）3 （1－i ）2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i
(完整word)复数高考题型归类
复数高考题型归类解析 一、基本运算型 二、基本概念型 三、复数相等型 四、复数的几何意义型 练习： 1.如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值 范围是[ ] A.() 22,22 - B.（-2，2） C.（-1，1） D.(3,3 - 2.在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3 ＋2i，－2＋4i.则对角线CA → 所表示的复数的模为； 3.已知复数z1＝i(1－i)2，|z|＝1|z－z1|的取值范围 是；
五、技巧运算型 六、知识交汇型 七、轨迹方程型练习： 1.已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是() A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 2.如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是() A.1 B. 2 C.2 D. 5 3.若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是.
复数高考题型归类解析 一、基本运算型 二、基本概念型 三、复数相等型 四、复数的几何意义型 练习： 1.如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值 范围是[ ] A.() 22,22 - B.（-2，2） C.（-1，1） D.() 3,3 - 2.在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3 ＋2i，－2＋4i.则对角线CA → 所表示的复数的模为； 3.已知复数z1＝i(1－i)2，|z|＝1，则|z－z1|的最大值. 五、技巧运算型 六、知识交汇型
七、轨迹方程型 已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是() A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 答案 A 解析由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0， 即|z|＝3或|z|＝－1. ∵|z|≥0，∴|z|＝3. ∴复数z对应的轨迹是1个圆. 5.如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是() A.1 B. 2 C.2 D. 5 答案 A 解析设复数－2i,2i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋2i|＋|z－2i|＝4，Z1Z2＝4，所以复数z的几何意义为线段Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求ZZ3的最小值. 因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，Z0Z3＝1.故选A. 8.若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是. 答案 1 解析由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴.|z－1|表示z对应的点与(1,0)的距离.∴|z－1|min＝1. 12.集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z －2|，z∈C}，集合P＝M∩N. (1)指出集合P在复平面上所表示的图形； (2)求集合P中复数模的最大值和最小值. 解(1)由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图所示.
高考数学复数习题及答案
高考复数训练题 1．(2013·山东)复数3－i 1－i 等于 ( C ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i 2．(2013·宁夏、海南)复数3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝ ( D ) A ．0 B ．2 C ．－2i D ．2i 3．(2013·陕西)已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z 等于 ( D ) A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i 4．(2013·武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )＝x 3－x 2＋x －1，则f (i)＝ ( B ) A ．2i B ．0 C ．－2i D ．－2 5．(2013·北京朝阳4月)复数z ＝2－i 1＋i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．(2013·北京东城3月)若将复数2＋i i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a 的值为 ( A ) 7．(2013·北京西城4月)设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2等于 ( B ) A.74－3i B.14－3i C.74＋3i D.14＋3i 8．(2013·黄冈中学一模)过原点和3－i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 ( D ) A.π6 B ．－π6 C.23π D.56 π 9．设a 、b 、c 、d ∈R ，若a ＋b i c ＋d i 为实数，则 ( C ) A ．bc ＋ad ≠0 B ．bc －ad ≠0 C ．bc －ad ＝0 D ．bc ＋ad ＝0 10．已知复数z ＝1－2i ，那么1z ＝ ( D ) A.55＋255 i B.55－255i C.15＋25i D.15－25 i 11．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2 是实数，则实数b 的值为 ( A ) A ．6 B ．－6 C ．0 D.16 12．(2013·广东)设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i )＝ ( B ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 13．若z ＝12＋32 i ，且(x －z )4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 2等于 ( B ) A ．－12＋32 i B ．－3＋33i C ．6＋33i D ．－3－33i 14．若△ABC 是锐角三角形，则复数z ＝(cos B －sin A )＋i (sin B －cos A )对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 15．如果复数2－bi 1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于 ( C ) A. 2 B.23 C ．－23 D ．2
高考真题：复数
高考真题：复数 1i （A ）1+i （B ）1?i （C ）?1+i （D ）?1?i 2．若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z= （A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+（D ）12i -- 3．设i 为虚数单位，则复数（1+i ）2 = （A ）0（B ）2（C ）2i （D ）2+2i 4．设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4 的项为 （A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20ix 4（D ）20ix 4 5（A ）i （B ）1+i （C ）i -（D ）1i - 6．若43i z =+，则 （A ）1（B ）1-（C D 7．若z=1+2i ，则 41 i zz =- A ． 1 B ． ?1 C ． i D ． ?i 8．设复数z 满足3z i i +=-，则z = A ．12i -+ B ．12i - C ．32i + D ．32i - 9．已知()()31z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 A ．()31-， B ．()13-， C ．()1,+∞ D ．()3-∞-， 10．设 的实部与虚部相等，其中 为实数，则 （） A ．?3 B ．?2 C ．2 D ．3 11．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y （A ）1（B C D ）2 12．(2017高考新课标III ，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ． B ． C ． D ．2 13．若复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是 A ． B ．
高中数学高考总复习复数习题及详解
高中数学高考总复习复数习题及详解一、选择题 1．(2010·全国Ⅰ理)复数3＋2i 2－3i ＝() A．i B．－i C．12－13i D．12＋13i [答案] A [解析]3＋2i 2－3i ＝ (3＋2i)(2＋3i) (2－3i)(2＋3i) ＝ 6＋9i＋4i－6 13＝i. 2．(2010·北京文)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是() A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i [答案] C [解析]由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－2 2＝2，y＝ 5＋3 2＝4， ∴点C对应的复数为2＋4i，故选C. 3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是() A．－1 B．4 C．－1和4 D．－1和6 [答案] C [解析]由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C. [点评]复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．
4．(文)已知复数z＝ 1 1＋i ，则z－·i在复平面内对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] B [解析]z＝1－i 2，z －＝1 2＋ i 2，z －·i＝－1 2＋ 1 2i.实数－ 1 2，虚部 1 2，对应点? ? ? ? ? － 1 2， 1 2在第二象 限，故选B. (理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z2＋1 z() A．是纯虚数 B．是虚数但不是纯虚数 C．是实数 D．只能是零 [答案] C [解析]解法1：∵z的对应点P在单位圆上，∴可设P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋i sinθ. 则z2＋1 z＝ cos2θ＋i sin2θ＋1 cosθ＋i sinθ ＝ 2cos2θ＋2i sinθcosθ cosθ＋i sinθ ＝2cosθ为实数． 解法2：设z＝a＋bi(a、b∈R)， ∵z的对应点在单位圆上，∴a2＋b2＝1，∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1， ∴z2＋1 z＝z＋ 1 z＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R. 5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数 ．．．．是() A．－3＋i B．－3－i C．3＋i D．3－i
高考复数真题汇编
《复数》高考真题汇编 1、（2017北京文）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 2、（2017新课标Ⅱ理）． 3i 1i +=+ A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 3、（2017新课标Ⅲ理数）设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12 B ． C D ．2 4、（2017山东理）已知a R ∈,i 是虚数单位，若,4z a z z =?=，则a= （A ）1或-1 （B （C ） （D 5、（2017新课标Ⅰ理数）设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为（ ） A.13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 6、（2017新课标Ⅱ文）．(1i)(2i)++=（ ） A ．1i - B ．13i + C ．3i + D ．33i + 7、（2017北京理）若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A （–∞，1） B （–∞，–1） C （1，+∞） D （–1，+∞） 8、（2017新课标Ⅲ文数）复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9、（2017新课标Ⅰ文数）下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．(1+i)2 D ．i(1+i) (1i)(i)a -+a (,1)-∞(,1)-∞-(1,)+∞(1,)-+∞
全国卷高考题大全—复数
2011年——2016年高考题专题汇编 专题2 复数 1、（16年全国1 文）设（1+2i ）（a +i ）的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a= （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 2、（16年全国1 理）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1 （B （C 3、（16年全国3 文）若43i z =+，则|| z z = （A ）1 （B ）1- （C ）43+i 55 （D ） 43i 55- 4、（16年全国3 理）若z=1+2i ，则41 i zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i 5、（16年全国2 文）设复数z 满足i 3i z +=-，则z = （A ）12i -+（B ）12i -（C ）32i +（D ）32i - 6、（16年全国2 理）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 （A ）(31) -， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 7、（15年全国2 文）若a 为实数，且 231ai i i +=++，则a = A ．-4 B ．-3 C ．3 D ．4 8、（15年全国2理）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 9、（15年全国1 文）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z= （A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i 10、（15年全国1 理）设复数z 满足1+z 1z -=i ，则|z|= （A ）1 （B （C （D ）2 11、（14年新课标3 理）设103i z i =+，则z 的共轭复数为（ ）
复数十年高考题
※ 1.设复数z 1=－1+i ，z 2 = 2 3 21+ i ，则arg 21z z 等于（ ） A.－ 125π B.12 5 π C.127π D.1213π 2.复数z = i i m 212+-（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ※ 3.如果θ∈（ 2 π，π），那么复数（1＋i ）（cos θ＋i sin θ）的辐角的主值是（ ） A.θ＋ 4 9π B.θ＋ 4 π C.θ4 π - D.θ＋ 4 7π 4．复数（ 2 3 21+i ）3的值是（ ） A. －i C.－1 5.如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ） ※ 6.已知复数ｚ＝ i 62+，则arg z 1 是（ ） A. 6 π B. 6 11π C. 3 π D. 3 5π ※ 7.设复数z 1＝－1－i 在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向旋转 6 5 π后得到向量2OZ ，令2OZ 对应的复数z 2的辐角主值为θ，则tan θ等于（ ） 图12—1
－3 B.－2＋3 ＋ 3 D.－2－ 3 ※ 8.在复平面内，把复数3－ 3i 对应的向量按顺时针方向旋转 3 π，所得向量对应的 复数是（ ） 3 B.－23i C. 3－3i + 3i ※ 9.复数z ＝)5 sin 5 (cos 3π π i --（i 是虚数单位）的三角形式是（ ） ［cos （5π- ）＋i sin （5 π-）］ （cos 5 π ＋i sin 5 π） （cos 54π＋i sin 5 4π） （cos 56π＋i sin 5 6π ） 10.复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.设复数z 1＝2sin θ＋i cos θ（ 4 π＜θ＜ 2 π )在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向旋转 4 3 π后得到向量2OZ ，2OZ 对应的复数为z 2＝ r （cos ?＋i sin ?），则tan ?等于（ ） A. 1 tan 2tan 2-θθ B. 1 tan 21 tan 2+-θθ C.1 tan 21+θ D.1 tan 21-θ ※ 12.复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是（ ） A. i 2 1 23± B.i 2 123±-
高考数学复数习题精选
高考数学复数习题 1．复数3－i 1－i 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i 2．复数3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝ ( ) A ．0 B ．2 C ．－2i D ．2i 3．已知z 是纯虚数，z ＋2 1－i 是实数，那么z 等于 ( ) A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i 4．若f (x )＝x 3－x 2 ＋x －1，则f (i)＝ ( ) A ．2i B ．0 C ．－2i D ．－2 5．复数z ＝2－i 1＋i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．若将复数2＋i i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a 的值为（ ） A ．－2 B ．－12 C ．2 D.1 2 7．设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2等于 ( ) A.74－3i B.14－3i C.74＋3i D.14＋3i 8．过原点和3－i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B ．－π6 C.23 π D.5 6 π 9．设a 、b 、c 、d ∈R ，若a ＋bi c ＋di 为实数，则 ( ) A ．bc ＋ad ≠0 B ．bc －ad ≠0 C ．bc －ad ＝0 D ．bc ＋ad ＝0 10．已知复数z ＝1－2i ，那么1 z ＝ ( ) A.55＋255i B. 55－255i C.15＋25i D.15－25 i 11．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z1 z2 是实数，则实数b 的值为 ( ) A ．6 B ．－6 C ．0 D.1 6 12．如果复数 2－bi 1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )
全国卷高考题大全—复数
全国卷高考题大全—复数 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
2011年——2016年高考题专题汇编 专题2 复数 1、（16年全国1 文）设（1+2i ）（a +i ）的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a= （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 2、（16年全国1 理）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1 （B （C 3、（16年全国3 文）若43i z =+，则|| z z = （A ）1 （B ）1- （C ）43+i 55 （D ）43i 55- 4、（16年全国3 理）若z=1+2i ，则41 i zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i 5、（16年全国2 文）设复数z 满足i 3i z +=-，则z = （A ）12i -+（B ）12i -（C ）32i +（D ）32i - 6、（16年全国2 理）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 （A ）(31) -， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 7、（15年全国2 文）若a 为实数，且 231ai i i +=++，则a = A ．-4 B ．-3 C ．3 D ．4 8、（15年全国2理）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a= （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2
9、（15年全国1 文）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z= （A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i 10、（15年全国1 理）设复数z 满足1+z 1z -=i ，则|z|= （A ）1 （B （C （D ）2 11、（14年新课标3 理）设103i z i =+，则z 的共轭复数为（ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 12、（14年新课标2 文）131i i +=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）1-2i (D) 1-2i - 13、（14年新课标2 理）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 14、（14年新课标1 文）设i i z ++= 11，则=||z A. 2 1 B. 2 2 C. 2 3 D. 2 15、（14年新课标1 理）3 2(1)(1) i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 16、（13年新课标2 文） 21i =+ (A) (B) 2 (D) 1 17、（13年新课标2 理）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z= （ ） （A ）-1+i （B ）-1-i （C ）1+i （D ）1-i 18、（12年新课标2 文）复数z ＝－3+i 2+i 的共轭复数是 （A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i
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高考复习试卷(附参考答案) 一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1．(2013·山东)复数3－i 1－i 等于 ( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i 答案：C 解析：3－i 1－i ＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i) ＝4＋2i 2＝2＋i.故选C. 2．(2013·宁夏、海南)复数3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝ ( ) A ．0 B ．2 C ．－2i D ．2i 答案：D 解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i 13 －－13i 13＝i ＋i ＝2i. 3．(2013·陕西)已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z 等于 ( ) A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i 答案：D 解析：由题意得z ＝a i.(a ∈R 且a ≠0)． ∴z ＋21－i ＝(2＋a i)(1＋i)(1－i)(1＋i) ＝2－a ＋(a ＋2)i 2， 则a ＋2＝0，∴a ＝－2.有z ＝－2i ，故选D. 4．(2013·武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )＝x 3－x 2＋x －1，则f (i)＝ ( ) A ．2i B ．0 C ．－2i D ．－2 答案：B 解析：依题意，f (i)＝i 3－i 2＋i －1＝－i ＋1＋i －1＝0，选择B. 5．(2013·北京朝阳4月)复数z ＝2－i 1＋i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D 解析：z ＝2－i 1＋i ＝12－32 i ，它对应的点在第四象限，故选D. 6．(2013·北京东城3月)若将复数2＋i i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a 的值为 ( ) A ．－2 B ．－12 C ．2 D.12 答案：A 解析：2＋i i ＝1－2i ，把它表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a 的值为－2，故选A. 7．(2013·北京西城4月)设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2等于 ( ) A.74－3i B.14－3i C.74＋3i D.14＋3i 答案：B 解析：z ＝tan45°－i·sin60°＝1－32i ，z 2＝14 －3i ，故选B. 8．(2013·黄冈中学一模)过原点和3－i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B ．－π6 C.23π D.56 π