人教版数学八年级竞赛教程之运用公式法进行因式分解附答案

运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()()完全平方公式a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±⋅+()() 补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() =++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++=（2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。

因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222--分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。

再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。

同时要注意分解一定要彻底。

2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。

解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()()则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()()由此可得21112023a a b m b+=-+==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()由（1）得a =-1把a =-1代入（2），得b =12把b =12代入（3），得m =123. 在几何题中的应用。

例：已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。

分析：因为题中有a b ab 22、、-，考虑到要用完全平方公式，首先要把-ab 转成-2ab 。

所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。

解： a b c ab bc ac 2220++---= ∴++---=2222220222a b c ab bc ac∴-++-++-+=()()()a ab b b bc c c ac a 2222222220 ∴-+-+-=()()()a b b c c a 2220 ()()()a b b c c a -≥-≥-≥222000，， ∴-=-=-=a b b c c a 000，，∴==a b c∴∆ABC 为等边三角形。

4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。

解：设这两个连续奇数分别为2123n n ++，（n 为整数） 则()()232122n n +-+=++++--=+=+()()()()2321232124481n n n n n n由此可见，()()232122n n +-+一定是8的倍数。

5、中考点拨：例1：因式分解：x xy 324-=________。

解：x xy x x y x x y x y 32224422-=-=+-()()()说明：因式分解时，先看有没有公因式。

此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

例2：分解因式：2883223x y x y xy ++=_________。

解：288244322322x y x y xy xy x xy y ++=++()=+222xy x y () 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。

题型展示： 例1. 已知：a m b m c m =+=+=+121122123，，， 求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。

解：a ab b ac c bc 222222++-+- =+-++()()a b c a b c 222 =+-()a b c 2 a m b m c m =+=+=+121122123，， ∴原式=+-()a b c 2=+++-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥=()()()1211221231422m m m m说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

例2. 已知a b c a b c ++=++=00333，， 求证：a b c 5550++=证明： a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() ∴把a b c a b c ++=++=00333，代入上式， 可得abc =0，即a =0或b =0或c =0 若a =0，则b c =-， ∴++=a b c 5550若b =0或c =0，同理也有a b c 5550++= 说明：利用补充公式确定a b c ，，的值，命题得证。

例3. 若x y x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。

解： x y x y x xy y 332227+=+-+=()() 且x xy y 229-+=)1(92322=++=+∴y xy x y x ， 又x xy y 2292-+=()两式相减得xy =0 所以x y 229+=说明：按常规需求出x y ，的值，此路行不通。

用因式分解变形已知条件，简化计算过程。

【实战模拟】 1. 分解因式：（1）()()a a +--23122（2）x x y x y x 5222()()-+-（3）a x y a x y x y 22342()()()-+-+- 2. 已知：x x +=-13，求x x441+的值。

3. 若a b c ，，是三角形的三条边，求证：a b c bc 22220---<4. 已知：ωω210++=，求ω2001的值。

5. 已知a b c ，，是不全相等的实数，且abc a b c abc ≠++=03333，，试求 （1）a b c ++的值；（2）a b c b c a c a b()()()111111+++++的值。

【试题答案】1. （1）解：原式=++-+--[()()][()()]a a a a 231231 =+-+()()4123a a =-+-()()4123a a说明：把a a +-231，看成整体，利用平方差公式分解。

（2）解：原式=---x x y x x y 5222()() =--x x y x 2321()()=--++x x y x x x 22211()()()（3）解：原式=-+-+-()[()()]x y a a x y x y 2222 =-+-()()x y a x y 222. 解： ()x x x x +=++121222 ∴+=+-=--=x xx x 2222112327()()∴+=∴++=()x x x x 222441491249， ∴+=x x441473. 分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。

证明： a b c bc 2222---=-++=-+=++--a b bc c a b c a b c a b c 222222()()()()a b c ，，是三角形三边 ∴++>a b c 0且a b c <+ ∴++--<()()a b c a b c 0 即a b c bc 22220---< 4. 解 ωω210++=∴+++=()()ωωω1102，即ω310-= ∴=∴==ωωω32001366711()5. 分析与解答：（1）由因式分解可知a b c abc a b c 3333++-=++()⋅++---()a b c ab bc ca 222故需考虑a b c ab bc ca 222++---值的情况，（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。

解：（1） a b c abc 3333++= ∴++-=a b c abc 33330 又 a b c abc 3333++-=++++---()()a b c a b c ab bc ca 222∴++++---=()()a b c a b c ab bc ca 2220 而a b c ab bc ca a b b c c a 22222212++---=-+-+-[()()()] a b c ，，不全相等∴++--->a b c ab bc ca 2220 ∴++=a b c 0 （2） abc ≠0 ∴原式=+++++1222abca b c b c a c a b [()()()] 而a b c ++=0，即a b c =-+()∴原式=+--1333abc b c b c [()] =+13abcbc b c [()]=-=-133abc abc ()说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。