正定矩阵的判定、性质及其应用
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
一、正定矩阵的定义
正定矩阵是一类特殊的线性代数对象，它是二维以上方阵中所有元素都有正值的一种矩阵。
二、正定矩阵的性质
1、正定矩阵的特性
由于所有元素都是正值，所以正定矩阵是一种对称矩阵，其特征值都是大于0，即特征值>0；特征向量都是有向量，即特征向量≠0；这种矩阵也称为正数矩阵或半正定矩阵。
2、正定矩阵的恒等式
如果一个矩阵M是一个正定矩阵，则它满足：mTm>0，其中mT表示M 的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量。
3、正定矩阵的特殊性质
正定矩阵是线性代数中最重要的矩阵之一，它的特殊性质：（1）正定矩阵是正交矩阵的一类；（2）正定矩阵的逆矩阵是它的转置；（3）正定矩阵的主对角线元素全为正；（4）正定矩阵的最小特征值是它的最大特征值的平方根；（5）正定矩阵的行列式是正值；（6）正定矩阵也是正秩矩阵。
三、正定矩阵的判定方法
1、特征值判定法
如果一个矩阵M的所有特征值都是正值，则它是一个正定矩阵。
2、恒等式判定法
如果矩阵M满足mTm>0，其中mT表示M的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量，则它是一个正定矩阵。
3、行列式判定法。
正定矩阵的性质和判定方法及应用
内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号102093113指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵,其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质,尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics，but also a main research object，at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra。
At the same time，the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory。
The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly。
正定矩阵及其应用
正定矩阵及其应用一、简介正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域中都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、判定方法以及应用等方面进行详细介绍。
二、定义正定矩阵是指对于任意非零向量x，都有x^T Ax > 0，其中A为n阶实对称矩阵，x为n维列向量，x^T为x的转置。
三、性质1. 正定矩阵的特征值均大于0。
2. 正定矩阵的行列式大于0。
3. 正定矩阵是可逆矩阵，且其逆仍然是正定矩阵。
4. 正定矩阵可以进行Cholesky分解。
四、判定方法1. Sylvester判据：对于n阶实对称矩阵A，当且仅当A的各个主子式均大于0时，A为正定矩阵。
2. 特征值判据：对于n阶实对称矩阵A，当且仅当A的所有特征值均大于0时，A为正定矩阵。
3. 等价判据：对于n维向量b和n*n实对称矩阵A，当且仅当对于任意非零向量x，都有b^T x > 0和x^T Ax > 0时，A为正定矩阵。
五、应用1. 矩阵分解：正定矩阵可以进行Cholesky分解，即将正定矩阵表示为一个下三角矩阵和其转置的乘积。
这种分解可以用于求解线性方程组、矩阵求逆以及随机向量生成等问题。
2. 优化问题：正定矩阵可以用于求解最小二乘问题、线性规划问题以及二次规划问题等。
其中，最小二乘问题可以通过正定矩阵的Cholesky分解来求解。
3. 特征值计算：正定矩阵的特征值均大于0，因此可以用于计算特征值和特征向量。
在信号处理、图像处理以及物理学中都有广泛应用。
4. 概率论：正定矩阵在多元高斯分布中具有重要作用。
多元高斯分布的协方差矩阵是一个正定矩阵，它描述了不同变量之间的相关性和方差。
六、总结本文介绍了正定矩阵的定义、性质、判定方法以及应用等方面。
正定矩阵在数学和工程领域中都有广泛的应用，特别是在矩阵分解、优化问题、特征值计算以及概率论等方面具有重要作用。
正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用（写写帮整理）
正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用（写写帮整理）第一篇：正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用（写写帮整理）正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用作者：袁亮（西安财经大学）摘要: 本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用.关键词: 正定矩阵，判定，不等式，应用Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality.Keywords: positive definite matrix, determine, inequality, application目录引言…………………………………………………………………4 2 正定矩阵的判定方法………………………………………………4 2.1 定义判定…………………………………………………………5 2.2 定理判定…………………………………………………………6 2.3 正定矩阵的一些重要推论………………………………………11 3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用…………………………15 3.1 证明柯西不等式………………………………………………15 3.2 证明Holder不等式……………………………………………16 3.3 证明Minkowski不等式…………………………………………18 结束语…………………………………………………………………21 参考文献………………………………………………………………22 引言代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛，n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论[2]中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用.正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意x∈Rn，且x≠0，都有xTMx>0成立[2].本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题[3]的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder 不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2 正定矩阵的判定方法 2.1 定义判定设A=(aij),(其中aij∈C,i,j=1,2,…，n), A的共轭转置记为A*=aji 定义1[1]对于实对称矩阵A=(aij),（其中aij∈R,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有XTAX>0,则称A是正定矩阵.定义2[1]对于复对称矩阵A=(aij),（其中aij∈C,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有X*AX>0,则称A是正定矩阵．例1 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B 的转置矩阵，试证 BTAB为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n.证[必要性] 设BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有()xTBTABx>0，()即(Bx)TA(Bx)>0.于是Bx≠0，因此，Bx=0只有零解，从而r(B)=n.[充分性] 因(BTAB)=BTATB=BTAB，T即BTAB为实对称矩阵.若秩r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意实n维向量x≠0有Bx≠0.又A 为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)TABx>0, 于是当x≠0时，xTBTABx>0.()故BTAB为正定矩阵.例2[3]设 A 是 n 阶正定矩阵，B 是n×m 实矩阵，B的秩为 m，证明：B'AB 是正定矩阵.证因为（B'AB）'=B'A'B=B'AB, 故B'AB 是实对称矩阵，其次，由于秩B=m，m≤n.故 BX=0 只有零解，因此，若任取非零实列向量 X 必有BX≠0，因 A 是正定矩阵，故对任取的非零实列向量 X，必有X'（B'AB）X=(BX)'A(BX)>0.因此B'AB 是正定矩阵.注意以上两个例子，是运用正定矩阵的定义来证明的.还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法.具体是，若 A 不是方阵，也不对称时，A'A，AA'是正定矩阵，若A 是方阵，但不对称，则A+A'是正定矩阵，同时，在证明的过程中，我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用.2.2 定理判定定理1[1]n阶实对称矩阵A正定，当且仅当实二次f(x1,x2,…,xn)=XTAX的正惯性指数为n．证设实二次型f(x1,x2,…,xn)经过非退化线性变换得a1x1+a2x2+…+anxn.（2.1）222由于非退化实线性变换保持正定性不变，那么A正定当且仅当（2.1）是正定的，由定义3知（3.1）正定当且仅当ai>0(i=1,2,Λ,n)，因此，正惯性指数为n..⎛d1 定理2[1]实对角矩阵 ⎝(i=1,2,Λ,n).d2⎫⎪⎪⎪正定的充分必要条件是di>0，O⎪dn⎪⎭证由定理3.1得，实对称矩阵正定当且仅当二次型f(x1,x2,…，xn)=d1x1+d2x2+…+dnxn.的正惯性指数为n，因此，di>0（i=1,2,…,n,）．例3 设A为n阶实对称矩阵，证明：秩（A）=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B，使AB+BTA是正定矩阵.证[充分性]（反证法）反设r(A)<n，则A=0.于是λ=0是A的特征值，假设相应的特征向量为x，即Ax=0(x≠0)，222所以xTAT=0.所以xT(AB+BTA)x=xTABx+xTBTAx=0，和AB+BTA是正定矩阵矛盾.[必要性] 因为r(A)=n，所以A的特征值λ1,λ2,Λ,λn全不为0.取B=A，则AB+BTA=AA+AA=2A2.22T,2λ2,Λ2λ它的特征值为2λ12n全部为正，所以AB+BA是正定矩阵.定义3 在实二次型f(x1,x2,Λ,xn)的规范形中，正平方项的个数p称为f(x1,x2,Λ,xn)的正惯性指数，负平方项的个数r-p称为f(x1,x2,Λxn)的负惯性指数，它们的差p-(r-p)=2p-r 称为f(x1,x2,Λ,xn)的符号差.定理3[1]实对称矩阵A是正定的充要条件矩阵A的秩与符号差n．定理4[1]实对称矩阵A是正定的充要条件是二次型f(x1,x2,…xn)=XTAX的系数矩阵A的所有特征值都是正数，即大于零.证由文献[1]知，实对称矩阵A可对角化为⎛a1 ⎝a2⎫⎪⎪⎪O⎪an⎪⎭其中a1，a2,Λ,an恰好是A的特征值，则二次型XTAX的标准形为：a1x1+a2x2+…+anxn，222而非退化实线性变换保持正定性不变，由f(x1,x2,…，xn)=a1x1+a2x2+…+anxn.正定得ai>0(i=1,2,Λ,n)．例4设A为实对称矩阵，则当t充分大时，A+tE为正定矩阵.222证设A的特征值为λ1,λ2,...,λn(λi为实数)，取t>max{λi}，则A+tE的特1≤i≤n征值λi+t(i=1,2,...,n)全部大于零，因此当t>max{λi}时，A+tE是正定矩阵.1≤i≤n例 5 设A为n阶实对称矩阵，且A3-3A2+5A-3E=0.证明：A正定.证设λ是A的任一特征值，对应特征向量为x≠0，即Ax=λx，代入已知等式A3-3A2+5A-3E=0, 有(A3-3A2+5A-3Ex=λ3-3λ2+5λ-3x=0，)()因为x≠0，故λ满足λ3-3λ2+5λ-3=0.得λ=1或λ=1±2i，因A为实对称矩阵，其特征值一定为实数，故只有λ=1，即A的全部特征值就是λ=1>0，这就证明A是正定矩阵.定理5[1]实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同．证实正定二次型的规范形为x1+x2+Λ+xn.222(2.2.1)而（2.2.1）的系数矩阵为单位矩阵，非退化实线性变换保持正定性不变，而且新二次型的系数矩阵与原二次型的系数矩阵是合同的，故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同．定理6[2]实对称矩阵A是正定的充要条件是存在可逆矩阵C使得A=CTC．证设A为一正定矩阵，当切仅当A与单位矩阵合同，因此，存在可逆矩阵C，使得A=CTEC=CTC.定理7[1]实对称矩阵A正定的充分必要条件是矩阵A的顺序主子式全大于零．证 [必要性] 实对称矩阵A正定，则二次型f(x1,x2,…,xn)=XAX=∑∑aijxixj是正定的，Ti=1j=1nn对于每一个k,1≤k≤n,令fk（x1,x2,…，xk）=∑∑aijxixj，i=1j=1kk我们来证fk是一个k元正定二次型，对于一组不全为零的数c1，c2，…，ck，有fk（c1，c2，…，ck）=fk（c1，c2，…，ck，0，…,0）>0, 因此，fk是一个k元正定二次型.由充要条件2得fk的矩阵行列式a11Λa1k Λak1Λakk>0,（k=1,2,…,n）.[充分性] 对n作数学归纳法当n=1时，f(x1)=a11x1, 由条件a11>0，显然f(x1)是正定的．假定此论断对n-1元二次型成立，下证n元的情形.令2⎛a11 a12A1= a⎝n-1,1a12a22Λan-1,2a1,n-1⎫⎪Λa2,n-1⎪，⎪Λ⎪Λan-1,n-1⎪⎭Λ⎛a1n⎫⎪a2n⎪，X= ⎪M⎪a⎪⎝n-1,n⎭⎛A1则A= XT⎝X⎫⎪.ann⎪⎭由A的顺序主子式全大于零可知A1的顺序主子式全大于零，由假设A1是正定矩阵，有n-1阶可逆矩阵G，使得GTA1G=En-1, 令⎛G0⎫C1= 01⎪⎪，⎝⎭则C1T⎛GTAC1= 0⎝0⎫⎪1⎪⎭⎛A1 XT⎝X⎫⎛G0⎫⎛En-1GTX⎫⎪.⎪⎪= T ⎪⎪a nn⎭⎝01⎭⎝XGann⎪⎭令⎛En-1C2= 0⎝-GTX⎫⎪, 1⎪⎭则C2C1TT0⎫⎛En-1GTX⎫⎛En-1⎪AC1C2= -XTG1⎪⎪XTGa⎪⎝⎭⎝nn⎭⎛E n-1= 0⎝⎫⎪.TTann-XGGX⎪⎭0⎛En-1 0⎝-GTX⎫⎪ 1⎪⎭令C=C1C2,a=ann-XTGGTX, 则有⎛1⎫⎪1⎪CTAC= .⎪O⎪a⎪⎝⎭两边取行列式得 C2A=a,由条件 A>0 知a>0.由于⎛1⎫⎛1 ⎪1⎪1 ⎪= O1 ⎪a⎪⎝⎭⎝⎫⎛1⎫⎛1⎪⎪⎪1⎪1⎪1⎪1⎪⎪a⎪1⎪⎭⎝⎭⎝⎫⎪⎪⎪.⎪a⎪⎭因此，A与单位矩阵合同.由定理5得，A是正定矩阵．定理8[2] n阶实对称阵A为正定的充要条件是存在对称正定阵B，使A=B2.证 [必要性] 存在正交阵Q，使。
正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用
正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用一、正定矩阵的判定方法一般而言，正定矩阵是一种特殊的方阵，它是满足下列条件的方阵：1）对于任一非零列向量$\mathbf x$，有$\mathbf x^T\mathbfAx>0$；2）对任一向量$\mathbf y$，有$\mathbf y^T\mathbf Ay\geqslant0$；3）对任一向量$\mathbf z$，$\mathbf z^T\mathbf Az\geqslant 0$，且$\mathbf z^T\mathbf Az=0$当且仅当$\mathbf z=\mathbf 0$。
(1)根据上述定义，可以判断一个矩阵是否为正定矩阵，即可以通过验证上述3个条件是否成立，来判断一个矩阵是否为正定矩阵。
(2)另一种方法是利用一般性的行列式代数秩定理，即一个正定方阵的行列式的秩为整数。
因此，可以根据行列式的秩来判断方阵是否为正定矩阵。
如果行列式的秩为整数，则该矩阵是正定矩阵；如果行列式的秩不为整数，则该矩阵不是正定矩阵。
（1）Cauchy-Schwarz不等式：若$\mathbf u,\mathbf v$是任意二个非零向量，则$\mathbf {u^Tv}\leqslant \sqrt{\mathbf{u^Tu}}\cdot\sqrt{\mathbf {v^Tv}} $。
证明：我们可以构造一个正定矩阵A，其中$A=\begin{bmatrix}\mathbf {u^Tu}&\mathbf {u^Tv}\\ \mathbf {v^Tu}& \mathbf{v^Tv}\end{bmatrix}$根据正定矩阵的定义，可以得到$\mathbf {u^Tv}\leqslant \sqrt{\mathbf {u^Tu}}\cdot\sqrt{\mathbf {v^Tv}} $。
（2）矩阵与向量乘积的定理：设A是$n$阶方阵，$\mathbf u,\mathbf v$是任意$n$个向量，则。
正定矩阵地性质和判定方法及应用
正定矩阵地性质和判定方法及应用正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。
在本文中，我将介绍正定矩阵的性质、判定方法以及一些应用。
一、正定矩阵的性质：1.定义：设A是n×n矩阵，如果对于任意非零向量x，都有x^TAx>0，则A是正定矩阵。
2.特征值：正定矩阵的特征值都大于0。
3.对称性：正定矩阵一定是对称矩阵。
4.非奇异性：正定矩阵一定是非奇异矩阵，即其行列式不为0。
5.可逆性：正定矩阵一定是可逆矩阵，即存在逆矩阵A^(-1)，使得AA^(-1)=I。
6.二次型：正定矩阵可以表示为二次型的矩阵形式。
二、正定矩阵的判定方法：1.主子式判定法：设A是n×n矩阵，如果A的所有n阶主子式都大于0，则A是正定矩阵。
2.特征值判定法：设A是对称矩阵，如果A的所有特征值都大于0，则A是正定矩阵。
3.正定矩阵的条件：设A是对称矩阵，则A是正定矩阵的充分必要条件是存在n阶非奇异矩阵B，使得A=B^TB。
三、正定矩阵的应用：1.优化问题：正定矩阵在优化问题中应用广泛。
例如，在最小二乘问题中，正定矩阵可用于求解线性方程组的最优解。
正定矩阵还可以用于确定函数的极小值点。
2.信号处理：正定矩阵在信号处理中有重要应用。
例如，在信号滤波中，通过构造正定矩阵，可以设计出有效的滤波器，对信号进行去噪或增强。
3.机器学习：正定矩阵在机器学习中也起到关键作用。
例如，在支持向量机中，可以使用正定矩阵的核函数来进行非线性分类。
正定矩阵还可以用于降维算法中的线性判别分析，提高分类的准确性。
4.最小二乘问题：正定矩阵可以用于解决最小二乘问题，即寻找一组关系最紧密的数据的最优拟合线。
通过构造正定矩阵，可以求得最小二乘问题的闭合解，提高计算效率。
综上所述，正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，具有许多重要的性质和判定方法。
正定矩阵在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。
正定矩阵与性质
17
例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.
6 2 2
A
2
5
0
.
2 0 7
解| A1 | 6 0,
6 2
| A2 | 2
30 4 26 0, 5
6 2 2
| A3 | 2 5 0 210 20 28 162 0. 2 07
故A正定.
18
实对称矩阵A正定的充分必要条件是
12
1 2
(
x12
x22
)
48
1 2
( x12
x32
)
60
1 2
( x22
x32
)
99x12 130x22 71x32 6(x12 x22 ) 24(x12 x32 ) 30(x22 x32 ) 69x12 94x22 17x32 0, (x1, x2 , x3) 0.
21
例 t在什么范围取值时二次型
正定矩阵 一、基本概念 二、正定矩阵的充分必要条件 三、正定矩阵的性质
1
一、基本概念
定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非 零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次 型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵.
定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为 非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的， 其矩阵A 称为半正(负)定矩阵.
定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为 正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二 次型是不定的.
2
二、正定矩阵的充分必要条件
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 特征值都是正数.
证明 设实对称矩阵A的特征值 1,L ,n 都是正数. 存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵, 其对角线元素为1,L ,n , 对于X O, 令Y Q1X ,
正定矩阵的判定、性质及其应用.
学校代码：10722 学号：1006024112分类号：O151.21 密级：公开题目：正定矩阵的判定、性质及其应用Discussion on Determinant,Positive and Application ofPositive Definite Matrix作者姓名：专业名称：学科门类：指导老师：提交论文日期： 2014年5月成绩评定:I咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）摘要在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。
事实上，正定矩阵是代数中一类非常重要的矩阵，它在不等式证明、极值求解、特征值求解、系统稳定性判定中都有着非常重要的应用。
本文首先介绍了实对称矩阵的定义，然后给出了判定正定矩阵的7条定理，接着总结归纳了正定矩阵的相关性质，最后通过举例说明了正定矩阵在证明不等式、判断函数极值等方面的应用。
关键词：实对称；正定矩阵；判定；性质正定矩阵的判定、性质及其应用AbstractWe have studied the concept of quadratic form and the definition of positive-definite matrix is introduced.In fact,positive definite matrix is a kind of very important matrix in algebra, it can be applied to the value of extreme and eigenvalue,the prove of inequality and stability analysis of system.This paper firstly introduced the definition of real symmetric matrices,and 7 theorems are given to determine positive definite matrix,then the related properties of positive definite matrix were summarized, the positive definite matrix in the application of proving inequality,function extreme and so on were illustrated finally.Keywords:properties,determinant,real symmetric, positive-definite matrix.咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)引言 (1)1 正定矩阵的定义 (1)1.1 正定二次型的定义 (1)1.2正定矩阵的定义 (1)2正定矩阵的判定 (2)3 正定矩阵的性质 (6)4 正定矩阵的应用 (6)4.1正定矩阵在证明不等式中的应用 (6)4.2 正定矩阵在数学分析中的应用 (7)4.3正定矩阵的其他应用 (8)小结 (9)参考文献 (10)谢辞 (11)正定矩阵的判定、性质及其应用引言在数学学科的研究中具有极其重要的地位的是矩阵，它不仅仅是数学研究的一个分支和高等代数的主要研究对象，而且还是理科研究中不可缺少的具有最实用价值的工具，如系数矩阵和增广矩阵的很多性质都是由线性方程组的部分性质所反映的。
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证：由原题可设
=
=
易得： 的各级顺序主子式均大于零，即 为正定矩阵，进而 。又因为 均不等于零，所以 ，则命题得证。例2 设 是 阶正定矩阵，证明
证：设矩阵 的特征值为 ，由 正定可知 。又由 可知其特征值为 ，所以 。
4.2 正定矩阵在数学分析中的应用
定理[13]： 元实函数 的一阶偏导数等于零的点为 ,且在点 处具有二阶连续偏导数,
定理2[8]： 元实二次型 是正定的充要条件是它的正惯性指数为 。
证：因为 是正定的，所以矩阵 是正定矩阵，则
那么 可化为 ，且 由此可得，正惯性指数为 。
反之，若该 元实二次型 的正惯性指数为 ，且 为对称矩阵，根据定理1可得矩阵 为正定矩阵。
推论：实对称矩阵 正定的充要条件是 的正惯性指数等于 的级数。
注：类似可证得正定矩阵 的伴随矩阵 *也为正定矩阵。
性质5：若 是可逆矩阵，则对任意 阶可逆矩阵 ， 是正定矩阵。
性质6：若正定矩阵 为 阶正定矩阵，则 也为正定矩阵。
证：由 正定，故 ,所以 是对称矩阵。对于任意非零列向量 ,有 ， ,从而 ,故 正定,所以 为正定矩阵。
4 正定矩阵的应用
4.1 正定矩阵在证明不等式中的应用
例1：当 取何值时， 为正定二次型？
解：设二次型 的矩阵 ，则
， ，
由二次型正定的充要条件可知当 ， 时 正定。
由 得 ；由 得 。于是， 当且仅当 为正定二次型。
例2：设 阶实对称矩阵为 ，且满足 ，证明矩阵 是正定矩阵。
证:设 ,即 是 的特征值， 是 的特征向量，由题可以得出：
由 得
显见，原式的特征值为 ， ，
学 科 门 类：
指 导 老 师：
提交论文日期：2014年5月
成 绩 评 定:
摘 要
在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。事实上，正定矩阵是代数中一类非常重要的矩阵，它在不等式证明、极值求解、特征值求解、系统稳定性判定中都有着非常重要的应用。本文首先介绍了实对称矩阵的定义，然后给出了判定正定矩阵的7条定理，接着总结归纳了正定矩阵的相关性质，最后通过举例说明了正定矩阵在证明不等式、判断函数极值等方面的应用。
性质3：若 是正定矩阵，则 (其中 是主对角线上元素全大于零的上三角形矩阵)。
证：因为正定矩阵 可以写为 ，其中 为可逆矩阵。
再设 其中 为正交矩阵 为主对角线上元素全大于零的矩阵，所以 。
性质4：若 是正定矩阵，则 的逆矩阵、伴随矩阵及 、各阶主子矩阵均为正定矩阵。
证：因为 正定，则 。又 为存在的一个可逆实矩阵，使得 ，则 即 。所以 是正定矩阵
矩阵论中正定矩阵有着十分重要的地位。[3]历史上，在对于二次型和Hermite型的探究中最早出现了对正定矩阵的详细探究。二次齐次多项式是代数研究中另外一种非常重要的多项式，二次齐次多项式在数学的大多数分支中都有重要的应用，而且在解答与物理问题相关的内容中大家也会经常碰到需要运用正定二次型作解。正定二次型在二次型中占有及其特殊的地位，并且由正定二次型的系数可以直接写出正定矩阵。因此，无论是在研究中还是实际的应用中正定二次型和正定矩阵都有重要的意义。[4]如今，矩阵已经成为了处理有限空间和数量关系的重要的工具。
学校代码：10722学号：1006024112
分类号：O151.21密级：公开
题 目：正定矩阵的判定、性质及其应用
Discussion on Determinant,Positive and Application of Positive Definite Matrix
作 者 姓 名：
专 业 名 称：
由于 ,所以 是实对称矩阵。又对任意实 维列向量 ，由 可逆知 ，从而
即：矩阵 为正定矩阵，由此可得矩阵 的全部特征值都大于零，进而 的特征值大于零，所以 为正定矩阵。
例7 设 阶实对称矩阵 满足 ，且 ,又 的正惯性指数为 ，其中 ，求 的值。
解：设 = ，即 的特征值是 ， 的特征向量 是由 ， 得 。
4.3正定矩阵的其他应用
例4 证明： 是正定矩阵的充要条件是存在 阶正定矩阵 使得 。
证：充分性 因为矩阵 是正定矩阵，所以存在正交矩阵 ，使得 ,其中
则： ,其中 其中 ，易得 为正定矩阵。
必要性 已知 ，其中 是正定矩阵。由于 ,所以矩阵 是实对称矩阵。设 的特征值为 , …… ，由上矩阵 为正定矩阵知 而 的特征值为 ，故矩阵 是正定矩阵。
又因为实对称矩阵的特征值为实数，所以根据上式可得 的特征值为1和3，又1和3均为大于零的数，从而矩阵 是正定矩阵。
3正定矩阵的性质
性质1[12]：正定矩阵主对角线上的元素全大于零。
证：设正定矩阵为 ，得对任一非零向量 ，都有 。取 ，则有 ，所以正定矩阵 的主对角线上元素全大于零。
性质2：正定矩阵的行列式必大于零且正定矩阵一定可逆。
1.2 正定矩阵的定义
定义2：若实二次型 正定，则称实对称阵 正定;若实二次型 半正定，则称实对称阵 半正定；若实二次型 负定，则称实对称阵 负定；若实二次型 半负定，则称实对称阵 半负定；若实二次型 不定，则称实对称阵 不定。
事实上，正定二次型与元数有关系，例如 当作为二元实二次型时正定（取任何不为零的数即可）；但当作为三元实二次型时不正定（取 ， ， 则结果不满足[6]）。
注：（1）正定矩阵必须为对称矩阵。所以在判定一个矩阵是否为正定矩阵的时候必须先判定该矩阵是否为对称阵，若不是则一定不是正定矩阵，若是则可继续对其进行判定。（2）在题目若给出的是一个含有具体数字的实对称矩阵 ，那么要判断矩阵 是否为正定矩阵，则要验证 的各阶顺序主子式是否都大于零。若均大于零，则为正定矩阵，否则不是正定矩阵。（3）在题目中若给出的是一个不含具体数值的抽象矩阵，则证明矩阵是否正定通常使用以下两种方法：方法1 利用定义：即对任意列向量 ，恒有二次型 ,则矩阵 为正定矩阵。方法2 利用特征值：如果矩阵 的特征值全部大于零则可得出矩阵 为正定矩阵[11]。
定理5： 阶实对称矩阵 是正定的充要条件是 的顺序主子式
证：必要性 设实二次型 是正定的。将任意一组不全为零的实数 代入实二次型 ,有 。因此， 是正定二次型的。由此， 的矩阵的行列式 , 。这就证明了矩阵 的顺序主子式全大于0。
充分性 对 作第二数学归纳法
（1）设当 时， 分重要的地位，对于正定矩阵的研究有利于我们日后更加详尽的研究二次型、线性空间和线性变换。
下面我首先介绍正定矩阵的定义。
1 正定矩阵的定义
1.1 正定二次型的定义
定义1[5]：在实二次型 中若对于任意一组不全为零的实数 都有 ，则称该二次型为正定的;若 ，则称 为半正定二次型；若 ，则称 为负定二次型；若 ，则称 为半负定二次型；若实二次型既不是半正定又不是半负定的则称为不定二次型。
关键词：实对称；正定矩阵；判定；性质
Abstract
We have studied the concept of quadratic form and the definition of positive-definite matrix is introduced.Infact,positive definite matrix is a kind of very important matrixinalgebra, itcan be applied to the value of extreme and eigenvalue,the prove of inequality and stability analysis of system.This paper firstlyintroducedthe definition of real symmetric matrices,and 7 theorems are given to determine positive definite matrix,then the related properties of positive definite matrixwere summarized, the positive definite matrix inthe application ofproving inequality,function extremeand so on were illustrated finally.
在古代，西尔维斯特为了将数字矩形阵列和行列式区别开来，他便创立了“矩阵”，而后由凯莱第一个明确了“矩阵”这个术语的确切意思。事实上，早在我国古代就已经对矩阵有所研究了。[1]在公元前1世纪，在《九章算术》中矩阵形式解方程组已经非常成熟了，但是在那个时代矩阵只是被人们看做是一种解题的方法，而“矩阵”这一概念并没有被独立起来，形成一个统一完整的体系。矩阵在求解线性方程组和行列式计算等问题中得以广泛应用是在18世纪末的时候，并且从那时起矩阵思想才得到进一步的发展。[2]
2 正定矩阵的判定
定理1[7]： 元实二次型 是正定的充要条件是它的标准形的系数全为正。
证: 因为 = 对 作合同变换，即
取 作非线性退化 ，则实二次型的标准形为
又因为 为正定矩阵且正定矩阵作非退化线性替换其正定型不变，即 也是正定矩阵。则 ， ，…… 即 ， ，…… ，所以实二次型的标准形的系数全为正。
例5 设
证：必要性 因为 ，所以 为对称矩阵。若 ，则 存在，令 ，则：
，
由此可知 正定。
充分性 已知 正定，则对 且 有
，由上式可知 ，从而 仅有零解，故 。
例6 设 都是 阶正定矩阵且 ，证明： 是正定矩阵。
证：因为 ，所以 为对称矩阵。
又因为 是正定矩阵，由例4知存在正定矩阵 使得 ， 。于是， 得： 与 相似。
充分性 因为二次型 的秩与符号差均为 ，所以 正惯性指数为 ，从而由定理2可得矩阵 为正定矩阵。
定理4[9]： 阶实对称矩阵 是正定的充要条件是 与单位矩阵 合同，即存在实可逆矩阵 ，使的 。