七年级下册数学基本事实与定理
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基本事实与定理概述课件
定理的证明方法
01
02
03
直接证明法
通过逻辑推理，直接证明 定理的正确性。
反证法
假设定理不成立，通过推 理导出矛盾，从而证明定 理的正确性。
归纳法
通过对一系列具体事例进 行观察和总结，归纳出一 般性的结论，进而证明定 理的正确性。
定理的应用场景
数学领域：定理在数学领域中有着广 泛的应用，如代数、几何、概率统计 等领域。
定理在经济学中用于证明市场均衡、最大化利益等经济理论和模型。
定理的拓展与深化研究
定理的推广
对原有定理进行推广，使其能够解决更广泛的问题。
定理的证明方法研究
研究定理的证明方法，深入理解定理的证明思路和技巧。
定理的应用研究
研究定理在不同领域的应用，拓展定理的应用范围和价值。
PART 05
习题与解答
习题一：基本事实的辨析与运用
正确性。
归纳法
通过对个别情况进行分析和归 纳，得出一般性的结论。
构造法
通过构造一个实例或反例来证 明某个命题的正确性。
放缩法
通过放大或缩小数量级，将复 杂问题转化为简单问题，便于
推导和证明。
定理证明中的常见错误
逻辑错误
在推导过程中出现逻辑错误，导致结论不正 确。
定义和性质理解不准确
对定义和性质理解不准确，导致推导过程中 出现偏差。
总结词
理解与辨析
详细描述
本题主要考察学生对基本事实的掌握程度，要求学生对基本事实进行 理解和辨析，能够正确运用基本事实进行推理和证明。
总结词
运用与推理
详细描述
本题要求学生运用基本事实进行推理，通过已知的事实推出未知的事 实，培养学生的逻辑推理能力。
冀教版七年级数学下册《7.1.2 基本事实和定理》课件
A．同角的补角相等
B．同角的余角相等 C．∠AOC＝90° D．∠BOD＝90°
知3－练
5
如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶 剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周 长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( D )
A．直线最短
B．经过一点有无数条直线 C．经过两点，有且仅有一 条直线 D．两点之间，线段最短
C．含有两个未知数，并且含未知数的项的次 数都是1的方程组叫做二元一次方程组 D．同角的余角相等
知3－讲
知识点
3
说
理
由观察、实验、归纳和类比等方法得出的命 题，可能是真命题，也可能是假命题. 判断命题
的真假需要说明理由，这个过程就是说理.
知3－讲
例3 如图，说明“如果C，D是线段AB上的两点， 且AC＝DB，那么AD＝CB”是真命题.
知1－讲
例1 下列命题中，是基本事实的是( C ) A．互补的两个角和为180° B．同角的补角相等 C．两点之间，线段最短
D．相等的角都是直角
知1－练
1
下列叙述错误的是( D ) A．所有命题都有条件和结论 B．所有基本事实都是命题 C．所有基本事实都是真命题 D．所有真命题都是基本事实
知1－练
2 “经过两点有且只有一条直线”属于 ( ) B．真命题 D．以上都对
D
A．命题 C．基本事实
知2－讲
知识点
2
定
理
有些真命题，它们的正确性已经过演绎推理 得到证实，并被作为判定其他命题真假的依据， 这些命题叫做定理.
知2－讲
例2 下列命题是定理的是( C ) A. 两点之间线段最短 B．同位角相等，两直线平行 C. 两线平行，内错角相等
鲁教版数学七年级下册8.3《基本事实与定理》教学设计
鲁教版数学七年级下册8.3《基本事实与定理》教学设计一. 教材分析《基本事实与定理》是鲁教版数学七年级下册第八章第三节的内容，主要介绍了几个重要的数学定理，包括勾股定理、平方差定理和完全平方定理。
这些定理是初中数学的基础，对于学生理解和掌握数学知识体系具有重要意义。
本节课的教学内容不仅要求学生掌握定理本身，还要学会如何运用这些定理解决实际问题。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一些简单的数学概念和运算方法已经熟悉。
但是，对于较复杂的数学定理，学生可能还存在着理解上的困难。
因此，在教学过程中，需要教师耐心引导，帮助学生深入理解定理的含义和应用。
三. 教学目标1.了解勾股定理、平方差定理和完全平方定理的基本概念。
2.学会运用这些定理解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.勾股定理的证明和应用。
2.平方差定理和完全平方定理的理解和应用。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
同时，结合实例讲解，让学生直观地理解定理的应用，提高学生的实际操作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用定理解决。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何运用数学定理解决问题。
例如，一个直角三角形，两条直角边的长度分别是3cm和4cm，如何求斜边的长度？2.呈现（15分钟）介绍勾股定理的概念和证明方法。
通过PPT展示勾股定理的证明过程，让学生直观地理解定理的含义。
同时，给出一些勾股定理的应用实例，让学生学会如何运用定理解决实际问题。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些关于勾股定理的实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）通过一些练习题，让学生巩固对勾股定理的理解和运用。
教师及时批改学生的答案，给予反馈。
鲁教版数学七年级下册第八章第三节基本事实与定理
学习
内容
8.3基本事实与定理
总第 课时
新授课
主备人
课标
要求
会证明简单的真命题
学习
目标
1.了解公理、定理的含义，初步体会公理化思想，并了解八个基本事实。
2.理解证明的基本格式与步骤，会证明简单的真命题。
重难点
学习重点：九个基本事实
学习难点：会证明简单的真命题
实施过程设计
主要环节
教 学 内 容
教 学 策 略
求证：∠COB，∠BOD，∠DOA都是直角.
证明对顶角相等
已知：
求证：
证明：
教师巡回指导
教师巡回指导
教师引导，点拨
教师引导，点拨
学生自主学习
师友互助
学生回答
学生讨论回答
5分钟
3分钟
15分钟
7分钟
系统总结
1.你学到了哪些知识点？
2.你学到了哪些方法？
3.你还有哪些困惑？
1分钟
达标测评
1.（2分）“三边对应相等的两个三角形全等这句话是（）
活动时间
教师活动
学生活动设计
一、自主学习
二、讨论展示
三、精讲点拨
四、反思拓展
自学任务一：阅读课本第41-42页，掌握公理和定理有关知识，完成下列问题。
（1）写出公理与定理的概念？
（2）本教科书中九个基本事实（背会）
（3）公理与定理有哪些联系？
知识明晰：本书提到的基本事实可以理解为“公理”
自学任务二：阅读课本第42-43页，完成下列问题。
1、完成例题：
2、要证明一个命题的正确性需要哪些步骤
自学诊断：
1、证明同角的余角相等
已知：
求证：
内容
8.3基本事实与定理
总第 课时
新授课
主备人
课标
要求
会证明简单的真命题
学习
目标
1.了解公理、定理的含义，初步体会公理化思想，并了解八个基本事实。
2.理解证明的基本格式与步骤，会证明简单的真命题。
重难点
学习重点：九个基本事实
学习难点：会证明简单的真命题
实施过程设计
主要环节
教 学 内 容
教 学 策 略
求证：∠COB，∠BOD，∠DOA都是直角.
证明对顶角相等
已知：
求证：
证明：
教师巡回指导
教师巡回指导
教师引导，点拨
教师引导，点拨
学生自主学习
师友互助
学生回答
学生讨论回答
5分钟
3分钟
15分钟
7分钟
系统总结
1.你学到了哪些知识点？
2.你学到了哪些方法？
3.你还有哪些困惑？
1分钟
达标测评
1.（2分）“三边对应相等的两个三角形全等这句话是（）
活动时间
教师活动
学生活动设计
一、自主学习
二、讨论展示
三、精讲点拨
四、反思拓展
自学任务一：阅读课本第41-42页，掌握公理和定理有关知识，完成下列问题。
（1）写出公理与定理的概念？
（2）本教科书中九个基本事实（背会）
（3）公理与定理有哪些联系？
知识明晰：本书提到的基本事实可以理解为“公理”
自学任务二：阅读课本第42-43页，完成下列问题。
1、完成例题：
2、要证明一个命题的正确性需要哪些步骤
自学诊断：
1、证明同角的余角相等
已知：
求证：
基本事实与定理课件
05
CATALOGUE
定理的发展历程
古代定理的发现
1 2 3
勾股定理
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中证明了 勾股定理，而在中国，商高早在西周时期就发现 了勾股定理的特例。
毕达哥拉斯定理
古希腊数学家毕达哥拉斯学派在公元前6世纪发 现了这一定理，并证明了直角三角形斜边的平方 等于两直角边的平方和。
示例
在统计学中，归纳法常常被用来总结数据分布规 律和趋势，通过观察和计算得出结论。
04
CATALOGUE
定理的应用场景
数学教育
定理在数学教育中扮演着重要的角色，是数学知识的核心内 容之一。通过学习定理，学生可以深入理解数学概念和原理 ，提高数学思维能力。
在数学教育中，定理的应用场景包括课堂教学、习题练习和 考试等。教师可以通过讲解定理、推导证明和引导学生应用 定理来帮助学生掌握数学知识。
02
CATALOGUE
定理的分类
代数定理
01
02
03
代数定理定义
代数定理是数学中关于代 数对象的性质和关系的定 理，通常涉及代数运算、 代数式、方程等。
代数定理举例
例如，代数基本定理、韦 达定理、二次方程求根公 式等。
代数定理的应用
代数定理在数学的其他分 支和实际应用中都有广泛 的应用，如解方程、不等 式、函数性质等。
科学研究
在科学研究中，定理常常被用来建立理论模型、推导公式和解决问题。例如，在 物理学中，牛顿三定律、能量守究中的定理应用场景还包括实验设计、数据分析和结论推导等。通过应用 定理，科学家可以得出更准确的结论和预测，推动科学研究的进步。
工程实践
定理的证明
证明方法
基本事实的证明通常采用逻辑推理、 反证法、归纳法等数学方法。
鲁教版数学七年级下册8.3基本事实与定理优秀教学案例
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我将完成以下任务：
1.学生总结：让学生回顾本节课所学的内容，分享自己的收获和感悟。
2.教师点评：针对学生的总结，给予积极评价，强调重点，指出不足。
3.知识梳理：对本节课所学的基本事实与定理进行梳理，形成系统的知识结构。
（五）作业小结
在作业小结环节，我将采取以下措施：
1.布置作业：根据学生的学习情况，分层布置作业，让学生在课后巩固所学知识。
1.将学生分成若干小组，确保每组学生的能力均衡，以便于开展合作学习。
2.设计具有合作性的学习任务，引导学生在讨论、交流中共同解决问题，提高学生的合作能力。
3.教师在小组合作过程中进行巡回指导，关注学生的个体差异，给予及时反馈和鼓励。
（四）反思与评价
反思与评价是教学过程中的重要环节，有助于学生总结经验，提高自我认知：
4.设计不同难度的练习题，使学生在分层训练中提高解题能力，巩固所学知识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学的情感，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的自信心。
2.倡导严谨、务实的学术态度，培养学生追求真理的精神。
3.引导学生体会数学在生活中的广泛应用，认识数学的价值，增强学生的责任感。
4.培养学生克服困难的勇气，树立正确的价值观，使学生形成积极向上的人生态度。
1.鼓励学生在课后进行自我反思，总结自己在学习基本事实与定理过程中的收获和不足，形成个性化的学习策略。
2.组织课堂交流，让学生分享自己的学习心得和经验，互相借鉴，共同提高。
3.教师对学生的学习过程和成果进行全面、客观的评价，注重评价的激励作用，提高学生的自信心。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将采取以下步骤：
在总结归纳环节，我将完成以下任务：
1.学生总结：让学生回顾本节课所学的内容，分享自己的收获和感悟。
2.教师点评：针对学生的总结，给予积极评价，强调重点，指出不足。
3.知识梳理：对本节课所学的基本事实与定理进行梳理，形成系统的知识结构。
（五）作业小结
在作业小结环节，我将采取以下措施：
1.布置作业：根据学生的学习情况，分层布置作业，让学生在课后巩固所学知识。
1.将学生分成若干小组，确保每组学生的能力均衡，以便于开展合作学习。
2.设计具有合作性的学习任务，引导学生在讨论、交流中共同解决问题，提高学生的合作能力。
3.教师在小组合作过程中进行巡回指导，关注学生的个体差异，给予及时反馈和鼓励。
（四）反思与评价
反思与评价是教学过程中的重要环节，有助于学生总结经验，提高自我认知：
4.设计不同难度的练习题，使学生在分层训练中提高解题能力，巩固所学知识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学的情感，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的自信心。
2.倡导严谨、务实的学术态度，培养学生追求真理的精神。
3.引导学生体会数学在生活中的广泛应用，认识数学的价值，增强学生的责任感。
4.培养学生克服困难的勇气，树立正确的价值观，使学生形成积极向上的人生态度。
1.鼓励学生在课后进行自我反思，总结自己在学习基本事实与定理过程中的收获和不足，形成个性化的学习策略。
2.组织课堂交流，让学生分享自己的学习心得和经验，互相借鉴，共同提高。
3.教师对学生的学习过程和成果进行全面、客观的评价，注重评价的激励作用，提高学生的自信心。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将采取以下步骤：
初中数学基本事实与定理
求证：同角（或等角）的补角相等。
五、【练习内化、达标促学】
【当堂检测】
1、下列说法中，错误的是（）
A、所有的定义都是命题
B、所有的定理都是命题
C、所有的公理都是命题
D、所有的命题都是定理
2、下列命题中，属于公理的是（）
A、同角的补角相等
B、邻补角的平分线互相垂直
C、两点之间，线段最短
D、直角三角形的两个锐角互余
3、在证明过程中，可以作为逻辑推理依据的是（）
A、公理、定理
B、定义、公理、定理
C、公理、定理、题设（已知条件）
D、定义、公理、定理、题设（已知条件）
4、下面是证明“等角的余角相等”的过程，请在括号内填写各步推理的依据。
已知：∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，且∠1=∠2。
求证：∠3=∠4。
证明：∵∠1+∠3=90°（）
∴∠3=90—∠1（）
∵∠2+∠4=90°（）
∴∠4=90°—∠2（）
∵∠1=∠2 90°—∠1=90°—∠2（）∴∠3=∠4 即：等角的余角相等。
六、【自我总结、反思成学】
教学后记：
需要反正两面才符合备课要求的标准。
数学的基本事实
二、运算的小秘密。
加法就像是交朋友，把两个或者多个数聚在一起。1加1等于2，就像是一个小人和另一个小人站在一起，变成了两个人。减法呢，有点像从一群朋友里拉走几个。5减3等于2，就像是原本有5个小伙伴，走了3个，还剩下2个。
乘法可有趣了。它就像是一种超级加法。比如说3乘以4，其实就是4个3加在一起，或者3个4加在一起，结果都是12。乘法在生活里用处可大了，像你去买东西，每个东西多少钱，买了几个，用乘法一下子就能算出总价。
除法就有点像分东西。10除以2等于5，就像是有10个糖果，要平均分给2个小朋友，每个小朋友能拿到5个。不过除法有时候会有点小脾气，要是除数是0，那就不行啦，就像你要把东西分给0个人，这可怎么分呢，根本没意义嘛。
三、几何图形的趣闻。
三角形是个很稳定的家伙。你看生活里那些三角架，就是利用了三角形的稳定性。它有三条边和三个角，不管你怎么摆弄它，只要三条边的长度不变，它就还是那个三角形。直角三角形就更有意思了，有一个角是直角，就像一个小角落特别方正。勾股定理就像是三角形的一个小秘密，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理在好多地方都能用得上呢。
数学的基本事实
一、数字那些事儿。
数字是数学里最基础的元素了。像0到9这几个数字，就像魔法小精灵一样，组合起来能变成各种各样的数。0这个数字可特别了，它就像一个默默存在的小透明，但又超级重要。没有0的话，咱们的计数体系可就乱套啦。比如说，10这个数，要是没了0，那就变成1啦，这差距可老大了。
正数和负数呢，就像是一对冤家。正数像乐观积极的小太阳，总是表示有多少或者在某个方向上的增加。负数就像是小乌云，它表示和正数相反的情况，像是亏欠啦，或者在某个方向上的减少。就像你去买东西，要是你钱不够，欠了人家的，这时候就可以用负数来表示你在钱这个事儿上的状态。
加法就像是交朋友，把两个或者多个数聚在一起。1加1等于2，就像是一个小人和另一个小人站在一起，变成了两个人。减法呢，有点像从一群朋友里拉走几个。5减3等于2，就像是原本有5个小伙伴，走了3个，还剩下2个。
乘法可有趣了。它就像是一种超级加法。比如说3乘以4，其实就是4个3加在一起，或者3个4加在一起，结果都是12。乘法在生活里用处可大了，像你去买东西，每个东西多少钱，买了几个，用乘法一下子就能算出总价。
除法就有点像分东西。10除以2等于5，就像是有10个糖果，要平均分给2个小朋友，每个小朋友能拿到5个。不过除法有时候会有点小脾气，要是除数是0，那就不行啦，就像你要把东西分给0个人，这可怎么分呢，根本没意义嘛。
三、几何图形的趣闻。
三角形是个很稳定的家伙。你看生活里那些三角架，就是利用了三角形的稳定性。它有三条边和三个角，不管你怎么摆弄它，只要三条边的长度不变，它就还是那个三角形。直角三角形就更有意思了，有一个角是直角，就像一个小角落特别方正。勾股定理就像是三角形的一个小秘密，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理在好多地方都能用得上呢。
数学的基本事实
一、数字那些事儿。
数字是数学里最基础的元素了。像0到9这几个数字，就像魔法小精灵一样，组合起来能变成各种各样的数。0这个数字可特别了，它就像一个默默存在的小透明，但又超级重要。没有0的话，咱们的计数体系可就乱套啦。比如说，10这个数，要是没了0，那就变成1啦，这差距可老大了。
正数和负数呢，就像是一对冤家。正数像乐观积极的小太阳，总是表示有多少或者在某个方向上的增加。负数就像是小乌云，它表示和正数相反的情况，像是亏欠啦，或者在某个方向上的减少。就像你去买东西，要是你钱不够，欠了人家的，这时候就可以用负数来表示你在钱这个事儿上的状态。
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和其中的一字一句 幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了 被你默诵过，懂了 被你翻开又合起 被你动了奶酪和心思
不舍你的过往 和过往的你 记挂你的现今 和现今的你 遐想你的将来 和将来的你 难了难了 相思可以这一世
精讲点拨：
公理、证明、定理的定义及它们的关系：
一些条件
+
公理
推理的过程 叫证明
推理
证实其它命 题的正确性
温馨提示：证明所需的定义、公理和其它定理都 要编写在要证明的这个定理的前面
变式训练：
证明：同角（等角）的补角相等.
课堂小结： 谈谈你这节
课的收获吧！
公理、证明、定理的定义及它们的关系
一些条件
3 基本事实与定理
教学目标
1.了解公理、定理的含义，并了解本套教材 所采用的公理。 2.了解证明的基本格式与步骤,会证明简单的
真命题
问题导入：
了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数 学家欧几里得(Eyclid,公元前300前后)；找出下 列各个定义并举例．
1.公理: 公认的真命题称为公理.即基本事实
你忘，或者不忘 我都在这里，念你、羡你 念你袅娜身姿 羡你悠然书气
人生若只如初见 任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人 为一眼而愁肠百转 为一见而不远千里
晨起凭栏眺 但见云卷云舒 风月乍起 春寒已淡忘 如今秋凉甚好 几度眼迷离
感谢喧嚣 把你高高卷起 砸向这一处静逸 惊翻了我的万卷
------------------- 谢谢喜欢 ---------------------
2.证明: 除了公理外,其它真命题的正确性都通过 推理的方法证实.推理的过程称为证明.
3.定理: 经过证明的真命题称为定理.
问题导学：
本教科书选用如下命题作为公理 :
1.两点确定一条直线. 2.两点之间线段最短. 3.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直. 4.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么 这两条直线平行. 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 8.三边分别相等的两个三角形全等.
+
公理
推理的过程 叫证明
经过证明的真命题 叫定理
推--------------- 赠予 ------------------------
【幸遇•书屋】
你来，或者不来 我都在这里，等你、盼你 等你婉转而至 盼你邂逅而遇
你想，或者不想 我都在这里，忆你、惜你 忆你来时莞尔 惜你别时依依
问题导学：
等式的有关性质和不等式的有关性质 都可以看作公理． “在等式或不等式中,一个量可以用它的等 量来代替”.这一性质也看作公理,简称为“ 等量代换”.
典型例题：
怎样证明：
同角（等角）的余角相等.
提示：证明一个命题的正确性，要按“已知”、“求证”、 “证明”的顺序和格式写出，其中“已知”是命题的条件， “求证”是命题的结论，而“证明”是由条件（已知）出 发，根据已给出的定义、基本事实和已证明的定理，经过 一步步的推理最后证实结论的过程。