山东科技大学2007年高等代数考研试题
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(山东.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．（1）若cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则使21z =-的θ值可能是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π （2）已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则MN =（ ）A ．{}11-，B ．{}1-C ．{}0D ．{}10-，（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④（4）设11132a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3B ．1-，1C ．1-，3D ．1-，1，3（5）函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和最大值分别为（ ）①正方形②圆锥③三棱台④正四棱A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2（6）给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()3x f x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =（7）命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ） A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤ B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤C ．存在x ∈R ，3210x x -+>D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ） A ．0.9，35 B ．0.9，45 C ．0.1，35D ．0.1，450 13 14 15 16 17 18 19 秒 频率/组距0.360.340.180.060.04 0.02（9）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是（ ） ①p ：2m <-或6m >；q ：23y x mx m =+++有两个不同的零点．②():1()f x p f x -=；:()q y f x =是偶函数． ③:cos cos p αβ=；:tan tan q αβ=． ④:p A B A =；:U Uq B A ⊆．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④（10）阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（ ） A ．2500，2500 B ．2550，2550 C ．2500，2550D ．2550，2500`（11）在直角ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ） A ．2AC AC AB = B ．2BC BA BC = C ．2AB AC CD =D ．22()()AC AB BA BC CD AB⨯=（12）位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位`于点(23)，的概率是（ ） 开始 输入n22x <1n n =-T T n=+1n n =-结束输出S T ，s s n =+否00ST ==，A ．212⎛⎫⎪⎝⎭B ．3231C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2231C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．312231C C 2⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上． （13）设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为 ．（14）设D 是不等式组21023041x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≥，≤≤，≥表示的平面区域，则D 中的点()P x y ，到直线10x y +=距离的最大值是 ．（15）与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +---=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．（16）函数log (3)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）设数列{}n a 满足211233333n n na a a a -++++=…，a ∈*N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．（18）（本小题满分12分）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）． （Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率．（19）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，AB DC ∥．（Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证：1D E ∥平面11A BD ； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．（20）（本小题满分12分）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？BCD A1A1D1C1BE北2B2A120 105（21）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．（22）（本小题满分14分）设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考答案第Ⅰ卷一、选择题（1）D （2）B （3）D （4）A （5）A （6）B（7）C（8）A（9）D（10）D（11）C（12）B第Ⅱ卷二、填空题（13）212p （14）42 （15）22(2)(2)2x y -+-= （16）8三、解答题（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）211233333n n na a a a -++++=…， ① ∴当2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++=…． ② ①-②得1133n n a -=，13n n a =．在①中，令1n =，得113a =．13n na ∴=． （Ⅱ）n nn b a =， 3n n b n ∴=．23323333n n S n ∴=+⨯+⨯++…， ③23413323333n n S n +∴=+⨯+⨯++…． ④④-③得12323(3333)n n n S n +∴=-++++…．即13(13)2313n n n S n +-=--，1(21)3344n n n S +-∴=+．（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程20x bx c ++=没有实根”为事件A ，“方程20x bx c ++=有且仅有一个实根”为事件B ，“方程20x bx c ++=有两个相异实数”为事件C ，则{}()126b c b c Ω==，，，，…，，{}2()40126A b c b c b c =-<=，，，，，…，， {}2()40126B b c b c b c =-==，，，，，…，， {}2()40126C b c b c b c =->=，，，，，…，，所以Ω是的基本事件总数为36个，A 中的基本事件总数为17个，B 中的基本事件总数为2个，C 中的基本事件总数为17个． 又因为B C ，是互斥事件， 故所求概率21719()()363636P P B B C =+=+=． （Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为012，，，则{}17036P ξ==， {}1118P ξ==， {}17236P ξ==， 故ξ的分布列为：ξ 012P17361181736所以ξ的数学期望171170121361836E ξ=⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）记“先后两次出现的点数有中5”为事件D ，“方程20x bx c ++=有实数”为事件E ，由上面分析得11()36P D =，7()36P D E =， ()7()()11P D E P E D P D ∴==．（19）（本小题满分12分） 解法一：（Ⅰ）连结BE ，则四边形DABE 为正方形，11BE AD A D ∴==，且11BE AD A D ∥∥， ∴四边形11A D EB 为平行四边形．11D E A B ∴∥．又1D E ⊄平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，1D E ∴∥平面1A BD ．（Ⅱ）以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1DA =，则(000)D ，，，(100)A ，，，(110)B ，，，(022)C ，，，1(102)A ，，，1(102)DA ∴=，，，(110)DB =，，， BCD A1A1D1C1BEG设()x y z =，，n 为平面1A BD 的一个法向量． 由1DA ⊥n ，DB ⊥n ，得200.x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1z =，则(231)=-，，n ．又2(023)DC =，，，(110)DB =，，， 设111()x y z =，，m 为平面1C BD 的一个法向量， 由DC ⊥m ，DB ⊥m ，得11112200.y z x y +=⎧⎨+=⎩， 取11z =，则(111)=-，，m ，设m 与n 的夹角为a ，二面角11A BD C --为θ，显然θ为锐角，33cos 393θ-∴===-m n m n ． 3cos 3θ∴=， 即所求二面角11A BD C --的余弦为33． 解法二：（Ⅰ）以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设DA a =，由题意知：(000)D ，，，(00)A a ，，，(0)B a a ，，，(020)C a ，，，1(022)C a a ，，，1(02)A a a ，，，1(002)D a ，，，(00)E a ，，．1(02)D E a a ∴=-，，，1(02)DA a a =，，，(0)DB a a =，，， 又(02)(0)(02)a a a a a a -=-，，，，，，，1D E DB DA ∴=-．1DA DB ⊂，平面1A BD ，1D E ⊄平面1A BD ， 1D E ∴∥平面1A BD ．（Ⅱ）取DB 的中点F ，1DC 的中点M ，连结1A F ，FM ， 由（Ⅰ）及题意得知：022a a F ⎛⎫⎪⎝⎭，，，(0)M a a ，，， 1222a a FA a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，，22a a FM a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，12(0)022a a FA DB a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，，(0)022a a FM DB a a a ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，，，，．1FA DB ∴⊥，FM DB ⊥，1A FM ∴∠为所求二面角的平面角．111cos FA FM A FM FA FM∴=∠BCD A 1A1D 1C1BExyzF M2222232622a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，，，， 222223443332a a a a--+==． 所以二面角11A BD C --的余弦值为33． 解法三：（Ⅰ）证明：如解法一图，连结1AD ，AE ， 设11AD A D G =，AEBD F =，连结GF ，由题意知G 是1A D 的中点，又E 是CD 的中点，∴四边形ABED 是平行四边形，故F 是AE 的中点，∴在1AED △中，1GF D E ∥，又GF ⊂平面1A BD ，1D E ⊄平面1A BD ，1D E ∴∥平面1A BD ．（Ⅱ）如图，在四边形ABCD 中，设AD a =，AB AD =，AD DC ⊥，AB DC ∥， AD AB ∴⊥．故2BD a =，由（Ⅰ）得2222222BC BE EC a a a =+=+=，2DC a =，BCDA1A1D1C1BEF MH90DBC ∴=∠，即BD BC ⊥．又1BD BB ⊥，BD ∴⊥平面11BCC B ，又1BC ⊂平面11BCC B ，1BD BC ∴⊥，取1DC 的中点M ，连结1A F ，FM ， 由题意知：1FM BC ∴∥，FM BD ∴⊥．又11A D A B =，1A F BD ∴⊥．1A FM ∴∠为二面角11A BD C --的平面角．连结1A M ，在1A FM △中， 由题意知：1322A F a =，2211116222FM BC BC CC a ==+=， 取11D C 的中点H ，连结1A H ，HM ， 在1Rt A HM △中，12A H a =，HM a =， 13A M a ∴=．2221111cos 2A F FM A M A FM A F FM+-∴=∠2229332236222a a a a a +-= 33=． ∴二面角11A BD C --的余弦值为33． （20）（本小题满分12分）解法一：如图，连结11A B ，由已知22102A B =，122030210260A A =⨯=，1221A A A B ∴=，又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1212102A B A A ∴==， 由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理，22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-22220(102)2201022=+-⨯⨯⨯200=．12102B B ∴=．北1B2B1A2A120 105 甲乙因此，乙船的速度的大小为1026030220⨯=（海里/小时）． 答：乙船每小时航行302海里．解法二：如图，连结21A B ，由已知1220A B =，122030210260A A =⨯=，112105B A A =∠，cos105cos(4560)=+cos 45cos60sin 45sin 60=- 2(13)4-=， sin105sin(4560)=+sin 45cos60cos 45sin 60=+ 2(13)4+=． 在211A A B △中，由余弦定理，22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-222(13)(102)202102204-=+-⨯⨯⨯100(423)=+．1110(13)A B ∴=+． 由正弦定理1112111222202(13)2sin sin 4210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， 12145A A B ∴=∠，即121604515B A B =-=∠，北1B2B1A2A120 105 乙甲2(13)cos15sin1054+==．在112B A B △中，由已知12102A B =，由余弦定理，22212112221222cos15B B A B A B A B A B =++2222(13)10(13)(102)210(13)1024+=++-⨯+⨯⨯200=．12102B B ∴=， 乙船的速度的大小为1026030220⨯=海里/小时． 答：乙船每小时航行302海里． （21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：3a c +=，1a c -=，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-=．∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+， 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y y x x =---，1212122()40y y x x x x ∴+-++=，2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --∴+++=+++，2291640m mk k ∴++=．解得：12m k =-，227km =-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （22）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知，()f x 的定义域为(1)-+∞，，322()211b x x bf x x x x ++'=+=++ 设2()22g x x x b =-+，其图象的对称轴为1(1)2x =-∈-+∞，，max 11()22g x g b ⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭．当12b >时，max 1()02g x b =-+>， 即2()230g x x x b =+->在(1)-+∞，上恒成立，∴当(1)x ∈-+∞，时，()0f x '>， ∴当12b >时，函数()f x 在定义域(1)-+∞，上单调递增． （Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当12b >时，函数()f x 无极值点． ②12b =时，3122()01x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'==+有两个相同的解12x =-， 112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，12x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，12b ∴=时，函数()f x 在(1)-+∞，上无极值点． ③当12b <时，()0f x '=有两个不同解，11122b x ---=，21122b x -+-=，0b <时，111212b x ---=<-，211202bx ---=>，即1(1)x ∈-+∞，，[)21x ∈-+∞，．0b ∴<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x1(1)x -， 1x 2()x +∞，()f x '-+()f x极小值由此表可知：0b <时，()f x 有惟一极小值点11122bx ---=，当102b <<时，111212b x ---=>-， 12(1)x x ∴∈-+∞，，此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x1(1)x -，1x 12()x x ， 1x 1()x -∞， ()f x ' +0 -0 +()f x极大值极小值由此表可知：102b <<时，()f x 有一个极大值11122b x ---=和一个极小值点21122bx -+-=；综上所述：0b <时，()f x 有惟一最小值点1122bx -+-=；102b <<时，()f x 有一个极大值点1122b x ---=和一个极小值点112bx x-+-=；12b ≥时，()f x 无极值点．（Ⅲ）当1b =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+， 令函数222()()ln(1)h x x f x x x x =-=-++，则22213(1)()3211x x h x x x x x +-'=-+=++． ∴当[)0x ∈+∞，时，()0f x '>，所以函数()h x 在[)0+∞，上单调递增，又(0)0h =．(0)x ∴∈+∞，时，恒有()(0)0h x h >=，即23ln(1)x x x >-+恒成立．故当(0)x ∈+∞，时，有23ln(1)x x x +>-． 对任意正整数n 取1(0)x n =∈+∞，，则有23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭． 所以结论成立．。
山东科技大学电路2007年考研真题
山东科技大学2007年招收硕士学位研究生入学考试 电路试卷一、单项选择题：(本大题共12小题，每小题5分，总计60分)在下列各题中，有四个备选答案，请将其中唯一正确的答案写到答题纸上，不要写在试卷上！1、图示正弦交流电路中，负载L Z 获得最大功率时，L Z 应为A.5Ω B. ()j35+ΩC. ()j35−ΩD.j3−Ω答 ( )LSU 2、若变压器的初级线圈和次级线圈的电感均为2H,线圈间的互感也为2H,则该变压器为A. 为理想变压器B. 线圈的匝数比为2C. 为全耦合变压器D. 以上三点全不正确 答( ） 3、今有10μF 的电容元件，充电到100 V 后从电路中断开，经10 s 后电压下降到36.8 V ，则该电容元件的绝缘电阻为 A. 100k Ω B. 1M Ω C. 10M Ω D. 20M Ω 答（ ）4、RLC 串联电路的R =4k Ω，L =4H ，C =1µF 。
该电路的暂态响应属于A. 衰减振荡情况B. 振荡情况C. 临界情况D. 非振荡情况 答( )5、图示正弦交流电路中，若21C L ωω>，且电流有效值A 41=I ，A 32=I ，则I 等于A. 7AB. 5A C1AD.2A答 ( )2C6、图示二端网络的电压电流关系为A. U I =+25B. U I =−25C. U I =−−25D. U I =−+25 答( )7、电路如图所示, 当t =0时开关断开, 已知()()i i 12000−−==,则()i 20+等于A.L L L I 112+SB. 0C.L L L I 212+SD.12L I S 答()28、图示电容元件的()u 00=，()i t =02. A ，则t 由0至50s 期间电容吸收能量为A.50 JB. 100 JC. 250 JD. 500 J答()02.9、图示正弦RLC 并联电路,测得图中各电流有效值分别为I =5A, I R =4A,I L =3A, 则i C 等于A. 1AB. 2AC. 6AD. 4A 答( )C+-10、图示正弦交流电路中，已知°∠=05SI &A ，则电路复功率(功率复量)S ~等于A. ()j3648−V AB. ()j3648+V AC.()j4836−V AD.()j4836+V A答 ( )Ωj3SI11、图示并联的有互感线圈的等效电感为A. L 1+L 2+2MB. L 1+L 2－2MC.L L M L L M 122122−+−D.L L M L L M122122−++ 答( )L 212、图示电路中i S =+(2410cos t )A ，则10Ω电阻消耗的功率为A. 20WB. 160WC. 80WD. 200W 答( )01.F二、非客观题( 本 大 题15分 ) 求图示电路中的i 1、i 2。
山东科技大学考研真题450有机化学 2007
山东科技大学2007年招命名或写出结构式（15分，每题1分）
二、完成下列反应式（30分，每空1分）
三、简答题（30分）
1.用化学方法除去乙烷中少量的乙烯。（5分）
2.试将下列化合物按酸性的强弱排列,并予以解释。（5分）
2.某碱性化合物A（C4H9N）经臭氧化再水解，得到的产物中有一种是甲醛。A经催化
加氢得B（C4H11N）。B也可由戊酰胺和溴的氢氧化钠溶液反应得到。A和过量的碘甲烷作用，能生成盐C（C7H16IN）。该盐和湿的氧化银反应并加热分解得到D（C4H6）。D和丁炔二酸二甲酯加热反应得到E（C10H12O4）。E在钯存在下脱氢生成邻苯二甲酸二甲酯。试推测A、B、C、D、E的结构。（10分）
3.比较下列离去基团的离去能力的大小强弱，并予以解释。（5分）
4.将下列醇按沸点由低到高排列，并予以解释。（5分）
5.用化学方法鉴别下列化合物：（5分）
6.比较下列卤代烷烃的单分子亲核取代反应（SN1）的反应活性大小，并予以解释。（5分）
四、给出可能的反应机理并予以解释。（20分，每小题10分）
1.
（10分）
2.
（10分）
五、推断结构题（30分,每小题10分）
1.化合物A、B、C、D的分子式都是C10H14，它们都有芳香性。A不能氧化为苯甲酸；B可被氧化为苯甲酸，且B有手性；C也可氧化成苯甲酸，但C无手性，C的一氯代产物中有两个具有手性，分别为E和F；D可氧化为对苯二甲酸，D的一氯代产物中也有两个具有手性，分别是G和H。试写出A、B、C、D、E、F、G、H的构造式。（10分）
六、合成题（25分，每小题5分）
1.以 合成 。（5分）
2007年考研数学试题详解及评分参考
f (x, y)dy =
G
G dy = y2 - y1 < 0 ，是正确选项；
ò ò 对选项(C)，有 f (x, y)ds = ds = l > 0 ，（其中 l 为的弧长），应排除；
G
G
ò ò 对选项(D)，有
G
f
¢
x
(
x,
y)dx
+
f
¢
y
(
x,
y)dy
=
0dx + 0dy = 0 ，应排除.
G
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2007 年数学试题详解及评分参考
2007 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题详解及评分参考
数 学（一）
一、选择题 （ 1 ～ 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。）
(1) 当 x ® 0+ 时，与 (A) 1- e x
【答】 应选 (B) .
x 等价的无穷小量是
1- x
1- x 1- x
x+x:
x ，1- cos
x
:
1 2
(
x )2
=
1 2
x
.
故选 (B) .
(2)
曲线 y
=
1 x
+ ln(1+ ex ) 渐近线的条数为
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
【答】 应选 (D) .
【解】
因 lim y x®+¥
=
lim [1 x x®+¥
+ ln(1+ ex )] = +¥ ， lim x®-¥
y
=
lim [1 x x®-¥
2007考研数一真题答案及详细解析
h(a) =f(a)-g(a) =M-g(a)�O, h(/J) =f依） — g(/J) =f(/J) —M<o,
P 由介们定理，存在介于a与 之间的点刀，使得h(r;) = O.
综上，存在吓E(a,b),使得h(r;)=O. 因此由罗尔定理可知，存在 名ECa,r;),名E(17,b),使得
h I(名） =h'(名） =O,
= O,
故 x-+=时有斜渐近线y =x.
综上，所求曲线的渐近线条数为 3 条，答案为 D.
(3) C
解 如题目中图所示，大小半圆的面积分别为六与 一 14 六．
按定积分的几何意义知，当 x E[0,2]时f(x)�O,当 x E[2,3]时f(x)�O. 则
I I 2(:) ! F(3)=
勹 (t)dt=
(x2 )" n!
=xe立、2
,x、EC�=,
十=).
(21)解 因为方程组也与＠的公共解，即为联立方程组 x1+x2+x3 = 0,
x1 +2x2+a儿、 3 = O, ＠
X 1 +4x2 +a勹3�o, ｀亢 1+2x2 +.:r :, =a — 1
的解
对方程组＠的增广矩阵A施以初等行变换，有
。 。 1 1 1
= J'(0)存在．
工 -o
x-o X
工-o
X
因此A、B、C正确．故应选D.
(5) D 解
、
由广(x)>O (x>O)得J'(x)在(0, 十=)单调上升.j (x)只有以下三种情形：
(1)由存在x。 E (o, 十=), 厂(x。 )=O得
山东科技大学信号与系统2007--2020年考研初试真题
1一、画图（每小题6分，共30分）（1）请画出=)(t T δ)(∑-n nT t -∞∞=δ的波形（2）请画出)(t δ的频谱。
（3）若信号)(t f 的频谱如下图所示,请画出该信号被冲击序列信号=)(t T δ)(∑-n mT t -∞∞=δ取样后信号的频谱。
(注:取样频率大于2ωm)（4）在Z 域平面上，画出序列()()()1k k f k a k b k εε=+--的收敛域（5）请画出该系统的模拟框图或信号流图。
二、若函数()f t 的傅氏变换为()F jw ,)(t ε是阶跃函数，求下列函数的傅氏变换：（每小题5分，共10分）(1)(2)(2)f t t δ-；（2）f (t )=)(t ε三、求原函数（每小题5分，共20分）（1）)3cos(2)(ωω=j F （2），（Re(s)>0注：可表达为卷积的形式）2（3）121)(+=z z F ，(1<|z|)（错误：引用源未找到）（4（⎥z ⎥>5）{参考公式：)0()()()1(--↔f s sF t f,)0()0()()()1(2)2(----↔f sf s F s t f，，，)1()()1-k (1-+↔-f z F z f ,12)1()2()()2-k (---+-+↔z f f z F z f }四．（15分）某LTI 连续系统，其初始状态一定，已知当激励为)(t f 时，其全响应为0),cos(1≥+=-t t e y t π;若初始状态不变时，激励为)(2t f 时，其全响应为0),cos(2)(2≥=t t t y π。
求初始状态不变，而激励为)(3t f 时系统的全响应。
五.（15分）若已知描述某离散时间系统的差分方程为)(4)2(4)1(4)(k f k y k y k y =-+--，初始条件为0)1(=-y ，2)2(=-y ，)()3()(k k f k ε-=，由z 域求系统的零输入响应和零状态响应。
2007年考研数学一试卷真题及答案解析
2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当0x +→等价的无穷小量是(A) 1- (B) ln(C) 1. (D) 1- [ B ]【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】 当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111~.22x -= 利用排除法知应选(B). (2) 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim[ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11xx x e e→+∞=+， 1lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim[ln (1)]lim ln(1)0x x xx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ]【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
2007—数二真题、标准答案及解析
在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的
是：（C）
.
(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)
A. 若存在，则 B. 若存在,
C. 若存在, 则 D. 存在,
（5）曲线渐近线的条数为
（D）
0
12
3
(6)设函数在上具有二阶导数，且,
令=
则下列结论正确的是
(D)
A.若，则必收敛 B. 若，则必发散
则原式可化为： 等式两边同时求导得：
（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线 下方、轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积； （Ⅱ）当为何值时，最小？并求此最小值. 【详解】：
得 故 即是唯一驻点，也是最小值点，最小值 （19）求微分方程满足初始条件的特解. 【详解】： 设，则代入得：
C. 若，则必收敛 D. 若，则必发散
（7）二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （ ）
A.
B. ，且
C.
D. 且
（8）设函数连续，则二次积分等于 （ ）
（9）设向量组线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( )
（A） （B）
（C） （D）
（10）设矩阵A=，B=,则A于B，
（）
(A) 合同，且相似
C. 若，则必收敛 D. 若，则必发散
（7）二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （c）
A.
B. ，且
C.
D. 且
（8）设函数连续，则二次积分等于 （B）
（9）设向量组线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A)
（A） （B）
（C） （D）
（10）设矩阵A=，B=,则A于B，