2021年高一上学期第一次周考数学试题 含答案

2021年高一上学期第一次周考数学试题含答案
注意事项：
1.本卷共16题，满分120分，考试时间为100分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请申请调换试卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★祝考生考试顺利★
一.选择题（每题5分，共40分）
1.下列不能构成集合的是（）
A．1﹣20以内的所有质数 B．方程x2+x-2=0的所有实根 C．新华高中的全体个子较高的同学 D．所有的正方形
2.已知集合A={2，0，1，4}，B={k|k∈R，k2﹣2∈A，k﹣2∉A}，则集合B中所有元素之
和为（）
A．2 B．﹣2 C．0 D．
3.已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+2=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，0，2}
4.设集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x+1＞0}，则集合A∩B等于（）
A．{x|﹣2≤x≤﹣1} B．{x|﹣2≤x＜﹣1} C．{x|﹣1＜x≤3} D．{x|1＜x≤3}
5.已知全集，，，则等于（）
A． B． C． D．
6.设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）
A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{4，6，7，8}
7.设A，B是两个非空集合，定义A*B={ab|a∈A，b∈B}，若A={0，1，2}，B={1，2，3}，则A*B中元素的个数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
8.定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为( )
A．0 B．6 C．12 D．18
二.填空题（每题5分，共20分）
11.若X是一个集合，т是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于т，∅属于т；
②т中任意多个元素的并集属于т；③т中任意多个元素的交集属于т．则称т是集合X上的一个拓扑．已知函数f（x）=]，其中表示不大于x的最大整数，当x∈（0，n]，n∈N*时，
12.定义一种集合运算A⊗B={x|x∈（A∪B），且x∉（A∩B）}，设M={x|﹣2＜x＜2}，N={x|1
三.解答题（共5题，共60分）
13.（本题满分12分）已知集合A={x|x2+x+p=0}．
（Ⅰ）若A=∅，求实数p的取值范围；
（Ⅱ）若A中的元素均为负数，求实数p的取值范围．
14.（本题满分12分）已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x2+ax+2≤0} a∈R．
（1）若A=B，求实数a的取值．
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
15.（本题满分12分）已知全集U={x|﹣6≤x≤5}，M={x|﹣3≤x≤2}，N={x|0＜x＜2}．（Ⅰ）求M∪N；
（Ⅱ）求∁U（M∩N）．
16.（本题满分12分）对于正整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得，.特别地，当时，称b能整除a，记作，已知．
(1)存在，使得，试求，的值；
(2)求证：不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则；
(3)若，(指集合B中的元素的个数)，且存在，则称为“和谐集”.求最大的，使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由．
17.（本题满分12分）己知集合A={l,2,3,…,2n},，对于A的一个子集S，若存在不大于n 的正整
数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P。

(1)当n=10时，试判断集合和是否一定具有性质P ?并说明理由。

(2)当n=xx时
①若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P ?说明理由，
②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．
衡阳八中xx年下期高一年级第1次周考数学参考答案选择题
非选择题
9.（﹣∞，﹣2]
10.1
11.9
12.{x|﹣2＜x≤1或2≤x＜3}
13.（Ⅰ）∵A=∅，
∴△=1﹣4p＜0，
即p＞，
故实数p的取值范围为（，+∞）；
（Ⅱ）由题意得，
，
解得，0＜p≤，
故实数p的取值范围是（0，]．
14.（1）集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x2+ax+2≤0}， A=B
∴1+2=﹣a，
∴a=﹣3，
（2）由A⊆B知 B={x|x2+ax+2≤0} 的两根，一根大于或等于2，一根小于或等于1，令f（x）=x2+ax+2，
只需满足，
即
解得a≤﹣3，
故a的取值范围（﹣∞，﹣3]．
15.（Ⅰ）因为M={x|﹣3≤x≤2}，N={x|0＜x＜2}，
所以M∪N={x|﹣3≤x≤2}；
（Ⅱ）因为U={x|﹣6≤x≤5}，M={x|﹣3≤x≤2}，
N={x|0＜x＜2}，
所以M∩N={x|0＜x＜2}；
所以∁U（M∩N）={x|﹣6≤x≤0或2≤x≤5}．
16.(1)因为，所以.
(2)证明：假设存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则. 设
，
由已知，由于，所以.
不妨令，这里，且，同理，，且，因为只有三个元素，所以.即，但是，与已知矛盾.
因此假设不成立，即不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则.
(3)当时，记，，记ðM N
则，显然对任意，不存在，使得成立.故是非“和谐集”，此时
.同样的，当时，存在含的集合的有12个元素的
子集为非“和谐集”. 因此.
下面证明：含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.
设，若中之一为集合的元素，显然为“和谐集”.
现考虑都不属于集合，构造集合，，，，，.
以上每个集合中的元素都是倍数关系.考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，中剩下
6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合
中至少有两个元素存在倍数关系.
综上所述，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即的最大值为7.
17.（1）当n=10时，A={1，2，3，...，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12， (19)
20}；
∵对于任意不大于10的正整数m，都可以找到集合B中两个元素b1=10，b2=10+m，使得|b1
﹣b2|=m成立；∴集合B不具有性质P；集合C={x∈A|x=3k﹣1，k∈N*}具有性质P；
∵可取m=1＜10，对于集合C中任意一对元；
都有|c1﹣c2|=3|k1﹣k2|≠1；即集合C具有性质P；
（2）当n=xx时，A={1，2，3，…，4027，4028}；①若集合S具有性质P，则集合T={4029﹣x|x∈S}一定具有性质P：任取t=4029﹣∈T，∈S；∵S⊆A，∴∈{1，2，3，…，4028}；∴1≤4029﹣≤4028，即t∈A，∴T⊆A；由S具有性质P知，存在不大于xx的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m；对于上述正整数m，从集合T中任取一对元素t1=4029﹣x1，t2=4029﹣x2，x1，x2∈S，都有|t1﹣t2|=|x1﹣x2|≠m；∴集合T具有性质P；②设集合S有k个元素，由①知，若集合S具有性质P，那么集合T={4029﹣x|x∈S}一定具有性质P；任给x∈S，1≤x≤4028，则x与4029﹣x中必有一个不超过xx；∴集合S与T中必有一个集合中至少存在一个元素不超过xx；
不妨设S中有t（t）个元素b1，b2，…，bt不超过xx；
由集合S具有性质P知，存在正整数m≤xx，使得S中任意两个元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m；
∴一定有b1+m，b2+m，…，b t+m∉S；
又bt+m≤xx+xx=4028，故b1+m，b2+m，…，bt+m∈A；
即集合A中至少有t个元素不在子集S中，∴，所以，解得k≤2685；当S={1，2， (1342)
1343，2687，…，4027，4028}时：
取m=1343，则易知对集合S中任意两个元素y1，y2，都有|y1﹣y2|≠1343；即集合S具有性质P，而此时集合S中有2685个元素；∴集合S元素个数的最大值是2685 {t_^g28184 6E18 渘 R33011 80F3 胳27206 6A46 橆kH 1。