2016年第57届IMO中国国家队选拔考试试题及部分试题答案
历届IMO数论问题详解

9n 1 ,矛
②当 n 2 时, p ( x) x 10 x 22 81 ,所以 ( x 5) 128 ,因此 x 17 。也就是说十
2 2
位数只能是 1 ,设 x 10 k , 0 k 7 ,则 p ( x) (10 k ) 10(10 k ) 22 k ,解得
求满足下列条件的最小自然数n十进制尾数为6并且把末尾的6是一个k位数去掉6以后得到的位数为a所以10可以被13整除因为我们要求最小的n当然首先要k最小可以验算当可以被13整除此时15384153846容易验证153846的确满足要求所以153846为所求
附录 1
历届 I题 1:求证对任意正整数 n ,分数 (21n 4) /(14n 3) 不可约。 证明:因为 3 (14n 3) 2 (21n 4) 1 。所以对于任意正整数 n , 21n 4 与 14n 3 都 互质,所以分数 (21n 4) /(14n 3) 不可约。
k k 1
4) 13 ,所以
(10k 1 4) 可以被 13 整除,因为我们要求最小的 n ,当然首先要 k 最小,可以验算当 k 6
时, (10
k 1
4) 可以被 13 整除,此时 a 15384, n 153846 ,容易验证 153846 的确满足
要求,所以 n 153846 为所求。
c 3 不能构成一个三角形。
②如果 a b 2 ,代入得 bc 4(b 1) ,而 (b, b 1) 1 ,所以 b 4 ,只能有 b 2或4 。将
b 2 代入得 c 6 不符合要求;而 b 4 时,可得 c 5, a 6 ,正好满足要求。
1959年至2016年历届IMO精彩试题(不含问题详解)

第一届(1959年)罗马尼亚 布拉索夫(Bra şov ,Romania )1. 求证314421++n n 对每个自然数 n 都是最简分数。
(波兰)2. 设A x x x x =--+-+1212,试在以下3种情况下分别求出x 的实数解: a)2=A ;b)A =1;c)A =2。
(罗马尼亚)3. a 、b 、c 都是实数,已知关于 cos x 的二次方程0cos cos 2=++c x b x a试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程,使它的根与原来的方程一样。
当a =4,b =2,c =-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。
(匈牙利)4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c ,斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
(匈牙利)5. 在线段AB 上任意选取一点M ,在AB 的同一侧分别以 AM 、MB 为底作正方形AMCD 、 MBEF ,这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P 、Q ,设这两个外接圆又交于 M 、N 。
a) 求证:AF 、BC 相交于N 点;b) 求证:不论点M 如何选取,直线MN 都通过定点S ;c) 当M 在A 与B 之间变动时,求线段PQ 的中点的轨迹。
(罗马尼亚)6. 两个平面P 、Q 的公共边为 p ,A 为P 上给定一点,C 为Q 上给定一点,并且这两点都不在直线p 上。
试作一等腰梯形ABCD (AB 平行于CD ),使得它有一个内切圆,并且顶点B 、D 分别落在平面P 和Q 上。
(捷克斯洛伐克)第二届(1960年)罗马尼亚 锡纳亚(Sinaia ,Romania )1. 找出所有具有下列性质的三位数N :N 能被11整除且商等于N 的各位数字的平方和。
(保加利亚)2. 寻找使下式成立的实数x :(匈牙利)()92211422+<+-x x x3. 直角三角形ABC 的斜边BC 的长为a ,将它分成n 等份(n 为奇数),令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角,从A 到BC 边的高长为h ,求证:(罗马尼亚)()a n nh 14tan 2-=α4. 已知从A 、B 两点引出的高线长h a 、h b 以及从 A 引出的中线长m a ,求作三角形ABC 。
1959年至2017年历届IMO试题(不含答案)

第一届(1959年)罗马尼亚布拉索夫(Bra şov,Romania)1.求证314421++n n 对每个自然数n 都是最简分数。
(波兰)2.设A x x x x =--+-+1212,试在以下3种情况下分别求出x 的实数解:a)2=A ;b)A =1;c)A =2。
(罗马尼亚)3.a 、b 、c 都是实数,已知关于cos x 的二次方程cos cos 2=++c x b x a 试用a,b,c 作出一个关于cos 2x 的二次方程,使它的根与原来的方程一样。
当a =4,b =2,c =-1时比较cos x 和cos 2x 的方程式。
(匈牙利)4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c ,斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
(匈牙利)5.在线段AB 上任意选取一点M ,在AB 的同一侧分别以AM 、MB 为底作正方形AMCD 、MBEF ,这两个正方形的外接圆的圆心分别是P 、Q ,设这两个外接圆又交于M 、N 。
a)求证:AF 、BC 相交于N 点;b)求证:不论点M 如何选取,直线MN 都通过定点S ;c)当M 在A 与B 之间变动时,求线段PQ 的中点的轨迹。
(罗马尼亚)6.两个平面P 、Q 的公共边为p ,A 为P 上给定一点,C 为Q 上给定一点,并且这两点都不在直线p 上。
试作一等腰梯形ABCD (AB 平行于CD ),使得它有一个内切圆,并且顶点B 、D 分别落在平面P 和Q 上。
(捷克斯洛伐克)第二届(1960年)罗马尼亚锡纳亚(Sinaia,Romania)1.找出所有具有下列性质的三位数N :N 能被11整除且商等于N 的各位数字的平方和。
(保加利亚)2.寻找使下式成立的实数x :(匈牙利)()92211422+<+-x x x 3.直角三角形ABC 的斜边BC 的长为a ,将它分成n 等份(n 为奇数),令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角,从A 到BC 边的高长为h ,求证:(罗马尼亚)()a n nh14tan 2-=α4.已知从A 、B 两点引出的高线长h a 、h b 以及从A 引出的中线长m a ,求作三角形ABC 。
2016年世界少年奥数赛七年级海选赛试题及答案解析

世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方海选赛(2016年10月)选手须知:1、本卷共三部分,第一部分:填空题,共计50分;第二部分:计算题,共计12分;第三部分:解答题,共计58分。
2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。
3、比赛时不能使用计算工具。
4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。
七年级试题(A卷)(本试卷满分120分,考试时间90分钟)一、填空题。
(每题5分,共计50分)1、用200千克花生可榨油25千克,如此计算,用15吨花生可以榨油吨。
2、把110厘米长的铁丝焊成一个长方体的框架,长是宽的两倍,宽是高的1.5倍。
则这个长方体的长厘米,宽厘米,高厘米。
3、某商品按20﹪的利润定价,然后按八八折出售,实际获得利润84元。
则商品的成本元。
4、某中学学生中83是男生,男生比女生少250人,则该中学有人。
5、若04312y x ,求yx 。
6、一项工程,如果单独做,甲、乙各需10天完成,丙需7.5天完成,现在三人合作,在做的过程中,甲外出1天,丙休息0.5天,结果一共用了天完成。
7、有五张牌,分别写着2、3、4、5、6,其中三张是反着的,从中任意取出一张,若为单数就是甲赢,若为双数就是乙赢,则赢的可能性大。
8、甲、乙两种酒精浓度分别为70﹪和50﹪,现在要配制65﹪的酒精3000克,应当从甲种酒精中取克,乙种酒精中取克。
9、在一个长为4厘米的正方体的前后、上下、左右各面的中心位置挖去一个底面半径为1厘米、高为1厘米的圆柱,则挖去后物体的表面积为。
(圆周率用3.14计算)10、|3-x ||2-x ||1x|的最小值是____。
二、计算题。
(每题6分,共计12分)11、211712111743322174112、102418141211三、解答题。
(第13题6分,第14题8分,第15题10分,第16题10分,第17题12分,第18题12分,共计58分)13、已知在数轴上,点A 与原点之间的距离是点A 与30所对应的点之间的距离的4倍,那么点A 所表示的数是多少?14、a 与b 互为相反数,且1,54|b -a |2ab abab a 求的值。
最简单的imo试题

最简单的imo试题关于imo:1. 什么是imo?imo 指国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad),是一项国际性的数学竞赛,是最著名和最具影响力的青少年科学竞赛之一。
它旨在通过监督青少年参加举办国家历年间的竞赛活动,以提高学生在数学方面的能力。
2. imo比赛的目的imo比赛主要是为了促进国际间的数学交流。
其旨在鼓励学生发展具有国际视野的数学思维,并将这种思维能力应用于实际求解问题的过程中。
imo的任务希望以数学的形式提高尽可能多的孩子的数学能力并通过实践经历帮助他们了解数学在实际生活中的重要性及其他数理科学的可行性。
3. imo的参赛范围imo比赛每年有一百多个国家和地区参加,覆盖了全世界学龄儿童(15岁以下)年龄段的孩子,并针对高中生和大学生也有相应的比赛项目。
imo比赛分为国际和非国际,主要分为预赛、决赛和网络赛三组竞赛中。
4. imo比赛的考核方式预赛会在每个参加国家的学校中举行,选出国家队进入决赛;决赛会在国外举行,期间,学生们会出题、讨论数学解题方案、参加讨论会,并完成多道难题;网络赛致力于增进全球就数学而言的友谊和相互交流,并通过对各国学生参与数学竞赛的成绩进行排名,实现数学成就“全球排名”。
5. imo考试的奖励政策imo比赛根据参赛者的表现给予不同的奖励,大赛参赛员晋升及金牌奖励都是至关重要的。
比赛的奖励政策一般为晋升奖励以及金银铜牌奖励,晋升奖按全类别平均,一般计两个成绩晋职,一般会有10—12%的参赛者可获得晋职以及金银铜牌的得奖机会。
而具体的奖励政策也根据主办国及相关组织的规定不断变更。
历届IMO数论问题详解

9n 1 ,矛
②当 n 2 时, p ( x) x 10 x 22 81 ,所以 ( x 5) 128 ,因此 x 17 。也就是说十
2 2
位数只能是 1 ,设 x 10 k , 0 k 7 ,则 p ( x) (10 k ) 10(10 k ) 22 k ,解得
② n 为偶数时, f ( n)
2k 而 f (0) [ k 1 ] 0 ,所以 f (1) 1 f (0) 1 。 k 0 2
结合①、②,由数学归纳法易证 f (n) n 。
1969 年第 11 届问题 1:求证:存在无限多个自然数 a 满足如下性质,对于所有的自然数 n ,
k k 1
4) 13 ,所以
(10k 1 4) 可以被 13 整除,因为我们要求最小的 n ,当然首先要 k 最小,可以验算当 k 6
时, (10
k 1
4) 可以被 13 整除,此时 a 15384, n 153846 ,容易验证 153846 的确满足
要求,所以 n 153846 为所求。
n 1 1 (n 1) 2k n 2 k n 20 n 2 k 1 k 1 2 2k 1 k 1 2 k 0 2 k 1 k 1 2
2016年cmo试题解析

2016年cmo试题解析今天咱们来一起看看2016年cmo(中国数学奥林匹克)的试题解析呀。
虽然这些题有点难,但是咱们一起研究研究就会觉得很有趣的呢。
就拿其中一道题来说吧。
这道题就像是一个小迷宫一样,要找到出口可不容易。
它大概是关于数字和图形之间的关系的。
比如说,它给了我们一些奇怪的图形,每个图形上还有不同的数字标记。
这就好比是在一个神秘的城堡里,每个房间都有一个不同的数字密码。
我们要做的呢,就是像小侦探一样,找出这些数字和图形之间隐藏的规律。
我一开始看到这题的时候,真的是有点懵,就像走进了一个大雾弥漫的森林,根本不知道方向在哪里。
但是我没有放弃呀,我就从最简单的部分开始看。
我发现其中有几个图形,它们的形状特别相似,只是大小不太一样。
然后我再看看对应的数字,就好像发现了一点点小线索。
我就想啊,如果把图形的大小当成是一种变化的因素,那数字是不是也会按照某种规律跟着变化呢?我就拿笔在纸上画呀,把那些相似图形按照大小顺序排起来,再把对应的数字也写在旁边。
这时候就有点像在拼图了,一块一块地试着拼凑出正确的图案。
还有一道题是关于排列组合的。
这就像是在安排小伙伴们排队一样。
比如说有几个小朋友,他们要站成不同的队形,有的是一排,有的是几排。
题里给了一些条件,比如说某个小朋友必须站在另一个小朋友的左边之类的。
这就需要我们好好地思考怎么安排才能满足所有的条件。
我就想象自己是那个负责排队的小班长。
我先把那些有特殊要求的小朋友的位置确定好,就像先把队伍里的小队长安排好位置一样。
然后再根据剩下的条件,把其他小朋友一个一个地安排到合适的位置上。
这中间也会遇到一些小麻烦,比如说安排了几个小朋友之后,发现后面的小朋友没办法按照要求站了。
这时候我就重新调整前面小朋友的位置,就像重新规划队伍的排列一样。
通过做这些题,我学到了很多东西呢。
我知道了遇到难题不要害怕,就像走在黑暗的小路上,只要一步一步慢慢走,总会找到亮光的。
而且要善于从简单的地方开始找线索,就像搭积木一样,先把最下面的基础打好,然后再慢慢往上搭。
1959年至2016年历届IMO试题(不含答案)

第一届(1959年)罗马尼亚 布拉索夫(Bra şov ,Romania )1. 求证314421++n n 对每个自然数 n 都是最简分数。
(波兰)2. 设A x x x x =--+-+1212,试在以下3种情况下分别求出x 的实数解: a)2=A ;b)A =1;c)A =2。
(罗马尼亚)3. a 、b 、c 都是实数,已知关于 cos x 的二次方程0cos cos 2=++c x b x a试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程,使它的根与原来的方程一样。
当a =4,b =2,c =-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。
(匈牙利)4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c ,斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
(匈牙利)5. 在线段AB 上任意选取一点M ,在AB 的同一侧分别以 AM 、MB 为底作正方形AMCD 、 MBEF ,这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P 、Q ,设这两个外接圆又交于 M 、N 。
a) 求证:AF 、BC 相交于N 点;b) 求证:不论点M 如何选取,直线MN 都通过定点S ;c) 当M 在A 与B 之间变动时,求线段PQ 的中点的轨迹。
(罗马尼亚)6. 两个平面P 、Q 的公共边为 p ,A 为P 上给定一点,C 为Q 上给定一点,并且这两点都不在直线p 上。
试作一等腰梯形ABCD (AB 平行于CD ),使得它有一个内切圆,并且顶点B 、D 分别落在平面P 和Q 上。
(捷克斯洛伐克)第二届(1960年)罗马尼亚 锡纳亚(Sinaia ,Romania )1. 找出所有具有下列性质的三位数N :N 能被11整除且商等于N 的各位数字的平方和。
(保加利亚)2. 寻找使下式成立的实数x :(匈牙利)()92211422+<+-x x x3. 直角三角形ABC 的斜边BC 的长为a ,将它分成n 等份(n 为奇数),令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角,从A 到BC 边的高长为h ,求证:(罗马尼亚)()a n nh 14tan 2-=α 4. 已知从A 、B 两点引出的高线长h a 、hb 以及从 A 引出的中线长m a ,求作三角形ABC 。
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������ ∧ ������ = (min{������1, ������1}, min{������2, ������2}, ⋯ , min{������������, ������������}). 求 ������ 的非空真子集 ������ 的元素个数的最大值, 使得对任意 ������, ������ ∈ ������, 均有 ������ ∨ ������ ∈ ������, ������ ∧ ������ ∈ ������.
3. 如图, 圆内接四边形 ������������������������ 中, ������������ > ������������, ������������ > ������������, ������, ������ 分别是 △������������������, △������������������ 的内心, 以 ������������ 为直径的圆与线段 ������������ 交于点 ������, 与 ������ ������ 的延长线交于点 ������ .
2016 年第 57 届 IMO 中国国家队选拔考 试
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第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一 第一天 2016 年 3 月 15 日上午 8:00-12:30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
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中国数学竞赛交流群:3372788022016 源自 208:00-12 30
1. 如图所示, ������ 为锐角 △������������������ 内一点, ������, ������, ������ 分别是 ������ 关于 ������������, ������������, ������������ 的对称点, ������������ , ������������ , ������������ 的延长线与 △������������������ 的外接圆分别交于点 ������, ������, ������.
证明: 若 ������, ������, ������ , ������ 四点共圆, 则 ������, ������ 关于 ������������ 对称.
6. 如图, 圆内接四边形 ������������������������ 的对角线相交于点 ������ , 存在一个圆 Γ 与 ������������, ������������, ������������, ������������ 的延长 线分别相切于点 ������, ������ , ������, ������ . 圆 Ω 经过 ������, ������ 两点, 且与圆 Γ 外切于点 ������. 证明: ������������ ⊥������������ .
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二 第二天 2016 年 3 月 21 日上午 8:00-12:30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三 第一天 2016 年 3 月 25 日上午 8:00-12:30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1≤������<������≤12
3. 设 ������ 是一个由有限个素数组成的集合, ������ 是一个无限正整数集合, 其中每个元素均有不在 ������ 中的素因子. 证明: 存在 ������ 的无限子集 ������, 使得 ������ 的任意一个有限子集的元素和均有不在 ������ 中 的素因子.
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4. 设整数 ������, ������ ≥ 2, 数列 {������������} 满足 ������1 = ������, ������������+1 = ������������������ + ������(������ = 1, 2, ⋯). 证明: 对于每个整数 ������ ≥ 2, 存在 ������������ 的素因子 ������, 使得对 ������ = 1, ⋯ , ������ − 1, 有 ������ ∤ ������������.
3. 给定整数 ������ ≥ 2, 设集合 ������ = {(������1, ������2, ⋯ , ������������)|������������ ∈ {0, 1, ⋯ , ������}, ������ = 1, 2, ⋯ , ������}.
对任意元素 ������ = {������1, ������2, ⋯ , ������������} ∈ ������, ������ = (������1, ������2, ⋯ , ������������) ∈ ������, 定义 ������ ∨ ������ = (max{������1, ������1}, max{������2, ������2}, ⋯ , max{������������, ������������}),
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一 第二天 2016 年 3 月 16 日上午 8:00-12:30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二 第一天 2016 年 3 月 20 日上午 8:00-12:30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
������
证明: 对任意正整数 ������ 及任意正奇数 ������ ≤ ������, ∏ ������ (������) 是 ������ 的整数倍.
������=1
5. 是否存在两个无限正整数集合 ������, ������ , 使得任意正整数 ������ 均可唯一地表示成
������ = ������1������1 + ⋯ + ������������������������ 的形式, 这里 ������ 是一个依赖于 ������ 的正整数, ������1 < ⋯ < ������������ 是 ������ 中的元素, ������1, ⋯ , ������������ 是 ������ 中的 元素?
5. 如图所示, 四边形 ������������������������ 内接于圆 ������, ∠������, ∠������ 的内角平分线相交于点 ������, ∠������, ∠������ 的内角平分
线相交于点 ������ , 直线 ������������ 不经过点 ������, 且与边 ������������, ������������ 的延长线分别交于点 ������ , ������, 与边 ������������, ������������
1
1
⎛
⎞2 ⎛
⎞ ������
������
(������)
=
⎜⎜⎝���∑ ���������⩽������
������������������2������ ⎟⎟ ⎠
+
⎜⎜⎝���∑ ���������>������
������������������������������
⎟ ⎟
⎠
.
证明:
若正数
∠������������������ = ∠������������ ������, ∠������������������ = ∠������������ ������. 证明: ������������ = ������������ .
B C
A
D K
F
E
2. 求最小的正实数 ������, 使得对任意三个复数 ������1, ������2, ������3 ∈ {������ ∈ ������||������| < 1}, 若 ������1 + ������2 + ������3 = 0, 则 |������1������2 + ������2������3 + ������3������1|2 + |������1������2������3|2 < ������.
8:00-12 30
1. 如图, 在圆内接六边形 ������������������������������������ 中, ������������ = ������������ = ������������ = ������������. 若线段 ������������ 内一点 ������ 满足
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