人教版八年级上册第2讲 与三角形有关的角讲义
人教版八年级上册数学11.2 与三角形有关的角(解析版)
11.2与三角形有关的角知识要点：1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180︒．（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．2.直角三角形的性质与判定（1）性质：直角三角形的两个锐角互余．在Rt ABC∠+∠=︒．A BC△中，90∠=︒，则90（2）判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3.三角形的外角三角形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．4.三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．一、单选题1．一个三角形三个内角的度数之比是2:3:4，这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】C【解析】设一份为k∘，则三个内角的度数分别为2k°，3k°，4k.根据三角形内角和定理可知2k°+3k°+4k°=180°，所以2k°=40°，3k°=60°，4k°=80°.即这个三角形是锐角三角形。
故选：C2．已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形【答案】C【解析】依题意得∠A-∠B=∠C，即∠A=∠B+∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴三角形为直角三角形，故选C.3．已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为()A．100°B．120°C．140°D．160°【答案】B【解析】∵∠A=2(∠B+∠C),∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=2(180°-∠A)解得∠A=120°，故选B.4．下列条件：(1)∠A=25°，∠B=65°；(2)3∠A=2∠B=∠C；(3)∠A=5∠B；(4)2∠A=3∠B=4∠C中，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】（1）∵∠A=25°，∠B=65°，∴∠A+∠B=25°+65°=90°，又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，∴△ABC是直角三角形；（2）∵3∠A=2∠B=∠C，∴∠A=13∠C，∠B=12∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°∴13∠C+12∠C+∠C=116∠C=180°∴∠C≠90°∴△ABC不是直角三角形；（3）∵∠A=5∠B∴无法计算内角的度数，因此无法判定△ABC的形状；（4）∵2∠A=3∠B=4∠C，∴∠A=2∠C，∠B=43∠C，又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C+43∠C+∠C=133∠C=180°，∴∠C=54090 13≠︒∴△ABC不是直角三角形.故选A.5．已知三角形的一个内角是另一个内角的23,是第三个内角的45,则这个三角形各内角的度数分别为()A．60°,90°,75°B．48°,72°,60°C．48°,32°,38°D．40°,50°,90°【答案】B【解析】设第一个内角的度数为x，∵三角形的一个内角是另一个内角的23,是第三个内角的45,∴另一个内角的度数为32x,第三个内角为54x，∴x+32x+54x=180°，解得x=48°，∴三个内角分别为48°,72°,60°故选B.6．如图有四条互相不平行的直线l1、l2、l3、l4所截出的七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论正确的是（）A．∠2=∠4+∠7B．∠3=∠1+∠7C．∠1+∠4+∠6=180°D．∠2+∠3+∠5=360°【答案】B【解析】A、∵∠2=∠10+∠9，∠10=∠7，∠9≠∠4，∴∠2=∠4+∠7不成立，故本选项错误；B、∵∠3=∠8+∠10，∠8=∠1，∠10=∠7，∴∠3=∠1+∠7，故本选项正确；C、∠4=∠8+∠6，∠8=∠1，∴∠4=∠1+∠6，∴无法说明∠1+∠4+∠6=180°，故本选项错误；D、根据多边形的外角和定理，∠2+∠4+∠5=360°，∵l3、l4不平行，∴∠3≠∠4，∴∠2+∠3+∠5=360°不成立，故本选项错误．故选B．7．如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝()A．80°B．70°C．60°D．90°【答案】A【解析】∵AB∥CD，∠1=45°，∴∠C=∠1=45°．∵∠2=35°，∴∠3=∠2+∠C=35°+45°=80°．故选A．8．如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，则∠B的度数是()A．33°B．23°C．27°D．37°【答案】B【解析】如图，延长CD交AB于E，∵∠C=38°，∠A=37°，∴∠1=∠C+∠A=38°+37°=75°，∵∠BDC=98°，∴∠B=∠BDC-∠1=98°-75°=23°．故选：B．9．如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点G，若∠1＝70°，∠2＝30°，则∠3的度数为()A．30°B．40°C．45°D．50°【答案】B【解析】∵CE平分∠ACD，∴∠1=∠ECF，∵FG∥CE，∴∠F=∠ECF，∵∠FCD=∠3+∠BAC，∠BAC=∠2+∠F，∴∠FCD=∠3+∠2+∠F，∴∠1+∠ECF=∠3+∠2+∠F，∴∠2+∠3=∠1，又∵∠1=70°，∠2=30°，∴∠3=70°-30°=40°，故选B．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90︒，AD⊥BC于D，则图中互余的角有A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】∵∠BAC=90°∴∠B+∠C=90°①；∠BAD+∠CAD=90°②；又∵AD⊥BC，∴∠BDA=∠CDA=90°，∴∠B+∠BAD=90°③；∠C+∠CAD=90°④。
人教版八年级数学上册培优讲义 第二讲：全等三角形与轴对称
模型一：手拉手模型第二讲：全等三角形与轴对称特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC =180°（3）OA 平分∠BOC例 1.如图在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形∆ABD 与∆BCE ，连结 AE 与CD ，求证： （1） ∆ABE ≅ ∆DBC （2） AE = DC （3） AE 与 DC 之间的夹角为60︒（4） ∆AGB ≅ ∆DFB （5） ∆EGB ≅ ∆CFB （6） BH 平分∠AHC （7） G F // AC变式精练1：两个等腰三角形∆ABD 与∆BCE ，其中AB =BD , CB =EB, ∠ABD =∠CBE =α,连结AE与CD，问：（1）∆ABE≅∆DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？（4）HB 是否平分∠AHC ？变式精练2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结AG, CE ,二者相交于点H问：（1）∆ADG≅∆CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE ？模型二：对角互补模型（1）全等型——90°条件：① ∠AOB =∠DCE = 90︒②OC 平分∠AOB结论：① CD =CE ；②OD +OE = 2OC ；③S四边形ODCE =S∆OCD+S∆OCE=1OC 22辅助线之一：作垂直，证明∆CDM ≌∆CEN辅助线之二：过点C 作CF⊥OC，证明∆ODC≌∆FEC结论：①CD =CE ；②OE -OD = 2OC ；③S∆OCE -S∆OCD=1OC 22条件：① ∠AOB =∠DCE = 90︒②CD =CE结论：①OC 平分∠AOB；②OD +OE = 2OC ；③S四边形ODCE =S∆OCD+S∆OCE=1OC 22（2）全等型——120°条件：① ∠AOB = 2∠DCE = 120︒②OC 平分∠AOB结论：① CD =CE ；②OD +OE =OC ；③ S四边形ODCE 模仿（全等型——90°）辅助线之一完成证明=S∆OCD+S∆OCE=3OC 24辅助线之二：在OB 上取一点F，使OF=OC,证明△OCF 为等边三角形（3）全等型——任意角α条件：① ∠AOB = 2α,∠DCE = 180︒- 2α结论：OC 平分∠AOB②C D =CE例：四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角三角形ABD 和直角三角形CBD ，其中∠A 和∠C 都是直角，另一条对角线AC 的长度为2 ，求四边形ABCD 的面积．AB DC变式精练1：已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ．（1）在图 1 中，若∠MAN = 120︒，∠ABC =∠ADC = 90︒，求证：AB +AD =AC ；（2）在图2 中，若∠MAN = 120︒，∠ABC +∠ADC = 180︒，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;变式精练2：已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A、B、C 的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M、N 分别在线段AC、AB 上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△OMN 的形状，并证明你的结论.⑶如果点M、N 分别在线段CA、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．模型三：角含半角模型（1）角含半角模型90°-1条件：①正方形ABCD ②∠EAF = 45︒结论：① EF =DF +BE ；② ∆CEF 的周长为正方形ABCD 周长的一半；也可以这样：条件：①正方形ABCD ②EF =DF +BE结论：① ∠EAF = 45︒；口诀：角含半角要旋转（2）角含半角模型90°-2条件：①正方形ABCD ②∠EAF = 45︒结论：① EF =DF -BE ；辅助线：（2）角含半角模型90°-3条件：①等腰直角三角形ABC ②∠DAE = 45︒结论：① BD2+CE2=DE2；（勾股定理知识）辅助线：将△ACE 绕点 A 顺时针旋转90°得到△ABF，并连接DF.若∠DAE 旋转到△ABC 外部时，结论BD2 +CE 2 =DE 2 仍然成立。
(名师整理)数学八年级上册第11章《11.2.与三角形有关的角》优秀教案
与三角形有关的内角一、教材分析本节选自人教版课程标准实验教科书数学八年级上册第十一章第二节第一课时。
在学生已感性认识三角形内角和等于180°的基础上，由实验几何过渡到论证几何，探索证明三角形内角和定理；而该定理是后续研究多边形内角、直角三角形等的基础，因此它在整个三角形知识体系中起着承上启下的作用。
二、学情分析【知识上】已感性认识了三角形内角和等于180°；【方法上】初步学习了简单推理证明；【思维上】形象思维逐步过渡到抽象思维；【能力上】还不具备独立系统推理证明能力；【情感上】好奇心强，乐于探究；三、重难点分析▲重点：探索证明三角形内角和定理；▲难点：如何启发学生发现和理解通过添加辅助线证明定理；▲突破难点的关键点：引导学生从直观动作形象思维向表象思维过11 / 10渡，采用“实物拼图—留下痕迹—抽象图形”，引导分析图形变化的内在联系，发现所添加的辅助线，化解证明难点，使证明思路直观化。
四、教学目标1、知识与技能：构建探索三角形内角和定理的证明思路并对定理进行运用；2、过程与方法：通过引导学生参与拼图探索、抽象图形，培养学生直观感知能力；经历探究证明过程，渗透图形变化，提高学生演绎推理和逻辑思维能力。
3、情感态度与价值观：让学生在推理过程中感受数学的严谨性，形成“言必有据”的科学态度和良好的数学思维品质。
五，教具:多媒体，直尺六、教法与学法✧教法：引导发现式教学法、启发式教学法；✧学法：动手实验、推理论证、反思总结等学法。
22 / 1033 / 10七、教学过程设计环节一：回顾探索【新课引入】师：前面我们已经初步学习了简单的推理证明，知道了依据什么2 何分析并找到证明一个问题的思路”。
【回顾旧知】师：小学时，我们探索发现三角形的内角和为180°，是怎样发现的？预设：学生可能回答：①用量角器量出三个角再相加；②撕下三个角拼一拼。
问：这些方法是不是数学证明？能否完全让人信服？建 构 思 路 回 顾 探 索 意 犹 未 尽 学 以 致 用 课 堂 回 眸44 / 10预设：学生可能回答：测量存在误差；三角形有无数多个无法一一验证。
人教版八年级数学上册11.2与三角形有关的角优秀教学案例
5. 将数学教学与信息技术相结合，运用多媒体课件、网络资源等手段，丰富教学手段，提高教学效果。
（三）情感态度与价值观
1. 培养学生对数学学科的兴趣，使他们感受到数学的乐趣，提高学生学习数学的积极性。
2. 使学生认识到数学在实际生活中的重要性，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
本节课的内容与学生的生活实际密切相关，学生可以通过观察、操作、推理等途径，发现并总结出三角形的内角和定理。在教学过程中，教师要引导学生积极参与，发挥学生的主体作用，让学生在观察、思考、操作、交流等活动中，发现规律，总结方法，提高学生的数学素养。同时，教师还要关注学生的个体差异，给予不同程度的学生以必要的帮助和指导，使他们在原有基础上得到提高。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1. 利用多媒体课件展示生活中常见的三角形实例，如自行车的三角形车架、房屋的三角屋顶等，让学生感受到三角形在生活中的广泛应用。
2. 提出具有挑战性的数学问题：“一个三角形的三个内角分别为60°、60°和60°，求这个三角形的类型。”让学生在解决实际问题的过程中，自然地引入本节课的学习内容。
（二）问题导向
1. 教师提出问题，引导学生思考：“三角形的三个内角之和是多少度？为什么？”让学生带着问题进行观察、操作、推理等学习活动。
2. 设计一系列具有层次性的问题，如：“三角形的外角与相邻的内角有什么关系？如何证明？”，引导学生逐步深入探究与三角形有关的角的性质。
3. 教师引导学生运用已有的知识和经验，尝试解决新的问题，如：“如果知道一个三角形的两个内角，如何求解第三个内角？”从而提高学生的解决问题的能力。
2. 问题导向：教师在教学过程中提出一系列具有挑战性的问题，引导学生思考、探究与三角形有关的角的性质，使学生在解决问题的过程中，自然地引入本节课的学习内容。
人教版八年级上册第2讲 与三角形有关的角讲义
第2讲与三角形有关的角三角形内角和定理(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.(2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°。
①如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，②过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC.(3)理解与延伸：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°．(4)作用：求角度，尤其是三角形中的角度计算。
【例1－1】填空：(1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°；(2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝________°，∠C＝_________°.【例1－2】如图，在△ABC中，∠CAB=∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线，求∠ADC 的度数.【例1－3】如图,B处在A处的南偏西45°方向,C处在A处的南偏东15°方向,C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数。
【例1－4】若等腰三角形的一内角为40°，则顶角为（ ）A. 40°B. 100°C. 70°或40°D.40°或100°直角三角形的性质与判定(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．如图所示，在Rt △ABC 中，如果∠C ＝90°，那么∠A ＋∠B ＝90°.【例2－1】 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是 ( )． A ．43° B ．47° C ．30° D ．60°【例2－2】 如图所示，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ，求证：△EPF 是直角三角形．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
人教版八年级上册11.2三角形有关的角(教案)
一、教学内容
人教版八年级上册11.2三角形有关的角：本节课我们将学习三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和为180°，并能运用这一性质解决相关问题。具体内容包括：
1.三角形的内角和定理：了解三角形的内角和为180°，并掌握其证明方法。
2.三角形内角的性质：探讨三角形内角的大小关系，了解等腰三角形、等边三角形内角的特点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角形的内角和定理、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对内角和定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.教学难点
-难点理解：学生对于三角形的内角和定理的理解，特别是为什么三角形的内角和是固定的180°。
-逻辑推理：在证明内角和定理的过程中，学生可能会对几何逻辑推理感到困惑。
-实际应用：将内角和定理应用到解决具体问题时，学生可能会在选择和使用定理上遇到困难。
-操作技巧：在测量和计算过程中，学生可能对角度的精确计算和测量方法掌握不熟练。
3.运用内角和定理解决实际问题：通过具体实例，学会运用三角形的内角和定理解决生活中的问题。
本节课将结合实际案例，让学生在实际操作中掌握三角形内角和的性质，提高解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念：通过探究三角形的内角和定理，使学生能够形成对几何图形的直观认识，提高空间想象力。
2.发展学生的逻辑推理能力：在学习三角形的内角和定理证明过程中，引导学生运用演绎推理，培养严谨的逻辑思维。
人教版八年级数学上册教学设计11.2 与三角形有关的角
人教版八年级数学上册教学设计11.2 与三角形有关的角一. 教材分析人教版八年级数学上册“与三角形有关的角”这一节主要让学生了解三角形内角和定理，学会使用三角形的内角和定理解决实际问题。
通过这一节的学习，让学生进一步理解三角形的性质，为后续学习三角形的其他性质和判定打下基础。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了角的性质，对角的概念有了初步的了解。
但他们对三角形的内角和定理的理解还不够深入，需要通过实例来进一步理解和掌握。
此外，学生的空间想象力还不够丰富，需要通过实物演示和动手操作来帮助他们理解和掌握三角形的内角和定理。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解三角形内角和定理，能运用三角形的内角和定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：三角形内角和定理的理解和运用。
2.难点：对三角形内角和定理的证明和灵活运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、实物演示法、合作交流法等，引导学生观察、操作、推理，从而理解和掌握三角形的内角和定理。
六. 教学准备1.准备三角形模型、直尺、量角器等教具。
2.制作课件，展示三角形内角和定理的证明过程。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问：“我们以前学过角的性质，那么你们知道三角形的角有什么特点吗？”引导学生回顾角的知识，为新课的学习做好铺垫。
呈现（10分钟）教师展示三角形模型，让学生观察并提问：“请大家观察这个三角形，你们能发现什么规律吗？”引导学生发现三角形的内角和等于180度。
操练（10分钟）教师给出几个三角形，让学生用量角器测量其内角和，验证三角形的内角和定理。
同时，教师巡回指导，帮助学生解决问题。
巩固（10分钟）教师通过出示一些实际问题，让学生运用三角形的内角和定理解决问题，巩固所学知识。
拓展（10分钟）教师提问：“你们还能找到其他形状的图形的内角和定理吗？”引导学生思考四边形、五边形等图形的内角和定理，培养学生的空间想象力。
人教版数学八年级上册11.2与三角形有关的角优秀教学案例
（一）知识与技能
1.理解三角形外角的性质，能够熟练运用外角定理解决相关问题。
2.掌握三角形内角平分线、中线的性质，能够运用这些性质解决一些简单的几何问题。
3.能够运用三角形的性质判断三角形的形状，并求解一些特殊类型的三角形。
4.通过观察、分析、归纳等方法，提高学生对三角形性质的理解和应用能力。
5.培养学生关爱环境、珍惜资源的意识，使学生在学习过程中养成良好的道德品质。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，创设有趣、富有挑战性的问题情境，激发学生的学习兴趣。
2.利用多媒体技术，展示三角形的相关图片，引导学生关注三角形在现实生活中的应用。
3.通过设计具有启发性的问题，引导学生主动探究三角形的性质，激发学生的求知欲。
（三）小组合作
1.合理划分学习小组，培养学生合作交流的能力。
2.设计具有挑战性的合作任务，激发学生的团队精神。
3.组织小组讨论，鼓励学生互相借鉴、互相学习，提高学生的综合素质。
4.及时对小组合作情况进行评价，总结经验，提高合作效果。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，培养学生自我监控、自我评价的能力。
（五）作业小结
1.学生独立完成课后作业，巩固本节课所学知识。
2.教师及时批改作业，了解学生掌握程度，对存在的问题进行反馈。
3.组织课后辅导，帮助学生解决作业中遇到的问题。
4.鼓励学生进行自主学习，提高学生的学习能力。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过展示三角形在现实生活中的应用，如建筑设计、道路规划等，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系。这种情境导入的方法不仅能够吸引学生的注意力，还能够让学生明白学习三角形性质的重要性。
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第2讲与三角形有关的角三角形内角和定理(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.(2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°。
①如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，②过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC.(3)理解与延伸：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°．(4)作用：求角度，尤其是三角形中的角度计算。
【例1－1】填空：(1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°；(2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝________°，∠C＝_________°.【例1－2】如图，在△ABC中，∠CAB=∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线，求∠ADC 的度数.【例1－3】如图,B处在A处的南偏西45°方向,C处在A处的南偏东15°方向,C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数。
【例1－4】若等腰三角形的一内角为40°，则顶角为（ ）A. 40°B. 100°C. 70°或40°D.40°或100°直角三角形的性质与判定(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．如图所示，在Rt △ABC 中，如果∠C ＝90°，那么∠A ＋∠B ＝90°.【例2－1】 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是 ( )． A ．43° B ．47° C ．30° D ．60°【例2－2】 如图所示，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ，求证：△EPF 是直角三角形．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
【例2－3】下列条件能确定△ABC 是直角三角形的条件有_____________ ①∠A+∠B=∠C ；② ∠A:∠B:∠C=1:2:3；③∠A=90°-∠B ； ④∠A=∠B=21∠C ； ⑥∠A -∠B=∠C ；⑦∠A=2∠B=3∠C ；⑧∠A=21∠B=31∠C 【例2－4】如图,在△ABC 中,∠ABC=60∘,∠ACB=54∘，BE 是AC 边上的高，CF 是AB 边上的高，H 是BE 和CF 的交点，HD 是∠BHC 的平分线，求∠ABE ，∠ACF 和∠CHB 的度数。
三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD 就是△ABC 其中的一个外角．练习：选出下图中∠1是△ABC 的外角的序号：_______________注意：一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示．三角形外角的理解:外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意．【例3】 在△ABC 中，∠A 等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B 的两倍，那么∠A ＝__________，∠B ＝__________，∠C ＝__________. 4.三角形外角性质(1)1B ACD (3)1ABCD(4)ABD1(5)E ABCD1(6)EAB CD1(2)1AB C D性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角如图所示： ∠1＝∠B ＋∠C∠B ＝∠1－∠C 或∠C ＝∠1－∠B ．注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和.(2)作用：①求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；②证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等． 【例4--1】填空：求出下列各图中∠1的度数.(1)如图，∠1=______；(2)如图，∠1=______；(3)如图，∠1=______；(4)如图，∠1=______；(5)如图，∠1=______；(6)如图，∠1=______.【例4--2】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝__________.【例4--3】 填空：(1)如图(1)，P 为△ABC 中BC 边的延长线上一点，∠A ＝50°，∠B ＝70°，则∠ACP ＝________°.(2)如图(2)所示，已知∠ABE ＝142°，∠C ＝72°，则∠A ＝__________°，∠ABC ＝1BACD第4题(1)30︒30︒(1)1BACD第4题(2)40︒35︒(2) ABCD1第4题(3)40︒ (3)ABCD1第4题(4)120︒85︒(4) ABC1D第4题(5)70︒40︒(5) AD1CB第4题(6)35︒ (6)__________°.(3)如图(3)，∠3＝120°，则∠1－∠2＝________°.图4【例4--4】如图4,CE是△ABC的外角△ACD的平分线,若△B=35°,△ACE=60°，则△A=________.三角形外角和(1)定义：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如∠1，∠2，∠3，它们的和叫做三角形的外角和．(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和．【例5】如图所示．用两种方法说明∠1＋∠2＋∠3＝360°.多边形内角和多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的分类:多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
思考：五边形共有_______条对角线，n边形共有_______条对角线。
多边形内角和：…………从五边形的一个顶点出发，可以作______条对角线，它们将五边形分为______个三角形，五边形的内角和等于180°×_____________；从六边形的一个顶点出发，可以作______条对角线，它们将六边形分为______个三角形，五边形的内角和等于180°×_____________；从n边形的一个顶点出发，可以作______条对角线，它们将n边形分为______个三角形，n 边形的内角和等于180°×_____________。
n边形的内角和等于___________。
【例6--1】在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3，则∠A＝________．【例6--2】如图，DC∥AB，∠BAE=∠BCD，AE⊥DE，∠D=130°，则∠B=______【例6--3】一个多边形内角和是1080°，则这个多边形的边数为（）A、6B、7C、8D、9【例6--4】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7C．8 D．9n边形的外角和等于___________。
【例6--5】一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形（）A.四边形B. 五边形C. 六边形D. 八边形※．角平分线的夹角与三角形内角关系的探究(1)三角形的两内角平分线的夹角与内角的关系如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC与∠A之间的关系．(2)三角形两外角的平分线的夹角与内角的关系如图，在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，试探究∠BPC与∠A的关系．(3)一个内角平分线与一个外角平分线的夹角与内角的关系如图，在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，BE 是△ABC 的外角∠ABD 的平分线，试探究 ∠BEC 与∠A 的关系．【例7－1】 如图，BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的两条平分线，∠A ＝100°，则∠BOC 的度数是( )． A ．80° B ．90° C ．120° D ．140°【例7－2】 如图所示，∠ABC 的平分线和△ABC 的外角∠ACE 的平分线交于点D ，∠D ＝30°，∠A 的度数是__________；当∠D ＝__________时，∠A 的度数是90°.作业1：1．三角形的三个外角之比为2:3:4，则与之相应的三个内角之比为（ ） A ．2:3:4 B ．4:3:2 C ．5:3:1 D ．1:3:52．如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，E 是AC 上一点，BE.CD 相交于F ，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°，则CFE ∠的度数为（ ） A ．62°B ．68°C ．78°D ．90°3．若三条线段中3a =，5b =，c 为奇数，那么由a b c ，，为边组成的三角形共有（ ）A ．1个B ．3个C ．无数多个D ．无法确定 4．如果线段a b c ，，能组成三角形，那么它们的长度比可能是（ ） A ．1:2:4 B ．1:3:4 C ．3:4:7 D ．2:3:4 5．不一定能构成三角形的一组线段的长度为（ ） A ．3，7，5 B ．3x ，4x ，5x(x ＞0) C ．5，5，a(0＜a ＜10) D ．m ，m ，m 26．如图1，ABC ∠的平分线交ACB ∠的平分线于l ，若60A =∠，则BIC =∠_____． 7．一个三角形中最多有_____个内角是钝角，最多可有_____个角是锐角．8．三角形两个外角的和等于第三个内角的4倍，则第三个内角等于___________． 9．如图2，1234+++=∠∠∠∠______；如图3，1234+++=∠∠∠∠_____．图210．两根木棒的长分别为7cm和10cm．要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么，第三根木棒长x（cm）的范围是______．11.如图，已知△ACD=120°，△DFA=122°，△D=34°，求△A的度数.。