泊松分布
泊松分布的概念及表和查表方法
泊松分布的概念及表和查表方法Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。
中文名泊松分布外文名poisson distribution 分类数学时间1838年台译卜瓦松分布提出西莫恩·德尼·泊松目录1命名原因2分布特点3关系4应用场景5应用示例6推导7形式与性质命名原因泊松分布实例泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。
泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。
这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
分布特点泊松分布的概率函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为特征函数为关系泊松分布与二项分布泊松分布当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。
通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。
事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。
应用场景在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。
泊松分布表
计算概率
根据查找到的概率值计算所需事件的概率。例如，如果需要计算平均值为λ的标准正态分布下，距离平均值2个标准差范围内的概率，可以通过查找λ值对应的概率，然后将其与标准正态分布曲线下的面积相乘得到概率值。
确定参数
首先需要确定所需的置信水平和所需的样本数量n。置信水平通常选择95%或99%，样本数量n则根据实际情况而定。
对于具有依赖性和集群性的事件，可以考虑使用更复杂的模型，如负二项式分布、帕累托分布等，以更好地描述事件的发生。
使用更复杂的模型
为了处理事件发生的时空变化，可以考虑引入时变参数，根据时间、地点等因素的变化来调整参数值。
引入时变参数
可以结合其他理论或方法，如聚类分析、关联规则等，以更全面地考虑事件发生的影响因述了服务台前顾客到达的次数。
排队论
保险精算
自然灾害
在保险精算中，泊松分布被用来计算在一定时间段内发生特定事件（如死亡、理赔等）的概率。
在预测自然灾害（如地震、洪水等）的频率时，泊松分布也具有应用价值。
03
02
01
$f(k) = \frac{{e^{- \lambda}\lambda^{k}}}{k!}$
累积分布函数
泊松分布的累积分布函数表现为一条从0开始缓慢上升的曲线，随着λ的增加，曲线逐渐变得陡峭。这条曲线与横轴之间的面积表示事件发生的概率。
泊松分布的数学推导
03
VS
f(k) = λ^k * e^(-λ) / k!
泊松分布的概率质量函数
p(k) = λ^k * e^(-λ) / k!
泊松分布的概率密度函数
常见用途
泊松分布在自然和社会科学中都有广泛的应用，如人口统计学、生物统计学、经济学等。通过使用泊松分布表，可以方便地查询和计算在给定参数下的概率分布。
泊松分布
0
1 2 3 4 合计
27.90
42.50 32.37 16.44 6.26
26
40 38 17 7
0.1294
0.1474 0.9775 0.0191 0.0872 1.3606
自由度=组数-1-1=5-2=3
一个放射性物体5分钟测得脉冲数为200次， 这两种物体混合后估计5分钟脉冲数的总体 平均数及标准差是多少？
140+200=340
340 18.44
二、泊松分布的图形
泊松分布的特征只决定于平均数 ，不同的参数对应
不同的Poisson分布，即的大小决定了Poisson分布 的图形特征
x1 ( 38 29 36) / 3 34.33 x 2 ( 25 18) / 2 21.50 u 34.33 21.50 2.732 34.33 / 3 21.50 / 2
u
X1 X 2 X1 X 2 n1 n2
P<0.01，拒绝H0接受H1
用泊松分布对聚集性的研究
例
在室内不同位置放置6个平皿，隔一定时间后进行培
养，得葡萄球菌落数分别为21，26，22，18，19， 32，问细菌在室内不同位置的分布是否随机?
x 23
5.91 6 1 5
2 2 0 .05(5) 11.07 2 2 0 .05(5) , p 0.05
泊松分布资料的差异显著性检验
（三）泊松分布资料的差异显著性检验
1. 样本均数与总体均数比较： 直接计算概率法 例 8-10
例8－11
泊松分布的概念及表和查表方法
目录1命名原因2分布特点3关系4应用场景5应用示例6推导7形式与性质命名原因泊松分布实例泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。
泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。
这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
分布特点泊松分布的概率函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为特征函数为关系泊松分布与二项分布泊松分布当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。
通常当n≧20,p≦时，就可以用泊松公式近似得计算。
事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。
应用场景在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。
因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。
应用示例泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。
如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。
泊松分布的概念及表和查表方法
泊松分布的概念及表和查表方法Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。
中文名泊松分布外文名poisson distribution 分类数学时间1838年台译卜瓦松分布提出西莫恩·德尼·泊松目录1命名原因2分布特点3关系4应用场景5应用示例6推导7形式与性质命名原因泊松分布实例泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。
泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Sim éon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。
这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
分布特点泊松分布的概率函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为特征函数为关系泊松分布与二项分布泊松分布当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。
通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。
事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。
应用场景在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。
泊松分布的计算
泊松分布的计算
一、泊松分布的计算
泊松分布是随机事件在一个固定时间段内发生的概率分布，其中每个事件的发生是相互独立的，且发生概率不受其他事件发生的影响。
泊松分布的参数是一个独立的，由全体可能事件的概率总和决定的形态。
计算泊松分布的公式为：
P(x) = ((λ^x)* e^(-λ))/x!
其中，λ是每个事件发生的期望值，x是事件发生的次数，e是
自然常数，x!是x的阶乘。
二、通过泊松分布计算概率
例如，若给定一个λ=4，计算在一个可能事件中发生两次的概率。
在这种情况下，x=2，因此可以将上面的公式应用于此：
P(x) = ((4^2) * e^(-4))/2!
P(x) = (16 * 0.018315638) / 2
P(x) = 0.2945
因此，在一个有可能的事件中发生两次的概率为0.2945。
- 1 -。
泊松分布的概率分布
泊松分布的概率分布泊松分布是概率论中一种重要的离散型概率分布，它描述了在一定时间或空间范围内，某一事件发生的次数的概率分布情况。
泊松分布常被用来描述单位时间内某事件发生的次数，例如在单位时间内电话接到的次数、某个网站每天收到的访问次数等。
本文将从泊松分布的定义、特点、应用等方面进行介绍。
一、泊松分布的定义泊松分布是一种离散型概率分布，它表示在一个固定时间或空间内，某事件发生的次数的概率分布情况。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，X为事件发生的次数，k为非负整数，λ为单位时间或空间内事件的平均发生次数，e为自然对数的底。
二、泊松分布的特点1. 独立性：泊松分布假设事件的发生是相互独立的，即一个事件的发生不会影响到其他事件的发生。
2. 稀有性：泊松分布适用于事件发生的概率较小的情况，即当λ很小时，泊松分布可以近似描述事件的发生情况。
3. 均值和方差相等：泊松分布的均值和方差都等于λ，即E(X) = Var(X) = λ。
三、泊松分布的应用1. 电话呼叫中心：泊松分布可以用来描述电话呼叫中心在单位时间内接到的呼叫次数。
通过分析呼叫的泊松分布，可以确定合理的客服人员数量，以满足客户的需求。
2. 网络流量：泊松分布可以用来描述网络上的数据包到达的情况。
通过分析网络流量的泊松分布，可以预测网络负载，优化网络性能。
3. 事故发生：泊松分布可以用来描述事故发生的次数。
例如，在某个工厂每月发生的事故次数符合泊松分布，可以通过对泊松分布的分析，制定相应的安全措施，减少事故发生的概率。
4. 遗传突变：泊松分布可以用来描述遗传突变的发生情况。
通过对遗传突变的泊松分布进行分析，可以研究突变的规律，为相关疾病的治疗提供理论依据。
四、泊松分布的优缺点1. 优点：泊松分布具有简单、易于计算的特点，适用于描述稀有事件的发生情况。
在实际应用中，泊松分布通常用来近似描述一些复杂的实际问题。
泊松分布
……
是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除 去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量， 因此就意味着全部死亡的概率。
分布特点
泊松分布的概率函数为： 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随 机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为 特征函数为
关系
泊松分布与二项分布 泊松分布当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当 n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。 事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。
推导
泊松分布是最重要的离散分布之一，它多出现在当X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。在 一定时间内某交通路口所发生的事故个数，是一个典型的例子。泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。
为方便记，设所观察的这段时间为[0,1),取一个很大的自然数n，把时间段[0,1)分为等长的n段： 我们做如下两个假定： 1.在每段内，恰发生一个事故的概率，近似的与这段时间的长成正比，可设为。当n很大时，很小时，在这 么短暂的一段时间内，要发生两次或者更多次事故是不可能的。因此在这段时间内不发生事故的概率为。 2.各段是否发生事故是独立的 把在[0,1)时段内发生的事故数X视作在n个划分之后的小时段内有事故的时段数，则按照上述两个假定，X应 服从二项分布。于是，我们有 注意到当取极限时，我们有 因此 从上述推导可以看出：泊松分布可作为二项分布的极限而得到。
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体均数为λ1+λ2。
从同一水源独立地取水样5次，进行细菌培养，
每次水样中的菌落数分别为Xi，i=1,…,5,均服 从Poisson分布，分别记为Π（λi）, i=1,…,5， 把5份水样混合，其合计菌落数∑Xi也服务 Poisson分布，记为Π（λi+λi +…+λ5）.
例
某一放射性物体，以一分钟为时间单位的放射性计数
（一）概率估计和累积概率
概率估计 例 实验显示某100cm2的培养皿中菌落数等于3个的
概率
6 P( X 3) e 0.089 3!
6
3
例：如果某地居民脑血管疾病的患病率为150/10万，
那么调查该地1000名居民中有2人患脑血管疾病的概 率有多大？
n 1000 0.0015 1.5
例 8-9泊松分布的配合适度
将培养皿中的细菌稀 表8-4 细菌在计数小方格中的分布 释液置于血球计上， 每小格 观察的 数出小方格中的细菌 细菌数（x） 方格数（f） 数，共计128个方格， 计数结果见右表。问 0 26 此分布是否符合泊松 1 40 分布？ 2 38
3 4 17 7
Poisson分布拟合优度检验计算表
当n很大而π很小,且nπ =为常数时,二项分布近似 Poisson分布 Poisson分布的总体均数和方差相等：即=2 当增大时，Poisson分布渐近正态分布;当≥20时Poisson 分布资料可作为正态分布处理 Poisson分布具有可加性
Poisson分布的均数和方差
n 当 0时 ， 1 1 n (1 ) n
应用均数=方差的特点可以检验样本中各计数（x1 ，
x2 ，… xn)是否来自同一总体有随机样本。用所观察到 的样本数据，作如下卡方检验，其自由度为n-1
2
i 1
( xi x )
n
2
x
这一检验和上面介绍的泊松分布配合适度检验都可用
于检验某一样本是否来自泊松分布，或检验某事件 （或颗粒）之间是否独立或是否有聚集性。
样本，没有理由说此乡肝癌死亡率低于该高发区的平 均水平。
例 8-7
对于大样本资料置信区间可近似地运用正态分布法进
行
同一样品分别用 10 个平皿进行培养，共数得菌落数
1460个，试估计该样品菌落数的 95% 置信区间。
95%CI : 1.96 99%CI : 2.58
样本值X＝5，对应的概率
35 3 P( X 5 | 3) e 0.10081 5! 3 X 3 P( X ) e X!
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(X) 0.0498 0.1494 0.2240 0.2240 0.1680 0.1008 0.0504 0.0216 0.0081 0.0027 0.0008
3 0 1
合计
400
Poisson的可加性
从总体均数为λ1的Poisson分布总体中随机抽出一份样
本，其中稀有事件的发生次数为X1次，
再独立地从总体均数λ2的Poisson分布总体中随机抽出
另一份样本，其中稀有事件的发生次数为X2，
则它们的合计发生数T=X1+X2也服从Poisson分布，总
X1＋X2≥20 5＜X1＋X2 ＜ 20 例 8-12
u u x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 1 x1 x 2
例 8-12
用甲、乙两种培养基对水质进行细菌培养,在相同的条
件下, 用甲培养基的菌落数为100, 用乙培养基的菌落 数为150, 问两培养基的菌落数的差别有无显著性?
用途：
用来描述研究单位时间内（或单位空间、容积内）某
罕见事件发生次数的分布：如
单位体积的水或牛奶中的细菌数的分布 计数空气中细菌或灰尘的分布 放射性物质在单位时间内放射次数的分布
用来分析医学上人群中遗传缺陷、癌症等发病率很低
的非传染性疾病的发病或患病人数的分布
二、泊松分布的性质
1.52 P( X 2) e 1.5 0.251 2!
调查该地1000名居民中有2人患脑血管疾病的概率为 25.1%
累积概率
如果稀有事件发生次数的总体均数为λ，则发生次数至 多为k次的概率为
P ( X k ) P( X ) e
x 0 x 0
k
k
X
X!
发生次数至少为k次的概率为：
10万人，作回顾调查，得某年宫颈癌死亡人数 为30人。假设该地女性人口年龄构成与全省基 本相同。问该地宫颈癌死亡率与全省有无差别？
当泊松分布均数较大时，可用正态分布来近似，且方
差=均数，用下式进行检验，统计量Z近似服从标准正 态分布
Z
X 0
0
2. 两样本均数比较的u检验
当两样本的观察单位（时间、面积、容积） 相同时：
不相同时：
X1＋x2≥20
u X1 X 2 X1 X 2 2 2 n1 n2 X1 X 2 1 X1 X 2 2 2 n1 n2
5＜X1＋x2 ＜ 20
u
例8-13
例8-13 两样本计数差别的统计检验
某车间在改革生产工艺前，测取三次粉尘浓度，每升空气
中分别有38，39，36颗粉尘；改进工艺后，测取两次，分 别有25，18颗粉尘。问工艺改革前后粉尘数有无差别？ H0：μ1 = μ2 H1：μ1≠μ2 α=0.05
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1 2 3 6
泊松分布的图形是由平均数来确定的
三、泊松分布的应用
（一）概率估计和累积概率计算 （二）置信区间的估计
例 8-6 例 8-7 概率估计 例 8-8 例 8-8 例 8-9 例 8-10
（二）泊松分布的配合适度检验
（三）泊松分布资料的差异显著性检验
x1 ( 38 29 36) / 3 34.33 x 2 ( 25 18) / 2 21.50 u 34.33 21.50 34.33 / 3 21.50 / 2 2.732
u
X1 X 2 X1 X 2 n1 n2
P<0.01，拒绝H0接受H1
用泊松分布对聚集性的研究
x P（x） 0.1779 0.3071 0.2651 0.1526 0.0658 T A (A-T)2/T
0
1 2 3 4 合计
27.90
42.50 32.37 16.44 6.26
26
40 38 17 7
0.1294
0.1474 0.9775 0.0191 0.0872 1.3606
自由度=组数-1-1=5-2=3
一个放射性物体5分钟测得脉冲数为200次， 这两种物体混合后估计5分钟脉冲数的总体 平均数及标准差是多少？
140+200=340
340 18.44
二、泊松分布的图形
泊松分布的特征只决定于平均数 ，不同的参数对应
不同的Poisson分布，即的大小决定了Poisson分布 的图形特征
例
在室内不同位置放置6个平皿，隔一定时间后进行培
养，得葡萄球菌落数分别为21，26，22，18，19， 32，问细菌在室内不同位置的分布是否随机?
x 23
2 5.91 6 1 5
2 0.05(5) 11.07 2 2 0.05(5) , p 0.05
例：计算置信区间
某乡有4000人口，连续3年无肝癌死亡。该乡位于肝
癌死亡率连年达到每10万人口29人的高发地区。问这 个乡肝癌死亡率是否较该高发区平均水平为低？
应死亡：4000×3×29/10万=3.48人， x=0时的95%可信区间：查表得（0，3.7） 包括了3.48，故该乡仍可认为是该高发区的一样随机
泊松分布的均数与它的方差相等
计算平均数和 例：有人观察血细胞计数池中400小格，并数出小格中红 和方差，看 细胞数，如下图，问此分布是否符合Poisson分布? 是否相等 每小格红细胞数(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 小格数 11 36 76 80 74 58 38 17
8
9 10 11
6
类似Fisher’s检验， P值＝小于等于样本点的概率的概率之和 或者P值= 1－（大于样本点概率的概率之和）
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P(X) 0.0498 0.1494 0.2240 0.2240 0.1680 0.1008 0.0504 0.0216 0.0081 0.0027 0.0008
P值 =1－（大于样本点概率的概率之和） =1－P(4)－P(3)－P(2)－P(1) =1－0.1494-0.2240-0.2240-0.1680 =0.2346 >0.05， 因此不能认为放在5。C冰箱中培养液中细菌数有变化
正态近似法 样本计数与总体均数差别的统计检验
某省宫颈癌死亡率为27.58／十万，该省抽查
泊松分布的概率
如果某事件的总体平均发生次数为λ，则在n个独
立试验中，则该事件发生x次的概率为：
P( X )
e＝2.71828
e
x
x=0，1，2，3…
x!
λ为总体平均数
Poisson分布的条件
n值很大，而π（或1-π)很小的二项分布 π或1- π接近于0或1：如<0.001或>0.999 二项分布的条件
为50，20，20，40，10，问如果以5分钟为时间单位， 其标准差是多少？
据泊松分布的可加性原理，可计算出5分钟计数为：
50+20+20+40+10=140