费马点模型(1)
2024年中考数学几何模型之动点最值之费马点模型(讲+练)(原卷版[001]
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专题12 动点最值之费马点模型费马点模型：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）费马点的性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值证明过程：将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。
即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE例题1. 已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。
△AGC=△AGB=△BGC=120°.求证：GA+GB+GC的值最小.例题2. 已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 26求正方形的边长．【变式训练1】已知点P 是△ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫△ABC 的费马点。
已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC 中，当∠APB ＝∠APC ＝∠BPC ＝120°时，P 就是△ABC 的费马点。
若点P 的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD ＋PE ＋PF ＝ .【变式训练2】如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．【变式训练3】如图，P 是锐角△ABC 所在平面上一点，如果∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝120°，则点P 就叫做△ABC 费马点。
费马点模型经典例题
费马点模型经典例题费马点模型是一个经典的几何问题，涉及到费马点（Fermat point）的位置。
费马点是指一个三角形内部的一个点，使得从该点到三个顶点的距离之和最短。
下面是几个经典的费马点模型例题：例题1：在一个等边三角形ABC中，求费马点的位置。
解答：由于等边三角形的三个角都是60度，所以费马点位于三个顶点的正中间，即三条边的交点。
费马点是等边三角形的重心和垂心的重合点。
例题2：在一个直角三角形ABC中，角C为90度，AC=5，BC=12，求费马点的位置。
解答：费马点位于斜边AB上，使得ACF和BCF的角度相等。
首先，连接点C和点F，并延长CF至点D，使得CD=AC=5。
然后，以点D为圆心，CD为半径，画一个圆，该圆与斜边AB相交于点F。
点F即为费马点。
例题3：在一个任意形状的三角形ABC中，已知AB=8，BC=10，AC=12，求费马点的位置。
解答：为了确定费马点的位置，可以使用几何构造的方法。
步骤如下：以边AB为直径，画一个圆。
以边AC为直径，画一个圆。
以边BC为直径，画一个圆。
三个圆的交点即为费马点。
例题4：在一个正三角形ABC中，内部有一点P，使得∠APB = 120度，∠APC = 135度，求费马点的位置。
解答：由于正三角形的三个角都是60度，所以费马点位于三个顶点的正中间，即三条边的交点。
费马点是正三角形的重心和垂心的重合点。
以下是一些例题可供练习：1.在一个等边三角形ABC中，求费马点的位置。
2.在一个直角三角形ABC中，角C为90度，AC=5，BC=12，求费马点的位置。
3.在一个任意形状的三角形ABC中，已知AB=8，BC=10，AC=12，求费马点的位置。
4.在一个正三角形ABC中，内部有一点P，使得∠APB = 120度，∠APC = 135度，求费马点的位置。
5.在一个等边三角形ABC中，点P在边AB上，使得AP=3，BP=4，求费马点的位置。
6.在一个等边三角形ABC中，点P在边AB上，使得AP=8，BP=5，求费马点的位置。
2023年中考数学常见几何模型之最值模型费马点问题
专题12 最值模型-费马点问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。
【模型解读】结论1：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。
注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。
（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB 与△ENB 中，∵AB BEABM EBN BM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMB ≌△ENB （SAS ）． 连接MN ．由△AMB ≌△ENB 知，AM ＝EN ．∵∠MBN ＝60°，BM ＝BN ，∴△BMN 为等边三角形．∴BM ＝MN ．∴AM +BM +CM ＝EN +MN +CM ．∴当E 、N 、M 、C 四点共线时，AM +BM +CM 的值最小．此时，∠BMC ＝180°﹣∠NMB ＝120°；∠AMB ＝∠ENB ＝180°﹣∠BNM ＝120°；∠AMC ＝360°﹣∠BMC ﹣∠AMB ＝120°．费马点的作法：如图3，分别以△ABC 的AB 、AC 为一边向外作等边△ABE 和等边△ACF ，连接CE 、BF ，设交点为M ，则点M 即为△ABC 的费马点。
费马点数学模型
费马点数学模型
摘要：
1.费马点的概念
2.费马点的数学模型
3.费马点的应用
正文：
1.费马点的概念
费马点，又称费马素数，是指形如$F_p=2^p+1$的素数。
其中，$p$为正整数，$F_p$是由法国数学家皮埃尔·德·费马首先提出的。
费马点具有许多独特的性质，因此在数论、代数几何等领域有着广泛的应用。
2.费马点的数学模型
费马点的数学模型可以通过以下方式描述：
设$F_p=2^p+1$，其中$p$为正整数，$2^p$表示$p$的二进制表示，$+1$表示对$2^p$进行加一操作。
费马点的数学模型可以推广到其他素数，例如：$F_3=2^3+1=9$，
$F_5=2^5+1=33$等。
3.费马点的应用
费马点在数学领域具有广泛的应用，以下是其中两个典型的应用：
（1）费马素数在数论中的应用
费马素数在数论中有许多重要的应用，例如：它们是唯一一种已知其所有正约数的整数，也就是说，任何一个大于1 的正整数，如果它的质因数分解后
只包含费马素数，那么它就是一个费马素数。
（2）费马点的椭圆曲线应用
费马点在代数几何中的应用也相当重要。
例如，在椭圆曲线上，费马点可以表示为：$y^2=x^3+ax+b$。
这里的$x,y$是椭圆曲线上的点，$a,b$是常数。
费马点在椭圆曲线上的分布具有许多有趣的性质，这些性质对椭圆曲线上的加密算法（如椭圆曲线密码学）有着重要的影响。
初中几何模型费马点最值模型
几何模型：费马点最值模型费马尔问题思考：如何找一点P 使它到△ABC 三个顶点的距离之和PA+PB+PC 最小？当B 、P 、Q 、E 四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．秘诀：以△ABC 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值=BP AP CP BP PQ QE BE++++≥典题探究 启迪思维 探究重点 例题1. 已知：△ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点。
∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.求证：GA+GB+GC 的值最小.证明：将△BGC 逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB ≌△CPD ；∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵ ∠GCP=60°,∴ ∠BCD=60°,∴ △GCP 和△BCD 都是等边三角形。
∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°.∴ A 、G 、P 三点一线。
∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°.∴ G 、P 、D 三点一线。
∴ AG 、GP 、PD 三条线段同在一条直线上。
∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.∴ G 点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点变式练习>>>1．如图，P 是边长为1的等边ABC ∆内的任意一点，求t PA PB PC =++的取值范围.解：将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60°得到''BP C ∆，易知'BPP ∆为等边三角形.从而''''PA PB PC PA PP P C AC ++=++≥（两点之间线段最短），从而3t ≥.过P 作BC 的平行线分别交AB AC 、于点M N 、，易知MN AN AM ==.因为在BMP ∆和PNC ∆中，PB MP BM <+①，PC PN NC <+②。
几何最值模型之费马点模型(解析版)
几何最值模型之费马点模型皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。
费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。
本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型分析模型：费马点模型1.费马点模型概念：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
2.解题依据：旋转变换。
3.解题策略：构造等边三角形共顶点旋转，通过旋转把三条线段凑在一起顺次相连。
4.解题思路：化折为直，共线时求最值。
5.费马点的作法：分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。
模型展示模型①：费马点模型【模型解读】结论1：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。
注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。
(这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°)【模型解析①】构造等边三角形共顶点旋转以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．∵△ABE 为等边三角形，∴AB =BE ，∠ABE =60°．而∠MBN =60°，∴∠ABM =∠EBN ．在△AMB 与△ENB 中，∵AB =BE∠ABM =∠EBN BM =BN，∴△AMB ≌△ENB (SAS )．连接MN ．由△AMB ≌△ENB 知，AM =EN ．∵∠MBN =60°，BM =BN ，∴△BMN 为等边三角形．∴BM =MN ．∴AM +BM +CM =EN +MN +CM ．∴当E 、N 、M 、C 四点共线时，AM +BM +CM 的值最小．此时，∠BMC =180°-∠NMB =120°；∠AMB =∠ENB =180°-∠BNM =120°；∠AMC =360°-∠BMC -∠AMB =120°．【模型解析②】“手拉手模型”原理在△ABC 的外侧，分别作等边△ABT 、等边△ACE ，连接CT 、BE 相交于点P，此时∠BPT =60°，∠APB =∠BPC =∠CPA =120°(参见“手拉手模型-全等”)，点P 就是△ABC 的费马点，费马距离等于CT 或BE ．【模型解析③】费马点的作法如图，分别以△ABC 的AB 、AC 为一边向外作等边△ABE 和等边△ACF ，连接CE 、BF ，设交点为M ，则点M 即为△ABC 的费马点。
费马点模型基本结论
浙江省绍兴市2021届英语八年级上学期期末检测试题一、选择题1．Did your mother cook _________ for you on your birthday？A.everything differentB.different somethingC.anything differentD.different anything2．─Now，we can see _________ trees on the hill.─Oh，the students planted them yesterday.A.hundreds ofB.hundredC.hundredsD.hundred of3．-How soon will you finish your homework?- ____________ two hours.A.AtB.ForC.OnD.In4．Finally, we all decided to ________ a concert for the coming New Year's Day.anizeB.drawC.serveD.forward5．—I'm busy with my schoolwork these days.—That's great！You won't get good grades ________ you study hard.A.untilB.becauseC.unlessD.though6．What is she going to do when she _____the news?A.is going to hearB.hearC.hearsD.will hear7．I want _____________ a drum player and I'm going to take drum lessons.A.beB.to beC.doD.going to be8．Li Wei is a __________ student, but his brother is even __________ than him.A.best；betterB.better；betterC.good；bestD.good；better9．—What a heavy rain! Will it last long?—We’re getting into the rainy season now.A．Certainly not. B．I’m afraid so.C．I don’t think so.D．That’s good enough.10．First, open the box. Next, take it out. _____________, eat it.A.NextB.SecondC.FirstD.Finally11．He isn’t sure if he _____ rich when he grows up. If he ______ rich, he may have problems ______ who his real friends are.A.is; is; knowingB.is; will be; to knowC.will be; is; to knowD.will be; is; knowing12．—Why not go out and take a walk?—Sorry,I have homework to do.A．much too B．too much C．many too D．too many13．I’m looking forward to ____ you.A．hear from B．hearing from C．hear of D．hearing of14．We _________ for a picnic if it _________ rain this Sunday.A．go, doesn’t B．will go, won’tC．wi ll go, doesn’t D．go, won’t15．I want to be a scientist like Tu Youyou when I ________ in the future.A．grow up B．wake up C．stay up二、单词填空16．A)根据句意及所给汉语提示，写出句中所缺单词。
【范例】线段最值系列--费马点模型(
线段最值系列—费马点模型学号：姓名：【问题背景】“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点.【构图模型】问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？图文解析：如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP= PP′，P A =P′A′，∴P A+PB+PC= P′A′+ PB+ PP′≥B C′．∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长，∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，P A+PB+PC最小．最小值为BA.′【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】∴∠APC=∠A′ P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．【构图总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段，利用两点之间线段最短进而解决该问题.【典型例题】例1（2019⋅武汉）如图，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=42，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．例2如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．ON G图2AB CDME图1图2例1图例2图例3 如图1，已知一次函数y =x +3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线c bx x y ++-=2过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ． （1）求b 、c 的值；*（2）点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE =2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内一点，连接P A 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR ，求P A +PC +PG 的最小值．例4 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（－1,0），点B 的坐标为（4，0），经过点A 点B 抛物线y =x ²+bx +c 与y 轴交于点C . （1）求抛物线的关系式.*（2）△ABC 的外接圆与y 轴交于点D ，在抛物线上是否存在点M 使S △MBC =S △DBC ，若存在，请求出点M 的坐标.（3）点P 是直线y = -x 上一个动点，连接PB ，PC ，当PB +PC +PO 最小时，求点P 的坐标及其最小值.图1 图2备用图线段最值系列—费马点模型课堂检测学号： 姓名：1.如图，四个村庄坐落在矩形ABCD 的四个顶点上，AB ＝10公里，BC ＝15公里，现在要设立两个车站E ，F ，则EA +EB +EF +FC +FD 的最小值为 公里．2.小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：ABC ∆内总存在一点P 与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小． 【特例】如图1，点P 为等边ABC ∆的中心，将ACP ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到ADE ∆，从而有DE PC =，连接PD 得到PD PA =，同时12060180APB APD ∠+∠=︒+︒=︒，180ADP ADE ∠+∠=︒，即B 、P 、D 、E 四点共线，故：PA PB PC PD PB DE BE ++=++=．在ABC ∆中，另取一点P '，易知点P '与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B 、P '、D '、E 四点不共线，所以P A P B P C PA PB PC '+'+'>++，即点P 到三个顶点距离之和最小．【探究】（1）如图2，P 为ABC ∆内一点，120APB BPC ∠=∠=︒，证明PA PB PC ++的值最小； 【拓展】（2）如图3，ABC ∆中，6AC =，8BC =，30ACB ∠=︒，且点P 为ABC ∆内一点，求点P 到三个顶点的距离之和的最小值．。
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关于费马点问题在初三几何题中的研究
“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.
若给定一个三角形△ABC 的话，从这个三角形的费马点P 到三角形的三个顶点A 、B 、C 的距离之和比从其它点算起的都要小.
这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.
【定义】 1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.
（托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形ABC 的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。
托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。
这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。
这个点因此也叫做托里拆利点。
）
2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点.
【费马点问题】
问题：如图1，如何找点P 使它到△ABC 三个顶点的距离之和PA +PB +PC 最小？ 图文解析：
如图1，把△APC 绕C 点顺时针旋转60°得到△A ′P ′C ，连接PP ′．
则△CPP ′为等边三角形，CP = PP ′，P A =P ′A ′，
∴P A +PB +PC = P ′A ′+ PB + PP ′≥B C ′．
∵点A ′可看成是线段CA 绕C 点顺时针旋转60°而得的定点，BA ′为定长 ，
∴当B 、P 、P ′、A ′ 四点在同一直线上时，P A +PB +PC 最小．最小值为BA.′
【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】
∴∠APC =∠A ′ P ′C =180°-∠CP ′P =180°-60°=120°，
∠BPC =180°-∠P ′PC =180°-60°=120°，
∠APC =360°-∠BPC -∠APC =360°-120°-120°=120°. 因此，当△ABC 的每一个内角都小于120°时，所求的点P 对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点．
费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
【方法总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段.
【知识应用】两点之间线段最短.
【典型例题】
例1 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角
线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转600得到BN ，
连接EN 、AM 、CM .
（1）求证:△AMB ≌△ENB ；
（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；
②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；
（3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13+时，求正方形的边长.
【图文解析】
（1）SAS 证全等
∵△ABE 是等边三角形，
∴BA =BE ，∠ABE =60°，
∵旋转， 图3
图1 图2
∴∠MBN=60°，MB=NB
∴∠MBN -∠ABN=∠ABE-∠ABN，即∠BMA=∠NBE，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；【如图3】
（2）两点之间，线段最短
①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；
②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM
的值最小，
理由如下：连接MN，
在等腰直角△AEF中，AF=EF=a，【如图8】
在直角△ACF中，CF=3AF=3a，【如图8】∵CE=1
3+，
∴a+3a=1
3+，解得：a=1.
∴正方形的边长AB=AE=2EF=2
图4
图5
图6 图7
图8
例2（2017年济南市网评卷）如图1，已知一次函数y =x +3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线c bx x y ++-=2
过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ．
（1）求b 、c 的值；
（2）点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE =2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；
（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内一点，连接P A 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR ，求P A +PC +PG 的最小值．
【图文解析】 （1）求A 、B 两点坐标，代入抛物线解析式，求出b 、c 的值.
∵一次函数y = x +3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，
∴当x =0时，y =3，当y =0时，x = -3
∴A （-3，0），B （0，3），………...…1分
∵抛物线c bx x y ++-=2
过A 、B 两点， ∴将点代入得：⎩
⎨⎧=+--=0393c b c ……….……2分 解得：⎩⎨⎧-==2
3b c ..…. .…. .….…3分 （2）求直线CE 的解析式，联立解析式求点M 的坐标. 由（1）知，抛物线解析式为：322+--=x x y .
当y =0时，0322=+--x x ，解得：31-=x ，12=x ，
∴点C 坐标（1，0）， .………….…4分
作EH ⊥OD ，则易证△DEH ∽△DBO . 【如图9】
∵点D 为AC 的中点
∴AD =DC =2，
∴点D 坐标（-1，0），
∵BE =2ED ，
∴BD =3ED ，
∴OH =32OD =32，EH =3
1OB =1. 图 1 图 2 备用图 图9
∴点E 坐标（-3
2，1）， 【求E 点坐标，进而求直线CE 的解析式】 设直线CE 为y =kx+b ，把E 、C 代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+13
20b k b k ，解得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=53
53b k （3
图10
图11
【跟踪练习】
例3（2017年市中区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－1,0），点B的坐标为（4，0），经过点A点B抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C.
（1）求抛物线的关系式.
（2）△ABC的外接圆与y轴交于点D，在抛物线上是否存在点M使S△MBC=S△DBC，若存在，请求出点M 的坐标.
（3）点P是直线y= -x上一个动点，连接PB，PC，当PB+PC+PO最小时，求点P的坐标及其最小值.
例4（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．。