人教版数学高一必修2阶段质量检测(一)
高一数学必修2(人教B版)第一章各节同步检测1-2-1
1.2.1一、选择题1．下列命题中，正确命题的个数为()①平面的基本性质1可用集合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α；②四边形的两条对角线必相交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线；④平行四边形是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] A[解析]①中，l∈α不对，应为l⊂α；②中，当四边形的四个顶点不共面时，两条对角线不能相交；③中，平面是无限延展的，用平行四边形表示平面，平行四边形的边并不表示平面的边界线；④平行四边形是平面图形(原理：两条平行直线确定一个平面)，故只有④正确．2．若三条直线两两相交，则由这三条直线所确定的平面的个数是()A．1个B．2个C．3个D．1个或3个[答案] D[解析]如图(1)所示的三条两两相交直线确定一个平面；如图(2)所示的三条两两相交直线确定三个平面．3．已知空间四点A、B、C、D确定惟一一个平面，那么这四个点中()A．必定只有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线[答案] B[解析]四点A、B、C、D确定惟一一个平面，则AB与CD相交或平行，AB∥CD时，选项A、C错，AB与CD相交于点A时，D错．4．文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是()A.⎭⎪⎬⎪⎫A ⊂αA ⊂a ⇒A ⊂α B.⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αA ∈a ⇒A ∈αC.⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ⊂a ⇒A ∈α D.⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ∈a ⇒A ⊂α [答案] B[解析] 点与线或面之间的关系是元素与集合的关系，用“∈”表示，线与面之间的关系是集合与集合的关系，用“⊂”表示．5．下列说法正确的是( )A ．a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线B ．a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面C ．a ，b 不同在平面α内，则a 与b 异面D ．a ，b 不同在任何一个平面内，则a 与b 异面 [答案] D[解析] 如图所示，a ⊂α，b ⊂β，但a ∥b ，故A 错，C 错； 如图所示正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1与BC 异面，BC 与DD 1异面，但AA ′与DD 1平行，故B 错，故只有D 选项正确．6．若直线l 上有两个点在平面α外，则( ) A ．直线l 上至少有一个点在平面α内 B ．直线l 上有无穷多个点在平面α内 C ．直线l 上所有点都在平面α外 D ．直线l 上至多有一个点在平面α内 [答案] D[解析] 由已知得直线l ⊄α，故直线l 上至多有一个点在平面α内． 7．下面四个条件中，只能确定一个平面的条件是( ) A ．空间任意三点B ．空间两条直线C．两条平行线D．一条直线和一个点[答案] C[解析]由平面的基本性质可知选C.8．如图所示，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，又AB∩l＝R，设A、B、C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．以上皆错[答案] C[解析]∵C∈β，C∈γ，∴C在平面β与γ的交线上，又R∈AB，AB⊂α，∴R∈γ，又R∈β，∴R在平面β与γ的交线上，∴β∩γ＝CR.二、填空题9．四条线段顺次首尾相连，它们最多可以确定平面的个数为________．[答案] 410．如图所示，用集合符号表示下列图形中元素的位置关系．(1)图①可以用符号语言表示为__________________________________________________________；(2)图②可以用符号语言表示为__________________________________________________________．[答案](1)α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，m∥l(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B11．直线a及不在直线a上的不共线三点，可以确定平面的个数是________．[答案]1个、3个或4个12．如图，在正方体ABCD－EFMN中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．[答案]②④[解析]观察图形，根据异面直线的定义可知，BM与ED是异面直线，CN与BM是异面直线，CN与BE不是异面直线，DN与BM是异面直线，故①、③错误，②、④正确．即正确命题的序号是②、④.三、解答题13．△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，如果三条直线AA1、BB1、CC1两两相交，证明：三条直线AA1、BB1、CC1交于一点．[解析]由推论2，可设BB1与CC1，CC1与AA1，AA1与BB1分别确定平面α，β，γ，设AA1∩BB1＝P，则P∈AA1，P∈BB1.∴P∈β，P∈α，又因α∩β＝CC1，则P∈CC1(公理2)，于是AA1、BB1、CC1相交于点P，故三条直线AA1、BB1、CC1共点．点评：空间中证三线共点有如下两种方法：(1)先确定两条直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，由公理2，该点在它们的交线上，从而得三线共点．(2)先将其中一条直线看做是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线各交于一点，再证这两点重合．从而得三线共点．14．如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．[解析]如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，∵DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD，∴P 是平面ABCD 与平面BED 1F 的一个公共点， 又B 是两平面的一个公共点， ∴PB 为两平面的交线．15．已知：如图，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，G 在AD 上，且有DF ∶FC ＝DG ∶GA ＝2∶3，求证：直线EF 、BD 、HG 交于一点．[解析] 连结EH 、AC 、FG . ∵E 、H 分别为BC 、AB 的中点， ∴EH 綊12AC ，∵DF ∶FC ＝2∶3，DG ∶GA ＝2∶3，∴FG ∥AC ，FG ＝25AC ，∴EH ∥FG 且FH ≠FG ，∴E 、F 、G 、H 四点共面且EF 与GH 不平行． ∴EF 与GH 相交．设EF ∩GH ＝O ，则O ∈GH ，O ∈EF ， ∵GH ⊂平面ABD ，EF ⊂平面BCD ， ∴O ∈平面ABD ，O ∈平面BCD .∴平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴O ∈BD ， ∴即直线EF 、BD 、HG 交于一点．16．如图所示，已知直线a 与b 不共面，直线c ∩a ＝M ，直线b ∩c ＝N ，又a ∩平面α＝A ，b ∩平面α＝B ，c ∩平面α＝C ，求证：A 、B 、C 三点不共面．[解析]假设A、B、C三点共线，即都在直线l上，∵A、B、C∈α，∴l⊂α.∵c∩l＝C，∴c与l可确定一个平面β.∵c∩a＝M，∴M∈β.又∵A∈β，∴a⊂β，同理b⊂β，∴直线a，b共面，这与已知a，b不共面矛盾．因此，假设不成立，即A、B、C三点不共线．。
高一数学必修2(人教B版)第一章各节同步检测1-2-3- 1
1.2.3第1课时一、选择题1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．不确定 [答案] B[解析] 三角形两边所在直线必相交，该直线必垂直于三角形所在平面，故该直线与第三边也垂直．2．若一条直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l 与α的关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直D ．不确定[答案] D[解析] 当l ∥α时，直线l 上所有点到α的距离都相等；当l 与α相交(包括垂直)时，对于l 上任一点P ，在平面另一侧的直线上总存在一点P ′，有P 、P ′到平面的距离相等，∴不确定．3．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．不能确定 [答案] B[解析] 设a ，b 为异面直线，a ∥平面α，b ∥平面α，直线l ⊥a ，l ⊥b . 过a 作平面β∩α＝a ′，则a ∥a ′，∴l ⊥a ′. 同理过b 作平面γ∩α＝b ′，则l ⊥b ′， ∵a ，b 异面，∴a ′与b ′相交，∴l ⊥α.4．直线a ⊥直线b ，a ⊥平面β，则b 与β的位置关系是( ) A ．b ⊥β B ．b ∥β C ．b ⊂βD ．b ⊂β或b ∥β [答案] D 5．下列命题 ①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α；③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥b a ⊥bb ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α. 其中正确命题的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] A[解析] 因为a ⊥α，则a 与平面α内的任意直线都垂直，∴①正确．又若b ∥α，a ⊥α，由线面平行的性质及空间两直线所成角的定义知，a ⊥b 成立，∴③对；两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也垂直于这个平面；∴②正确；由线面垂直的判定定理知④错；a ∥α，b ⊥a 时，b 与α可以平行相交(垂直)也可以b ⊂α，∴⑤错．当a ⊥α，b ⊥a 时，有b ∥α或b ⊂α，∴⑥错．6．若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．至多有一个 C ．有无数多个 D ．一定不存在 [答案] B[解析] 当a ⊥b 时，有且只有一个． 当a 与b 不垂直时，不存在．7．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都是2，E 、F 分别为AB 、A 1C 1的中点，则EF 长为( )A ．2 B. 3 C. 5D.7[答案]C[解析] 取A 1B 1中点H ，连结EH 、FH ，则EH ＝2， FH ＝1且△EHF 为Rt △.∴EF ＝FH 2＋EH 2＝ 5.8．已知三棱锥S －ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC ＝2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π [答案] D[解析] 此三棱锥的高为球的半径，ABC 所在大圆面积为πr 2，三棱锥的底面易知为等腰直角三角形．腰长为2r ，所以三棱锥底面面积为12(2r )2＝r 2，∴球体积与三棱锥体积之比为4π，故选D.二、填空题9．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)[答案] 直线[解析] 过点A 与AB 垂直的所有直线都在同一个平面β内，∵AB 是α的斜线，∴β与α不平行．从而β与α的所有公共点都在同一条直线上，即β与α的交线上．从而β内所有过点A 与α相交的直线，其交点都在此交线上．10．如图所示，直四棱柱A ′B ′C ′D ′－ABCD (侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中，当底面四边形ABCD 满足__________时，A ′C ⊥B ′D ′.(只填上一个你认为正确的结论即可，不必考虑所有情况)[答案] AC ⊥BD [解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫AA ′⊥平面A ′B ′C ′D ′B ′D ′⊂平面A ′B ′C ′D ′⇒AA ′⊥B ′D ′ A ′C ⊥B ′D ′ AA ′∩A ′C ＝A ′⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫⇒B ′D ′⊥平面AA ′C ′ BD ∥B ′D ′⇒BD ⊥平面AA ′C ′ AC ⊂平面AA ′C ′⇒BD ⊥AC ， 反过来当BD ⊥AC 时，有A ′C ⊥B ′D ′.说明：填四边形ABCD 为正方形、菱形均可，只要是满足AC ⊥BD 的就行． 三、解答题11．如图所示，AB 是圆O 的直径，P A 垂直于圆O 所在的平面，M 是圆周上异于A 、B 的任意一点，AN ⊥PM ，点N 为垂足，求证：AN ⊥平面PBM.[解析] 连结AM ，BM .∵AB 是圆O 的直径，∴AM ⊥BM . 又P A ⊥平面ABM ，∴P A ⊥BM . ∵P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM . 又AN ⊂平面P AM ，∴BM ⊥AN . 又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ， ∴AN ⊥平面PBM .12．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1. 求证：BD 1⊥平面AB 1C.[解析] 连结BD ，由正方体的性质得DD 1⊥面ABCD ，∴DD 1⊥AC ，又AC ⊥BD ，DD 1∩BD ＝D ，∴AC ⊥面BDD 1，又∵BD 1⊂面BDD 1，∴AC ⊥BD 1. 连结BC 1，同理可证B 1C ⊥面BC 1D 1， 又BD 1⊂平面BC 1D ，∴B 1C ⊥BD 1，又AC ⊂B 1C ＝C ，∴BD 1⊥面AB 1C .13．如图，已知空间四边形ABCD 的边BC ＝AC ，AD ＝BD ，引BE ⊥CD ，E 为垂足，作AH ⊥BE 于H ，求证：AH ⊥平面BCD .[解析] 取AB 的中点F ，连结CF 、DF ， ∵AC ＝BC ，∴CF ⊥AB .又∵AD ＝BD ，∴DF ⊥AB ，∴AB ⊥平面CDF . 又CD ⊂平面CDF ，∴CD ⊥AB .又CD ⊥BE ，CD ⊥平面ABE ，∴CD ⊥AH . 又AH ⊥BE ，∴AH ⊥平面BCD .14．如图，已知边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，E 是P A 的中点，求E 到平面PBC 的距离．[解析] 设AC 交BD 于O ，连结EO ，则EO ∥PC ， 又EO ⊄面PBC ，PC ⊂面PBC ，∴EO ∥平面PBC ，于是EO 上任一点到面PBC 的距离都相等，则O 点到面PBC 的距离即为所求．在平面ABCD 内过O 作OG ⊥BC 于G ， ∵PC ⊥平面ABCD ，∴PC ⊥OG ， ∴OG ⊥面PBC .∵ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， ∴OG ＝3a2sin ∠OBC＝3a2×sin30°＝34a.即E到面PBC距离为3 4a.15．如图所示，△ABC中，∠B为直角，P是△ABC外一点，且P A＝PB，PB⊥BC.若M是PC的中点，试确定AB上点N的位置，使得MN⊥AB.[解析]∵CB⊥AB，CB⊥PB，AB∩PB＝B，∴CB⊥平面APB.过M作ME∥CB，则ME⊥平面APB，∴ME⊥AB.若MN⊥AB，∵ME∩MN＝M，则AB⊥平面MNE，∴AB⊥EN.取AB中点D，连结PD，∵P A＝PB，∴PD⊥AB，∴NE∥PD.又M为PC中点，ME∥BC，∴E为PB中点．∵EN∥PD，∴N为BD中点，故当N为AB的四等分点(AB＝3BN)时，MN⊥AB.。
高一数学必修2(人教B版)第一章各节同步检测1-1-5
1.1.5一、选择题1．给出下列命题，正确命题有()①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的主视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] B[解析]只有③正确．2．当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法不正确的是()A．直线或线段的平行投影仍是直线或线段B．平行直线的平行投影仍是平行的直线C．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等D．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比[答案] B[解析]∵图形中的直线或线段与投射线不平行，∴直线或线段的平行投影不可能为一点，仍是直线或线段；平行直线的平行投影可以是平行直线或一条直线；而与投射面平行的平面图形的投影形状大小均不变，∴A、C、D均正确，B错．3．对几何体的三视图，下列说法正确的是()A．主视图反映物体的长和宽B．俯视图反映物体的长和高C．左视图反映物体的高和宽D．主视图反映物体的高和宽[答案] C4．已知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的形状是()A．长方体B．圆柱C．立方体D．圆锥[答案] B5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1，D1C1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在该正方体各面上的正投影不可能是()[答案] B[解析]首先向上、下两个相对的面投影，如向ABCD投影，E的射影为A，F，G的射影分别为CD与BC中点，∴其正投影为A；再向左、右两个侧面上投影，如向面BCC1B1上投射，则A，F的射影分别为B，C1，而B、C1、G共线，E点射影为BB1中点，∴其正投影为图D，再向前后两个对面上投影，如向平面ABB1A1投影，F，G的投影分别为A1B1与BB1的中点，∴其正投影为图C，∴不可能为B.6．已知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的形状是()A．正六棱柱B．正四棱柱C．圆柱D．正五棱柱[答案] A7．(2010·北京理，3)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为()[答案] C[解析]由正视图和侧视图知，该长方体上面去掉的小长方体，从正前方看在观察者左侧，从左向右看时在观察者右侧，故俯视图为C.8．如图，直三棱柱ABC－AB1C1的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，正视图是边长为2的正方形，则其左视图的面积为()A．4B．23C．22D. 3[答案] B[解析]∵左视图的高与正视图的高相等，故高为2，左视图的宽与俯视图的宽相等，即为直三棱柱底面△ABC的高，故左视图的宽为3，∴左视图的面积为2×3＝2 3.二、填空题9．给出以下结论，其中正确的结论的序号是________．①一个点光源把一个平面图形照射到一个平面上，它的投影与这个图形全等．②平行于投射面的平面图形，在平行投影下，它的投影与原图形全等．③垂直于投射面的平面图形，在平行投影下，它的投影与原图形相似．④在平行投影下，不平行、也不垂直于投射面的线段的投影仍是线段，但与原线段不等长．[答案]②④[解析]由定义知，②④正确．10．如图是一个空间几何体的三视图，该几何体是________．[答案]正六棱台11．以下说法正确的是________．①任何物体的三视图都与物体摆放位置无关②任何物体的三视图都与物体摆放位置有关③有的物体的三视图与物体的摆放位置无关④正方体的三视图一定是三个全等的正方形[答案]③12．在圆柱、圆锥、圆台、球几种几何体中，其视图中可以为一个圆的有____________．[答案]圆柱、球三、解答题13．画出如图所示的几何体的三视图．[解析]三视图如下图所示．14．根据如图所示的三视图，想象物体原形，并画出所示物体的直观图．[解析]由几何体的三视图可知，此几何体是一个简单组合体，下部是个圆柱，上部是个圆台，且圆台下底与圆柱上底面重合．直观图如图．15．根据如图所示的三视图画出对应的几何体．[解析]几何体如图．16．补全下图所示物体的三视图．[解析]物体的三视图如下图所示．(二)是这个正方体的主视图、左视图、俯视图中的两个，请指出它们是什么视图．[分析]根据正方体中钢丝的位置与正方体各面和棱之间的相对位置关系，并从三个视图角度考虑三视图特点．[解析](1)为左视图．(2)为主视图或俯视图．。
人教版数学高一第二章点,直线,平面之间的位置关系单元测试精选(含答案)2
【答案】A
15．如图，在三棱柱 ABC－A′B′C′中，点 E、F、H、K 分别为 AC′、CB′、A′B、B′C′
的中点，G 为△ABC 的重心，从 K、H、G、B′中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有 2
条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为 ( )
A．K
B．H
C．G
D．B′
【来源】人教 A 版高中数学必修二第 2 章 章末综合测评 3
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【来源】人教 A 版高中数学必修二第二章 章末检测卷
【答案】C
19．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与α、β
试卷第 5页，总 17页
所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影长分别是 m 和 n，若 a＞b，则 ( )
【来源】2013-2014 学年福建省清流一中高一下学期第二次阶段考数学试卷（带解析) 【答案】①②
30．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M，N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点， 若 B1MN 是直角，则 C1MN ________.
试卷第 8页，总 17页
【来源】人教 A 版 2017-2018 学年必修二第 2 章 章末综合测评 1 数学试题 【答案】90°
29．如图，将边长为1的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得平面 ADC 平面 ABC ， 在折起后形成的三棱锥 D ABC 中，给出下列三个命题： ① DBC 是等边三角形； ② AC BD ； ③三棱锥 D ABC 的体积是 2 .
6
其中正确命题的序号是* * * ．（写出所有正确命题的序号）
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高一数学(必修二)期末质量检测试题
（4）（3）俯视图俯视图侧视图侧视图2）高一数学（必修二）期末质量检测试题第一高级中学A ．－1B ．1C ．1或－1 2．各棱长均为a 的三棱锥的表面积为（ ） A ．234aB ．233aC ．232a3（ ）A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台4．经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．23-B ．32-C ．32 D ．25．已知A （1，0，2），B （1，,3-1），点M 在z 轴上且到A 、B 两点的距离相等，则M 点坐标为（ ）A ．（3-，0，0）B ．（0，3-，0）C ．（0，0，3-）D ．（0，0，3）6．如果AC ＜0，BC ＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知圆心为C （6，5），且过点B （3，6）的圆的方程为（ ） A ．22(6)(5)10x y -+-= B ．22(6)(5)10x y +++= C ．22(5)(6)10x y -+-=D ．22(5)(6)10x y +++=8．在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．90°D ． 60°9．给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个10．点),(00y x P 在圆222r y x =+内，则直线200r y y x x =+和已知圆的公共点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定1 A二、填空题（每题4分，共20分）11．已知原点O （0，0），则点O 到直线x+y+2=0的距离等于 ．12．经过两圆922=+y x 和8)3()4(22=+++y x 的交点的直线方程 13．过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程 14．一个圆柱和一个圆锥的底面直径．．和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．15．已知两条不同直线m 、l①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l ∥α，则l 平行于α内的所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，α⊥l ，则α⊥β；⑤若m ⊂α，l ⊂β且α∥β，则m ∥l ；其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上） 三、解答题（5道题，共40分）16．（本大题6分）如图是一个圆台形的纸篓（有底无盖），它的母线长为50cm ，两底面直径分别为40 cm 和30 cm ；现有制作这种纸篓的塑料制品50m 2，问最多可以做这种纸篓多少个？M17．（本大题8分）求经过直线L 1：3x + 4y – 5 = 0与直线L 2：2x – 3y + 8 = 0的交点M ，且满足下列条件的直线方程（1）与直线2x + y + 5 = 0平行 ； （2）与直线2x + y + 5 = 0垂直；18．（本大题8分）求圆心在03:1=-x y l 上，与x 轴相切，且被直线0:2=-y x l 截得弦长为72的圆的方程．19. （本大题8分）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. （1）.证明:;1F D AD ⊥ (2). 求AE 与D 1F 所成的角;(3). 设AA 1=2,求点F 到平面A 1ED 1的距离.20．（本大题10分）已知方程04222=+--+m y x y x . （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m的值；（3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.A 1参考答案一、选择题：二、填空题：11．212． 4 x+3y+13=0 13．3,2+==x y x y 14．3：1：2．15． ①④ 三、 解答题：16．解：)('2'rl l r r S ++=π-----------1分=)5020501515(2⨯+⨯+π =0.1975)(2m π----------3分≈=Sn 5080（个）-------5分圆心到直线的距离22a d =----------3分弦长为72得：229247a a =+-------4分 解得1±=a ---------5分圆心为（1，3）或（-1，-3），3=r -----------6分 圆的方程为9)3()1(22=-+-y x ---------7分 或9)3()1(22=+++y x ----------8分19.证明：（1）. 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1, C C DD AD 11面⊥∴,C C DD F D 111面⊂,.1F D AD ⊥∴ -------------------2分(2) 取AB 的中点,并连接A 1P, 易证ABE AP A ∆≅∆1, 可证;AE P A ⊥1,即F D AE 1⊥,所以AE 与D 1F 所成的角为.90︒-------------------4分(3) 取CC 1中点Q, 连接FQ,11//D A FQ 又作FQD A FH 1平面⊥, 又 111,,A FQD FH FQ FH Q D FH 平面⊥∴⊥⊥,所以FH 即为F 到平面FQD 1A 1的距离, -------------------6分 解得:,53=FH分∵OM ⊥ON得出：02121=+y y x x ……………5分 ∴016)(852121=++-y y y y ∴58=m …………….7分（3）设圆心为),(b a582,5421121=+==+=y y b x x a …………….8分 半径554=r …………9分 圆的方程516)58()54(22=-+-y x ……………10分。
高一数学必修2(人教B版)第一章各节同步检测1-2-3-2
1.2.3第2课时一、选择题1．如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足l ＝β∩γ，l ∥α，m ⊂α，m ⊥γ，那么必有( ) A ．α⊥γ和l ⊥m B ．α∥γ和m ∥β C ．m ∥β且l ⊥mD ．α∥β和α⊥γ[答案] A [解析]⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αm ⊥γ⇒α⊥γ，排除B 、C ；⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥γβ∩γ＝l ⇒m ⊥l ，∴选A. 2．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列四个命题： ①α∥β，l ⊄β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β④l ⊥m ⇒α∥β其中正确的两个命题是( ) A ．①② B ．③④ C ．②④D ．①③[答案] D[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β m ⊂β⇒l ⊥m ，故①对；⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊥α⇒l ∥β或l ⊂β，又m 是β内的一条直线，故l ∥m 不对；⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ⊂β⇒l ∥β或l ⊂β l ⊥α⇒α⊥β，∴③对；⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ⊥m ⇒m ⊂α或m ∥α，无论哪种情况与m ⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D. 3．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( ) A ．a ⊂α，b ⊂α B ．a ⊂α，b ∥α C ．a ⊥α，b ⊥αD ．a ⊂α，b ⊥α[答案] B[解析]若a与b异面时，A、C错；当a与b不垂直时，D错，故选B.4．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α[答案] D[解析]如图(1)，β∥α，m⊂β，n⊂β，有m∥α，n∥α，但m与n可以相交，故A错；如图(2)，m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B错；如图(3)，α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m∥l，故C错．故选D.点评：D选项证明如下：α⊥β设交线为l，在α内作n⊥l，则n⊥β，∵m⊥β，∴m∥n，∵n⊂α，m⊄α，∴m∥α.5．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β[答案] D[解析]本小题主要考查线面垂直、面面垂直、线线平行和线面平行．点C若在α内，则有AC⊥β，若不在α内，则AC不垂直于β，这是面面垂直的性质，故选D.6．已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是()A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥a[答案] B[解析]可以墙角为例知A错；B中，由β⊥γ，由β内有直线b⊥γ，而α∥β，则α内有a∥b，则a⊥γ，α⊥γ.二、填空题7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB 的位置关系为____________________．[答案]MN⊥AB[解析]如图所示，由长方体的性质知，平面BCC1B1⊥平面ABCD，交线为BC.∵MN 在平面BCC1B1内，且MN⊥BC，∴MN⊥平面ABCD，而AB⊂平面ABCD，∴MN⊥AB.8．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________________________．[答案]②③④⇒①(答案不惟一)9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)[答案]BM⊥PC(其它合理即可)[解析]∵四边形ABCD的边长相等，∴四边形为菱形．∵AC⊥BD，又∵P A⊥面ABCD，∴P A⊥BD，∴BD⊥面P AC，∴BD⊥PC.若PC⊥面BMD，则PC垂直于面BMD中两条相交直线．∴当BM⊥PC时，PC⊥面BDM.∴面PCD⊥面BDM.10．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形的序号)．[答案]①④⑤[解析]①④易判断，⑤中△PMN是正三角形且AM＝AP＝AN，因此，三棱锥A－PMN 是正三棱锥，所以图⑤中l⊥平面MNP，由此法还可否定③.∵AM≠AP≠AN，也易否定②.三、解答题11．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.[解析]如图所示，连结A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连结AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC.又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN⊂平面ABC，∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C，∴B1C⊥AN.又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，∴B1C⊥平面AND.又C1A⊂平面AND，∴B1C⊥AC1.12．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE 的中点．(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ； (3)求证：平面DEA ⊥平面ECA . [解析] (1)取EC 的中点F ，连结DF . ∵CE ⊥平面ABC ，∴CE ⊥BC .易知DF ∥BC ，∴CE ⊥DF . ∵BD ∥CE ，∴BD ∥平面ABC . 在Rt △EFD 和Rt △DBA 中， EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ，∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连结MN 、BN ，则MN 綊CF . ∵BD 綊CF ，∴MN 綊BD ，∴N ∈平面BDM . ∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN .又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA . 又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA . (3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ， ∴DM ⊥平面ECA .又∵DM ⊂平面DEA ，∴平面DEA ⊥平面ECA .13．(2009·山东文)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点．(1)设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1； (2)证明：平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C .[解析] (1)解法一：取A 1B 1的中点F 1，连结FF 1、C 1F 1，∵FF1∥BB1∥CC1，∴F1∈平面FCC1，∴平面FCC1即为平面C1CFF1，连结A1D、F1C，∴A1F1綊D1C1綊CD，∴四边形A1DCF1为平行四边形，∴A1D∥F1C.又∵EE1∥A1D，∴EE1∥F1C，∵EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，∴EE1∥平面FCC1.解法二：∵F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，∴CD綊AF，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，∴平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，∴EE1∥平面FCC1.(2)证明：连结AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，又F为AB的中点，∴AF＝FC＝FB，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC；故平面D1AC⊥平面BB1C1C.14．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD.[解析]∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC.∴AC⊥平面BGD.又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.又EF⊂平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.。
【三维设计】高一数学人教版必修2阶段质量检测(一) Word版含答案[ 高考]
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空间几何体一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．下列命题中，正确的是()A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱解析：选D认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A，C都不够准确，B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确．2．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()A．(1)是棱台B．(2)是圆台C．(3)是棱锥D．(4)不是棱柱解析：选C图(1)不是由棱锥截来的，所以(1)不是棱台；图(2)上下两个面不平行，所以(2)不是圆台；图(4)前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以(4)是棱柱；很明显(3)是棱锥．3.如图所示的直观图的平面图形ABCD是()A．任意梯形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形解析：选B AB∥Oy，AD∥Ox，故AB⊥AD.又BC∥AD且BC≠AD，所以为直角梯形．4．下列说法正确的是()A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体C．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线解析：选C圆锥的侧面展开图是一个扇形，A不正确；棱柱的侧面只需是平行四边形，所以B不正确；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D不正确；C任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥是正确的．5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16π B．20πC．24π D．32π解析：选C正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R＝26，R＝6，S球＝4πR2＝24π.6．如图(1)、(2)、(3)为三个几何体的三视图，根据三视图可以判断这三个几何体依次为()A．三棱台、三棱柱、圆锥B．三棱台、三棱锥、圆锥C．三棱柱、正四棱锥、圆锥D．三棱柱、三棱台、圆锥解析：选C由俯视图知(1)，(2)是多面体，(3)是旋转体．再由正视图及侧视图可知(1)是三棱柱，(2)是正四棱锥，(3)是圆锥．7．如图所示是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图所示；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图所示；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图所示．其中真命题的个数是() A．3 B．2C．1 D．0解析：选A只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱，让其直角三角形的直角边所在的一个侧面平卧；②正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使得三个命题为真．8.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是()A．6B．3 2C．62D．12解析：选D由水平放置的平面图形的斜二测画法的规则可知，△OAB为直角三角形且直角边OB＝2O′B′＝4，OA＝O′A′＝6，因此S△OAB＝12×4×6＝12.9．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是()A．1∶2 B．2∶3C．1∶3 D．1∶4解析：选B设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，依题意得l＝2r，而S侧＝2πrl，S＝2πr2＋2πrl，∴S侧∶S全＝2πrl∶(2πr2＋2πrl)＝2∶3.全10.已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为()A．123B．27 3C．363D．6解析：选C若将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为4，设底面边长为a，则32a＝33，∴a＝6，故体积V＝32×4＝36 3.4×6二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.则有πr2·6r＝8πr2＋3·43πr3，即2r＝8，∴r ＝4.答案：412. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．解析：设正三棱柱的底面边长为a ，利用体积为23，很容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为3，故所求矩形的面积为2 3.答案：2 313．圆台的母线长扩大到原来的n 倍，两底面半径都缩小为原来的1n，那么它的侧面积为原来的________倍．解析：设改变之前圆台的母线长为l ，上底半径为r ，下底半径为R ，则侧面积为π(r ＋R )l ，改变后圆台的母线长为nl ，上底半径为r n ，下底半径为R n ，则侧面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋R n nl ＝π(r ＋R )l ，故它的侧面积为原来的1倍．答案：114.一块正方形薄铁片的边长为4 cm ，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm 3.解析：扇形的面积和圆锥的侧面积相等，根据公式即可算出底面半径r ，则容积易得．即2πr ＝14×2π·4，则r ＝1. 又母线长为4 cm ，h ＝42－12＝15.则V ＝13πr 2h ＝13·π·12·15＝153π. 答案：153π 三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10 cm.求圆锥的母线长．解：设圆锥的母线长为l ，圆台上、下底半径分别为r 、R .∵l －10l ＝r R ，∴l －10l ＝14，∴l ＝403(cm)． 故圆锥的母线长为403cm. 16．(本小题满分12分)如下图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ′.圆锥的高h ＝42－22＝23，又∵h ′＝3，∴h ′＝12h .∴r 2＝23－323，∴r ＝1.∴S 表面积＝2S 底＋S 侧＝2πr 2＋2πrh ′＝2π＋2π×3＝2(1＋3)π.17．(本小题满分12分)如图(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面．S半球＝8π，S 圆台侧＝35π，S 圆台底＝25π.故所求几何体的表面积为68π cm 2，由V 圆台＝13×(π×22＋(π×22)×(π×52)＋π×52)×4＝52π，V 半球＝43π×23×12＝163π， 所以，所求几何体的体积为V 圆台－V 半球＝52π－163π＝1403π(cm 3)．18．(本小题满分14分)(2013·河源高一检测)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h 2的等腰三角形，如图所示．(1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64. (2)正侧面及其相对侧面底边上的高为：h 1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h 2＝ 42＋42＝4 2. 故几何体的侧面面积为：S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2.。
高一数学必修2(人教B版)第一章各节同步检测1-1-4
[解析] 当平面图形与投射线平行时，所得投影是线段，∴①②③均错，④对． 4．水平放置的矩形 ABCD 长 AB＝4，宽 BC＝2，以 AB、AD 为轴作出斜二测直观图 A′B′C′D′，则四边形 A′B′C′D′的面积为( A．4 2 B．2 2 C．4 D．2 [答案] B [解析] 平行线在斜二测直观图中仍为平行线， ∴四边形 A′B′C′D′为平行四边形， ∠D′A′B′＝45° ，A′B′＝4， 1 A′D′＝ ×2＝1， 2 ∴D′E＝1×sin45° ＝ 2 ， 2 2 ＝2 2. 2 )
∴S 四边形 A′B′C′D′＝A′B′· D′E＝4×
5．如图，正方形 O′A′B′C′的边长为 a cm(a>0)，它是一个水平放置的平面图形的 直观图，则它的原图形 OABC 的周长是( )
A．8a cm B．6a cm C．(2a＋2 2a) cm D．4a cm [答案] A [解析] 由斜二测画法的规则可知， 在原图形中 OB＝2 2a，OA＝a，且 OA⊥OB，∴AB＝3a， ∴OABC 的周长为 2(a＋3a)＝8a cm. 6．已知正△ABC 的边长为 a，以它的一边为 x 轴，对应的高线为 y 轴，画出它的水平 放置的直观图△A′B′C′，则△A′B′C′的面积是( A. B. 3 2 a 4 3 2 a 8 )
根据太阳光平行的特征有
x 3 ＝ ， 1.5 1.6
x≈2.81,2.81m＋3m＝5.81m>5m， 所以小鹏的身影会在小昆的脚下．
[答案] ② 三、解答题 13．如图所示，有一灯 O，在它前面有一物体 AB，灯所发出的光 使物体 AB 在离灯 O 为 10 m 的墙上形成了一个放大了 3 倍的影子
A′B′，试求灯与物体之间的距离． [解析] 如图所示，作 OH⊥AB 于 H，延长 OH 交 A′B′于 H′，则 OH 即为所求． 由平面几何及光线沿直线传播知，△AOB∽△OA′B′， ∴ AB OH AB 1 ＝ ，∵ ＝ ，且 OH′＝10 m. A′B′ OH′ A′B′ 3
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阶段质量检测（一）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．下列命题中，正确的是()A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱答案：D2．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()A．(1)是棱台B．(2)是圆台C．(3)是棱锥D．(4)不是棱柱答案：C3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形为()答案：A4．下列说法正确的是()A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体C．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线答案：C5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16π B．20πC．24π D．32π答案：C6．(广东高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23 D ．1答案：B7.如图所示是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图所示；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图所示；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图所示．其中命题正确的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：A8．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 3答案：B9．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．1∶3 D ．1∶4答案：B10．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．200＋9π B．200＋18πC．140＋9π D．140＋18π答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.答案：412.(辽宁高考)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．答案：2 313．圆台的母线长扩大到原来的n倍，两底面半径都缩小为原来的1n，那么它的侧面积为原来的______倍．答案：114.一块正方形薄铁片的边长为4 cm，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm3.答案：15 3π三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ′. 圆锥的高h ＝42－22＝23，又∵h ′＝3，∴h ′＝12h .∴r 2＝23－323，∴r ＝1.∴S 表面积＝2S 底＋S 侧＝2πr 2＋2πrh ′ ＝2π＋2π×3＝2(1＋3)π.16．(本小题满分12分)有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R 的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一个圆台体，问容器中水的高度为多少．解：作出圆锥和球的轴截面(如右图所示)，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，则r ＝Rtan 30°＝3R ，l ＝2r ＝23r ，h ＝3r ＝3R ， ∴V 水＝π3r 2h －4π3R 3＝π3·3R 2·3R －4π3R 3＝5π3R 3. 球取出后，水形成一个圆台，设圆台上底面半径为r ′，高为h ′，则下底面半径r ＝3R ，h ′＝(r ′－r ′) tan 60°＝3(3R －r ′)， ∴5π3R 3＝π3h ′(r 2＋r ′2＋rr ′)， ∴5R 3＝3(3R －r ′)(r ′2＋3Rr ′＋3R 2)， ∴5R 3＝3(33R 3－r ′3)， 解得r ′＝343R ＝6163R ， ∴h ′＝(3－312)R .17．(本小题满分12分)将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成底面为长方形的棱柱，如图，设这个长方体底面的一条边长为x ，对角线长为2，底面的面积为A .(1)求面积A以x为自变量的函数式．(2)求出截得棱柱的体积的最大值．解：(1)横截面如图，由题意得A＝x·4－x2(0＜x＜2)．(2)V＝x·4－x2·1＝－(x2－2)2＋4，由(1)知0＜x＜2，∴当x2＝2，即x＝2时，V max＝2.18．(本小题满分12分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，若四边形ABCD绕AD旋转一周成为几何体．(1)画出该几何体的三视图；(2)求出该几何体的表面积．解：(1)(2)下底圆面积S1＝25π，台体侧面积S2＝π×(2＋5)×5＝35π，锥体侧面积S3＝π×2×22＝42π，故表面积S＝S1＋S2＋S3＝(60＋42)π.19．(本小题满分12分)如图(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面．S半球＝8π，S 圆台侧＝35π，S 圆台底＝25π.故所求几何体的表面积为68π cm 2.由V 圆台＝13×(π×22＋(π×22)×(π×52)＋π×52)×4＝52π，V 半球＝43π×23×12＝163π，所以，所求几何体的体积为 V 圆台－V 半球＝52π－163π＝1403π(cm 3)． 20．(本小题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如图所示．(1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及其相对侧面底边上的高为：h 1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h 2＝42＋42＝4 2.故几何体的侧面面积为：S ＝2×12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2.(B 卷 能力素养提升) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．给出下列命题：①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥；③有两个面互相平行，其余各个面都是梯形的多面体是棱台；④圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B ①错误．如将两个三棱锥叠放在一起就可以构成一个各面都是三角形的几何体，但不是三棱锥；②中的棱锥若为六棱锥，那么它的各条棱长均相等，底面是正六边形，是正六棱锥，而正六棱锥的侧棱长必定大于底面边长，矛盾，所以②不正确；棱台的各条侧棱延长后必交于一点，而③中的多面体未必具有此特征，所以③不正确；④正确．故选B.2．将右图所示的一个直角三角形ABC (∠C ＝90°)绕斜边AB 旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的( )解析：选B 由题目可知，旋转的图形为两个圆锥的组合体，且同底面，故其正视图为B 选项所对应的图形．3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且它的体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )解析：选C 由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体为柱体，且其高为1，设其底面积为S ，则由V ＝Sh ＝12得S ＝12，所以选C.4．已知水平放置的△ABC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A. 3 B ．2 2 C.32D.34解析：选A 可知△ABC 中，BC ＝2，高AO ＝ 3. ∴S ＝12×2×3＝3，故选A.5．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的全面积是( ) A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.6＋34a 2解析：选A ∵侧面都是直角三角形，故侧棱长等于22a ， ∴S 全＝34a 2＋3×12×⎝⎛⎭⎫22a 2＝3＋34a 2. 6．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A ．120° B ．150° C ．180°D ．240°解析：选C 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，依题意，πrl ＋πr 2＝3πr 2，∴l ＝2r ，∴侧面展开图扇形的弧度数为θ＝2πr l ＝2πr2r＝π.故选C.7．作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱的半径之比是( )A ．2∶1B ．2∶3 C.2∶1D.3∶2解析：选A 实质是正三角形外接圆半径与其内切圆半径之比，如图，R r ＝R R sin 30°＝2. 8．已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 的高与球O 直径相等，则它们的体积之比V 圆柱∶V 球＝( )A.12 B ．1 C.32 D.43解析：选C 设圆柱的高为h ，底面圆半径为r ，球的半径为R .由题意，r ＝R ，h ＝2R ，所以V 圆柱＝h πR 2＝2πR 3，V 球＝43πR 3.则V 圆柱：V 球＝32.9.如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形 解析：选C将直观图还原得▱OABC ，∵O ′D ′＝2O ′C ′＝2 2 cm ， OD ＝2O ′D ′＝4 2 cm ， C ′D ′＝O ′C ′＝2 cm ， ∴CD ＝2 cm ， OC ＝CD 2＋OD 2＝22＋(42)2＝6(cm)，OA ＝O ′A ′＝6 cm ＝OC ，故原图形为菱形．10．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是()解析：选B由三视图可知该几何体为下面是圆柱、上面为圆台的组合体，当向容器中匀速注水后，容器中水面的高度h先随时间t匀速上升，当充满圆柱后变速上升且越来越快．故选B.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析：因为半圆的面积为2π，所以半圆的半径为2，圆锥的母线长为2.底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为1，所以圆锥的高为3，体积为33π.答案：3 3π12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个侧放的圆柱，底面半径为1，高为5，则该几何体的体积V ＝Sh ＝πr 2h ＝5π.答案：5π13．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是________；表面积是________．解析：由三视图可得其中一个四棱锥S -ABCD 的直观图如图所示，则该几何体的体积为V ＝2×13×2×2×2＝823，由OE ＝1，SO ＝2得SE ＝3，则三角形SBC 的面积为3，所以该几何体的表面积为8 3.答案：8238 3 14．如图已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．解析： 在该几何体的上面，再补一个倒立的同样几何体，则构成底面半径为r ，高为a ＋b 的圆柱．∴其体积为12πr 2(a ＋b )．答案：πr 2(a ＋b )2三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)已知正三棱锥V -ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积． 解： (1)直观图如图所示：(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝⎛⎭⎫23×32×232＝23， ∴S △VBC ＝12×23×23＝6.16．(本小题满分12分)一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2，求：(1)圆台的体积；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图)．由已知可得上底半径O 1A ＝2 cm ，下底半径OB ＝5 cm.又因为腰长为12 cm ， 所以高为AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．∴V ＝3915π cm 3.(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，∴l ＝20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.17．(本小题满分12分)据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑．在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比．解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V 圆柱＝πr 2h ， 圆锥的底面半径为r ，高为h ，则V 圆锥＝13πr 2h ，球的半径为r ，所以V 球＝43πr 3.又h ＝2r ，所以V 圆锥∶V 球∶V 圆锥 ＝⎝⎛⎭⎫13πr 2h ∶⎝⎛⎭⎫43πr 3∶()πr 2h ＝⎝⎛⎭⎫23πr 3∶⎝⎛⎭⎫43πr 3∶(2πr 3)＝1∶2∶3.18．(本小题满分12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积； (3)求出该几何体的体积．解：(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． (2)该几何体的侧视图如图，其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，所以该平面图形的面积为S ＝12·3a ·3a ＝3a 22.(3)设这个正六棱锥的底面积是S ，体积为V ， 则S ＝6×34a 2＝332a 2， 所以V ＝13×332a 2×3a ＝3a 32.19．(本小题满分12分)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，在平面ABCD 内过点C 作l ⊥CB ，以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周，求旋转体的表面积和体积．解：在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°， ∴CD ＝BC －ADcos 60°＝2a ，AB ＝CD sin 60°＝3a ，∴DD ′＝AA ′－2AD ＝2BC －2AD ＝2a ， ∴DO ＝12DD ′＝a .由于以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长3a ，底面半径2a ，圆锥的母线长2a ，底面半径a ， ∴圆柱的侧面积S 1＝2π·2a ·3a ＝43πa 2， 圆锥的侧面积S 2＝π·a ·2a ＝2πa 2， 圆柱的底面积S 3＝π(2a )2＝4πa 2， 圆锥的底面积S 4＝πa 2，∴旋转体的表面积S ＝S 1＋S 2＋2S 3－S 4 ＝43πa 2＋2πa 2＋4πa 2×2－πa 2＝(43＋9)πa 2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V 柱＝Sh ＝π(2a )2·3a ＝43πa 3.V 锥＝13S ′h ＝13π·a 2·3a ＝33πa 3.∴旋转体的体积V ＝V 柱－V 锥＝43πa 3－33πa 3＝1133πa 3. 20．(本小题满分12分)如图，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′-BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′-BC ′D 的体积．解：(1)∵ABCD -A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴六个面都是正方形，∴A ′C ′＝A ′B ＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ， ∴S 三棱锥＝4×34×(2a )2＝23a 2，S 正方体＝6a 2， ∴S 三棱锥S 正方体＝33. (2)显然，三棱锥A ′-ABD 、C ′-BCD 、D -A ′D ′C ′、B -A ′B ′C ′是完全一样的， ∴V 三棱锥A ′-BC ′D ＝V 正方体-4V A ′-ABD ＝a 3－4×13×a 22×a ＝a 33.。