智能计算导论

x
i 1
n
2 i
/ n ) exp( cos(2xi ) / n) 20 e,
i 1
n
其最优状态和最优值为
min( f ( X * )) f (0,0,,0) 0
20
智能优化计算
智能计算绪论
1.2 最优化问题及其分类
1.2.3 函数优化之常见的Benchmark问题 测试函数 （10）Ackley’s Function
| xi | 30
其最优状态和最优值为
min( f ( X * )) f (1,1,,1) 0
13
智能优化计算
智能计算绪论
1.2 最优化问题及其分类
1.2.3 函数优化之常见的Benchmark问题 测试函数 （6）Step Function
f ( X ) ( xi 0.5) 2 ,
其最优状态和最优值为
min( f ( X * )) f (0,0,,0) 0
22
智能优化计算
智能计算绪论
1.2 最优化问题及其分类
1.2.3 函数优化之常见的Benchmark问题 测试函数 （11）Generalized Griewank Function
23
智能优化计算
智能计算绪论
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智能优化计算
智能计算绪论
1.2 最优化问题及其分类
1.2.3 函数优化之常见的Benchmark问题 测试函数 （15）Kowalik’s Function
i 1
| xi | 50, u ()同上
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智能优化计算
智能计算绪论
1.2 最优化问题及其分类
1.2.3 函数优化之常见的Benchmark问题 测试函数 （14）Shekel’s Foxholes Function
25 1 1 , f (X ) 2 500 j 1 j ( x a ) 6 i ij i 1
1
智能优化计算 智能计算绪论
1.1 引言
1.1.1 优化问题 优化技术？ 以数学为基础，解决各种工程问题优化解 优化技术的用途 系统控制
人工智能
模式识别 生产调度
……
2
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智能计算绪论
1.1 引言
1.1.1 优化问题 最优化问题的描述 最优化问题的数学模型的一般描述：
min f ( x) s.t. g ( x) 0, xD
1.2.3 函数优化之常见的Benchmark问题 测试函数 （7）Quartic Function i.e. Niose
f ( X ) ixi random 0,1), [
4 i 1 n
| xi | 1.28
其最优状态和最优值为
min( f ( X * )) f (0,0,,0) 0
n
i 1

u ( xi ,10,100 ,4),
i 1
n
| xi | 50
其最优状态和最优值为
min( f ( X * )) f (1,1,,1) 0
24
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
智能优化计算
智能计算绪论
1.2 最优化问题及其分类
1.2.3 函数优化之常见的Benchmark问题 测试函数 其中，
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智能计算绪论
1.2 最优化问题及其分类
1.2.3 函数优化之常见的Benchmark问题 测试函数 （3）Schwefel’s Problem 1.2
f ( X ) ( x j ) ,
i 1 j 1 n i 2
| xi | 100
其最优状态和最优值为
min( f ( X * )) f (0,0,,0) 0
智能计算绪论
1.2 最优化问题及其分类
1.2.3 函数优化之常见的Benchmark问题 测试函数 （2）Schwefel’s Problem 2.22 (unimodal)
f ( X ) | xi | | xi |,
i 1 i 1 n n
| xi | 10
其最优状态和最优值为
min( f ( X * )) f (0,0,,0) 0
3
智能优化计算
智能计算绪论
1.1 引言
1.1.2 传统优化方法 待解决的问题 连续性问题，以微积分为基础，规模较小、多峰多谷 传统的优化方法 理论上的准确与完美，主要方法：线性与非线性规划、动 态规划、多目标规划、整数规划等；排队论、库存论、对 策论、决策论等。 传统的评价方法 算法收敛性、收敛速度
1.2 最优化问题及其分类
1.2.3 函数优化之常见的Benchmark问题 （1）Sphere Model (unimodal)
f ( X ) xi ,
2 i 1 n
| xi | 100
其最优状态和最优值为
min( f ( X * )) f (0,0,,0) 0
9
智能优化计算
n 1 2 f ( X ) 0.1sin (3x1 ) ( xi 1) 2 [1 sin 2 (3xi 1 )] ( xn 1) 2 i 1
u ( xi ,5,100 ,4),
n
其最优状态和最优值为
min( f ( X * )) f (1,1,,1) 0
6
智能计算绪论
1.2.2 常见求解方法 1.一维函数优化 优选法：黄金分割法、分数法、正交实验设计 特点：只能解决单峰函数的最优值问题 搜索法： 按照某种方向（如最速下降方向、梯度方 向）选取步长搜索（是一种迭代技术） 2.多维函数优化 特点：迭代+搜索 选取初始点、按照某个方向（如最速下降方向、梯度方 向）选取步长搜索 最速下降法、梯度与共轭梯度法、Newton法（拟Newton 法）等等 一般只能解决单峰函数的最优化问题（why?)
7
智能计算绪论
测试函数
（8）Generalized Schwefel’s Problem 2.26
f ( X ) ( xi sin( xi )),
i 1
n
| xi | 500
(multimodal)
典型的多峰、多谷 函数，确定性算法求 解很可能导致局部最 优
8
智能优化计算
智能计算绪论
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智能优化计算
智能计算绪论
1.2 最优化问题及其分类
1.2.3 函数优化之常见的Benchmark问题 测试函数 （4）Schwefel’s Problem 2.21
f ( X ) max{| xi |},
i 1 n
| xi | 100
其最优状态和最优值为
min( f ( X * )) f (0,0,,0) 0
1.2.1 函数优化问题 数学表述
令S为R n 上的有界子集（即变量 的定义域）， f : S R为n维实值函数，所谓函数f在S域上 全局最小化就是寻求点X min S使得f ( X min )在 S域上全局最小，即X S : f ( X min ) f ( X )。
难点 高维
多峰值
1.2 最优化问题及其分类
1.2.3 函数优化之常见的Benchmark问题 测试函数 （12）Generalized Penalized Function n 1 2 f ( X ) 10 sin (y1 ) ( yi 1) 2 [1 10 sin 2 (yi 1 )] ( yn 1) 2
1
| xi | 65 .56
其最优状态和最优值为
min( f ( X * )) f (32,32) 1
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智能优化计算
智能计算绪论
1.2 最优化问题及其分类
1.2.3 函数优化之常见的
Benchmark问题 测试函数
其中，
32, 16, 0, 16, 32, 32, 16, 0, 16, 32, (aij ) 32, 32, 32, 32, 32, 16, 16, 16, 16, 16, 32, 16, 0,16, 32, 32, 16, 0, 16, 32, 32, 16, 0, 16, 32 0, 0, 0, 0, 0, 16, 16, 16,16, 16, 32, 32, 32, 32, 32
| xi | 5.12
其最优状态和最优值为
min( f ( X * )) f (0,0,,0) 0
19
智能优化计算
智能计算绪论
1.2 最优化问题及其分类
1.2.3 函数优化之常见的Benchmark问题 测试函数 （10）Ackley’s Function
f ( X ) 20 exp( 0.2 | xi | 32
min( f ( X * )) f (420 .9687 ,420 .9687 ,,420 .9687 ) 418 .9829 n
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智能优化计算
智能计算绪论
1.2 最优化问题及其分类
1.2.3 函数优化之常见的Benchmark问题 测试函数 （8）Generalized Schwefel’s Problem 2.26
(multimodal)
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智能优化计算
智能计算绪论
1.2 最优化问题及其分类
1.2.3 函数优化之常见的Benchmark问题 测试函数 （9）Generalized Rastrigin’s Function
f ( X ) [ xi2 10 cos(2xi ) 10],
i 1 n
n
其最优状态和最优值为
min( f ( X * )) f (0,0,,0) 0
i 1