2016-2017年陕西省汉中市汉台区高一上学期数学期末试卷和解析

2016-2017学年陕西省汉中市汉台区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，计48分．在每小题给出的四个选项只有一个符合题意．）1．（4.00分）设集合A={4，5，6}，B={2，3，4}，则A∪B中有（）个元素．A．1 B．4 C．5 D．62．（4.00分）已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x﹣3＜0}，那么集合（∁A）∩B=（）UA．{x|﹣1≤x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x＞3}3．（4.00分）已知f（x﹣1）=x2+4x﹣5，则f（x）的表达式是（）A．f（x）=x2+6x B．f（x）=x2+8x+7 C．f（x）=x2+2x﹣3 D．f（x）=x2+6x﹣104．（4.00分）已知a=30.4，b=0.43，c=log0.43，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b5．（4.00分）已知x＞0时，f（x）=x﹣2013，且知f（x）在定义域上是奇函数，则当x＜0时，f（x）的解析式是（）A．f（x）=x+2013 B．f（x）=﹣x+2013 C．f（x）=﹣x﹣2013 D．f（x）=x﹣20136．（4.00分）如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（）A．72 B．36 C．24 D．127．（4.00分）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（）A．B．C．D．8．（4.00分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题，其中正确命题是①α∥β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥βA．①与②B．①与③C．②与④D．③与④9．（4.00分）原点O（0，0）与点A（﹣4，2）关于直线l对称，则直线l的方程是（）A．x+2y=0 B．2x﹣y+5=0 C．2x+y+3=0 D．x﹣2y+4=010．（4.00分）已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a 的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．11．（4.00分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．外离12．（4.00分）直线x﹣y=0被圆x2+y2=1截得的弦长为（）A．B．1 C．4 D．2二、填空题（每空4分，共16分）13．（4.00分）已知幂函数y=f（x）的图象过点=．14．（4.00分）函数f（x）=x2﹣4x+5，x∈[1，5]，则该函数值域为．15．（4.00分）已知函数f（x）=，则f[f（）]=．16．（4.00分）P为圆x2+y2=1的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为．三、解答题（共5小题，计56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知集合A={x|1≤x＜5}，B={x|﹣a＜x≤a+3}（1）若a=1，U=R，求∁U A∩B；（2）若B∩A=B，求实数a的取值范围．18．（10.00分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．19．（12.00分）已知直线l经过两条直线2x+3y﹣14=0和x+2y﹣8=0的交点，且与直线2x﹣2y﹣5=0平行．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求点P（2，2）到直线l的距离．20．（12.00分）已知函数f（x）=lg（3+x）+lg（3﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．21．（12.00分）已知点A（0，5），圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0（1）若直线l过A（0，5）且被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程；（2）点M（﹣1，0），N（0，1），点Q是圆C上的任一点，求△QMN面积的最小值．2016-2017学年陕西省汉中市汉台区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，计48分．在每小题给出的四个选项只有一个符合题意．）1．（4.00分）设集合A={4，5，6}，B={2，3，4}，则A∪B中有（）个元素．A．1 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵集合A={4，5，6}，B={2，3，4]，则A∪B={2，3，4，5，6}，有5个元素，故选：C．2．（4.00分）已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x﹣3＜0}，那么集合（∁A）∩B=（）UA．{x|﹣1≤x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x＞3}【解答】解：A={x|x+1＜0}=（﹣∞，﹣1），B={x|x﹣3＜0}=（﹣∞，3），∴C U A=[﹣1，+∞）∴（C U A）∩B=[﹣1，3）故选：A．3．（4.00分）已知f（x﹣1）=x2+4x﹣5，则f（x）的表达式是（）A．f（x）=x2+6x B．f（x）=x2+8x+7 C．f（x）=x2+2x﹣3 D．f（x）=x2+6x﹣10【解答】解：【方法﹣】设t=x﹣1，则x=t+1，∵f（x﹣1）=x2+4x﹣5，∴f（t）=（t+1）2+4（t+1）﹣5=t2+6t，f（x）的表达式是f（x）=x2+6x；【方法二】∵f（x﹣1）=x2+4x﹣5=（x﹣1）2+6（x﹣1），∴f（x）=x2+6x；∴f（x）的表达式是f（x）=x2+6x；故选：A．4．（4.00分）已知a=30.4，b=0.43，c=log0.43，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【解答】解：∵a=30.4＞30=1，b=0.43=0.064，c=log0.43＜log0.41=0，∴c＜b＜a．故选：C．5．（4.00分）已知x＞0时，f（x）=x﹣2013，且知f（x）在定义域上是奇函数，则当x＜0时，f（x）的解析式是（）A．f（x）=x+2013 B．f（x）=﹣x+2013 C．f（x）=﹣x﹣2013 D．f（x）=x﹣2013【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，因为x＞0时，f（x）=x﹣2013，所以f（﹣x）=﹣x﹣2013，因为函数是奇函数，所以f（﹣x）=﹣x﹣2013=﹣f（x），所以f（x）=x+2013，故选：A．6．（4.00分）如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（）A．72 B．36 C．24 D．12【解答】解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面三角形的一边长为6，底面三角形的高为：4，棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点，棱锥的高为：3．所以几何体的体积：=12．故选：D．7．（4.00分）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（）A．B．C．D．【解答】解：正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于，故选：D．8．（4.00分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题，其中正确命题是①α∥β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥βA．①与②B．①与③C．②与④D．③与④【解答】解：对于①l⊥α，α∥β，m⊂β⇒l⊥m正确；对于②l⊥α，m⊂β，α⊥β⇒l∥m；l与m也可能相交或者异面；对于③l∥m，l⊥α⇒m⊥α，又因为m⊂β则α⊥β正确；对于④l⊥m，l⊥α则m可能在平面α内，也可能不在平面α内，所以不能得出α∥β；综上所述①③正确，故选：B．9．（4.00分）原点O（0，0）与点A（﹣4，2）关于直线l对称，则直线l的方程是（）A．x+2y=0 B．2x﹣y+5=0 C．2x+y+3=0 D．x﹣2y+4=0【解答】解：∵已知O（0，0）关于直线l的对称点为A（﹣4，2），故直线l为线段OA的中垂线．求得OA的中点为（﹣2，1），OA的斜率为=﹣，故直线l的斜率为2，故直线l的方程为y﹣1=2（x+2 ），化简可得：2x﹣y+5=0．故选：B．10．（4.00分）已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a 的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由≠，解得：a=．综上，a=0或，故选：C．11．（4.00分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．外离【解答】解：圆C（x+2）2+y2=4的圆心C（﹣2，0），半径r=2；圆M（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心M（2，1），半径R=3．∴|CM|==，R﹣r=3﹣2=1，R+r=3+2=5．∴R﹣r＜＜R+r．∴两圆相交．故选：C．12．（4.00分）直线x﹣y=0被圆x2+y2=1截得的弦长为（）A．B．1 C．4 D．2【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心在直线x﹣y=0上，故直线x﹣y=0被圆x2+y2=1截得的弦长为2，故选：D．二、填空题（每空4分，共16分）13．（4.00分）已知幂函数y=f（x）的图象过点=3．【解答】解：设幂函数f（x）=xα（α为常数），∵幂函数y=f（x）的图象过点，∴，解得．∴．∴．故答案为3．14．（4.00分）函数f（x）=x2﹣4x+5，x∈[1，5]，则该函数值域为[1，10] ．【解答】解：由于函数f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，x∈[1，5]，则当x=2时，函数取得最小值为1，当x=5时，函数取得最大值为10，故该函数值域为[1，10]，故答案为[1，10]．15．（4.00分）已知函数f（x）=，则f[f（）]=．【解答】解：由函数表达式得f（）=log4=log44﹣2=﹣2，f（﹣2）=3﹣2=，故f[f（）]=f（﹣2）=，故答案为：16．（4.00分）P为圆x2+y2=1的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为3．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣10=0的距离等于=2，故圆x2+y2=1上的动点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为2+1=3，故答案为：3．三、解答题（共5小题，计56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知集合A={x|1≤x＜5}，B={x|﹣a＜x≤a+3}（1）若a=1，U=R，求∁U A∩B；（2）若B∩A=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由集合A={x|1≤x＜5}，B={x|﹣1＜x＜4}，C U A={x|x＜1或x＞5}，∴（C U A）∩B={x|﹣1＜x＜1}；（2）∵B∩A=B，∴B⊆A①当B=∅时，满足B⊆A，此时﹣a≥a+3，得a≤﹣②当B≠∅时，要使B⊆A则，解得﹣＜a≤﹣1．综上所述：a≤﹣1．18．（10.00分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．19．（12.00分）已知直线l经过两条直线2x+3y﹣14=0和x+2y﹣8=0的交点，且与直线2x﹣2y﹣5=0平行．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求点P（2，2）到直线l的距离．【解答】解：（Ⅰ）联立，解得其交点坐标为（4，2）．…（2分）因为直线l与直线2x﹣2y﹣5=0平行，所以直线l的斜率为1．…（4分）所以直线l的方程为y﹣2=1×（x﹣4），即x﹣y﹣2=0．…（6分）（Ⅱ）点P（2，2）到直线l的距离为．…（10分）20．（12.00分）已知函数f（x）=lg（3+x）+lg（3﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．【解答】解：（1）要使函数有意义，则，解得﹣3＜x＜3，所以函数的定义域是（﹣3，3）；（2）函数f（x）是偶函数，由（1）知函数的定义域关于原点对称，因为f（﹣x）=lg（3﹣x）+lg（3+x）=f（x），所以函数f（x）是偶函数．21．（12.00分）已知点A（0，5），圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0（1）若直线l过A（0，5）且被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程；（2）点M（﹣1，0），N（0，1），点Q是圆C上的任一点，求△QMN面积的最小值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0，其圆心坐标为（﹣2，6），半径为r=4，点P（0，5），当直线斜率不存在时，直线方程为：x=0，当x=0时，y 2﹣12y +24=0，解得y=6±2，可得弦长为6+2﹣（6﹣2）=4成立；当直线斜率存在时，设过P 的直线方程为：y=kx +5，化为一般方程：kx ﹣y +5=0， 圆心到直线的距离d==．又（2）2+d 2=r 2=16，解得：k=， 所以3x ﹣4y +20=0，综上可得直线l ：x=0或3x ﹣4y +20=0；（2）直线MN 的方程为﹣x +y=1，即x ﹣y +1=0．圆C ：x 2+y 2+4x ﹣12y +24=0，其圆心坐标为（﹣2，6），半径为r=4， 可得圆心（﹣2，6）到直线MN 的距离为d==，圆上的点到直线距离的最小值为﹣4．由|MN |=，可得△ABC 的面积最小值是××（﹣4）=﹣2．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。