正定矩阵的性质

法拟合出的曲线模 型 , 拟合效 果最 好 . 其次 , 用 等间 隔时 间 序列分析方法拟合出的模型 来预测 9 月 29 日 和 9 月 30 日 的震级 , 其误差分别为 3. 28% 和 2. 02 % , 而用记录值理论拟 合出的模型 , 误差仅为 0. 1% . 综上所述 , 记录值方法 分析效果更好 . 记录 值在很 多领 域有着广泛的应用 , 但 是目 前还没 有相 关的用 记录 值理 论 分析地震余震序列 的文 章 . 通过本 文对 于汶川 地震 余震 序 列的分析 , 以 后 可 以 把该 方 法 应 用 到 类 似的 地 震 余 震 分 析中 .
1 于是 ann - aT A n- 1 a =
存在某 个排 列 矩阵 P, 使 P T AP 的 k 阶 顺 序主 子 式为 i1 ik A . 因为 A > 0, 由 ( 1 )基 本性 质知 P T AP > 0 ,从 i1 ik
+ 1
=
i= 1
(
i
+ 1) . ( 下转 112 页 )
数学学习与研究 2011 3
1 ann A n- 1a
i1 ik > 0 . i1 ik 充分性由性质 2 即得 . 性质 3 n 阶 H er m ite矩阵 A 正定的充分必要条 件是存 在 n 阶非奇异下三角矩阵 L 使得 A = LL T. 证明 充分性明 显 . 必要性 . 若 A 是 n 阶正 定矩 阵 , 由 性质 2 知 A 的顺序主子式 全大于 零 , 由定理知 , A 有唯 一的 LDU 分解 : A = L 1D U1 , 其中 L 1 , U1 分别为单位下三角 矩阵和 单位 上三 角 矩 阵 , D = d iag ( d 1 , d 2, , dn ) 且 d i > 0 ( i = 1, T T T 2, , n ). 因为 AH = A, 则 A = L 1 DU 1 = UT 1 D L 1 = A . 由 LDU T T 分 解 的 唯 一 性 , 有 L 1 = U1 , 从 而 有 A = L 1 DL 1 . 令 L = 而由性质 1 有 A L 1 diag( d 1, d 2, , d n ), 则 L 是非 奇异 下三 角矩 阵 , 并 且 A = LLT . 性质 4 若 A, C 均为 n 阶 H er m ite 正定 矩阵 , 且 AC = CA, 则 AC 为 正定矩阵 . 证明 因 为 ( AC ) T = CT AT = CA = AC, 所 以 AC 是 H erm ite矩阵 . 又 因 为 A > 0, 由 性 质 1 知 , 存 在 n 阶 可 逆 H erm ite矩阵 B 使 A = B 2 , 于是 B - 1 (A C ) B = BCB = B T CB, 则 AC 与 BT CB 具有相同的特征值 , 由 C > 0 及 ( 1 ) 基本性 质知 B T CB > 0 , 故 BT CB 的特征值均为正数 , 从而 A C 的特 征值均 为正数 , 由性质 1 知 AC > . 2 二次型正定矩阵的性质及其应用 二次型 f = xT Ax 正 定即 x 0 , 恒 有 xT A x > 0. 有如 下 性质 : 性质 1 f = xTA x 的正惯性指数为 n. 例 1 设 A 是 m n, m < n 矩 阵 , 证 明 AA T 正 定 r (A ) = m. 分析 本 题在 顺 推的 时候 用 到 1 基本 性 质 2. AAT 正 定 r (A ) = m. AAT 正定 |AAT | > 0, r (AAT ) = m r (A ) , 又 r (A ) m, 故 r( A ) = m, r (A ) = m AA T 正定 . 在逆推时用到性质 1 . r (A ) = m, 任给 x 0, 则 A x 0, 故 xT AAT x = (A x ) T (Ax ) > 0 , AAT 是正定阵 . 性质 2 存 在可逆矩阵 P, 使得 P T AP = I. 例 2 设 A 是 n 阶正定 矩阵 , E 是 n 阶单 位矩 阵 , 证明 A + E 的行列式大于 1 . 分析 本题主要在中间转换的过程中用了性质 2, 而在 最后式子判断的时候运 用了性 质 3, 即 特征值 全部 为零 , 所 以 i + 1> 1. 对于 正 定 矩 阵 存 在 正 交 阵 P 使 P - 1 AP = P T AP = diag { 1 , 2, , n } , 其中 i > 0 ( i = 1, 2 , , n )是 A 的 特征 值 , 所以 A = P d iag{ 1, 2 , , n }P - 1 . |A + E | = |P d iag{ 1, 2, , n } P - 1 + E | = P [ d iag{ 1, 2 , , n } + E ]P - 1 1+ 1 2 + 1 = |P | |P - 1 |
图 2 分布拟合曲线
由以上参数可以看出 , 该曲线模型拟合效果较好 . 再用拟合出的曲线预测最后两天 的余震震级 , 并与 表 2 中的两个真实值对比 , 见表 4 .
(上接 110 页 ) 因为 i + 1> 1, i = 1, 2 , , n, 故 |A + E | > 1 . 性质 3 A 的 n 个特征值全为正数 . 例 3 已知 A 是满足 A 3 - 6A 2 + 11A - 6E = 0 的对称矩 阵 , 证明 A 是正定矩阵 . 分析 本题先 用因式 分解 找出矩 阵 A 的 特征 值 , 然后 通过 判定所 有的 特征值 全都 大于 零 , 即 用性 质 3 可判定 A 是正定矩阵 . A 3 - 6A 2 + 11A - 6E = ( A - E ) ( A - 2E ) ( A - 3E ) = 0 ,A 的特征值的取值范围是 1, 2, 3, 均大于零 , 故 A 正定 . 性质 4 A 的 n 个顺序主子式全大于零 . 2 2 例 4 已知二次型 f ( x 1, x2, x3 ) = x2 1 + 2x2 + ( 1- k ) x 3 + 2kx 1 x2 + 2x1 x3, 其中 k 为参 数 , 求 f 的矩 阵和 使 f 为正 定的 范围 . 分析 本题用 顺序主 子式 大于 零 , 则矩 阵为 正定 矩阵 1 k 1 的性质 . 二次型 f 的矩阵为 A = k 2 0 因二次 型 f 正 1 0 1- k 定 , 故其各阶顺序主子式均应大于 0, 即 |A 1 | = 1> 0, |A 2 | = 1 k 1 1 k = 2- k2 > 0 , |A 3 | = |A | = k 2 0 = 2 ( 1- k ) k 2 1 0 1- k 2- k2 ( 1 - k ) > 0, 由 2 - k2 > 0 , 解 得 - 2 < k < 2. 而 由 k ( k2 - k - 2 ) > 0 , 解得 k > 2, - 1 < k < 0. 故使 f 正 定的 k 取 值范围为 - 1< k < 0. 性质 5 A 可表为 A = BT B, 其中 B 是可逆矩阵 . 例 5 A 是正定矩阵, 试证存在正定矩阵 B, 使得 A = B 2. 分析 本题是性质 6 的 证明 过程 , 在 解题 过程 中运 用 性质 2, 5 灵活转换 , 巧妙的令 B, 并且 B 是正定矩阵 , 这样转 换后就得到了我们要的结果 . 设 1, 2 , , n 是 A 的 特征 值 , 因 A 是 正定 矩 阵 , 故 > 0, i = 1, 2, , n, 且 存 在 正 交 矩 阵 P 使 P - 1 AP = i diag {
n n
In - 1 0
1 - An- 1 a
1
, 则 PT AP =
.
|A | n = > 0, 由归 纳法 假设 |A n - 1 | n- 1 A n- 1 0 A n - 1 > 0, 则 > 0. H 0 a nn - a A n--11 a 由 ( 1 )基本性 质和 可知 A > 0 , 这 说明 阶数 为 n 时结 论也成立 . 性质 2 n 阶 H e r m ite矩阵 A 正定 的充分必 要条件 是 A 的所有主子式全大于零 . 证明 必要性 . 对 A 的任一 k 阶主子式 : ai 1 i1 a i1 i2 a i1 ik i1 ik a i2 ik , A = ai 2 i1 a i2 i2 i1 ik ai k i1 a ik i2 a ik ik
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专题研究
ZHUANTI YAN JIU
表 3 单样本柯尔莫格洛夫 N m ean Exponen tial param eter A b solu te Positive M ost Extrem e D if feren ces N egat ive K ol m ogorov-Sm irnov Z A sym p . sig . (2 -tailed) - 0. 381 0. 684 0. 782 R2 误差
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专题研究
ZHUA术学院 438000) 摘要 本文总结了正定矩阵以及二次型正定 矩阵的比 较全面的性质 , 并得到了一个推广性质 . 关键词 二 次型; 正定 矩阵; H er m ite 正定 矩阵; 顺序 主 子式 H er m ite正定矩阵的性质 1 正定矩阵的性质 ( 1 )基本性质 设 A 是 n 阶 H er m ite正 定矩阵 , 其特征值 为 1, 2, , , 则 n ( 1 )A - 1是正定矩阵 ; ( 2 )如果 Q 是任一 n m 列满秩矩阵 , 则 QTAQ > 0 ; ( 3 ) |A | > 0; ( 4 ) tr (A ) > i ( i = 1, 2, , n). ( 2 )判定性质 性质 1 n 阶 H e r m ite矩阵 A 正定 的充分必 要条件 是 A 1 k 的顺序主子式均为正数 , 即 k = A 大于 0 , k = 1, 1 k 2 , , n. 证明 必要性 . 首先证明 H er m ite正定矩阵 A 的顺序主 A 11 A 12 子矩阵也是正定矩 阵 , 记 A = , 其 中 A 11 是 A 的 k AH12 A 22 y 阶顺序主子矩阵 , 对任意 x = C n, y C k 且 y 0, 则 0< 0 xTA x = yTA 11 y, 故 A 11是 k 阶 H er m ite正定矩阵 . 因为 A 的顺序主子矩阵都是正定矩 阵由性质 1 知 A 的 顺序主子式均为正数 . 充分性 . 对矩阵的阶数作归纳法 , 阶数 为 1 时结 论显然 成立 . 今设阶数为 n - 1 时结论成立 , 对 n 阶 H er m ite矩阵 A, An - 1 a 记 A= , 其中 A n - 1 为 A 的 n - 1 阶 顺 序主 子矩 aT ann 阵. 因 为 A n - 1 非 奇 异, 令 P = An - 1 0 0