不等式的证明小结

不等式的证明小结
不等式的证明是高中数学的重要内容，既是高中数学的一个难点，又是历届高考的热点，也是将来进入大学不可缺少的技能.题型广泛，证法灵活.下面对常用证明方法比较法、综合法、分析法做例析归纳. 一、比较法：比较法是证明不等式最常用的也是最基本的方法，有作
差法和作商法两种. 例1、 已知m
n n m n
m n
m b
a b a b
a n m
b a +≥+>>>>++求证：,0,0,0,0 .
证明：
)
)(()()()
()()
(m
m
n
n
n
n
m
n
n
m
n
m m
n n m n
m m
n
n
m
n
m n
m b a
b a b a b b a a b
b
a b a a b a b a b
a
--=---=---=+-+++++
当b
a
>时，∴>>,,n
n
m
m
b a
b a ))((m
m
n
n
b a
b a -->0
当a<b 时，
∴<<,,n n
m
m
b a
b a
))((m m
n n b a
b a -->0
当a=b 时，∴==,,n
n
m
m b a
b a ))((m
m
n
n
b a b a --=0
综上所述，))((m
m n
n
b a
b a --≥0，故m
n n m n
m n
m b
a b a b
a
+≥+++.
评注：作差法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断，最后
与0比较大小.取差后要注意因式分解或配方，以判断差的符号.
例2、已知,0,0>>b a 求证：2
()a b
a b
a b ab +≥.
证明：
2
2
2
2
)
()
(b a a
b b
a b a b
a
b a
b
a
ab b a ---+==
若0>>b a ，则
1)
(,02
,
12
>∴>->-b a b
a
b a b
a
若0>>a b ，则2
01,
0,()
12
a b a a b a
b
b --<
<<∴>
若,0>=b a 则1)
(,02
,
12
=∴=-=-b a b
a
b a b
a
综上所述，2
()
a b
a
b
a
b ab +≥.
评注：欲证不等式两端是乘积形式或幂指形式时常用作商比较
法.作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号——作商（要求分母不等于0）——变形，判断与1的大小.
二、综合法
例3、已知,+∈R c b a 、、求证：.21<++
++
+<a
c c c
b b b
a a
证明： ,+∈R c b a 、、
又c b a c c a c
c b a b
c b b
c b a a b a a ++>
+++>+++>+,,
1=++++++
++>++
++
+∴
c
b a
c c
b a b c
b a a a
c c c
b b b
a a
c
b a
c a b
a a c
b a b a bc
c b a b a c a b a c b a a c b a c a b a a +++<
+∴
<+++-=
+++++-++=
+++-+0
)
)(()
)(()
)(()( 同理
c
b a b
c c a c
c b a b
a c
b b +++<
++++<
+,
2=+++++++++++<+++++∴c
b a b
c c b a b a c b a c a a c c c b b b a a
∴.21<++
++
+<
a
c c c
b b b
a a
评注：综合法证明不等式，从已知不等式和问题的已知条件
出发，借助于不等式的性质的有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到特征结论或需求问题.其特点是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
三、分析法
例4、已知.2b a c R b a +>∈+，、求证：ab
c c a ab c c -+
<<--2
2
证明：要证ab
c c a ab c c -+<<--2
2
只需证ab
c c a ab c -<
-<--
2
2
只需证ab
c c a -<-2
||
只需证2
22)
(||ab c c a -<- 只需证ab c c ac a -<+-2
2
2
2
即证ab
a ac +>2
2
0>a
∴只需证b
a c +>2，由已知条件，
b a
c +>2显
然成立，
∴ab
c c a ab c c -+
<<--
2
2
评注:当待证的结论与已知条件没有明显关系时,可考虑分
析法；证明某些无理不等式用综合法较困难时常用分析法证明.用分析法证题时,“要证”“只需证”等语言必须有,否则无法体现分析法的“执果索因”特点.
例5、已知0,0,a b >>求证
2
2
.a b
≥+
[证法一]（比较法）：
22
22
4
4
2
2
3223
4
3
3
4
3
3
2
2
2
()
22()()
()()
a b a b a b a b a b ab
ab
a a
b ab b
ab
a b a b ab
a b a ab b ab
-+++---=
--+=--=-++=
0,0,a b >>∴ 222
()()
a b a ab b ab
-++≥0
2
2
2
2
()
a b ∴≥+
∴
2
2
.a b a b +≥+
[证法二]（综合法）：2
22222
2,2()2a b ab a b a ab b
+≥∴+≥++
2
2
2
2
()
,
2
0,0,
()
(2
2
a b a b a
b a b a b a b +∴+≥
>>++∴
≥
≥+
2
2
(a b a b ∴+≥+
∴
2
2
.a b ≥+
[证法三]（分析法）：0,0,a b >>
22
.a b ≥+
只需证2
2
(a
b a b +≥+即证2
2
2
2
()()a b a b ab +≥+
只需证42
2
4
3
2
2
3
22,a a b b a b a b ab ++≥++
即证33()()0a b a b --≥
只需证22
2
()()0.a b a ab b -++≥
因为222
()()0a b a ab b -++≥成立，
∴2
2
.a b a b
+≥+
评注：一道证明题的证明方法并不唯一.证法一是用比较
法，实际上是平方差法.不等式中含有根式且两边均为正，当用直接作差的方法不易证明时可考虑先平方再作差的方法.证法二用到了重要不等式
2
2
2(,)
a b ab a b R +
+≥∈和
0,0)
2
a b a b +≥>>，有
一定技巧，关键是导出2
2
2
()
2
a b a
b ++≥
的关系.从证
法三可以看出，用分析法思路较简单.。