高数精彩试题下(2)
【大学高数下册试题及答案】 高数2试题及答案
《高等数学》（下册）测试题一一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母） 1．设有直线及平面，则直线（ A ） A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交. 2．二元函数在点处（ C ） A．连续、偏导数存在；B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝（ B ） A．；B．；C． D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝（ D ）A．7；B．；C．；D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式（ B ） A．；B．；C．；D．. 二、填空题（每小题3分，本大题共15分） 1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则 0 ；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数；5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 .三、（本题7分）设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解方程两边取全微分，则解出从而四、（本题7分）已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解，从而五、（本题8分）计算累次积分）. 解依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、（本题8分）计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解先二后一比较方便，七．（本题8分）计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解由对称性从而八、（本题8分）计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、（本题8分）计算，其中为半球面上侧. 解补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，求．解由已知即十一、（本题4分）求方程的通解. 解解对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解设点的坐标为，则问题即在求最小值。
高等数学试题及其参考答案(2)
高等数学试题及其参考答案一、填空题（每小题2分，共１０分）________ １１．击数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋──────的定义域为_________√１－ｘ2_______________。
２．击数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。
ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝_____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。
ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。
１－ｘ4二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的括号内，１～１０每小题3分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设击数ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－──②１＋──③────④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝ Ｇ'(x)，则 （ ）① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄ ｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ ＝ ──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘ ｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ ＝ （ ）-1① ０ ② １ ③ ２ ④ ３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 （ ）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3 ＋ ｙ3 ＋ ｘ2 ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝ （ ）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ） ②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ） ④ ──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn ＋１ ∞９．设ａn ≥０，且ｌｉｍ ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａn （ ）n→∞ａn=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／──────求ｙ' 。
高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)
高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。
解：选A 。
23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。
2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ](A) –2和2； (B) –3和3；(C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。
x y axy yP xy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(r rdr r r d A πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-202202rdr r d C πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d D πθ 。
解：选D 。
()⎰⎰+-=202220412rdr r r d I πθ 。
4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ](A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。
高等数学第二学期练习题二.doc
高等数学练习题二一、填空题:1•设z=f(x.y),其中/具有连续的二阶偏导数，则2-将二次积分 I = j (V2 dy^ /(x, y)dx + j\〉/(x, y)dx 变为423•设幕级数在"0处收敛，而在“2处发散，则幕级数w=0岸的收敛域为[-1,1).;?=04.函数/(兀)= —关于兀的幕级数展开式为x + 无一25・微分方程dx- (xcos )' + sin 2y)dy = 0满足y(-2) = 0的特解为x = -2(1 4-sin y)・二、单项选择题：请将正确结果的字母写在括号内。
6・函数z = /(x,y)在点(心，沟)处两个偏导数(兀o ，)b )，/；(勺‘沟)存在是f^y)在该点可微分的【B ](A)充分条件(B)必要条件极坐标系下的二次积分后可得心加&加(厂COS& 4,rsin 0)rdrOOZ /?=0(-1严。
舁+132zdxd y(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件7•设厶是曲线＞' = -71^7上点A(l,0)与点3(0,-1)间的一段弧，则曲线积分[/(x, y)ds =(A) J ；；f (cos&,sin 0)d0T(C) Jo 2/ (cos 0,sin &)d& 8.下列级数中条件收敛的是oo(C) zn=l 9.曲面2” + y2 + 3z2 = 6在点(1,1,_1)处的切平面方程为(D) x+ y-3z = 610.微分方程嘤-3字+ 2尸(兀+1)0的一个特解可设为【D ]ax" dx(A) Axe 2x(B) (Ax-\-B)e 2x(C) Ax 2e 2x(D) (Ax+B)xe-X三、计算下列各题：11・求原点到曲面z 2 =xy-^x-y-^4的最短距离。
【解】设点M (兀,y,z)为曲面 z 2=xy + x- y + 4上任一点，则该点与原 点距离的平方和为:f(x,y\z) = d 2=x 2 + y 2 + z 2只要求距离的平方和最小即可，约束条件： xy + x-y + 4-z 2=0 设 F(x,y,z) = x 2+ y 2+z 2+2(小 + 兀一 y + 4-z?)⑻Jl 一兀$ 側(D) J jd&J ；/(厂cos0,厂sin&)厂d 厂(A ) £(-ir//=! n n+\(—1)"(A) x + 2y-3z = 6(B) x + 4y-3z = 6(D ) £(-irn=]xy + x-y^A-z 1=0故，原点到曲面 z 2 =xj + x-y + 4的最短距离为：V3 ■原式訂MM ：：；牛2血M几兀(、(7、=—(4cos 2(p-sec 2^jsin (pd(p = — --2^213.计算曲面积分 / = JJ 2xz 2dydz + y(z? +1)dz</r + (9-z 3)dxdy ,其中工是曲面z = x 2 + r+i 被平面*2所截下部分的下侧。
高等数学(下)模拟试题(二)
高等数学(下)模拟试题（二）一、 一、 计算下列各题(每小题6分，共30分)1. 设y z xz xy y x z ∂∂∂∂+=,,322求。
2. 设()xy x z sin 2= 求: d z 。
3. 设y x ux u xz y x u ∂∂∂∂∂+=2222,,求。
4. 设()x x x z z xy y x f z ,,5求+=。
5．x zxyz xyz ∂∂=+求 ,02)cos( 。
二、 二、 解下列各题 (每小题6分，共24分)1．更换积分次序：()⎰⎰xxdyy x f dx 320,。
2. 求x yxy z ++=12在点P （1,2）沿点P 到点M （2,4）的方向上的方向导数。
3. 求曲线325,4,3t z t y t x ===在t = 1处的切线及法平面方程。
4. 求曲面x 2 － 3 y 2 ＋ z 2 = －1在点P （1,1, 1）切平面方程与法线方程。
三、计算下列积分（每小题6分，共12分） 1.y dxd y x D⎰⎰+)2(D ：由y = x , x= 0, y = 2 所围成 。
2. ⎰⎰⎰++V dxdydzz y x )( V ：－2≤x ≤2 , 0≤y ≤1 , 0≤z ≤4 . 四、计算下列积分应用题（每小题6分，共12分）1. 一均匀物体（密度ρ为常量）占有闭区域Ω由曲面 Z=X 2+Y 2和平面Z ＝4所围成，求 该物体的质量M 。
2. 求物体的体积V ，该物体是柱体x 2 + y 2≤ 1被平面z=0,z=3所截得的在第一卦限的部分。
五、（8分）求微分方程0|,02=='=-x yx y e y 满足初始条件 的特解。
六、（8分）求微分方程()()022=-++dy y x dx y x的通解。
七、（6分）求一曲线，使其每点处的切线斜率为2x+y,且过点（0,0）。
高等数学(下)模拟试题（二）答案三、 一、 计算下列各题(每小题6分，共30分)1. 已知xy x y zy xy xzxy y x z 6,32,32222+=∂∂+=∂∂+=。
大学高等数学(下)试题二含答案
D 2 2
5 若级数 un 收敛，则 列级数中 n1
收敛
A (un 0.001) n1
B
u n 1 0 0 0
n1
C un n1
D 1000 u n1 n
6 微 方程 2y'' y' y 0 的通解是
A y c1e x c2e2x 计算与求解 49
B y c1ex c2e x / 2
二 选择题 18
1 设 z f (x, y, z), f 可微，则 z x
f
A
x
B f
x f
C f (1 f )
x
z
D (f f y ) (1 f )
x y x
z
y
2 设 n 是曲面 2x2 3y 2 z 2 6 在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量，则u P 沿方向 n 的方向导数为
6x2 8y 2 在点 z
A0
11
B
7
7
C
11
D2
3 设 D (x, y) : x2 y2 a2 ，则当 a
时， a2 x2 y 2 dxdy 2
D
A1
B2
C 33
D
3
3
2
4 如果 L 为圆周 x2 y 2 1，则 (x2 y 2 )ds L
A 2 B 2
C 2 2
xy
y 2
7
由
x x
2y y
2
z2
3 2y2
z2
3
因此 I 3ds L
3Lds
3 2 3 6
x
0
x
x
四 tf (t x)dtu t x (u x) f (u)du uf (u)du x f (u)du
高等数学试卷含答案下册
高等数学II 试题一、填空题每小题3分,共计15分1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定,则 zx ∂=∂ ;2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大;3．L 为圆周224x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L dsy x 22= ;4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐标为 或 ;5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 ;二、解答下列各题每小题7分,共35分1．设) ,(y x f 连续,交换二次积分1201(,)x I dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序;2．计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域;3．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域,试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;4．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;5．求微分方程2xy y y e -'''-+=的通解;三、10分计算曲面积分2y dzdx zdxdy∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧;四、10分计算三重积分()x y z dxdydzΩ++⎰⎰⎰,其中Ω由22z x y =+与1z =围成的区域;五、10分求221z x y =++在1y x =-下的极值; 六、10分求有抛物面221z x y =--与平面0z =所围立体的表面积;七、10分求幂级数113n nn x n -∞=∑的收敛区间与和函数;高等数学II 试题解答一、填空题每小题3分,共计15分1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定,则 z x∂=∂xz xzxe y zey --++-; 2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l =4,0,-12 的方向导数最大; 3．L 为圆周224x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L ds y x 22=8π;4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐标为(1,1,1)--或111(,,)3927--;5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于32;二、解答下列各题每小题7分,共35分6．设) ,(y x f 连续,交换二次积分1201(,)xI dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序;解：1201122010(,)(,)(,)x y I dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx--==+⎰⎰⎰⎰⎰7．计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域;解：2sin 220169Dd r dr πθθ==⎰⎰8．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域,试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;解：9．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;解：[()]x P f x e y =-,()Q f x =-;由[()]()x L f x e ydx f x dy --⎰与路径无关,得x y Q P ''=,即()()0xf x f x e '+-=;解微分方程xy y e '+=,得其通解12x xy ce e -=+;又(0)1f =,得21=c ;故xx e e x f 2121)(+=-10． 求微分方程2xy y y e -'''-+=的通解;解：20y y y '''-+=的通解为12()xy c c x e =+; 设原方程的一个特解*xy ce -=,代入原方程,得14c =;其通解为三、10分计算曲面积分2y dzdx zdxdy∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧;解：补上221:0 (4)z x y ∑=+≤下侧; 四、10分计算三重积分()x y z dxdydzΩ++⎰⎰⎰,其中Ω由22z x y =+与1z =围成的区域;解：五、10分求221z x y =++在1y x =-下的极值; 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+令420z x '=-=,得12x =;40z ''=>,12x =为极小值点;故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32;六、10分求有抛物面221z x y =--与平面0z =所围立体的表面积; 解：221 (0)z x y z =-->的面积为平面0z =部分的面积为π;故立体的表面积为π+;七、10分求幂级数113n nn x n -∞=∑的收敛区间与和函数;解：收敛区间为[3,3)-;设11()3n n n x s x n -∞==∑,1111(())()333n n n nn n x x xs x n x -∞∞==''===-∑∑;故⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0310)3ln(13ln )(x x x x x x s ;。
2024年硕士研究生考试高数(二)试题
2024年硕士研究生考试高数(二)试题
一、选择题：
1. 设函数f(x)在点x=0处连续，且lim(x→0) f(kx)/x^2 = 2，则k的值为（）。
A. 2 B. -2 C. 1/2 D.不存在
2. 设函数f(x)在点x=x0处可导，且f'(x0)存在，则下列结论正确的是（）。
A. 函数f(x)在点x=x0处一定有极值B. 函数f(x)在点x=x0处一定有最小值 C. 函数f(x)在点x=x0处一定有最大值 D. 函数f(x)在点x=x0的某邻域内可能无极值
二、填空题：
3. 根据多元函数的极值求解原理，如果z=(x+y)^3+4xy+4，则z取得极大值时，变量x与y应满足_____。
三、解答题：
4. 设函数f(x)在区间[-1,3]上连续，在(－1,3)内可导，且f(－1)=f(3)=0，又f’(x)<f(x)，求证：在区间(－1,3)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=－f’(ξ)。
以上是2024年硕士研究生考试高数(二)试题的部分内容，完整试题请根据考试要求自行编制。
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高数试题 2008.7一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 1.设直线1724:121x y z l -+-==-，26,:23,x y l y z -=⎧⎨+=⎩则l 1 与l 2 的夹角为[ ]. （A ）2π；（B ）3π；（C ）4π；（D ）6π. 2.函数 z = xe 2y 在点P (1, 0)出沿从P (1, 0)到Q (2, -1)方向的方向导数为[ ].()(()(A B C D -3.函数2222221sin ,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0, 0)点[ ].(A ) 偏导数连续；(B ) 偏导数不存在； (C )偏导数存在但不可微； (D )可微但偏导数不连续。
4.积分11xdx =⎰⎰[ ]. 1111()()()()341224A B C D 。
5.设Ω是由x 2 + y 2 + z 2 = 1所围成的区域，则三重积分||z e dv Ω=⎰⎰⎰[ ]. 3()()()()2.22A B C D ππππ；；； 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y – 3z = 2都平行的直线方程是2.设2224,:x y z z ⎧++=⎪Γ⎨=⎪⎩则2x ds Γ=⎰3. 满足微分方程初值问题20d (1)d 1 xx y y ex y =⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 的解为y ＝ ．4.设z = ln(1 + x 2 + y 2), 则(1,2)dz =三、（9分）求微分方程4cos y y x x ''+=的通解．四、（9分）求函数f (x , y ) = xy 在闭区域x 2 + y 2 ≤ 1上的最大值和最小值。
. 五、（9分）某物体的边界由曲面z = x 2 + y 2和平面z = 0, |x | = a ，|y | = a 围成, 其密度函数为ρ = x 2 + y 2, 求该物体的质量.六、（9分）设直线0,:30,x y b L x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面π 上，而平面π 与曲面z = x 2 + y 2相切于(1, -2, 5)，求a , b 的值。
.七、（9分）计算曲面积分333()()()x y z dydz x y z dzdx x y z dxdy ∑++++++++⎰⎰其中∑为由圆锥面x 2 + y 2 = z 2与上半球面x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (R > 0)围成曲面的外侧. 八、（8分）设函数Q (x , y )在xOy 平面上具有一阶连续偏导数，第二类曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关，且对任意t ，有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰，求Q (x , y ).九、（6分）设当1x >-时，可微函数()f x 满足1()()()d 01xf x f x f t t x '+-=+⎰， (0)1f =.1. 求()f x '；2. 证明：当0x ≥时，()xf x e -≥． 答案 一、1.B ；2.A ；3.D ；4.C ；5.D .二、1.24231x y z --==-；2.1233dz dx dy =+；3. tan(1)4xy e π=+-；4. 10(1)(2)3n nn n x ∞+=--∑；三、1212cos 2sin 2cos sin 39y C x C x x x x =+++.四、max min 11,22f f ==-.五、611245a , 六、a = -5,b = -2.七、59(25R π.八、Q (x , y ) = x 2 + 2y – 1.高数试题 2009.7一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 1. 函数(,)z f x y =在00(,)x y 处可微的充分条件是[ ] (A)(,)f x y 在点00(,)x y 处连续； (B) (,)f x y 在点00(,)x y 处存在偏导数；(C) 00000lim[(,)(,)]0x y z f x y x f x y x ρ→∆-∆-∆=，ρ=(D) 00000(,)(,)lim0x y z f x y x f x y xρρ→∆-∆-∆=.2. 圆心在原点半径分别为R 和r 的()R r >的两个圆所围成的均匀圆环形薄板(面密度为μ)关于原点的转动惯量为[ ].(A) 44()R r πμ-； (B)441()2R r πμ-； (C) 441()4R r πμ-； (D) 441()6R r πμ-.3. 微分方程xx e xe y y y 3265+=+'-''的特解形式为（ ）(A)x x cxe e b ax x y 32)(*++=； （B ）xx e c x b ae y 32)(*++=；（C ）x xce eb ax y 32)(*++=； (D) x x cxe e b ax y 32)(*++=4. 设Ω是由球面2222(0)x y z a a ++=>所围成的闭区域，则Ω= [ ](A)443a π； (B) 44a π； (C) 4a π； (D) 412a π. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分） 1. 已知3a =，26b =，72a b ⨯=，则a b ⋅= 2．函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的梯度为3. 已知曲线Γ为连接(1,1,1)和(2,2,2)两点的直线段，则曲线积分(23)x y z ds Γ++⎰=4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22z x y =+所围立体的体积为 ．5. 设∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分，则4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰=6. 以y 1 = cos2x , y 2 = sin2x 为特解的常系数齐次线性微分方程为＿＿＿＿．三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1．求点0(1,1,1)P 到直线723123x y z ---==的距离. 2．已知一平面通过球面x 2 + y 2 +z 2 = 4(x - 2y - 2z )的中心,且垂直于直线L :00x y z =⎧⎨+=⎩, 求（1）该平面的方程；（2）该平面与球面的交线在xOy 平面上的投影。
3．设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求yx u∂∂∂2.4．计算二重积分D⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y =2y x =所围成的闭区域. 5求解微分方程的初值问题：2(1)2(0)1,(0) 3x y xy y y '''⎧+=⎨'==⎩．四、 (8分)计算积分222(cos cos cos )I x y z dS αβγ∑=++⎰⎰, ∑是抛物线z = x 2 + y 2被z = 4割下的有限部分的下侧, cos α, cos β , cos γ是∑上各点法线方向余弦.五、(8分)设f (x ) 为连续可微函数，且(1)2f =，对任一闭曲线L 有34()0Lx ydx f x dy +=⎰。
求曲线积分34()Lx ydx f x dy +⎰的值.其中L 是圆周4)2()2(22=-+-y x 上由(2,0)A 经(4,2)D 到(2,4)B 的一段弧. 六、(8分)经过点1(2,1,)3P 作一平面,使该平面在第一卦限与3个坐标面所围成的四面体的体积最小,求该平面方程.七、(6分) 设函数f (x )在[1, +∞)上连续，由曲线y = f (x ),直线x = 1, x = t (t > 1)与x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转一周形成旋转体的体积为2()[()(1)]3V t t f t f π=-，又已知2(2)9f =，求f (x ).答案 一、1.D ；2.B ；3.A ；4.C .二、1.±30；2.(1, 1)； 4.2π；5. 6. y ''+ 4y = 0. .三、1. 2.-y + z = 0, 22241600.x y x y z ⎧+-+=⎨=⎩; 3.f 1 + xf 11 + (x + y )f 12 + f 22 ; 4. 655; 5. y = x 3 + 3x + 1.四、643π.五、68, 六、163x y z ++=.七 31xy x =+.高数试题 2010.7一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分）1. 函数222)2(),(x y x y x f -+=在闭区域(x – 1)2 + y 2 ≤ 1上的最小值为[ ] (A)0； (B)1； (C) 2； (D) 3。
2. 设函数f (x , y )连续，则二次积分=⎰⎰ydx y x f dy 01),( [ ].(A)⎰⎰110),(ydx y x f dy ； (B)⎰⎰ydx x y f dy 01),(； (C)⎰⎰11),(xdy y x f dx ； (D)⎰⎰xdy y x f dx 01),(.3. 设Ω为平面x + y + z = 1与三个坐标面所围成的闭区域，则⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(= [ ](A)61； (B) 81； (C) 121； (D) 241.4. 设y 1 , y 2是二阶线性方程y " + P (x )y ' + Q (x )y = 0的两个解， 那么y = C 1y 1 + C 2y 2 (C 1, C 2是任意常数)是该方程通解的充分必要条件是[ ]．(A) 12210''+=y y y y ； (B) 12210''+≠y y y y ； (C) 12210''-=y y y y ； (D) 12210''-≠y y y y ．二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）1. 已知1||=a ，2||=b ，a 与b 的夹角为4π，则=+||b a2．设Ω是由曲面221y x z --=与z = 0围成的立体，则Ω的形心坐标为 3. 设曲线Γ为连接(1,1,1)和(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分⎰Γ++ds z y x )(=4. 设∑为锥面22y x z +=被平面z = 1截下的有限部分，则曲面积分=⎰⎰∑zdS ．5. 若方程y ' + y tan x = -2cos2x 有一个特解y = f (x ), 且f (0) = 0, 则0()lim→=x f x x＿＿＿＿． 三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题7分，共计30分）1．求过点)5,2,3(-M 且与两平面x –4z = 3和2x – y – 5z = 1的交线垂直的平面方程.2．求函数u = x 2 + 3yz 在点(1, 1, 1)处沿椭球面x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 6在该点的外法线方向的方向导数。