北京工业大学大学物理竞赛辅导竞赛：4-力学2015--刚体
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高中物理竞赛-刚体
速度和圆柱所受的静摩擦力。
解：不妨设静摩擦力f的方向向左， 则由质心运动定理：
aC F
F f ma C
由转动定律：F l f R JC
纯滚动条件：aC R
圆柱对质心的转动惯量为
JC
1 2
m R2
27
联立以上四式，解得
2F( R l ) aC 3mR f R 2l F
3R
讨论： l<R/2, f >0,方向向左； l>R/2, f<0, 方向向右； l=R/2, f=0.
地面参考系：aC R（纯滚动条件） 最低点：a1 (ac at )2 an2 R 2t 2
C aC
R
最高点：a2 (ac at )2 an2
(2R )2 (R 2t 2 )2 R 4 2t 4
8
二、刚体的动量和质心运动定理
z
1、刚体的质心
质量分立分布：
质心C的位矢为
rC
mi m
d
dt
方向:与转向成右手螺旋关系。
v v r
r
at r
an r 2
3
4、刚体的平面（平行）运动 定义：刚体上各点均在平面内运动，且这些
平面均与一固定平面平行，称作刚体的平面
（平行）运动。
车轮滚动
木梯下滑
处理方法：可看作随基点的平动和绕过基点 轴（⊥固定平面）的转动的合成。
1B A
2 A 刚体由1→2可分为
1、刚体平面运动的基本动力学方程
刚体的平面运动——可视作随基点的平动和绕基
点轴的转动。通常选质心为基点。 惯性系
y y
F外
maC（o系，质心运动定理）
C
x M外 J（C系，转动定律）
北京工业大学大学物理竞赛辅导1电磁学讨论课-电场电势
d 2 0
x
d 2 0
x
E x 0
25
8. 用加速的细质子流对一个半径为 r 的金属 球充电。设加速器离金属球很远，金属球的球 心与沿加速器发射质子方向直线的距离为 d＝ 0.5r ，加速器使每个质子得到的动能为 E ＝ 2keV。当加速器工作足够长时间后，金属球充 电到多大电势？
dx
dx dE 2 0 2 0
x点电场：
d 2
x
xd x
2
板外：
dx E dE x x 2 0 0
x
E
d 2 d 2
dx d 2 0 2 0
22
2、求电势分布 取中分对称面为电势零点 0 0x 2 板内： U Edx dx x x x 0 2 0
U
d 2
0
d 2
抛物线 2 U内 x 2 0 直线 2 d d U外 x 8 0 2 0 电势分布
24
x
3、由电势求电场
d 2
U(x)
0
d 2
E U x
d 2
E (x)
0
d 2
2 U内 x 2 0 d 2 d U外 x 8 0 2 0
q q a UP 4 x 2 2 d x 4 a 2 2 0 0 0 0 a/2
a
19
7. 已知厚度为 d ，电荷体密度为ρ的无限大均 匀带电平板。求电场强度和电势分布。
1、求电场强度
（1）用高斯定理求场强
分析对称性
S
1 板内： 2 ES 2 x S
q We 8π 0 r
单位面积受力：
x
d 2 0
x
E x 0
25
8. 用加速的细质子流对一个半径为 r 的金属 球充电。设加速器离金属球很远，金属球的球 心与沿加速器发射质子方向直线的距离为 d＝ 0.5r ，加速器使每个质子得到的动能为 E ＝ 2keV。当加速器工作足够长时间后，金属球充 电到多大电势？
dx
dx dE 2 0 2 0
x点电场：
d 2
x
xd x
2
板外：
dx E dE x x 2 0 0
x
E
d 2 d 2
dx d 2 0 2 0
22
2、求电势分布 取中分对称面为电势零点 0 0x 2 板内： U Edx dx x x x 0 2 0
U
d 2
0
d 2
抛物线 2 U内 x 2 0 直线 2 d d U外 x 8 0 2 0 电势分布
24
x
3、由电势求电场
d 2
U(x)
0
d 2
E U x
d 2
E (x)
0
d 2
2 U内 x 2 0 d 2 d U外 x 8 0 2 0
q q a UP 4 x 2 2 d x 4 a 2 2 0 0 0 0 a/2
a
19
7. 已知厚度为 d ，电荷体密度为ρ的无限大均 匀带电平板。求电场强度和电势分布。
1、求电场强度
（1）用高斯定理求场强
分析对称性
S
1 板内： 2 ES 2 x S
q We 8π 0 r
单位面积受力：
北京工业大学教务处
北京工业大学教务处
工大教发[2007] 007号关于发布《北京工业大学认定的本科生科技竞赛项目名单》的通知
为配合《北京工业大学本科生科技竞赛管理办法》（工大发…2007‟11号）、《北京工业大学本科生创新学分实施办法》（工大教发 [2007] 005号）、《北京工业大学推荐优秀应届本科毕业生免试攻读硕士学位研究生的实施办法》（工大教发 [2007] 006号）等文件的实施，现发布北京工业大学认定的本科生科技竞赛项目名单。
北京工业大学认定的本科生科技竞赛项目名单
本文解释权在教务处。
教务处、校团委、学生处、研究生部、党委研究生工作部
2007年5月25日。
高中物理竞赛全套课件 刚体的运动
2
h
M
a
题后思考
， 对（1）得到的vM： vM h sin
an
A
ar
v
求导数确定aM，验证上述新解的结果.
L
v= L
v
O
二、两始终相互接触的刚体作平面运动时， 两刚体上的同一平面上的两接触点的速度、 加速度在接触点处的法线方向的垂直投影 1、速度的投影 上述两接触点的速度在法向的投影相等. 简单证明： 如果两刚体 上述分速度 不相等 两刚体的接触点经 过小量时间后沿法 向将有不同的位移
极坐标系中的加速度： 类似向心加速度
r (t )
a
dv d r d dr d d = 2 r ( )2 er 2 r 2 e dt dt dt dt dt dt
2 2
o
在极坐标系中描述运动
x
类似切向 加速度 位矢长度变化率 科里奥利加速度：位矢长度 变化，结合旋转因素造成横 向速度变化所引起
L
h sin h sin . L
（2）因为杆作匀角速度转动，所以A点相对于O点 只有向心的加速度
B
an 2 L.
将此加速度分解成沿BA方向和垂直于BA方向两个 分量. 沿BA方向的分量是
an an cos( ) 2 L cos( )
h
M A
B
h
A
①
② ③
于是
vP
OP 1 vB vB OB 2
3 v 3
vB vP v P∥ O
vB⊥ vB|| P
B
0 0 而 vB vB tan 30 v tan 30
h
M
a
题后思考
， 对（1）得到的vM： vM h sin
an
A
ar
v
求导数确定aM，验证上述新解的结果.
L
v= L
v
O
二、两始终相互接触的刚体作平面运动时， 两刚体上的同一平面上的两接触点的速度、 加速度在接触点处的法线方向的垂直投影 1、速度的投影 上述两接触点的速度在法向的投影相等. 简单证明： 如果两刚体 上述分速度 不相等 两刚体的接触点经 过小量时间后沿法 向将有不同的位移
极坐标系中的加速度： 类似向心加速度
r (t )
a
dv d r d dr d d = 2 r ( )2 er 2 r 2 e dt dt dt dt dt dt
2 2
o
在极坐标系中描述运动
x
类似切向 加速度 位矢长度变化率 科里奥利加速度：位矢长度 变化，结合旋转因素造成横 向速度变化所引起
L
h sin h sin . L
（2）因为杆作匀角速度转动，所以A点相对于O点 只有向心的加速度
B
an 2 L.
将此加速度分解成沿BA方向和垂直于BA方向两个 分量. 沿BA方向的分量是
an an cos( ) 2 L cos( )
h
M A
B
h
A
①
② ③
于是
vP
OP 1 vB vB OB 2
3 v 3
vB vP v P∥ O
vB⊥ vB|| P
B
0 0 而 vB vB tan 30 v tan 30
物理竞赛1-35届真题分类04刚体力学(无答案)
真题分类—刚体力学（21届复赛）六、(20分)如图所示，三个质量都是m 的刚性小球A 、B 、C 位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A 、B 之间，B 、C 之间分别用刚性轻杆相连，杆与A 、B 、C 的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB 与BC 的夹角为 ，< /2．DE 为固定在桌面上一块挡板，它与AB 连线方向垂直．现令A 、B 、C 一起以共同的速度v 沿平行于AB 连线方向向DE 运动，已知在C 与挡板碰撞过程中C 与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C 沿垂直于DE 方向的速度由v 变为0这一极短时间内挡板对C 的冲量的大小．二、（23届复赛）（25分）如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长2L ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。
桌面上另有一质量为M 的小球A ，以一给定的速度Vo 沿垂直于杆DB 的方向与右端小球B 作弹性碰撞求刚碰后小球A 、B 、C 、D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。
由杆的刚性条件有 D C C B ''''-=-v v v v （21）（19）式的角动量参考点设在刚要发生第二次碰撞时与D 球重合的空间点．把（18）、（19）、（20）、（21）式与（1）、（2）、（3）、（4）式对比，可以看到它们除了小球B 和D 互换之外是完全相同的．因此它们也有两个解 C 0'=v （22）和 C0456MM m'=+v v （23）C（27届复赛）三、（ 22 分）如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m ，半径为 R ，螺距H =πR ，可绕竖直的对称轴OO ′，无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计．一质量也为 m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点 A ，这时螺旋环也处于静止状态．然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴 OO ′，转动．求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为 h 时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小．（29届复赛）三、（25分）如图所示，两根刚性轻杆AB 和BC 在B 段牢固粘接在一起，AB 延长线与BC 的夹角α为锐角，杆BC 长为l ，杆AB 长为αcos l 。
北京工业大学大学物理竞赛辅导3电磁学讨论课-电流磁场电磁感应
R2
B 0 dI 2r dt t
R1 R2 h r
S
R2 E ( r ) 0 dI l n 2 dt r
E
19
•小桶内部 0< r < R1
B 0 t
E const .
I
I r
R1 R2
E E ( R1 )
R2 dI 0 E l n 2 dt R1
“铜夹回路中不产生感应电流”
B 0 t 不切割B线
37
B
B
A
B
B
A
？
I
•通量法则的结果：产生感应电流
•按感生和动生电动势计算：不产生感应电流
哪个结果对？
38
正确： 按感生和动生电动势计算的结果
“铜夹回路中不产生感应电流”
B 0 ，不切割B线 t
S固 定
磁介质内表面上：
r 1 ˆ 沿半径向里。 M I, n 2πR
j 沿磁介质内表面向上，大小：
ˆ n
j
r 1
2πR
I
磁介质内表面上的磁化电流：
I 2πRj ( r 1) I
方向沿磁介质内表面向上。
4. 证明动生电动势与磁通的关系仍为
L I
S
d dt
I 0 B , R1 r R2 2r 0, r R2
0, 0 r R1 B 0 dI , R1 r R2 2 r d t t 0, r R2
0,
0 r R1
r
R2 R1
I
I
B B, t
B 0 dI 2r dt t
R1 R2 h r
S
R2 E ( r ) 0 dI l n 2 dt r
E
19
•小桶内部 0< r < R1
B 0 t
E const .
I
I r
R1 R2
E E ( R1 )
R2 dI 0 E l n 2 dt R1
“铜夹回路中不产生感应电流”
B 0 t 不切割B线
37
B
B
A
B
B
A
？
I
•通量法则的结果：产生感应电流
•按感生和动生电动势计算：不产生感应电流
哪个结果对？
38
正确： 按感生和动生电动势计算的结果
“铜夹回路中不产生感应电流”
B 0 ，不切割B线 t
S固 定
磁介质内表面上：
r 1 ˆ 沿半径向里。 M I, n 2πR
j 沿磁介质内表面向上，大小：
ˆ n
j
r 1
2πR
I
磁介质内表面上的磁化电流：
I 2πRj ( r 1) I
方向沿磁介质内表面向上。
4. 证明动生电动势与磁通的关系仍为
L I
S
d dt
I 0 B , R1 r R2 2r 0, r R2
0, 0 r R1 B 0 dI , R1 r R2 2 r d t t 0, r R2
0,
0 r R1
r
R2 R1
I
I
B B, t
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体力学基础(共14张PPT)
四、角动量问题举例
例 3-5 设一质量为m的滑块在水平面(Oxy)内以初速度 u0 u0i
从原点O出发沿x轴滑动.假设滑块与水平面的摩擦力 f f i
恒定不变，试求任意时刻滑块对原点O的角动量.
解
t=0时， u0 u0i 质点受力 f f i
滑块任意时刻t的速度
u
u0
ft m
Lrprm v
圆周运动的质点、定轴转动刚体的角动量
Lm2 rJ
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3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
2 角动量定理(对定轴转动刚体)
t
L
t0M dtL 0dLLL 0JJ0
3 角动量守恒定律 若系统所受合外力矩为零，则系统 角动量保持不变.
3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
第三章 刚体力学基础
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3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
一、角动量
1.
质点的角动量
质量为 m的质点以速度
v
z
在 O 的空位间矢运为动，r，某质时点刻相相对对于原原点
L
点的角动量：
O
Lrprm v x r
解 碰撞过程质点和刚体的系统动量、
O
能量皆不守恒。但是系统的对O轴合外
力矩为零，角动量守恒。有
mlu0mluJ
M
J 1 Ml2
3
u l
解以上三式，得 3m2u0
v0
(3m M )l
l mv
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3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
质点以角速度 作半径为 r的圆运动，
高中物理奥林匹克竞赛专题——刚体
(FrMz)
Md z
A
M d z
——力矩的功（单位：J）
0
2.力矩的功会产生什么样的效果呢？
0M zd 0Izd dd t 0Izd ddt
下面来看
1 2
I
z
Iz d
0
12Iz2 12Iz02
2 表示什么意思？
轮轴无摩擦
T2 = m2 ( g – a ) m2 g
轻绳不伸长
轮绳不打滑
如果考虑有转动摩擦力矩 Mr ,则 转动式为
（以后各例同） ( T2 – T1 ) R – Mr= I 再联立求解。
合外力矩 应由各分力矩进行合成 。 在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力 矩与此向相同则为正，反之为复。
转轴通过端点与棒垂直
m
L
I=
1 3
mL2
匀质矩形薄板
转轴通过中 心垂直板面
I=
m 12
(a 2 + b 2 )
匀质细圆环
转轴通过中 心垂直环面
I=mR2
匀质细圆环
转轴沿着 环的直径
I=
m R2 2
匀质厚圆筒
转轴沿几何轴
I
=
m 2
(R12 +
R2 2
)
匀质圆柱体
转轴通过中心 垂直于几何轴
I=
m 4
R2+
T1 a
m1 g
mA、RA T2
m1
a m2 g
A T3 T1
mB、RB
m2
T3
B
T2
T 1m 1gm 1a m 2gT 2m 2a
T 3R AT 1R A1 2m AR 2 A A T 2R BT 3R B1 2m BR B 2 B
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解：(1)
IO
1 2
(4
m
)R
2
[
1 2
m
(
R 2
)2
m
(
R 2
)
2
]
13 8
m
R2
(2)
设OC= x
OC
则有
3m x m R 0
x
R 6
2
IO
IC
3m
(
R 6
)
2
IC
37 24
m
R
2
7. 如图，一长为L、质量为m的匀质细杆置于光
滑水平面上，可绕过杆中点O的光滑固定竖直 轴转动，初始时杆静止，有一质量与杆相同的 小球以与杆垂直的速度v飞来，与杆端点碰撞 并粘附其上. ⑴定量分析系统碰撞后的运动状 态；⑵若去掉固定轴，杆中点不固定，再求碰 后系统的运动状态.
m
v
L 4
{
[
1 12
m
L2
m
(
L 4
)
2
]
m
(
L 4
)
2
}
由上两式解得：
vc
v 2
6v
5L
碰撞后，系统质心以速度vc=v/2向右 作匀速直线运动，同时系统以角速度
=6v/5L绕过质心(位于距杆端L/4处) 的竖直轴作逆时针匀角速转动.
8 （2013年，20分）
如图，质量为m的运动质点与质量为M的静止平面刚
试通过定量推导判断质点与刚体P
部位在 vr 0 方向线上的碰后分离速率
是否等于碰前接近速率？
解：在图示惯性系中，凡涉及角动量定理的内 容，均取刚体质心C尚未运动时在此惯性 系中所在点为参考点。碰撞前后可列三个 方程：
结果是要比较
和v0 的大小。
计算结果请参照参考资料。
9. 转动惯量为J、半径为R的圆盘正在以角 速度0旋转，突然其最下方的边缘掉下 一小碎块m ( 设m的线度远远小于R )， 设碎块掉下时与圆盘边缘的切向相对速
I(P ) IC M d 2
可知：过质心的轴，I最小；离质心最远 的轴，I最大.
T形尺的质心在竖杆上，设其距横杆为x
，则有
m x m(L x) 2
x L 4
——P1点确定
P2点应距质心最远，易知其位于竖杆下 端.
在图中标出：
L
P1 L/4
P2 L
4. 由两个相同的匀质半圆环相切连接成的平面曲
刚体
1. 半径为R的圆环静止在水平地面上，t=0 时刻开始以恒定的角加速度沿直线作 纯滚动. 任意t>0时刻，环上最低点的加 速度大小为，最高点的加速 度大小为. （纯滚动）
解：
an at
ao
at an
纯滚动特点： ⑴环心速度大小＝环上一 点绕环转动的线速度大小 ⑵环心加速度大小＝环上 一点绕环转动的切向加速 度大小
m, L
O mv
（刚体的动量、角动量守恒）
解：(1) 碰撞过程中, 球－杆系统角动量守恒, 有
m
v
L 2
[
1 12
m
L2
m
(
L 2
)
2
]
0
0
3v 2L
碰撞后，系统以角速度0=3v/2L绕轴 作逆时针匀角速转动.
(2) 碰撞过程中，球－杆系统动量守恒， 且在质心系中角动量守恒，有
m v (m m )vc
a
2 t
a
2 n
R
4 2t4
2. 在光滑水平面上有一质量为M，长为L的
匀vv 0 质与细杆杆的。一今端有碰一撞小，球此以后垂随直着于杆杆的的运速动度
，杆的另一端又与小球碰撞。设碰撞是弹
性的，问：要使第二次碰撞后小球速度仍
为 vv 0 ，小球质量m应为多大？
解：设第一次碰撞后，细杆质心的运动速
解：Ip miri2 r2dm
Ic md2
6. 圆心记为O，半径R，质量4m的匀质圆板 ，内切地割去半径为R/2的小圆板后，剩 余的板块如图所示，其质心位置记为C( 图中未示出). 过O、C分别设置垂直于板 面的转轴，则相对这两个转轴的转动惯 量分别为IO=， IC= . （平行轴定理）
O
体在同一水平面内。刚体相对过质心的转轴的转动惯
量为Ic，质点的速度 vr r0 对准刚体边界点P，且与过P点 的边界切线方向矢量 e 切 垂直，刚体中的两个几何参量 l， 心1、碰速l2度后的v瞬r含C 间义、，图绕质中过点示质速出心度。转v设r轴m 质、转点刚动与体角刚质速体的碰撞是弹性的
度，均在图中用虚线箭矢示出。
度为vc，整个细杆围绕质心转动的角速度 为，小球速度为v1，则因碰撞前后球－杆 系统动量守恒，系统对过细杆质心并垂直
于水平面的轴的角动量守恒，系统动能守
恒，分别有
m0vm1vMcv （1）
m0vL 2m1vL 2112M2L （2） 1 2m 0 2 v 1 2m 1 2 v 1 2M c 2 v 1 21 1M 22L 2（3）
由（1）～（4）式可得
m M 2
3. 两根长度均为L的匀质细杆连成T形尺， 其上任取一点P，记I(P)为T形尺对过P点 且垂直于T形尺所在平面的轴的转动惯量. 试在尺上准确标出P1、P2点的位置，使 I(P1)为所有I(P)中最小者，I(P2)为所有 I(P)中最大者. （平行轴定理）
L
P L
解：由转动惯量的平行轴定理
此外，要使第二次碰撞后小球仍在原方向
上运动，则碰撞时细杆应与小球运动方向
垂直，这就要求第一次碰撞后细杆质心的
运动速度与小球运动速度相等，有
vc v1
（4）
在第二次碰撞前后，系统的动量、角动
量和动能仍然守恒，且碰撞后小球速度恢复 为 vv 0 ，守恒关系式与上面的（1）～（3） 式相同，不产生新的方程。
杆如图，图中A1、A2、A3代表3根垂直于曲杆 所在平面的固定转轴，则其中曲杆相对转轴
的转动惯量最大；若曲杆质量为m、半径
为R，则它相对转轴A3的转动惯量为. （平行轴定理） A2
A1
R A3
O1
R O2
解：(1) 曲杆质心在A3处，A1离质心最远，故 答案为：A1
(2) 设想将右侧半圆环翻转到左侧，则系 统对A3轴的转动惯量不变，故有
ao R
环心系： a t a t R a n a n R 2 R 2 t 2
地面系： 最低点
a t a t a o 0 a n a n R 2 t 2
a
a
பைடு நூலகம்
2 t
a
2 n
R
2t 2
最高点
a t a t a o 2 R
a n a n R 2 t 2
a
I(A3) m R 2 m R 2 2m R2
5. 平行轴定理（2011年竞赛题） 如图所示，由三根相同的均匀细杆连成的等边
三角形刚体框架每边长为a，总质量为M。将框 架相对于过框边上任意一点P且垂直于框架平 面的转轴的转动惯量记为IP。所有IP中最小者 Imin所对应的P点必定在_________，所有IP中最 大者Imax与最小者Imin之差为_________，