邱关源《电路》笔记及课后习题(电路方程的矩阵形式)【圣才出品】

第15章电路方程的矩阵形式
15.1 复习笔记
一、割集
1．定义及条件
割集是连通图G的一个支路集合，满足两个条件：①移去集合中的所有支路，结点保留，原连通图分离为两个部分；②仅保留集合中的任何一条支路，图仍为连通图。

图15-1-1
如图15-1-1所示，其中割集有：（a，d，f），（a，e，b），（b，c，f），（d，e，c），（b，e，d，f），（a，e，c，f），（a，b，c，d）。

非割集有：（a，d，e），（a，e，b，c）。

2．割集的特点
（1）选定连通图的一个树，则与树对应的任何连支集合不能构成一个割集；
（2）连通图的每一条树支与一些相应的连支可以构成一个割集；
（3）单树支割集（基本割集）是由树的一条树支与相应的一些连支所构成的割集；
（4）对于一个具有n个结点和b条支路的连通图，其树支数为（n－1），因此将有（n －1）个单树支割集，称为基本割集组；
（5）n个结点的连通图，独立割集为（n－1），独立割集不一定是单树支割集；
（6）连通图G可以有许多不同的树，可选出许多基本割集组。

二、关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
1．关联矩阵A：结点-支路关系矩阵
A矩阵的一行对应于一个除参考结点以外的独立结点，一列对应于一条支路，为（n－1）×b阶矩阵，n为结点数，b为支路数，任一元素a jk定义为
注：A每一列对应于一条支路，每一列中只有两个非零元素，即＋1和－1；A的行不是彼此独立的，A的任一行必能从其他（n－1）行导出。

2．回路矩阵B：回路-支路关联矩阵
设一个回路由某些支路组成，则称这些支路与该回路关联，支路与回路的关联性质可以用回路矩阵B描述。

若有向图的独立回路数为l，支路数为b，则该有向图的回路矩阵是一个（l×b）的矩阵。

B中的行对应于一个回路，列对应于支路，任一元素b jk定义为
注：回路矩阵B左乘支路电压列向量，所得乘积是一个l阶列向量，因矩阵B的每一行表示每一对应回路与支路的关联情况。

如果所选独立回路组是对应于一个树的单连支回路组，这种回路矩阵称为基本回路矩阵，用B f表示。

3．割集矩阵Q：割集-支路关联矩阵
设一个割集由某些支路构成，则称这些支路与该割集关联。

支路与割集的关联性质可用割集矩阵Q来描述。

若有向图的结点数为n，支路数为b，则该割集矩阵是一个（n－1）×b的矩阵。

Q中的一行对应于一个基本回路，一列对应于一条支路，任一元素q jk定义为
特点：
（1）根据割集矩阵的定义和矩阵的乘法规则，不难得出[Qi]＝0，即用矩阵Q表示的KCL的矩阵形式；
（2）常选单树支割集为独立割集，树支电压可视为对应的割集电压。

如果选一组单树枝割集为一组独立割集，这种割集矩阵称为基本割集矩阵，用Q f表示。

4．A、B f、Q f之间的关系
同一个连通图在相同的支路顺序下列写出A、B f、Q f，则有：
AB f T＝0或B f A T＝0；
Q f B f T＝0或B f Q f T＝0。

如果选择连通图G的一个树，按先树支、后连支的相同支路顺序下写出G的A、B f、Q f，使得
由上述三个矩阵的关系可得出
B t T＝－A t－1A l
Q l＝A t－1A l
三、回路电流方程的矩阵形式
1．KCL、KVL的矩阵表示形式
表15-1-1
u、i分别为支路电压列向量和电流列向量，u n为结点电位列向量，i l为连支电流列向量，u t为树支电压列向量。

2．电路分析的四种常用方法
表15-1-2
其中，
称为回路阻抗矩阵。

3．列写矩阵形式的回路电流方程注意事项
（1）编写回路电流方程必须选择一组独立回路，一般用基本回路组，选树来处理；（2）实际复杂电路，独立结点数往往少于独立回路数，故多用结点法。

四、结点和割集电压方程的矩阵形式
图15-1-2所示为结点电压与割集电压法的标准支路。

图15-1-2
（1）结点电压方程矩阵形式
消去U▪、I▪，可得AYA T U▪n＝A I▪S－AY U▪S。

其中，设
则上式可写成Y n U n＝J n，Y n称为结点导纳矩阵。

（2）割集电压方程矩阵形式
消去U▪、I▪，可得Q f YQ f T U▪t＝Q f I▪S－Q f Y U▪S。

15.2 课后习题详解
15-1 以结点⑤为参考，写出图15-2-1所示有向图的关联矩阵A。