实对称半正定矩阵的一个充分条件的新证明
半正定矩阵的性质
半正定矩阵的性质内容摘要矩阵是线性代数的一个重要内容，矩阵这一概念是从其它许多事物中抽象出来的，具有很大的现实意义.矩阵的理论不仅贯穿于线性代数的各个部分，而且在在物理学及其它科学技术领域，在经济及其它社会科学领域都有广泛的应用.本文以半正定矩阵的概念为基本出发点，从特征值、主子式、QR 分解、Gram 矩阵、半正定矩阵的各种运算等等系统研究半正定矩阵的基本性质，尤其是hadamard 积 和kronecker 积 ，更深刻的理解半正定矩阵的内涵和性质.【关键词】 半正定矩阵 hadamard 积 kronecker 积 一、矩阵的相关知识定义1[1]. 矩阵的秩向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩.矩阵的行秩就是矩阵行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩.矩阵的行秩等于矩阵的列秩，统称为矩阵的秩，记作()R A .定义2[1]. 矩阵的特征值与特征向量设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和非零n 维列向量x ，使得x Ax λ=成立，则称 λ 为A 的一个特征值.非零n 维列向量x 称为矩阵A 的属于（对应于）特征值λ的特征向量，简称A 的特征向量.特征向量0≠x .注1. 特征向量不是由特征值唯一确定的，但是特征值都是由特征向量唯一决定的.所以一个特征向量只能属于一个特征值，一个特征值有无穷多个特征向量.注2．对于一个n 阶矩阵A ，λ是矩阵A 的特征值，一般通过求解特征方程A E f -=λλ)(和齐次线性方程组()0E A X λ-=来得到矩阵的特征值和特征向量.定义3[1]. 矩阵的迹设矩阵()ij n n A a ⨯=，那么矩阵A 的迹就是矩阵A 的主对角线元素的之和，记作()tr A .注3.矩阵的迹就是矩阵的所有特征值之和. 定义4. 对角优势矩阵 对于矩阵()ij n n A a ⨯=，如果1nii ij j j ia a =≠≥∑，1,2,,i n =则称矩阵A 为对角优势矩阵.定义5[1].对称矩阵对于矩阵()ij n n A a ⨯=，若元素满足ji ij a a =, n j i 2,1,=或者A A T =, 则称矩阵A 为对称矩阵.定义6[2].酉矩阵对n 阶复矩阵A ，用A -表示以A 的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A 满足TTA A A A E --==,则称矩阵A 为酉矩阵.定义7.Gram 矩阵 设12,,,n v v v 是欧氏空间V 的一个向量组，定义矩阵111212122212,,,,,,,,,n n n n n n v v v v v v v v v v v v A v v v v v v <><><>⎛⎫⎪<><><> ⎪= ⎪⎪<><><>⎝⎭A 称为由向量12,,,n v v v 组成的Gram 矩阵，记做()12,,,n Gram v v v . 其中，,<⋅⋅>为欧氏空间V 中定义的内积.定义8. 可对角化如果方阵A 相似于一个对角矩阵，称方阵A 为可对角化，换句话说，即如果存在一个可逆矩阵 P 使得AP P 1-是对角矩阵，那么称矩阵A 可对角化.定义9[2]. 置换矩阵对于矩阵()ij n n P p ⨯=，如果它的每一行和每一列都只有一个元素为1，其它的元素都为零，则称矩阵P 为置换矩阵.定义10[2]. 可约矩阵 对于 矩阵()n n ij a A ⨯=，如果满足 ①1=n 时，0=A ；②2≥n ,存在n 阶置换矩阵P ,使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-D O C B PAP 1,其中B 是k 阶方阵11-≤≤n k ,左下角是()k k n ⨯-阶的零矩阵,则称矩阵A 为可约的.否则，矩阵A为不可约.定义11[1]. 非退化矩阵对于矩阵()n n ij a A ⨯=，如果0≠A ，称矩阵A 为非退化的. 定义12[1]. 矩阵的幂对于矩阵()n n ij a A ⨯=,对任意正整数k ，kA 定义为k kA AAA=，称为矩阵A 的k 次幂.规定E A =0.定义13[4]. 阵的QR 分解实(复)非奇异矩阵A 能够化成正交（酉）矩阵Q 与实（复）非奇异上三角矩阵R 的乘积，即QR A =,称为A 的QR 分解.定义14[5].Kronecker 积设()n m ij R a A ⨯∈=,()n m ij R b B ⨯∈=，A 与B 的Kronecker 积,记作B A ⊗，定义为n m nn n n n n C B a Ba B a B a Ba B a B a Ba B a B A ⨯∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⊗ 212222111211注4：从定义看矩阵的Kronecker 积被表示成为矩阵的分块运算，即B A ⊗是一个分块矩阵，每一个子块是数乘运算()B a ij . 矩阵的Kronecker 积也称为直积或张量积.定义15[5].Hadamard 积设()n m ij R a A ⨯∈=，()n m ij R b B ⨯∈=，其中A 与B 为同阶矩阵，A 与B 的Hadamard 积，记作A B ,定义为()n m ij ij R b a B A ⨯∈= .注5： 矩阵A 与B 的Hadamard 积即将A 与B 对应元素相乘，矩阵的Hadamard 积也称为Schur 积.注6[5]：矩阵Hadamard 积的性质：① ()()kB A B kA = ② ()C A B A C B A +=+ ③ ()()C B A C B A =④()TT T A B A B =注7：由矩阵的Kronecker 积与Hadamard 积的定义可以看出，B A 是B A ⊗的主子矩阵.二、半正定矩阵的性质(一)半正定矩阵的定义如果矩阵n n R A ⨯∈是实对称矩阵，并且对于一切n R X ∈,有0≥AX X T ，则称矩阵A 为半正定矩阵.记作0A ≥.如果0≥-B A ，记作B A ≥.(二)半正定矩阵的二次型对称矩阵A 的二次型()AX X X f T =，如果对任何非零向量X ，都有0≥AX X T 成立,则称()AX X X f T =为半正定二次型.(三)半正定矩阵的性质性质1：设A 为一个n 阶对角优势对称矩阵，且对角线元素非负，那么矩阵A 为半正定矩阵.证明：设A 是一个n 阶对角优势对称矩阵，且对角线元素非负. 设ij A 矩阵是A 的主子矩阵且i 行j 列如下，且其它对角元素等于0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ij ij ij ij a a a a那么ij A 是一个半正定矩阵，而∑=-nj i ij A A 1,也为非负对角阵，所以A 为半正定的.注8：半正定矩阵对角化之后，所有元素都大于等于0. 性质2：设A 为一个n 阶对称矩阵，下列命题等价：(a)A 是半正定矩阵;(b)A 的所有特征值为非负; (c)A 的所有的主子式非负;(d)存在一个n 阶矩阵B ，使得T BB A =; (e)存在一个n 阶下三角矩阵L ，使得T LL A =; (f)存在一个n 阶对称矩阵C ，使得2C A =;(g)存在一个k 维欧氏空间V 和向量12,,,n v v v V ∈，使得()12,,,n A Gram v v v =;(h)存在k 个向量12,,,nk b b b R ∈，使得∑==ki T i i b b A 1.证明：(a)⇒(b)设,AX X λ=0X ≠,其中λ为矩阵A 的特征值，由于矩阵A 为半正定矩阵，有0≥=X X AX X T T λ,且0T X X >,则\0T T X AX X X λ=≥, 所以矩阵A 的所有特征值非负.(a)⇒(c) 设[]a A 是A 的主子式，由于A 为半正定的，所以[]a A 也为半正定的，由(a)⇒(b)可知[]a A 的特征值为非负，因此，[]0≥a A .(c)⇒(b) 设A 的特征多项式()()()n nk n k kn n n A P x P x P xP x x 112211-++-+-+-=∆--- 其中k P 为A 的所有k k ⨯阶子矩阵的和，由于 (c)，n k P k 2,10=≥，，假设0<x ,如果n 为任意正整数，那么0>n x 并且()0≥∆x A ；如果n 唯一，那么0<n x ，并且()0≥∆x A ，这表明矩阵A 不可能有负特征值且A 为对称矩阵，所以矩阵A 特征值存在且非负.(b)⇒(f) 由于A 为对称矩阵，并且特征值非负，它正交相似与一个非负对 角矩阵D .即T UDU A =,其中U 是正交矩阵，D 是非负对角矩阵()n d d d diag D 21=,但是当T T U D U U D U A =,其中由于U 为正交矩阵，所以有T U U E =,然而),n diagd =.所以T U D U C C A ==，2.(d)⇒(e) 为了证明这个结论，首先利用下列这一点：任何矩阵C 有一个QR 因数i.e.,QR C =，其中Q 的行正交，R 是上三角矩阵.设TA BB =,TB 的QR 分解为T B QR =,有()()TTTT T B B QR R Q ===，那么T T T A R Q QR LL ==，那么就有T T Q R L =,T QR L =,然而TR L =是一个下三角矩阵.所以T LL A =.(d)⇒(g) 设T BB A =,然而B 是n n ⨯阶矩阵，设k R V =,并且设T i V 是 B 的i 行，那么()n v v v Gram A 21=(g)⇒(a)由于()12,,,n A Gram v v v =，且设n R x ∈，那么()()0x v ,211i n 1j 1,1,,1,≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====∑∑∑∑∑∑======ni ii n j j i i nj i j j i i j i nj i j i nj i j i ij Tvx v x v x v x x x v v x x a AX X 0T X AX ≥,所以矩阵A 为半正定矩阵.(b)⇒(h) 设T BB A = ,则有∑==ki T i i b b A 1，其中(1,2)i b i k = 为B 的列向量，由(e)⇒(d)，(f)⇒(d)，可知结论成立.注9:①性质2 中，证明(b)⇒(f) 中，构造的矩阵C 其实为半正定矩阵，这表明任何一个半正定矩阵A 都有唯一的半正定矩阵C 满足2C A =,那么矩阵C 为A 的平方根，记作C =②中指的是主子矩阵而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A 是半正定的.例1 判定二次型()2123221321245,,x x x x x x x x f -++=的正定性 解 (解法1) 用顺序主矩阵判别 首先，该二次型()123,,f x x x 对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100041015A求A 的各阶主子式可得，051>=D 02241152>=--=D 03==A D由于A 的各阶主子式全都大于等于零，所以该二次型()123,,f x x x 为半正定二次型。
对称矩阵正定的充要条件
对称矩阵正定的充要条件1.引言1.1 概述对称矩阵正定的充要条件是一种在线性代数中常见并且十分重要的性质。
它与矩阵的特征值和特征向量密切相关，可以在很多实际问题中得到应用。
在本文中，我们将探讨对称矩阵正定的充分条件和必要条件，同时总结并讨论这些条件的意义。
在开始深入讨论之前，我们需要明确对称矩阵和正定矩阵的定义。
对称矩阵是指矩阵的转置和自身相等，而正定矩阵则是指其所有特征值均为正且对应的特征向量线性无关。
接下来，我们将首先介绍对称矩阵和正定矩阵的定义，以便读者对这些概念有一个清晰的认识。
然后，我们将详细讨论对称矩阵正定的充分条件和必要条件。
通过探究这些条件，我们能够更好地理解对称矩阵正定性质的本质。
最后，我们将总结这些条件，并探讨其在实际问题中的应用和意义。
通过研究对称矩阵正定的充要条件，我们能够更深入地理解矩阵的性质和特征，并能够将其应用到更广泛的领域中。
本文的目的是帮助读者掌握对称矩阵正定性质的重要概念和相关理论，进而在实际问题中灵活运用。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文主要探讨对称矩阵正定的充要条件。
文章分为三个主要部分：引言、正文和结论。
在引言部分，我们将概述本文的目的和重要性，并介绍对称矩阵和正定矩阵的定义。
通过对这些基本概念的明确界定，我们可以更好地理解对称矩阵正定的条件。
接下来，在正文部分，我们将详细讨论对称矩阵和正定矩阵的定义。
我们将首先介绍对称矩阵的定义，阐明其特性和性质。
然后，我们将引入正定矩阵的定义，并探讨其与对称矩阵之间的联系。
在正文的最后部分，我们将详细探讨对称矩阵正定的充分条件和必要条件。
通过这些条件的讨论，我们可以更加准确地判断一个对称矩阵是否正定。
最后，在结论部分，我们将总结对称矩阵正定的充要条件，简洁地概括文章的主要观点和结果。
此外，我们还将探讨这些条件的实际应用和意义，以展示对称矩阵正定的重要性和价值。
通过以上结构，本文将从引言到正文再到结论，层层递进地介绍对称矩阵正定的充要条件。
(完整word)实正定矩阵的判定及其重要结论
摘要:本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识,给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明,并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论.关键词:实对称正定矩阵;等价定理;充分条件Decision of Real Positive Definite Matrixand Its Important ConclusionAbstract:This paper provide a series of matrix theory knowledge of higher algebra ，give some of the equivalence theorem of real symmetric matrix and its proof and obtain some of the important conclusions of real symmetry positive definite matrix .Keywords:real symmetry positive definite matrix， equivalence theorem ， sufficient condition禄 鹏（天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水,741000)摘 要: 本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论。
关键词: 实对称正定矩阵; 等价定理; 充分条件1 引言矩阵理论是数学的一个重要分支,它不仅是一门基础学科,也是最具有使用价值、应用广泛的数学理论[]2,1，现已成为处理有限维空间形式和数量关系的强有力的工具. 正定矩阵作为一类常用矩阵,其在数学学科和其他学科技术领域的应用也非常广泛[]4,3，因此它的判断问题一直倍受关注.虽然个别判定条件已被人们所熟知,但缺少系统的总结，本文将尽可能给出多个实对称正定矩阵的判定定理和重要结论，从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具.2 实正定矩阵的等价定理定义1[]5 实二次型()n x x x f ,,,21 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数nc c c ,,,21 都有()n c c c f ,,,21 0>。
实对称矩阵正定性的一个新的判别准则
阵 、半 正定 矩 阵 （ 负 定 ） 、半 负 定矩 阵 （ 正 非 非
维普资讯
Ｍ ａ． ０ ｙ ２０ ７
Ｖ０ ． ８Ｎｏ ３ Ｉ ． １
中 国 民 航 飞 行 学 院 学 报
Ｊ ｕ ａ ｏ Ｃｉ ｉ Ａｖ ａ ｉｎ Ｆ ｉｈ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｏ Ｃｈ ｏｒ ｌ ｆ ｎ ｖｌ ｉｔ ｌ ｔ ｏ ｇ ｉ ｅ ｓｔ ｙ ｆ ｍａ ９
中图分 类号 ：Ｏ１ ３ 文 献标识 码 ：Ａ
本文概用 ＝ 表示 ， （ ｌ 阶实对称矩阵。矩阵Ａ 的正定性与二次＿ｆ ｘ ｘ的正定性不加区分。 ￣ ＝ｒ Ａ
矩阵 Ａ 的 Ｊ级主子式是指：位于矩阵 Ａ 的第 ｝ ｉ ｆ行、第 ｊ行、…、第 行及第 ｆ列、第 ｊ列、 ｌ ２ ｌ ２
第 ｆ 的 Ｊ倍加 到第 ．行上 ， ｆ ， 行 ｝ ｉ ，
阶行列式，其中，ｌ ｌｆ …＜ 。 Ｊ ＜ ＜ ＜２
定理 ｌ 若 Ａ具有性质 Ｅ ，则 Ａ 必然具有性 ｌ 质 。若 Ａ具有性质 ，则 Ａ必然具有性质 。
定 理 ２ 设 为实对称 矩 阵 。 １ ．Ａ 为半正 定矩 阵的充分 必要 条件是 Ａ 的所
有奇数级主子式非正，所有偶数级主子式非负。 ４ ．当 ｆ ｌ ，３ ，Ａ具有性质 历 时，则 ＝ ，２ ，４ Ａ 的所有偶数级主子式非负。特别地， 的所有二 Ａ
级主 子式 非负 。
证明 结论 ｌ 是显然 的 。
义。不管是利用霍尔维茨定理（ 】 ｉ） 【 ，Ｐ ０ ｌ ２ 或是利用 特征值去判别实对称矩 阵的正定性，都有计算量
所 有主 子式 非负 。 ３ ．Ａ 为半 负定矩 阵的充分 必要 条件是 Ａ 的所
等方 阵记 为 Ｅ【 （ 。 ， 】 ，ｆ
本文使用的符号或术语是标准的【 ３。 ｌ】 一 对于实对称矩 阵正定性 的研 究，不仅对于研
最新对称矩阵的性质及应用
对称矩阵的性质及应用目 录The Properties and Applications of Symmetry Matrix ...................................................................... 3 1.1 对称矩阵的定义 ......................................................................................................................... 4 1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明 ............................................................................................. 4 2.对称矩阵的对角化 ........................................................................................................................ 5 2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 ......................................................................................... 5 2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 ................................................................................. 7 3.1正定矩阵的定义 ......................................................................................................................... 9 定理 1 n 元实二次型()12,,,T n f x x x X AX =是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n . .............................................................................................................................................. 9 证 设二次型()12,,,n f x x x 经过非退化实线性替换变成标准形2221122n nd y d y d y +++（1）.上面的讨论表明，()12,,,n f x x x 正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，二次型（1）是正定的当且仅当0,1,2,,i d i n >=，即正惯性指数为n . (9)由定理1可以得到下列推论： (10)1. 实对角阵12n d d d ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭正定的充要条件是0,1,2,,id i n >=. (10)2. 实对称矩阵A 正定的充要条件是()12,,,T n f x x x X AX =的秩与正惯性指数都等于n ......................................................................................................................................................... 10 3. 实对称矩阵A 正定的充要条件是A 的特征值全为正.事实上，由第二部分对称矩阵对角化的讨论可知，A 可对角化为12n λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，,1,2,,ii n λ=是A 的特征值，A 正定即二次型()12,,,T n f x x x X AX =正定，而()12,,,n f x x x 的标准形为2221122n n x x x λλλ+++，非退化的线性替换保持正定性不变，所以有0,1,2,,i i n λ>=，A 的特征值全为正. (10)定理2 实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. (10)证 由定理1可知，正定二次型()12,,,n f x x x 的规范形为22212n y y y +++，而规范型的矩阵是单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵E 合同. (10)由此得：......................................................................................................................................... 10 1. 正定矩阵的行列式大于零.由于正定矩阵A 与单位矩阵E 合同，所以有可逆矩阵C 使T T A C EC C C ==，两边取行列式，就有20T A C C C ==>. (10)2. 正定矩阵A 的逆仍是正定矩阵.首先正定矩阵A 的逆仍是对称矩阵，又A 与单位矩阵合同，则存在可逆矩阵P 使T A P EP =，两边取逆()()111TA PE P ---=，令()1TQ P-=，则1T AQ EQ -=，所以1A -也与单位矩阵合同. (10)有时我们可以通过矩阵的行列式来判别对称矩阵或相应的二次型是否正定，为此，引入： (10)定义3 子式()1112121222121,2,,i i i i i iia a a a a a P i n a a a ==称为矩阵()ij n n A a ⨯=的顺序主子式. .. 11定理3 实二次型()12,,,T n f x x x X AX =或矩阵A 是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零. ........................................................................................................................ 11 证 必要性：设二次型()1211,,,n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑是正定的.对于每个k ，1k n ≤≤，令()1211,,,kkk k ij i j i j f x x x a x x ===∑∑.我们来证k f 是一个k 元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数1,,k c c ，有 (11)()()1111,,,,,0,,00kkk k ij i j k i j f c c a c c f c c ====>∑∑.因此()12,,,k n f x x x 是正定的.由上面的推论，k f 的矩阵的行列式11110kk kka a a a >，1,,k n =.这就证明了矩阵A 的顺序主子式全大于零. (11)充分性：对作数学归纳法，当1n =时，()21111f x a x =，由条件110a >显然有()1f x 是正定的. ............................................................................................................................................... 11 假设充分性的论断对于1n -元二次型已经成立，现在来证n 元的情形.令111,111,11,1n n n n a a A a a ----⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，11,n n n a a α-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，于是矩阵A 可以分块写成1T nn A A a αα⎛⎫= ⎪⎝⎭.既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1n -级矩阵G 使11Tn G A G E -=，这里1n E -代 (11)表1n -级单位矩阵.令1001G C ⎛⎫=⎪⎝⎭，于是 (11)111000101T TT n T T nn nn A G E G G C AC a G a αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ................................................... 12 再令1201T n E G C α-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，有 (12)11112112000101T T n n TT n n T TT T nn nn E E E G E G C C AC C a GG G G a αααααα----⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 12 令12C C C =，T T nn a GG a αα==，就有11TC AC a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.两边取行列式，2C A a =.由条件，0A >，因此0a >.显然 (12)111111111a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎝. (12)这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之，A 是正定矩阵，或者说，二次型()12,,,n f x x x 是正定的.根据归纳法原理，充分性得证. (12)应用定理3完成下题. .................................................................................................................... 12 例 3 若二次型()2221231231223,,2422f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的取值范围是什么？ (12)解 设f 对应的矩阵为A ，则2101104A t t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，它的三个顺序主子式为 (12)12∆=，221111∆==，2342A t ∆==-. (12)所以当2420t ->时，即t <<f 为正定二次型. (12)参考文献 ................................................................................... Error! Bookmark not defined.对称矩阵的性质及应用摘 要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等. 关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用The Properties and Applications of Symmetry MatrixAbstract: The article mainly elaborates the definitions of symmetry matrix and discusses properties and applications of it, including the basic properties of symmetry matrices, diagonalization of symmetry matrices, positive definiteness of symmetry matrices and applications in quadratic form, linear transformations and Euclidean space problems etc.Keywords: symmetry matrix; diagonalization; positive definiteness; application前言矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的.这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点.本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用.1.对称矩阵的基本性质在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念. 1.1 对称矩阵的定义定义1 设矩阵()ij s n A a ⨯=，记()T ji n s A a ⨯=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知：1.对称矩阵一定是方阵.2.位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即ij ji a a =，对任意i 、j 都成立.对称矩阵一定形如111211222212n n nnnn a a a aa a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 定义2 形式为12000000l a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l =，通常称为对角矩阵.定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵. 定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵.由定义知： 1.反对称矩阵一定是方阵.2.反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素都为零.反对称矩阵一定形如12112212000n n nna a aa a a ⎛⎫ ⎪- ⎪⎪ ⎪--⎝⎭. 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论. 1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵. 证 设A 、B 是n 阶对称矩阵，即T A A =,T B B =.则：()TT T A B A B A B +=+=+，()()T TT T T A B A B A B A B -=+-=-=-，(),TT k C kA kA kA ∀∈==.性质2 设A 为n 阶方阵，则T A A +，T AA ，T A A 是对称矩阵. 证 因为()()TTT TT T A AA AA A +=+=+，则T A A +是对称矩阵.因为()()TT T T T T AA A A AA ==，则T AA 是对称矩阵，同理可证T A A 也是对称矩阵.性质3 设A 为n 阶对称矩阵（反对称矩阵），若A 可逆，则1A -是对称矩阵（反对陈矩阵）.证 （1）因为A 可逆，T A A =，()()111TT A A A ---==，所以1A -是对称矩阵.（2）因为A 可逆，T A A =-，1111()()()T T A A A A ----==-=-，则1A -是对称矩阵.性质4 任一n n ⨯矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和. 证 设A 为n n ⨯矩阵，()()1122T T A A A A A =++-，由性质2易证()12T A A +是对称矩阵，()()()111222TT T T A A A A A A -=-=--，则()12T A A -是反对称矩阵.性质5 设A 为对称矩阵，X 与A 是同阶矩阵，则T X AX 是对称矩阵. 证 因为()()TTTTTT T T T X AX X AX X A X X AX ===,所以T X AX 是对称矩阵.性质6 设A 、B 都是n 阶对称矩阵，证明：AB 也对称当且仅当A 、B 可交换.证 必要性：若AB 为对称矩阵，则()TAB AB =，又()TT T AB B A BA ==，AB BA =，因此，A 、B 可交换.充分性：若AB BA =，则()TT T AB B A BA AB ===，AB 为对称矩阵.2.对称矩阵的对角化任意一个n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量，那么对称矩阵的对角化需要什么条件，怎样进行对角化，对称矩阵的正定性又如何判别呢？下面的讨论将给出答案. 2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明定理1 实对称矩阵的特征值都是实数.证 设A 是n 阶实对称阵，λ是的特征值，()12,,,Tn X x x x =是属于λ的特征向量，于是有AX X λ=.令12n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中i x 是i x 的共轭复数，则________AX X λ=，考察等式____________()()()TTTTT X AX X A X AX X AX X ===，其左边为____TX X λ，右边为____TX X λ.故____TX X λ=____TX X λ，又因X 是非零量，____11220Tn n X X x x x x x x =+++≠故λλ=，即λ是一个实数.注意，由于实对称矩阵A 的特征值i λ为实数，所以齐次线性方程组()0i A E x λ-=为实系数方程组，由0i A Eλ-=知必有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量.此定理的逆命题不成立.例如，124003001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1,21λ=，30λ=均为实数，而A 不是对称的.定理2 设A 是实对称矩，定义线性变换A ,1122n n x x x x A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪A = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭......(1)，则对任意向量,n R αβ∈，有()(),,αβαβA =A 或()T T βααβA =A .证 只证明后一等式即可.()()()TT T T T A βαβαβααβA ==A =A .定理3 设A 是实对称矩阵，则n R 中属于A 的不同特征值的特征向量必正交. 证 设12,λλ是A 的两个不同的特征值，12,X X 分别是属于12,λλ的特征向量：111AX X λ=,222AX X λ=.定义线性变换A 如定理2中的（1），于是111X X λA =，222X X λA =.由()()1212,,X X X X A =A ，有()()112212,,X X X X λλ=.因为12λλ≠，所以()12,0X X =.即12,X X 正交.定理4 对任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级正交矩阵P ，使1T P AP P AP -=成为对角形且对角线上的元素为A 的特征值.证 设A 的互不相等的特征值为12,,,s λλλ()s n ≤，它们的重数依次为12,,,s r r r ()12s r r r n +++=.则对应特征值i λ(1,2,,)i s =，恰有i r 个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得i r 个单位正交的特征向量，由12s r r r n +++=知，这样的特征向量共可得n 个.由定理3知对应于不同特征值的特征向量正交，故这n 个单位特征向量两两正交.以它们为列向量作成正交矩阵P ，则1T P AP P AP -==Λ，其对角矩阵Λ中的对角元素含1r 个1λ，…,s r 个s λ，恰是A 的n 个特征值.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例定理4说明，对任何一个实对称矩阵总有正交矩阵存在，使它化为对角形.定理4的证明过程也给出了将实对称矩阵A 对角化找出正交阵P 的方法，具体步骤如下：1.求出实对称矩阵的A 全部特征值12,,,s λλλ.2.对每个i λ(1,2,,)i s =，由()0i E A X λ-=求出的特征向量.3.用施密特正交法，将特征向量正交化，单位化，得到一组正交的单位向量组.4.以这组向量为列，作一个正交矩阵P ，它就是所要求的正交阵. 根据上述讨论，下面举例说明.例1 求一正交矩阵P ，将实对称矩阵400031013A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭化为对角阵.解 由于2400031(2)(4)013A E λλλλλλ--=-=---，A 的特征值为12λ=，234λλ==.对12λ=，由()20A E x -=得基础解系1011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，对234λλ==，由()40A E x -=得基础解系2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2ξ与3ξ恰好正交，所以1ξ，2ξ，3ξ两两正交.再将1ξ，2ξ，3ξ单位化，令()1,2,3i i ii ξηξ==，得10η⎛⎫ ⎪= ⎪ -⎝，2100η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，30η⎛⎫ = ⎝，于是得正交阵()123010,,00P ηηη⎛⎫ == -⎝，则1200040004P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.例2 设2112A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求nA .解 （1）先将A 对角化求出正交阵P .21(1)(3)012A E λλλλλ---==--=--，121,3λλ==.由()0A E x -=，()30A E x -=分别得基础解系111ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，211ξ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.则()1211,11P ξξ⎛⎫== ⎪-⎝⎭，1111112P -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则11003P AP -⎛⎫Λ== ⎪⎝⎭.（2）利用1n n P A P -Λ=求n A .1111011131311110311221313n n nnn n n A P P -⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Λ=⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 3.对称矩阵的正定性二次型的矩阵都是对称矩阵，二次型和它的系数矩阵是相互唯一决定的，因此二次型正定与它的对称矩阵正定等价.以下将具体讨论对称矩阵正定性的含义以及判别正定性的条件和方法. 3.1正定矩阵的定义定义1 实二次型()12,,,T n f x x x X AX =称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数12,,,n c c c 都有()12,,,0n f c c c >.定义2 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型T X AX 正定. 由定义可知： 1. 二次型()2221212,,,n nf x x x x x x =+++是正定的，因为只有在120n c c c ====时，22212n c c c +++才为零.一般地，不难验证，实二次型()222121122,,,n n nf x x x d x d x d x =+++是正定的当且仅当0,1,2,,i d i n >=.非退化的线性替换保持正定性不变.2. 任意n 阶实对称矩阵A 正定就是指，对于任意n 维非零列向量X ，都有0T X AX >.3. 复正定矩阵的正定性与实对称矩阵类似，只要放到复数域上考虑即可.4. 正定矩阵是对称矩阵，具有对称矩阵的所有性质，此外，同阶正定矩阵的和仍是正定矩阵.事实上，设A 、B 都是n 阶正定矩阵，则对于任意非零列向量()12,,,Tn X x x x =，有0T X AX >，0T X BX >，那么，()0T T T X A B X X AX X BX +=+>，所以A B +仍是正定矩阵. 3.2对称矩阵正定性的判别 定理1 n 元实二次型()12,,,T n f x x x X AX =是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .证 设二次型()12,,,n f x x x 经过非退化实线性替换变成标准形2221122n n d y d y d y +++（1）.上面的讨论表明，()12,,,n f x x x 正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，二次型（1）是正定的当且仅当0,1,2,,i d i n >=，即正惯性指数为n .由定理1可以得到下列推论：1. 实对角阵12n d d d ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭正定的充要条件是0,1,2,,id i n >=.2. 实对称矩阵A 正定的充要条件是()12,,,T n f x x x X AX =的秩与正惯性指数都等于n .3. 实对称矩阵A 正定的充要条件是A 的特征值全为正.事实上，由第二部分对称矩阵对角化的讨论可知，A 可对角化为12n λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，,1,2,,ii nλ=是A 的特征值，A 正定即二次型()12,,,T n f x x x X AX =正定，而()12,,,n f x x x 的标准形为2221122n n x x x λλλ+++，非退化的线性替换保持正定性不变，所以有0,1,2,,i i n λ>=，A 的特征值全为正.定理2 实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. 证 由定理1可知，正定二次型()12,,,n f x x x 的规范形为22212n y y y +++，而规范型的矩阵是单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵E 合同.由此得：1. 正定矩阵的行列式大于零.由于正定矩阵A 与单位矩阵E 合同，所以有可逆矩阵C 使T T A C EC C C ==，两边取行列式，就有20T A C C C ==>.2. 正定矩阵A 的逆仍是正定矩阵.首先正定矩阵A 的逆仍是对称矩阵，又A 与单位矩阵合同，则存在可逆矩阵P 使T A P EP =，两边取逆()()111TA P E P ---=，令()1TQ P -=，则1T A Q EQ -=，所以1A -也与单位矩阵合同.有时我们可以通过矩阵的行列式来判别对称矩阵或相应的二次型是否正定，为此，引入：定义3 子式()1112121222121,2,,i i i i i iia a a a a a P i n a a a ==称为矩阵()ij n n A a ⨯=的顺序主子式.定理3 实二次型()12,,,T n f x x x X AX =或矩阵A 是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零.证 必要性：设二次型()1211,,,nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑是正定的.对于每个k ，1k n ≤≤，令()1211,,,k kk k ij i j i j f x x x a x x ===∑∑.我们来证k f 是一个k 元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数1,,k c c ，有()()1111,,,,,0,,00kkk k ij i j k i j f c c a c c f c c ====>∑∑.因此()12,,,k n f x x x 是正定的.由上面的推论，k f 的矩阵的行列式11110kk kka a a a >，1,,k n =.这就证明了矩阵A 的顺序主子式全大于零.充分性：对作数学归纳法，当1n =时，()21111f x a x =，由条件110a >显然有()1f x 是正定的.假设充分性的论断对于1n -元二次型已经成立，现在来证n 元的情形.令111,111,11,1n n n n a a A a a ----⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，11,n n n a a α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，于是矩阵A 可以分块写成1T nn A A a αα⎛⎫= ⎪⎝⎭.既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1n -级矩阵G 使11T n G A G E -=，这里1n E -代表1n -级单位矩阵.令1001G C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是111000101T TT n T T nn nn A G E G G C AC a G a αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再令1201T n E G C α-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，有11112112000101T T n n TT n n T TT T nn nn E E E G E G C C AC C a GG G G a αααααα----⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 令12C C C =，T T nn a GG a αα==，就有11T C AC a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.两边取行列式，2C A a =.由条件，0A >，因此0a >.显然111111111a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎝. 这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之，A 是正定矩阵，或者说，二次型()12,,,n f x x x 是正定的.根据归纳法原理，充分性得证.应用定理3完成下题.例3 若二次型()2221231231223,,2422f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的取值范围是什么？解 设f 对应的矩阵为A ，则2101104A t t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，它的三个顺序主子式为12∆=，221111∆==，2342A t ∆==-.所以当2420t ->时，即t <<f 为正定二次型.4.应用举例例4 设,A B 均为实对称矩阵，证明：存在正交矩阵P 使T P AP B =的充要条件是的,A B 特征多项式的根全部相同.证 必要性：由条件可知,A B 相似，相似矩阵有相同的特征多项式，得证. 充分性：设,A B 的特征多项式的根全部相同，记它们为12,,,n λλλ，则存正交阵12,P P 使111Tn P AP λλ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，122Tn P BP λλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，那么1122T T P AP P BP =，所以()()112112P P A PP B --=，取112P PP -=为正交阵，则有T P AP B =.例5 欧式空间V 中的线性变换:V V A →称为反对称变换，若()(),,,,V αβαβαβ∀∈A =-A .证明：A 反对称当且仅当A 在一组标准正交基的矩阵是反对称矩阵.证 充分性：设()ij n n A a ⨯=是线性变换A 在标准正交基12,,,n εεε下的矩阵，且A 反对称，即T A A =-，任给,V αβ∈，记()()11,,,,,n n X Y αεεβεε==，则有()()11,,,,,n n AX AY αεεβεεA =A =，那么()()(),,TT T T AX Y X A Y X AY αβαβA ===-=-A ，所以A 为反对称变换.必要性：设是A 反对称变换，且()()1212,,,,,,n n A εεεεεεA =，其中矩阵()ij n n A a ⨯=，12,,,n εεε为V 的标准正交基，那么，()11,,ni i ni a a εεε⎛⎫ ⎪A = ⎪ ⎪⎝⎭，()11,,nj j nj a a εεε⎛⎫ ⎪A = ⎪ ⎪⎝⎭. 因此()(),,,i j ji i j ij a a εεεεA =A =，所以()(),,ij i j i j ji a a εεεε=A =-A =-.即知A 为反对称矩阵.例6 设:A n 阶正定阵，:B n 阶实对称阵.证明：AB 的特征值为实数. 证 设AB ξλξ=，其中0ξ≠，由于A 正定，则1A -存在且正定，则11,T T B A B A ξλξξλξ--==，那么11,T T T T B A B A ξξλξξξξλξξ--==.因此11T T A A λξξλξξ--=，则()10T A λλξξ--=.又1A -也正定，且0ξ≠，则10T A ξξ-≠，则()0λλ-=，即λ为实数.总结本文从基础理论和实际应用方面讨论了对称矩阵的基本性质，给出对称矩阵可对角化的理论证明以及对角化的方法，并阐述了对称矩阵正定性的判别等.其中对称矩阵的对角化和正定阵的综合应用是重难点，对此我们要仔细琢磨和思考，努力掌握好对称矩阵的相关问题.参考文献：[1] 北京大学数学系.高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社,2003. 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正定矩阵 和实对称矩阵
正定矩阵和实对称矩阵正定矩阵是线性代数中一个很重要的概念，与之相关的概念还有实对称矩阵。
本文将详细介绍正定矩阵和实对称矩阵的定义、性质以及它们之间的关系。
1.正定矩阵的定义在矩阵理论中，正定矩阵是一种特殊的方阵，具有一些重要的性质。
对于一个n阶矩阵A，如果对于任意非零向量x，都有x^T*A* x>0，那么矩阵A就被称为正定矩阵。
其中，x^T表示向量x的转置，"*"表示矩阵的乘法。
2.正定矩阵的性质正定矩阵具有以下重要性质：-正定矩阵的特征值都是正数。
这是正定矩阵的一个重要性质，可以通过特征值分解来证明。
-正定矩阵的行列式大于0。
正定矩阵的行列式可以看作是矩阵的所有特征值的乘积，由于特征值都是正数，所以行列式也必然大于0。
-正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
逆矩阵的定义与正定矩阵的性质相呼应，两者之间存在密切的关联。
3.实对称矩阵的定义实对称矩阵是指对于一个矩阵A，它的转置矩阵等于它本身，即A^T=A。
实对称矩阵在应用中具有很多重要的特性和性质。
4.实对称矩阵与正定矩阵的关系实对称矩阵和正定矩阵之间存在着紧密的关系。
事实上，一个实对称矩阵是正定矩阵的充分条件是它的所有特征值都是正数。
这可以通过特征值分解和正定矩阵的定义进行证明。
5.应用领域正定矩阵和实对称矩阵在数学和工程领域中都有广泛的应用。
在最优化问题中，正定矩阵是一类重要的关键性质，它们被广泛应用于凸优化、线性规划等领域。
实对称矩阵在物理学、力学、信号处理等领域中也有重要的应用。
本文介绍了正定矩阵和实对称矩阵的定义、性质以及它们之间的关系。
正定矩阵具有特征值全为正数、逆矩阵也是正定矩阵等重要性质；实对称矩阵是指转置矩阵等于本身的矩阵。
实对称矩阵的所有特征值为正则可以称之为正定矩阵。
正定矩阵和实对称矩阵在数学和工程领域中有广泛的应用，对于最优化问题、物理学、力学等领域具有重要意义。
【方法】正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用
【关键字】方法正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用作者：袁亮（西安财经大学）摘要: 本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用.关键词: 正定矩阵，判定，不等式，应用Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality.Keywords: positive definite matrix, determine, inequality, application目录1引言 (4)2正定矩阵的判定方法 (4)2.1定义判定 (5)2.2定理判定 (6)2.3正定矩阵的一些重要推论 (11)3正定矩阵在三个不等式证明中的应用 (15)3.1证明柯西不等式 (15)3.2证明H o l d e r不等式 (16)3.3证明M i n k o w s k i不等式 (18)结束语 (21)参照文献 (22)1 引言代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛，n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用.正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意，且，都有成立.本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2 正定矩阵的判定方法2.1 定义判定设=,(其中C,i,j=1,2,…，n), 的共轭转置记为=定义1 对于实对称矩阵=,（其中R,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量，都有>0,则称是正定矩阵.定义2 对于复对称矩阵=,（其中C,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量，都有>0,则称是正定矩阵．例1 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，为B的转置矩阵，试证为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n.证[必要性] 设为正定矩阵，则对任意的实n维列向量，有，即.于是，因此，只有零解，从而.[充分性] 因,即为实对称矩阵.若秩，则线性方程组只有零解，从而对任意实n维向量有.又A为正定矩阵，所以对于，有,于是当时，.故为正定矩阵.例2 设 A 是 n 阶正定矩阵，B 是 n×m 实矩阵，B 的秩为 m ，证明 ：BAB 是正定矩阵.证 因为（BAB ）=BAB=BAB,故 BAB 是实对称矩阵，其次，由于秩 B=m ，m≤n.故 BX=0 只有零解 ，因此，若任取非零实列向量 X 必有 BX≠0，因 A 是正定矩阵，故对任取的非零实列向量 X ，必有X （BAB ）X=(BX)A(BX)>0.因此 BAB 是正定矩阵.注意 以上两个例子，是运用正定矩阵的定义来证明的.还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法.具体是，若 A 不是方阵，也不对称时，AA ，AA 是正定矩阵，若 A 是方阵，但不对称，则 A+A 是正定矩阵，同时，在证明的过程中，我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用.2.2 定理判定定理1 n 阶实对称矩阵A 正定，当且仅当实二次f(,,…,)=的正惯性指数为n ．证 设实二次型f(,,…,)经过非退化线性变换得++…+. （2.1）由于非退化实线性变换保持正定性不变，那么A 正定当且仅当（2.1）是正定的，由定义3知（3.1）正定当且仅当i a >0(n i ,,2,1 =)，因此，正惯性指数为n. .定理2[]1 实对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n d d d 21正定的充分必要条件是i d >0，(n i ,,2,1 =).证 由定理3.1得，实对称矩阵正定当且仅当二次型f(1x ,2x ,…，n x )=1d 21x +2d 22x +…+n d 2n x .的正惯性指数为n ，因此，i d >0（i =1,2,…,n,）．例3 设A 为n 阶实对称矩阵，证明：秩（A ）=n 的充分必要条件为存在一个n 阶实矩阵B ，使A B AB T +是正定矩阵.证 [充分性]（反证法）反设()n A r <，则0=A .于是0=λ是A 的特征值，假设相应的特征向量为x ， 即()00≠=x Ax ,所以0=T T A x .所以()0=+=+Ax B x ABx x x A B AB x T T T T T ，和A B AB T +是正定矩阵矛盾.[必要性] 因为()n A r =，所以A 的特征值n λλλ,,,21 全不为0.取B=A ，则22A AA AA A B AB T =+=+.它的特征值为222212,2,2n λλλ 全部为正，所以A B AB T +是正定矩阵. 定义3 在实二次型()n x x x f ,,,21 的规范形中，正平方项的个数p 称为()n x x x f ,,,21 的正惯性指数，负平方项的个数p r -称为()n x x x f ,,21的负惯性指数，它们的差()r p p r p -=--2称为()n x x x f ,,,21 的符号差.定理3[]1 实对称矩阵A 是正定的充要条件矩阵A 的秩与符号差n ．定理4[]1 实对称矩阵A 是正定的充要条件是二次型f(1x ,2x ,…n x )=T X A X 的系数矩阵A 的所有特征值都是正数，即大于零.证 由文献[1]知，实对称矩阵A 可对角化为其中1a ，,,2 a n a 恰好是A 的特征值，则二次型T X A X 的标准形为：1a 21x +2a 22x +…+n a 2n x ,而非退化实线性变换保持正定性不变，由f (1x ,2x ,…，n x )=1a 21x +2a 22x +…+n a 2n x .正定得i a >0(n i ,,2,1 =)．例4设A 为实对称矩阵，则当t 充分大时，A+tE 为正定矩阵.证 设A 的特征值为()为实数i n λλλλ,...,,21，取{}i n i t λ≤≤>1max ，则tE A +的特征值()n i t i ,...,2,1=+λ全部大于零，因此当{}i ni t λ≤≤>1max 时，tE A +是正定矩阵. 例5 设A 为n 阶实对称矩阵，且035323=-+-E A A A .证明：A 正定. 证 设λ是A 的任一特征值，对应特征向量为0≠x ，即x Ax λ=，代入已知等式035323=-+-E A A A ,有()()0353*******=-+-=-+-x x E A A A λλλ， 因为0≠x ，故λ满足得i 211±==λλ或，因A 为实对称矩阵，其特征值一定为实数，故只有1=λ，即A 的全部特征值就是01>=λ，这就证明A 是正定矩阵.定理5[]1 实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同．证 实正定二次型的规范形为21x + +22x +2n x . ( 而（，非退化实线性变换保持正定性不变，而且新二次型的系数矩阵与原二次型的系数矩阵是合同的，故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同．定理6[]2 实对称矩阵A 是正定的充要条件是存在可逆矩阵C 使得A =T C C ．证 设A 为一正定矩阵，当切仅当A 与单位矩阵合同，因此，存在可逆矩阵C ，使得 A =T C EC =T C C .定理7[]1 实对称矩阵A 正定的充分必要条件是矩阵A 的顺序主子式全大于零．证 [必要性] 实对称矩阵A 正定，则二次型f (1x ,2x ,…,n x )=T X A X =∑∑==n i nj j i ij x x a 11是正定的， 对于每一个k ,1≤k ≤n ,令k f （1x ,2x ,…，k x ）=∑∑==k i kj j i ij x x a 11，我们来证k f 是一个k 元正定二次型，对于一组不全为零的数1c ，2c ，…，k c ，有k f （1c ，2c ，…，k c ）=k f （1c ，2c ，…，k c ，0，…,0）>0,因此，k f 是一个k 元正定二次型.由充要条件2得k f 的矩阵行列式kkk ka a a a 1111>0,（k =1,2,…,n ）. [充分性] 对n 作数学归纳法当n =1时，f(1x )=11a 21x ,由条件11a >0，显然f(1x )是正定的．假定此论断对n -1元二次型成立，下证n 元的情形.令1A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1,12,11,11,222121,11211n n n n n n a a a a a a a a a ，X =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n a a a ,121 ， 则 A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn T a X X A 1. 由A 的顺序主子式全大于零可知1A 的顺序主子式全大于零，由假设1A 是正定矩阵，有n-1阶可逆矩阵 G ，使得T G 1A G =1-n E ,令1C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100G ,则T C 1A 1C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100T G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn T a X X A 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100G =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nn T T n a G X X G E 1. 令 2C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101X G E T n , 则T C 2T C 1A 1C 2C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101G X E T n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nn T T n a G X X G E 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101X G E T n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--X GG X a E T T nn n 001. 令 C =1C 2C ,a =nn a -T X G T G X ,则有T C AC =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 11.两边取行列式得 2C A =a ,由条件 A >0 知 a >0. 由于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 11=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 111. 因此，A 与单位矩阵合同. 由定理5得，A 是正定矩阵．定理8[]2 n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是存在对称正定阵B ，使A=B 2. 证 [必要性] 存在正交阵Q ，使A=Q<Q T =Q <<Q T =Q <Q T Q <Q T []6 =B 2,其中记 B=Q <Q T ,以及 ),...2,1,).(,...,,(21n i diag i n ==<λλλλ,为A 的特征值.[充分性] 对任给0,02>=≠X B X AX X X T T ，因为B 正定，所以A 正定.定理9[]3 A 是正定矩阵的充要条件是：存在非退化的上(下)三角矩阵 Q ，使 A=Q T Q.证 不妨以下三角矩阵为例来证明，上三角矩阵的情况同理可证.[必要性] 若 A=(a ij ) 是 n 阶正定矩阵，则A 的任意 k 阶主子式大于零．特别的有 a nn >O ．将 A 的第 n 列乘适当的倍数，分别加到第 1,2……n—l 列上，再施同样的行变化，可使 A 变成为⎥⎦⎤⎢⎣⎡nn a A 001,的形式．即存在非退化的下三角矩阵T 1，使⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn T a A AT T 00111, 再令因为A 正定 ，故A 1作为A 的n-1阶顺序主子式，也是正定的.对A 1做同样处理，最终可得到n T T T T E R R T AT T T R R =21211212............. 令 Q R T T T Q ∴=,......2121是非退化的下三角矩阵，且使A=O T Q[充分性] 是显然的．定理10[]2 A 是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组 n a a a ,......,,21使A=T nn T T a a a a a a +++...2211. 2.3 正定矩阵的一些重要推论对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外，还有很多重要推论，下面给出.推论1[]3 正定矩阵的和仍是正定矩阵．证 若A 与B 为同阶正定矩阵，则对于非零列向量C =(,1c ,,,2 c n c )≠0,必有T C A C >0，T C B C >0,从而T C （A +B ）C =T C A C +T C B C >0.所以A +B 也是正定的.推论2[]1 实正定矩阵的行列式大于零．证 对A =T C C 两边取行列式有|A |=|T C | |C |=2||C >0，因此，|A|>0．推论3与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵．(事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立)推论4 正定矩阵A的逆矩阵1-A一定是正定矩阵．证由命题1.3得正定矩阵A的逆矩阵1-A一定是对称矩阵，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，所以存在可逆矩阵P使得A=T P EP=T P P,取逆矩阵得1-A=()1-P E()TP1-,令P1-,Q=()T则1-A=TQ E Q.因此，1-A与单位矩阵合同，所以1-A是正定矩阵．推论5 正定矩阵的任何顺序主子式阵必为正定矩阵．推论6[]4设A，B均为 n 阶正定矩阵，且AB=BA，则AB 正定.证因为AB=BA，故(AB)'=B'A'=BA=AB，所以AB为实对称矩阵，又因为A 正定，所以实可逆矩阵P，使P'AP=E.[方法一] P'ABP=P'APP1-BP=P1-BP，而 B 正定，故 B 的特征值都大于零，所以 P'ABP 的特征值大于零，正定，AB是正定的.[方法二][]5 P'AB(P')1-=P'APP1-B(P')1-=P1-B(P1-)'，因为B 正定，故P1-B(P1-)'正定， P1-B(P1-)'的特征值大于零，AB的特征值大于零，又因为AB 实对称，所以AB是正定的.推论7 若A是正定矩阵，则A*也是正定的(其中A*表示A的伴随矩阵).证 因为A 正定 ，故 A 1-正定；A *=A A 1-(A >0)，所以 A *也正定. 推论8[]2 若A ，B 都是n 阶实对称矩阵，且B 是正定矩阵，则存在一n 阶实可逆矩阵P 使P T AP 与P T BP 同时为对角形.证 因为B 是正定的，所以合同于E ，即存在可逆阵U 使U T BU=E ；且A 是n 阶实对称矩阵，则(U T AU)T =U T A T U.存在正交矩阵C 使C T (U T AU)C=diag( 1λ， 2λ，⋯，n λ),则E C C EC C C BU U C T T T T ===)(.取P=UC ，则P 为所求．推论9 若 A 是实对称的正定矩阵，则存在 a>0，b>O ，c>0，使 aE+A ，E+bA.cE —A 均是正定矩阵.证 若A 的特征值为i λ，1≤i ≤n ，则 aE+A 的特征值为 a+i λ ，1≤i ≤n ，所以存在 a 使 aE+A 的特征值大于零，其余同理可证.推论10 已知 A 是 n 阶正定矩阵，则A k (k 是正整数)也是正定矩阵. 证 A k 与 A 的特征值有熟知的关系，故从特征值角度人手考虑．根据A 正定，即知其特征值1λ，⋯， n λ 全正，由于 A k 的全部特征值就是 k n k λλ,...,1 也都为正．这就知A k 是正定矩阵.例6 若 A 是 n 阶正定矩阵，则 E A 2+>2n .证 [法一] A 与2E 都是n 阶实对称正定矩阵，因此存在一n 阶实可逆矩阵 P 使)2,...2,2()2(21+++=+n Tdiag P E A P λλλ.由推论9可知其中入i (i=l ，2，⋯，n)为 A 的特征值且大于零．所以 i λ+2(i=l ，2，⋯，n) 为 A+2E 的特征值，也是大于零的.所以E A 2+=( 1λ+2)( 2λ+2)⋯( n λ+2) ≥2n .[法二] 因为 A 与 2E 都是 n 阶实对称正定矩阵，由推论10，有E A 2+≥ A +E 2>2n .推论11[]6 A 为n 阶正定矩阵，B 为2n 阶非零半正定矩阵，则B A +>A +B . 证 由题意可知，存在实可逆阵P ，使P 'AP=E ，且P 'BP=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n d d d ..21，（d i ≥0） 所以 所以B A +>A +B .推论12 若 A 是 n 阶实对称正定矩阵，则必有 a 11>0，a 22>0,…,a nn >0. 证 根据定义，对一切 X ≠O 皆有 X T AX>0，故依次令X=e 1，…e n ，就有(e 1)T Ae 1>O,即 a 11>0(e n )T Ae n >0,即 a nn >0.3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 3.1 证明柯西不等式如果有一个正定的矩阵，我们通常可以设计出一个柯西不等式．进而我们就有必要知道如何用正定矩阵证明柯西不等式(1)柯西不等式在中学里，我们就熟悉了如下的一个不等式这就是著名的柯西不等式．如果我们将上述不等式用内积的形式来表示，则可将它 写成βαβα⋅≤),(.(2)那如何用正定矩阵证明柯西不等式呢？如果有一个正定的矩阵，我们通常可以设计出一个柯西不等式．进而我们就有必要知道正定矩阵与柯西不等式的关系．并应用正定矩阵证明柯西不等式.设A=(a ij )是一个n 阶正定矩阵，则对任何向量α=(x 1，x 2，⋯，x n )与β=(Y 1，Y 2，⋯，y n )，定义∑==1,),(j i j i ijy x aβα.则可以证明由上式定义的一定是n 维向量间的内积．反之，对于n 维向量问的任意一种内积，一定存在一个n 阶正定矩阵A=(a ij )，使得对任何向量α和β，(βα,)可由(2)式来定义．因此，给定了一个n 阶正定矩阵，在n 维向量间就可由该矩阵定义一个内积，从而可得到相应的柯西不等式∑∑∑===≤nj i j i ijnj i ji ijnj i j i ijy y ax x ay x a1,1,1,.例7 证明不等式对所有实数x 1，x 2，x 3和y 1，y 2，y 3均成立．证 从不等式来看，可知它相当于βαβα⋅≤),( 其中(βα,)是由矩阵A= ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----210121012.所定义的，但要证明),(βα是内积还需证明A 是个正定矩阵．经验证该矩阵为正定矩阵．从而可看出该不等式就是由A 所确定的内积所产生的柯西不等式，因此不等式成立.3.2 证明Holder 不等式设A 为n 阶正定矩阵，x ∈R n ，易知xA Axx x x x 1''2')(-≤[]7，本节将其推广为更一般的形式，并以此为工具给出Holder 不等式的一个新证明.定理[]7 设A 为n 阶正定阵，x n R ∈，r ，s 为任意正整数，则r s s r s r x A x x A x x x )()()('''-+≤.证 对任一0,≠∈x R x n ，令a=sr r x A rx x A sx +-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1'1',则有a>0， 令()s s r r t a t a t f --+=,易见()t f 在()+∞,0上有最小值sr s sr r s r r s m ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=,由于A 正定，故存在正交阵P 使P P A Λ='，其中{}()n i diag i n ,...,10,,...,,21=>=Λλλλλ,为A 的特征值， 于是()()()(){}P f f f diag P A a A a A f n s s r r λλλ,...,,21'=+=--,由于()()n i m f i ...2,1=≥λ,故()()(){}n n mI f f f diag ≥λλλ,...,,21,从而()n s s r r mI A a A a A f ≥+=--,于是x mx x A x a x A x a s s r r '''≥+--,将a 的表达式代入上式左端并整理得()()sr r ss r s rssrrx A x xA x m x A x a x A x a +-+--=+'''',由此即得()()x x x A x x A x sr r ss r s r'''≥+-+,即()()()sr rssrx x x A x x A x +-≥'''.证毕下面我们 利用以上结果证明Holder 不等式. Holder 不等式 设1,1,0,0>>≥≥q p b a i i ，并且111=+qp ，则 qni q i pni p i ni i i b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===.证 由常规的极限过渡法，不妨设()n i b a i i ...2,10,0=>> 且p ，q 为有理数；由111=+qp 知必存在正整数r ，s ，使得 sr rq s r s p +=+=1,1. 令()n nn R b a b a b a x ∈='2211,...,, , ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=---r n s n r s r s b a b a b a diag A 1112121111,...,, 经简单运算得∑==ni i i b a x x 1',∑∑==+==ni p i ni s sr ira ax A x 11',∑∑==+-==ni ni q i r s r isb bx A x 11',于是由r s s r s r x A x x A x x x )()()('''-+≤ 得rn i q i s n i p i sr n i i i b a b a ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑==+=111, 即qni q i pni p i n i i i b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===.3.3 证明Minkowski 不等式引理1[]8 设i A ，i B ()m j ,2,1 =都是n n ⨯阶正定实对称矩阵，p<1且0≠p ，则有pmj np j pmj np j pmj np j j B A B A 111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===. 引理2[]8 设i A ，i B （i=1，2,…,m ）是n ×n 阶实对称正定矩阵，0<p<1，则对n r ≥，有prp m i i prp mi ipm i rp i i rn r B A B A 1111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===-. r>n 时，等式成立当且仅当i i B A =；当r=n 时，即为引理1，等式成立当且仅当()().,...,2,10m i k kB A i i =>=证 令10,111<<=+p qp ，则p=q （p —1）.由Holder 不等式（下文中由推论进行了证明）及引理1，得到()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑=-==-=--q mi rq p i i pmi rp i qmi rq p i i pm i rp i rn r B A B B A A 11111111112= pmi rpi i pmi rp i m i pi rn r B A B A 1111112⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===-,两边同乘pmi rp i i rn r B A 112⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-, 便得到pmi rp i pmi rp i pmi rp i i rn r B A B A 1111112⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===-. 若令()()()0,,,>==i i i i i i b a b B a A 为一阶矩阵时，在引理2中，取r=1，0<p<1， 得到qni q i pni p i pni p i i b a b a 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫⎝⎛+∑∑∑===. 此为Minkowski 不等式.结 束 语本文重点介绍了正定矩阵的判定方法，归纳总结了判定正定矩阵的一系列定理及推论，并给出相应的证明和适当的例题. 与此同时利用正定矩阵的性质以及得出的一些重要推论给出了柯西不等式，Holder 不等式，Minkowski 不等式的证明方法.参 考 文 献[1] 王萼芳,石生明.高等代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社,2003:205-226. [2] 金义明,丁嘉华,王海敏.线性代数[M].北京：中国物资出版社，2002:198-224. [3] 张文丽.正定矩阵的简单应用.晋东南师专学报[L],2004,21（2）：67-69.[4] 岳贵鑫.正定矩阵的一些应用探讨.辽宁省交通高等专科学校学报[L],2008,10（5）：31-33,59-59.[5] 王海东.正定二次型的刻划定理及其程序.长春大学学报[L],2006,16（3）：28-30. [6] 曹璞.正定矩阵的判定与性质[J].南都学坛,1994(3)：1-3.[7] 冯天祥,刘学飞.Hermite 正定矩阵迹的几个重要不等式[J].数学杂志,2009,29（3）. [8] 王长文,张有正.正定矩阵和的行列式不等式.浙江工业大学学报[L],2006,34（3）:352-354.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
实对称矩阵正定、半正定的简易判别
目 录1.引言 ................................................................................................. 1 2.实对称矩阵正定、半正定的简易判别方法 . (1)2.1 实对称 矩阵的几个定义[]3 ............................................................................ 1 2.2 实对称矩阵正定的充分必要条件有下列几种方法: ............................................ 1 2.3 实对称矩阵正定简易判别的几个充分必要条件。
.............................................. 3 2.3.1 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 合同于单位矩阵E []3. (4)2.3.2 n 元实二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数[]9等于n 。
(5)2.4 实对称矩阵A 半正定的几个充分必要条件[]6。
................................................ 5 2.4.1 二次型()n x x x f ,,,21 Ax x T =，其中A A T =，()n x x x f ,,,21 半正定。
. 5 2.4.2 n 阶实对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的正惯性指数等于它的秩。
(5)2.4.3 n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。
(5)2.4.4 实对称矩阵A 的所有主子式皆大于或等于零。
............................................. 5 2.4.5 有实矩阵C 使C C A T=，则A 半正定。
正定矩阵和半正定矩阵的性质及应用-毕业论文
---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印---摘要本文主要针对正定矩阵和半正定矩阵进行讨论，归纳和总结了正定矩阵和半正定矩阵的性质，通过实例介绍了正定矩阵（半正定矩阵)的判别方法诸如：定义法、主子式法、特征值法等，并且给出了它们在不等式的证明问题中以及多元函数极值问题中的一些应用.关键词：正定矩阵；半正定矩阵；二次型；主子式；特征值ABSTRACTThis paper mainly discusses positive definite matrices and positive semi-definite matrix,the properties of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are summarized.Through examples, the judgment methods of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are introduced, such minor method, master type method, eigenvalue method, etc. Some applications of positive definite matrices and semi-positive definite matrix in the proof of inequality extreme value problems of multivariate functions are given.Keywords：positive definite matrix; positive semi-definite matrix; quadratic form; principal minor determinant;characteristic value第1章 正定矩阵和半正定矩阵的定义及性质1.1. 相关概念定义1[1] 设a ij (i =1，2，⋯，n ，i ≤j)都是实常数，则关于n 个实变量x 1，x 2，⋯，x n 的二次齐次多项式函数f(x 1，x 2，⋯，x n )=a 11x 12+a 22x 22+⋯+a nn x n 2+2a 12x 1x 2+2a 12x 1x 3+⋯+2a n−1，n x n−1x n ，称为n 元实二次型.[9]定义2[1] 实二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )为正定的，如果对于一组不全为零的实数c 1，c 2，⋯，c n 都有f(c 1，c 2，⋯，c n )>0，如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )<0，那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为负定的.如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )≥0，那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为半正定的.如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )≤0,那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为半负定的.如果二次型既不是半正定又不是半负定，那么称为不定的.[1]定义3[1] 若实数域上的n 元二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij nj=1ni=1x i x j =X T AX是正定（半正定）二次型，则A 被称为正定（半正定）矩阵，其中A =(a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n ⋮⋮⋱⋮a n1a n2⋯a nn )，X =(x 1x 2⋮x n) 定义4[1] 子式|a 11a 12⋯a 1i a 21a 22⋯a 2i ⋮⋮⋱⋮a i1a i2⋯a ii|，，，，，，，，，0)00()(11121>==∑∑==ki kj k j i ij k k c c f c c a c c c f 称为矩阵A =(a ij )的i 阶顺序主子式i =1，2，⋯，n.1.2. 正定矩阵和半正定矩阵的等价命题1.2.1.正定矩阵的等价命题定理1[9] A 是n 阶实对称矩阵，则下列叙述等价： (1) A 是正定矩阵.(2) A 的所有顺序主子式全大于零. (3) A 的特征值全大于零. (4) 存在正定矩阵B ，使得A =B 2. (5) A 合同于E .(6) A 的一切主子式全大于零. (7) A 的一切主子矩阵都是正定矩阵.(8) 对任意的实列满秩矩阵C n×m ,都有C T AC 为正定矩阵.(9) 任意实可逆矩阵T ,都有T T AT 为正定矩阵. (10) 存在秩为n 的m ×n 实矩阵C 使A =C T C . (11) A =P T P ，P 是n 阶可逆矩阵.(12) A =R T R ，R 是n 阶主对角元素全大于零的上三角形矩阵.A =U T U ，U 是n 阶主对角元素全大于零的下三角形矩阵.[9]证明(1)⇒(2)设二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij x i nj=1n i=1x j 是正定的.对于每个k ，1≤k ≤n ，设f k =(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij x i n j=1n i=1x j以下证明f k 是一个正定二次型，对于任意一组不全为零的实数c 1，c 2，⋯，c k ，有)13(因此f k(x1，x2，⋯，x n)是正定的.由性质1可得，f k所对应的矩阵行列式|a11⋯a1n ⋮⋱⋮a k1⋯a kk|>0，k=1，2，⋯，n.从而A的各阶顺序主子式都大于零.(1)⇒(3)用反证法，若A的特征根λ1，λ2，⋯，λn不都大于零.不妨设λ1≤0，取A的属于λi的单位特征向量β≠0，就有βT Aβ=λ1≤0，这与A为正定矩阵相矛盾，所以A的特征值全大于零。
实对称矩阵正定的一个初等判别定理
是 否 大于 零 若 ( 0 则 八 不 一 ”正定 性 “ ” 帅 正”性 等价 这 ” 将 矩 阵的 阶 数降 `氏
是否 正 定 首 先看
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实对称半正定矩阵的一个充分条件的新证明
07级数学教育一班
周端华
摘要：线性代数里有这样一个重要定理：“实n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充要条件是：A 的一切主子式≥0。
”该定理的条件的必要性容易证明，但对条件的充分性，很多有关的教科书或参考资料都作了几乎雷同的证明，本文提供一种新的证明方法，比已有的证明方法，思路自然，易于接受，便于理解。
这对代数教学，无疑是有参考价值的，对拓广读者的思路会有帮助的
关键词：实n 阶对称矩阵，正定矩阵，半正定矩阵，主子式，数学归纳法。
引言：大多数课本的证明中都要用到这样一个命题：“若K 阶实对称矩阵
A
kk
的一切主子式
≥0，则对任何正数λ，k 阶矩阵A I kk k +λ是正定矩阵。
”(I k 是k 阶单位矩阵。
)要用到较多的预备知识．技巧性虽强，但思路欠自然 。
尤其对初学线性代数的读者来说，很难捉摸其证法是如何想出来的。
下面就让我们走进新的证明方法。
证明：对该定理的条件充分性用数学归纳法证明。
当实对称矩阵A 是l 阶时，显然命题成立。
假定实对称矩阵A 是n 阶时，命题成立，视A 为n+1阶的情形：
设)1)(1()(++=A n m ij a
10
如果011=a ，则必有011i ==i a a ,i=2,3…,n+1,因为若有某个01≠u a ,(2≤u ≤n+1),
则A 的一个2阶主子式
00211
11
111<-==
u uu
u u uu
u u a a a a a a a a ，
与条件矛盾。
所以011==i i a a ，1,,3,2+=n i 。
即 ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛A =A 10
00
其中1A 是n 阶实对称矩阵，它的一切主子式都是A 的主子式，因此A 的一切主子式≥0。
据归纳假设，知1A 是半正定矩阵。
这时，显然A 是半正定矩阵。
2
如果011≠a ，即011≠a ，即011>a ，(由条件知) ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=A B a a a t
11
其中)()1(,11312+=n a ααα，，， ，B 是实n 阶对称矩阵，于是
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a a a B a I a a I B a a a I a a t n t n 11111
1
11111
110
001 记nn j t
C a a a B C )(1111=-=-是实n 阶对称矩阵。
即
（1）
我们证明C 的一切主子式0≥，设C 的任意一个k 阶（n k ≤≤1）主子式为kk C ,设
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=k k k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i i i kk
C C C C C C C C C C
2
1
222121211
1
其中k i i i ,,,21 是n ,,2,1 中某k 个数组成的。
对C 作适当的一系列的行交换，与相同的一系列的列交换，总可使kk C 置于左上角。
即 有n 阶交换矩阵(对n I 作一系列的列(或行)交换而得的矩阵)Q ，使
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=G F F C CQ Q kk
'
'
即有
（2）
其中G 是)(k n -阶实对称矩阵。
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---n n I aQ a Q Q I a a 010********
11111 记),,,(211
11n t t t aQ a =--
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---C a I a I A I a a n n 00001111
11111⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--G F F C a Q I a a I A I a a I Q I kk n n '
11
111
111
0000010000
则由（2）得
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛G F F C a I t t t I Q I A Q I I t t t kk
n n n n '
1121'
'210000
0),,,(00000),,,(1 （3）
令)(001001ij h Q A Q H =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=是)1(+n 阶实对称矩阵。
由以上引入Q(交换矩阵)的意义知．H 是对A 的后面n 行n 列进行相同的一系列的行的交
换与列的交换的结果。
可知H 与A 的主子式一、一对应相等(所不同的，只不过是某些行、列相对交换位置，但不影响主子式的值。
)故H 的一切主子式0≥
（3）即
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛G F F C a I t t t H I t t t kk n n n n '
11
21210
0000),,,(10),,,(1 （4）
由（4）得⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛kk k n k n C a I t t t H I t t t 0
0000),,,(1000),,,(111
2121 ， （5） 将H 分快成⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛=N M M H H '_
其中_
H 是H 的顺序(k+1)阶主子阵，N 是)(k n -阶对称矩阵，M 是)()1(k n k -⨯+矩阵。
由（5）可得：
=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛000),,,(1000),,,(10021'_
2111
k k k k kk I t t t N M M H I t t t C a ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k k k k I t t t H I t t t 0),,,(10),,,(121_'
21 （6）
在（6）的两边去行列式的：
0_
11≥=H C a kk
而011>a ，所以
0≥kk C 。
即证明了C 的一切主子式0≥，据归纳假设知C 是半正定矩阵。
显然⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=C a T 0
011
是半正定矩阵。
由(1)知A 与T 合同，故A 是半正定矩阵，由1。
与2。
知A 是(n+1)阶时，命题成立。
归纳证毕。
从而条件的充分性得证。
参考文献
[1] 张远达编，线性代数原理，上海教育出版社，1980年6月第1版
[2] 屠伯埙、徐诚洁、王棼编著．高等代数。
上海科技出版社。
1987年3月第1版。