锐角三角形[下学期]--新人教版-
人教版九年级下册数学作业课件 第二十八章 锐角三角函数 第1课时 仰角、俯角与解直角三角形
＝
3
3）
＝(30
3
＋45)米，
3
∴DG＝EH＝AH－AE＝(30 3 ＋45)－15＝(30 3 ＋30)米，(30 3 ＋30)÷5＝(6 3
＋6)秒，∴经过(6 3 ＋6)秒时，无人机刚好离开了操控者的视线
2．如图，在高为 2 m，倾斜角为 30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 (C )
A．[2பைடு நூலகம்( 3 ＋1)] m B．4 m C．2( 3 ＋1) m D．2( 3 ＋3) m
3．(威海中考)小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的 河流宽度．他先在河岸设立 A，B 两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点 M.测得 AB＝50 米，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°.请你依据所测数据求出这段河流的 宽度．(结果精确到 0.1 米，参考数据：sin22°≈38 ，cos22°≈1156 ，tan22°≈25 ，sin67°≈1123 ， cos67°≈153 ，tan67°≈152 )
2
∴x ＝ 17 ≈0.82 ， ∴OD ＝ 0.82 m ， ∴DH ＝ OH － OD ＝ OA － OD ＝ 3.4 － 0.82 ＝
5
2.58≈2.6(m)，答：最大水深约为 2.6 m.
13．(广元中考)如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到 一定高度 D 点处时，无人机测得操控者 A 的俯角为 75°，测得小区楼房 BC 顶端点 C 处的俯角为 45°.已知操控者 A 和小区楼房 BC 之间的距离为 45 米，小区楼房 BC 的高 度为 15 3 米．
解：如图，过点 D 作 DG⊥AE 于点 G，得矩形 GBFD，∴DF＝GB，在 Rt△GDE 中，DE＝80 cm，∠GED＝48°，∴GE＝DE·cos 48°≈80×0.67＝53.6(cm)，∴GB＝ GE＋BE≈53.6＋110＝163.6≈164(cm).∴DF＝GB≈164(cm).答：活动杆端点 D 离地面 的高度 DF 约为 164 cm
人教版九年级下册数学作业课件 第二十八章锐角三角函数 专题：求锐角三角函数常用的3种方法(一题多变)
∴BD＝CD＝k，AD＝2k. ∴tanA＝BADD＝12.
方法总结：作垂线构造直角三角形时“不破坏”特殊 角(30°，45°，60°)，如下展示部分常见构造方 法：
题型二 不含特殊角的非直角三角形 3．(1)[延长＋连接线段构造直角三角形]如图，在正 方形网格中，已知△ABC 的三个顶点均在格点上， 则∠ACB 的正切值为（ D ）
◆类型一 构造直角三角形求解 题型一 含特殊角的非直角三角形 1．如图，在△ABC 中，∠B＝45°，∠A＝75°， AC＝8，求 BC 和 AB 的长． 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为点 D. ∵在 Rt△ABD 中，∠B＝45°， ∴∠BAD＝45°，BD＝AD，AB＝ 2AD. ∵∠BAC＝75°，
2
2
∴AE＝125x.
∴tan∠CAD＝EACE＝15.
◆类型三 利用等角转化求解【转化思想】 7．如图，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，AC＝8， BC＝6，则 cos∠BCD 的值是（ D ） A.3 B.3 C.4 D.4
543 5
8．如图，在△ABC 中，AC＝BC，过点 C 作 CD⊥AB，
(3)[利用垂径定理构造直角三角形]如图，⊙O 为△ABC
的外接圆，⊙O 的半径为 5，BC＝8，则 cosA 的值为
3 5
.
10．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝2 5，E 是 BC 的中点，将△ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 F 处，连接 CF，求 cos∠ECF 的值．
A．2
B.2 5 5
C.
5 5
D.12
(2)如图，△ABC 的三个顶点都在正方形网格线的交 点处，将△ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到△AB′C′. 若 A，C，B′三点共线，则 tan∠B′CB＝ 2 ；
28.1 锐角三角函数 课件 2024-2025学年数学九年级下册人教版
2 A＝___4___．
感悟新知
知1－练
例 3 如图28.1－3，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，如果 2AB＝3BC，求∠B 的三个三角函数值.
解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定 义的前提是在直角三角形中”这一特 征，用“构造直角三角形法”求解.
感悟新知
解：过点A作AD⊥BC于点D，如图28.1－3，
学习目标
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
感悟新知
知识点 1 锐角三角函数
1. 正弦、余弦、正切
名称
定义
符号语言
在Rt△ABC中，∠C＝
90°，∠A的对边与斜 在Rt△ABC
正弦
边的比叫做∠A 的正 中，∠C＝
弦 ，记 作 sin A，即 sin A＝∠A斜的边对边
90°，sin ＝ac
A.
4 3
B.
3 4
C.
3 5
D.
4 5
解题秘方：引入参数，用这个参数表示出三角形的
三边长，再用定义求解.
感悟新知
知1－练
解：由sin A＝BACB＝45，可设BC＝4k(k>0)，则AB＝5k. 根据勾股定理，得AC＝3k， ∴ tan B＝ABCC＝34kk＝34. 答案：B
感悟新知
知1－练
技巧点拨：在直角三角形中，给出某一个锐角的三角 函数值，求另一个锐角的三角函数值时，可以用设辅助 元，即引入“参数”的方法来解决，注意在最后计算时要 约去辅助元.
感悟新知
知1－练
2－1. [期中·盐城射阳县]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，
sin
A＝13，则cos
22 A＝___3___，tan
人教版九年级数学下册作业课件 第二十八章 锐角三角函数 第2课时 仰角、俯角与解直角三角形
AF的高度约为9.0米
【素养提升】 11．(18分)(广州中考)某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的 高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD， 标杆CD的影子为CE，CD＝1.6 m，BC＝5CD. (1)求BC的长； (2)从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度． 条件①：CE＝1.0 m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°. 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 参考数据：sin 54.46°≈0.81，cos 54.46°≈0.58，tan 54.46°≈1.40.
A．8(3－ 3 ) m B．8(3＋ 3 ) m C．6(3－ 3 ) m D．6(3＋ 3 ) m
8．(5分)(广西中考)如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼 顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120 m，则乙楼的高 CD是__4_0__3____m．(结果保留根号)
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例
第2课时 仰角、俯角与解直角三角形
仰角与俯角问题 1．(5分)(玉林中考)如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( ) D A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC
2．(5分)(教材P78习题T3变式)如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道 (点A，B在同一水平面上).为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发， 垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为 _____t_a8_n0_0_α__米．
3．(5分)如图，甲，乙两座建筑物相距30 m，从甲顶部点A测得乙顶部点D的仰角为 37°，若甲建筑物AB的高为40 m，则乙建筑物CD的高约为____m6．3 (结果取整数， 参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
第28章 锐角三角函数 2022-2023学年人教版数学九年级下册检测题
第28章检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(玉林中考)sin 45°的值是( B ) A ．12 B ．22 C ．32D ．1 2．(东营中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝42°，BC ＝8，若用科学计算器求AC 的长，则下列按键顺序正确的是( D )A ．8 ÷ sin 4 2 ＝B ．8 ÷ cos 4 2 ＝C ．8 ÷ tan 4 2 ＝D ．8 × tan 4 2 ＝第2题图 第4题图 第5题图第6题图3．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，那么sin B 的值是( C )A ．35B ．34C ．45D ．434．(杭州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则( B )A ．c ＝b sinB B ．b ＝c sin BC ．a ＝b tan BD ．b ＝c tan B5．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，已知∠ACD 的正弦值是23 ，则AC AB的值是( D )A ．25B ．35C ．52D ．236．(荆州中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30°.C 为OA 的中点，BC ＝1，则点A 的坐标为( B )A ．(3 ，3 )B ．(3 ，1)C ．(2，1)D ．(2，3 )7．(2022·随州)如图，已知点B ，D ，C 在同一直线的水平地面上，在点C 处测得建筑物AB 的顶端A 的仰角为α，在点D 处测得建筑物AB 的顶端A 的仰角为β，若CD ＝a ，则建筑物AB 的高度为( D )A ．a tan α－tan βB ．a tan β－tan αC ．a tan αtan βtan α－tan βD ．a tan αtan βtan β－tan α第7题图 第8题图第9题图8．(温州中考)图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC .若AB ＝BC ＝1，∠AOB ＝α，则OC 2的值为( A )A ．1sin 2α ＋1B ．sin 2α＋1C ．1cos 2α＋1 D ．cos 2α＋1 9．(重庆中考)如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度(或坡比)为i ＝1∶2.4，坡顶D 到BC 的垂直距离DE ＝50米(点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内)，在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)(D )A ．69.2米B ．73.1米C ．80.0米D ．85.7米10．(绍兴中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，cos B ＝14，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使∠ADE ＝∠B ，连接CE ，则CE AD的值为( D ) A ．32 B ． 3 C ．152D ．2 第10题图 第13题图 第14题图第15题图二、填空题(每小题3分，共15分)11．(甘肃中考)在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝33 ，则cos B ＝__12 __． 12．(无锡中考)一条上山直道的坡度为1∶7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为__102 __米．13．(2022·泰安)如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC ＝30°，已知窗户的高度AF ＝2 m ，窗台的高度CF ＝1 m ，窗外水平遮阳篷的宽AD ＝0.8 m ，则CP 的长度为__4.4__m(结果精确到0.1 m).14．(咸宁中考)如图，海上有一灯塔P ，位于小岛A 北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A 出发，由西向东航行24 n mile 到达B 处，这时测得灯塔P 在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P 的正南方，此时轮船与灯塔P 的距离是__20.8__n mile.(结果保留一位小数，3 ≈1.73)15．(深圳中考)如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ＝∠DAC ＝90°，tan ∠ACB ＝12 ，BO OD ＝43 ，则S △ABD S △CBD＝__332 __． 三、解答题(共75分)16．(8分)计算：(1)3tan30°＋cos 245°－2sin60°； (2)tan 260°－2sin45°＋cos60°.解：原式＝12 解：原式＝72－217．(9分)在△ABC 中，∠C ＝90°.(1)已知c ＝83 ，∠A ＝60°，求∠B ，a ，b ；(2)已知a ＝36 ，∠A ＝30°，求∠B ，b ，c .解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝43 (2)∠B ＝60°，b ＝92 ，c ＝6618．(9分)(2022·湘潭)湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构(其中DH AH≈0.618)：伞柄AH 始终平分∠BAC ，AB ＝AC ＝20 cm ，当∠BAC ＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC ＝90°.请问最少需要准备多长的伞柄？(结果保留整数，参考数据：3 ≈1.732)解：作BE ⊥AH 于点E ，∵∠BAC ＝120°，AH 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝60°，∴AE ＝AB ·cos60°＝20×12 ＝10(cm)，BE ＝AB ·sin60°＝20×32 ＝103 ≈17.32(cm)，∵BD ＝CD ，∠BDC ＝90°，∴∠BDE ＝45°，∴DE ＝BE ＝17.32 cm ，∴AD ＝AE ＋DE ＝10＋17.32＝27.32(cm)，∵DH AH ＝0.618，即AH －27.32AH＝0.618，解得AH ≈72，∴最少需要准备72 cm 长的伞柄19．(9分)已知锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (1)如图①，若a ＝6，∠B ＝45°，∠C ＝75°，求b 的值；(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD (如图②所示)，若CD ⊥AB ，AC ＝14米，AB ＝10米，sin ∠ACB ＝5314，求景观桥CD 的长度．解：(1)∵∠B ＝45°，∠C ＝75°，∴∠A ＝60°，∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，∴6sin 60°＝b sin 45°，∴b ＝26 (2)∵AB sin ∠ACB ＝AC sin B ，∴105314＝14sin B，∴sin B ＝32 ，∴∠B ＝60°，∴tan B ＝CD BD ＝3 ，∴BD ＝33 CD ，∵AC 2＝CD 2＋AD 2，∴196＝CD 2＋(10－33 CD )2，∴CD ＝83 或＝－33 (舍去)，∴CD 的长度为83 米20．(9分)(2022·包头)如图，AB 是底部B 不可到达的一座建筑物，A 为建筑物的最高点，测角仪器的高DH ＝CG ＝1.5米．某数学兴趣小组为测量建筑物AB 的高度，先在H 处用测角仪器测得建筑物顶端A 处的仰角∠ADE 为α，再向前走5米到达G 处，又测得建筑物顶端A 处的仰角∠ACE 为45°，已知tan α＝79，AB ⊥BH ，H ，G ，B 三点在同一水平线上，求建筑物AB 的高度．解：由题意得：DH ＝CG ＝BE ＝1.5米，CD ＝GH ＝5米，DE ＝BH ，∠AED ＝90°，设CE ＝x 米，∴BH ＝DE ＝DC ＋CE ＝(x ＋5)米，在Rt △ACE 中，∠ACE ＝45°，∴AE ＝CE ·tan45°＝x(米)，在Rt△ADE中，∠ADE＝α，∴tan α＝AEDE＝xx＋5＝79，∴x＝17.5，经检验：x＝17.5是原方程的根，∴AB＝AE＋BE＝17.5＋1.5＝19(米)，∴建筑物AB的高度为19米21．(10分)(2022·怀化)某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园，如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的正东方向且两村相距2.4 km.有关部门计划在B，C两村之间修一条笔直的公路来连接两村，问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．(参考数据：3≈1.73，2≈1.41)解：过A点作AD⊥BC于D点，由题意知：∠ABC＝90°－60°＝30°，∠ACD＝45°，∴BD＝3AD，CD＝AD, ∵BC＝2.4 km＝2400 m，∴3AD＋AD＝2400，解得AD＝1200(3－1)≈876>800，故该公路不穿过纪念园22．(10分)(2022·鄂州)亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C 处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比＝1∶3，铅垂高度DG＝30米(点E，G，C，B在同一水平线上).求：(1)两位市民甲、乙之间的距离CD；(2)此时飞机的高度AB.(结果保留根号)解：(1)∵斜坡CF 的坡比＝1∶3，DG ＝30米，∴DG GC ＝13 ，∴GC ＝3DG ＝90(米)，在Rt △DGC 中，DC ＝DG 2＋GC 2 ＝302＋902 ＝3010 (米)，∴两位市民甲、乙之间的距离CD 为3010 米(2)过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，则DG ＝BH ＝30米，DH ＝BG ，设BC ＝x 米，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，∴AB ＝BC ·tan45°＝x (米)，∴AH ＝AB －BH ＝(x －30)米，在Rt △ADH 中，∠ADH ＝30°，∴tan30°＝AH DH ＝x －30x ＋90 ＝33，∴x ＝603 ＋90.经检验：x ＝603 ＋90是原方程的根，∴AB ＝(603 ＋90)米，∴此时飞机的高度AB 为(603 ＋90)米23．(11分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，以DB 为直径作⊙O 交BC 于点F ，连接BE ，EF .(1)证明：∠A ＝∠BEF ；(2)若AC ＝4，tan ∠BEF ＝4，求EF 的长．解：(1)连接DF ，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DFB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DFB ＝90°，∴AC ∥DF ，∴∠A ＝∠FDB ，∵∠FDB ＝∠BEF ，∴∠A ＝∠BEF(2)过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ，∴∠EHF ＝90°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠DCB ＝12∠ACB ＝45°，∴∠CDF ＝90°－∠DCB ＝45°，∴CF ＝DF ，设CF ＝DF ＝x ，∵∠A ＝∠BEF ，∴tan A ＝tan ∠BEF ＝4，∴BC ＝AC ·tan A ＝4×4＝16，∴BF ＝BC －CF ＝16－x ，∵∠ACF ＝∠DFB ＝90°，∴△ACB ∽△DFB ，∴AC DF ＝BC BF ，∴4x ＝1616－x，∴x ＝165 .经检验，x ＝165 是原方程的根，∴CF ＝165，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BED ＝90°，∴∠EBC ＝90°－∠DCB ＝45°，∴EC ＝EB ，∵EH ⊥BC ，∴CH ＝BH ＝12 BC ＝8，∴EH ＝12BC ＝8，∴FH ＝CH －CF ＝245，∴EF ＝FH 2＋EH 2 ＝（245）2＋82 ＝85 34 ，∴EF 的长为85 34。
人教版九年级数学下册课件：28.1锐角三角函数--1.2余弦、余切
16
知识点二：正 切
合作探究
如图，若点E为BC的中点，则 tan∠CAE的值是 .
17
知识点二：正 切
学以致用
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan A的值 是( A )
A.
B.
C.
D.
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍， 则tan B的值是( D )
的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( B )
A. B.
C. D.
11
知识点一：余 弦
学以致用
3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝ 30°，以点A为 圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心， AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接 AE，DE，则∠EAD的余弦值是( B )
28
知识点三：锐角三角函数
归纳总结
(3)sin2A表示sinA·sinA＝(sinA)2，不能写成sinA2; (4)由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均 为正数，所以锐角三角函数值都是正实数， 且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0. (5)正弦、余弦、正切符号后面可以直接写锐角的度数， 如sin28°，cos8°，tan18°等.
A.
B. 3 C.
D.
18
知识点二：正 切
学以致用
3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB
＝AC，点D 为边AC的中点，DE⊥BC于点
E，连接BD，则tan ∠DBC的值为( A )
A.
B.
C.
D.
4.如图，P(12，a)在反比例函数 y= 图象
Байду номын сангаас
第二十八章 锐角三角函数(单元总结)-2021学年九年级数学下册(人教版)(解析版)
第二十八章 锐角三角函数单元总结【知识要点】 知识点一 锐角三角形锐角三角函数：如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)【正弦和余弦注意事项】1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA 、cosA 是一个比值（数值，无单位）。
3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，对边邻边C知识点二 解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 直角三角形五元素之间的关系： 1. 勾股定理（）2. ∠A+∠B=90°3. sin A==4. cos A= =5.tan A= =【考查题型】考查题型一 正弦典例1．（2020·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC ∠的值为（ ）A ．43B ．34C ．35D ．45【答案】D 【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，首先根据勾股定理求出AC ，然后在Rt ACD ∆中即可求出sin BAC ∠的值．【详解】如图，过C 作CD AB ⊥于D ，则=90ADC ∠︒，∴AC ＝222234=+=+AC AD CD ＝5． ∴4sin 5CD BAC AC ∠==． 故选D ． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．变式1-1．（2018·西城区·北京四中九年级期中）如图，在Rt ABC ∆中，90C =∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43【答案】A 【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得． 详解：在Rt △ABC 中，∵AB=10、AC=8， ∴2222=108=6AB AC --，∴sinA=63105BC AB ==. 故选：A ．点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．变式1-2．（2019·山东淄博市·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝45，AC＝6cm，则BC的长度为()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C【详解】已知sinA=45BCAB=，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C．考查题型二余弦典例2．（2020·福建省泉州市培元中学九年级期中）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A 5B25C5D．23【答案】B【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，222425+=∴cos∠25525=．故选B ．变式2-1．（2016·辽宁铁岭市·九年级期末）在ABC 中，C 90∠=，AB 6=，1cosA 3=，则AC 等于（ ） A ．18 B ．2C ．12D ．118【答案】B 【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC 中，cosA ＝ACAB，即可求得AC 的长． 【详解】解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∴cosA ＝ACAB ， ∵cosA ＝13，AB ＝6，∴AC ＝123AB =，故答案选：B ． 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，解题的关键是要熟练掌握直角三角形中边角之间的关系．变式2-2．（2019·山东滨州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为M （5，2），那么cosα的值是（ ）A 5B ．23C 25D 5【答案】D 【分析】如图，作MH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OM，即可解决问题．【详解】解：如图，作MH⊥x轴于H．∵M（5，2），∴OH＝5，MH＝2，∴OM＝22(5)2+＝3，∴cosα＝5 OHOM=，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．考查题型三正切典例3．（2020·广东深圳市·深圳中学八年级期中）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．12B．1 C3D3【答案】B【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求． 【详解】 如图，连接BC ，由网格可得AB=BC=5，AC=10，即AB 2+BC 2=AC 2， ∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan ∠BAC=1， 故选B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．变式3-1．（2018·江苏苏州市·九年级期末）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为（ ）.A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】分析：本题考查等腰直角三角形的性质及解直角三角形．解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解． 解析：如图，作DE ⊥AB 于E ．∵tan ∠DBA==，∴BE=5DE ．∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE ．∴BE=5AE ，又∵AC=6，∴AB=6，∴AE+BE=AE+5AE=6，∴AE=，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD=，AE=2．故选A.变式3-2．（2020·河北唐山市·九年级期末）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若2tan5BAC∠=，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m 【答案】A【分析】根据BC的长度和tan BAC∠的值计算出AC的长度即可解答.【详解】解：因为2tan5BCBACAC＝∠=，又BC＝30，所以，3025AC＝，解得：AC＝75m，所以，故选A.【点睛】本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.考查题型四特殊角的三角函数值典例4．（2018·南昌市期末）点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )A．(32，12) B．(－32，－12)C．(312) D．(－123【答案】B 【详解】∵点（-sin60°，cos60°）即为点（312），∴点（-sin60°，cos60°）关于y 3，12）．变式4-1．（2019·山东淄博市·九年级期中）下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°【答案】D【详解】试题分析：选项A，sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；选项Btan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；选项C，sin225°+cos225°=1正确；选项D，sin60°=3，sin30°=12，则sin60°=2sin30°错误．故答案选D．变式4-2．（2018·河北唐山市·九年级期末）如果△ABC中，sin A=cos B=22，则下列最确切的结论是（）A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形【答案】C【解析】因为sin A=cos B 2，所以∠A=∠B=45°，所以△ABC是等腰直角三角形. 故选C.考查题型五同角的三角函数典例5．（2018·山东潍坊市·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=45，则cosB的值等于( )A．35B．45C．34D5【答案】B 【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cos B=sin A=45．故选B．点睛：本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数变式5-1．（2018·浙江台州市·九年级期末）在Rt △ABC 中，cosA= 12，那么sinA 的值是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．12【答案】B 【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值即可． 【详解】：∵Rt △ABC 中，cosA=12 ，∴ =2， 故选B ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键．变式5-2．（2018·湖南岳阳市·九年级期末）在Rt ABC 中，C 90∠=，如果4cosA 5=，那么tanA 的值是（ ） A ．35B ．53C ．34D ．43【答案】C 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解. 【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∴cosA=b c ，tanA=ab ，a 2+b 2=c 2. ∵cosA=45，设b=4x ，则c=5x ，a=3x ．∴tanA=a b =3344x x =. 故选C.【点睛】利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值.考查题型六 解直角三角形典例6．（2020·东北师大附中明珠学校九年级期中）如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα【答案】B【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB 、AD 即可解决问题；【详解】在Rt △ABC 中，AB=AC sin α， 在Rt △ACD 中，AD=AC sin β， ∴AB ：AD=AC sin α：AC sin β=sin sin βα， 故选B ．【点睛】 本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 变式6-1．（2020·山东枣庄市·九年级期末）如图，在ABC ∆中，144CA CB cosC ＝＝，＝，则sinB 的值为（ ）A ．10B ．15C ．6D ．10 【答案】D【分析】过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，在Rt ACD ∆中可求出AD ，CD 的长，在Rt ABD ∆中，利用勾股定理可求出AB 的长，再利用正弦的定义可求出sinB 的值．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．在Rt ACD ∆中，1CD CA cosC ⋅＝＝，2215AD AD CD ∴=-=；在Rt ABD ∆中，315BD CB CD AD ＝﹣＝，＝，22BD AD 26AB ∴=+=，AD 10sin AB B ∴==． 故选：D ．【点睛】考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，AB 的长是解题的关键．变式6-2．（2019·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）A．11米B．（36﹣153）米C．153米D．（36﹣103）米【答案】D【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．【详解】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝103（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣103）（米）．∴甲楼高为（36﹣103）米．故选D．【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.考查题型七利用解直角三角形相关知识解决实际问题典例7．（2019·河南许昌市·九年级期末）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后，又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者.在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别是45°和65°，点A 距地面2.5米，点B 距地面10.5米.为救出点C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,2≈1.4）【答案】云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【分析】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD ∆中，求得AD 的长；在Rt ACD ∆中，求得CD 的长，根据BC=CD-BD 即可求得BC 的长.【详解】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，∵CN EF ⊥ ，∴90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒，∴四边形AMND 为矩形.∴ 2.5DN AM ==米.∴10.5 2.58BD BN DN =-=-=（米），由题意可知，45BAD ∠=︒，65CAD ∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，在Rt ABD ∆中，tan BD BAD AD ∠=， ∴88tan tan45BD AD BAD ===∠︒（米）. 在Rt ACD ∆中，tan CD CAD AD∠=， ∴tan 8tan658 2.116.8CD AD CAD =⋅∠=︒≈⨯=（米）.∴16.888.89BC CD BD =-≈-=≈（米）.答：云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题的关键．变式7-1．（2018·江苏无锡市·九年级期末）如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处603米的点D （点D 与楼底C 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．【答案】153+【分析】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ，先在RT △BDN 中求出线段BN ，在RT △ABM 中求出AM ，再证明四边形CMBN 是矩形，得CM=BN 即可解决问题．【详解】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ．在RT △BDN 中，BD=30，BN ：ND=13，∴BN=15，DN=153，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BM=15，BM=CN=603153453-=，在RT△ABM中，tan∠ABM=43 AMBM=，∴AM=603，∴AC=AM+CM=15603+．【点睛】构造适当的直角三角形，并应用锐角的三角函数，正确理解坡比的概念．变式7-2．（2018·山西晋中市期末）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）【答案】高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm ．【解析】分析：利用锐角三角函数，在Rt △ACE 和Rt △DBF 中，分别求出AE 、BF 的长．计算出EF ．通过矩形CEFH 得到CH 的长．详解：在Rt △ACE 中，∵tan ∠CAE=CE AE， ∴AE=()15515521tan tan82.47.5CE cm CAE =≈≈∠︒ 在Rt △DBF 中，∵tan ∠DBF=DF BF， ∴BF=()23423440tan tan80.3 5.85DF cm DBF =≈=∠︒. ∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm ）∵CE ⊥EF ，CH ⊥DF ，DF ⊥EF∴四边形CEFH 是矩形，∴CH=EF=151（cm ）.答：高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm ．点睛：本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度．。
精品解析2022年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数难点解析试题(含详细解析)
人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在直角△ABC 中，90C ∠=︒，3AB =，AC ＝2，则tan A 的值为（ ）A B C ．23 D2、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）A ．12B ．43C ．35D ．45 3、某人沿坡度1:2i =的斜坡向上前进了10米，则他上升的高度为（ ）A ．5米B ．C ．D ．4、如图，琪琪一家驾车从A地出发，沿着北偏东60︒的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50︒的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是（）A．B地在C地的北偏西40︒方向上B．A地在B地的南偏西60︒方向上C．50ACB D．sin BAC∠=°∠=5、在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则sin B的值为（）A B C D．12∠的顶点位于正方形网格的格6、如图，在44⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知α∠是（）点上，且cosα=αA．B．C．D．7、如图1所示，△DEF 中，∠DEF ＝90°，∠D ＝30°，B 是斜边DF 上一动点，过B 作AB ⊥DF 于B ，交边DE （或边EF ）于点A ，设BD ＝x ，△ABD 的面积为y ，图2是y 与x 之间函数的图象，则△ABD 面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．8、如图，E 是正方形ABCD 边AB 的中点，连接CE ，过点B 作BH ⊥CE 于F ，交AC 于G ，交AD 于H ，下列说法：①AH HG AB BG =； ②点F 是GB 的中点；③AG AB =；④S △AHG =16S △ABC ．其中正确的结论的序号是（ ）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①③④9、如图，若O 的半径为R ，则它的外切正六边形的边长为（ ）A B C ． D ．6R10、将一矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上的F 处，若:4:5AB BC =，则cos AFE ∠的值为（ ）A．54B．35C．34D．45第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区，登陆时强度为台风级，中心最大风速38米/秒．此时一艘船以27nmile/h的速度向正北航行，在A处看烟花S在船的北偏东15°方向，航行40分钟后到达B处，在B处看烟花S在船的北偏东45°方向．（1）此时A到B的距离是 _____；（2）该船航行过程中距离烟花S中心的最近距离为 _____．（提示：sin15°=．2、当0≤θ≤α时，将二次函数y＝﹣x2（0≤x≤G，绕原点逆时针旋转θ得到图形G均是某个函数的图象，则α的最大值为 _____．3、如图，直线MN过正方形ABCD的顶点A，且∠NAD＝30°，AB＝，P为直线MN上的动点，连BP，将BP绕B点顺时针旋转60°至BQ，连CQ，CQ的最小值是 ___．4、如图，等边ABC 的边长为2，点O 是ABC 的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段,AB BC 于D ，E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②四边形ODBE 的面积始终等于ODE BDE S S =；④BDE 周长的最小值为3．其中正确的结论是________（填序号）．5、矩形ABCD 中，E 为边AB 上一点，将ADE 沿DE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上，连接AF 交DE 于点N ，连接BN ．若3AD =，13BF BC =．（1）矩形ABCD 的面积为________；（2）sin BNF ∠的值为_________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：221cot 60cos30tan 60sin 453⋅-+．2、平面直角坐标系中，过点M 的⊙O 交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于C 、D 两点，交OM 的反向延长线于点N ．（1）求经过A 、N 、B 三点的抛物线的解析式．（2）如图①，点E 为（1）中抛物线的顶点，连接EN ，判断直线EN 与⊙O 的位置关系，并说明理由．（3）如图②，连接MD 、BD ，过点D 的直线l 交抛物线于点P ，且PDB DMN ∠=∠，直接写出直线DP 的解析式．3、如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，22.5B ∠=︒（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线l 交BC 于点D ．（保留痕迹，不写作法）（2）在（1）的作图下，试求tan 67.5︒的值（结果保留根号）4、如图，已知抛物线(2)(4)y a x x =+-（a 为常数，且a ＞0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线34y x b =-+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求a的值；（3）在（1）的条件下，直线BD上是否存在点E，使∠AEC=45°？若存在，请直接写出点E的横坐标；若不存在，请说明理由．5、在⊙O中，AC AD，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：BA是⊙O的切线；（2）若AB＝6，①求⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积．---------参考答案-----------一、单选题1、B【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再求tanA的值．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB=3，AC＝2，∴BC∴tanA=BCAC故选：B．【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．2、A【分析】根据在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边进行求解即可．【详解】解：如图所示，在直角三角形ABC中∠ACB=90°，AC=2，BC=4，∴tanα=αααα=24=12，故选A．【点睛】本题主要考查了求正切值，解题的关键在于能够熟练掌握正切的定义．3、B【分析】由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得BC ：AC =1：2，AB =10m ，可解出直角边BC ，即得到位置升高的高度．【详解】解：由题意得，BC ：AC =1：2．∴设BC =x ，则AC =2x ．∵AB =10， BC 2+ AC 2=AB 2，∴x 2+ (2x )2=102，解得：x =．故选：B ．【点睛】本题主要考查了坡度的定义和解直角三角形的应用，注意画出示意图会使问题具体化．4、B【分析】根据题意可知60BAD ∠=︒，50CBP ∠=︒，由此即可得到50BCE CBP ∠∠==︒即可判断A ；由60ABP ∠=︒可以判断B ；由9040ACB BCE ∠∠=︒-=︒可以判断C ；求出30BAC ∠=︒即可判断D ．【详解】解：如图所示：由题意可知，60BAD ∠=︒，50CBP ∠=︒，50BCE CBP ∠∠∴==︒，即B 在C 处的北偏西50，故A 不符合题意；60ABP ∠=︒，A ∴地在B 地的南偏西60︒方向上，故B 不符合题意；9040ACB BCE ∠∠=︒-=︒，故C 错误．60BAD ∠=︒，30BAC ∴∠=︒，1sin 2BAC ∠∴=，故D 不符合题意． 故选B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形和方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．5、A【分析】利用勾股定理先求出AB 的长度，最后利用正弦值的定义得到sin AD B AB =，进而得到最终答案． 【详解】解：如图所示在Rt ADB ∆中，由勾股定理可得：ABsinAD B AB ∴=== 故选：A ． 【点睛】本题主要是考察了勾股定理和锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6、B 【分析】先构造直角三角形，由cos α=邻边斜边求解即可得出答案 【详解】 A.cos α===B.cosα=cosα===cosα===【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握在直角三角形中，cos α=邻边斜边是解题的关键． 7、C 【分析】由图得点A 到达点E 时，ABD △面积最大，此时12DB =，由三角函数算出AB ，由三角形面积公式即可求解． 【详解】由图可得：点A 到达点E 时，ABD △面积最大，此时12DB =，tan 3012AB DB =⋅︒==∴1122ABDS=⨯⨯ 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数图像问题以及解直角三角形，由题判断点A 运动到哪里能使ABD △面积最大是解题的关键． 8、D 【分析】①先证明△ABH ≌△BCE ，得AH =BE ，则1122AH AD BC ==，即12AH AB =，再根据平行线分线段成比例定理得：12HG BG =即可判断；②设BF =x ，CF =2x ，则BC ，计算FG =23x即可判断；③根据等腰直角三角形得：AC AB ，根据①中得：13AG AC =即可判断； ④根据11,22HG AG BG CG ==，可得同高三角形面积的比，然后判断即可．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠HAB=∠ABC=90°，∵CE⊥BH，∴∠BFC=∠BCF+∠CBF=∠CBF+∠ABH=90°，∴∠BCF=∠ABH，∴△ABH≌△BCE，∴AH=BE，∵E是正方形ABCD边AB的中点，∴BE=12AB，∴1122AH AD BC==，即12AHAB=∵AH//BC，∴12 AH HG BC BG==∴AH HGAB BG=，故①正确；②1 tan tan2AH BF ABH BCFAB CF ∠=∠===设BF=x，CF=2x，则BC，∴AH x∴52 BH x =∴552263x x xFG BH GH BF x BF=--=--=≠，故②不正确；③∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB =BC ，∠ABC =90°， ∴AC， ∵12AG AH CG BC == ∴13AG AC =∴13AG AC AB ==，故③正确； ④∵12GH AGBG CG == ∴11,22AHGABG ABGBCG S S S S ∆∆∆∆== ∴13ABGABCS S∆∆=∴16AHG ABC S S =，故④正确． 故选D ． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键． 9、B 【分析】如图连结OA ，OB ，OG ，根据六边形ABCDEF 为圆外切正六边形，得出∠AOB =60°△AOB 为等边三角形，根据点G 为切点，可得OG ⊥AB ，可得OG 平分∠AOB ，得出∠AOC =11603022AOB ∠=⨯︒=︒，根据锐角三角函数求解即可． 【详解】解：如图连结OA ，OB ，OG ，∵六边形ABCDEF 为圆外切正六边形，∴∠AOB =360°÷6=60°，△AOB 为等边三角形， ∵点G 为切点， ∴OG ⊥AB ， ∴OG 平分∠AOB ，∴∠AOC =11603022AOB ∠=⨯︒=︒，∴cos30°=OGOA，∴cos30OG OA ==︒ 故选择B ．【点睛】本题考查圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数，掌握圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数是解题关键． 10、D 【分析】由∠AFE ＋∠CFD ＝90°得cos sin CD AFE CFD CF∠=∠=，根据折叠的定义可以得到CB ＝CF ，则CD ABCF BC =，即可求出cos AFE ∠的值，继而可得出答案．【详解】∵∠AFE ＋∠CFD ＝90°， ∴cos sin CDAFE CFD CF∠=∠=， 由折叠可知，CB ＝CF ，矩形ABCD 中，AB ＝CD ，4cos 5CD AB AFE CF BC ∠===． 故选：D ． 【点睛】本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到CB ＝CF ． 二、填空题1、 18 nmile 9nmile##993 nmile 【解析】 【分析】如图，过S 作SD AB ⊥于,D 先由路程等于速度乘以时间求解,AB 再利用sin15°=tan1523, 再设,SD m 而,45,SDAB DBS ,18,BD m AD m 再利用tan1523,建立方程，再解方程，从而可得答案. 【详解】解：如图，过S 作SD AB ⊥于,D 由题意可得：40622718,15,45,sin15,604AB BAS DBS62,4DS AS设62,DS k 则4,AS k2284362,AD AS DS k k2tan15=23,62k DSADk设,SD m 而,45,SD AB DBS,18,BD m AD m23,18m m311823,m解得：939,m 经检验符合题意；所以：该船航行过程中距离烟花S 中心的最近距离为：9 nmile.故答案为：18 nmile ，9 nmile. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用sin15︒的值求解tan15︒是解本题的关键. 2、30 【解析】【分析】根据题意，找到图象G 的切线，进而根据旋转的性质即可求得α的最大值 【详解】解：∵将二次函数y ＝﹣x 2（0≤x ≤G ，逆时针旋转θ得到图形G 均是某个函数的图象，设过原点的直线y kx =∴当y ＝﹣x 2，y kx =存在唯一交点时即2x kx -=)20k=解得k =设()P m 为y =上一点，过点P 作PQ y ⊥轴，则,OQ PQ m ==tan POQ ∠=30POQ ∴∠=︒当图象G 旋转30时，与y 轴相切，符合函数图象，故30θ≤︒ 即max =30α︒故答案为：30° 【点睛】本题考查了旋转的的性质，抛物线与直线交点问题，解直角三角形，理解题意求得直线与y 轴的夹角是解题的关键．326【解析】 【分析】如图，连接PQ 交AB 于,F 则,60,BP BQ PBQ 先证明180,APBAQB 把ABP △绕B 顺时针旋转60︒得到,A BQ 证明180,A QBAQB 可得,,A Q A 三点共线，Q 在AA '上运动，过C 作CEAA 于,E 则,Q E 重合时，CQ 最短，再求解26tan 30,3DGAD 2622,3CG DC DG从而可得答案. 【详解】解：如图，连接,,PQ AQ PQ 交AB 于,F 则,60,BP BQ PBQPBQ ∴是等边三角形，60,PQB QBP QPB30,DAN 正方形,ABCD90,22,BAD AB AD DC60,MAB PQB ,AFP BFQ,AFP QFB ∽ ,AFPF QF BF,APF ABQ ,AFQ PFB ,PFB AFQ ∽,PBF AQF60,AQFAPQ ABP ABQ PBQ 360180,APB AQB 把ABP △绕B 顺时针旋转60︒得到,A BQ则,ABP A BQ ≌ ,APBA QB 180,A QB AQB ,,A Q A 三点共线，∴ Q 在AA '上运动，过C作CE AA于,E则,Q E重合时，CQ最短，60,22,ABA AB A BABA是等边三角形，记AA'交DC于,G60,30,BAA DAG60,AGD CGE326tan3022,33DG AD2622,3CG DC DG326sin60226 2.23CE CG所以CQ【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，得到Q的运动轨迹是解本题的关键.4、①③④【解析】【分析】如图：连接OB、OC，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，可证△BOD≌△COE，即BD=CE、OD=OE，则可对①进行判断；利用α△ααα=α△ααα得到四边形ODBE的面积=13α△ααα=√33，则可对③进行判断；再作OH⊥DE，则DH=EH，计算出S△DOE=√34αα2,利用S△DOE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长=BC+DE=4+DE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．【详解】解：连接OB 、OC ，如图，∵等边ABC∴∠ABC =∠ACB =60°,∵点O 是△ABC 的中心，∴OB =OC ，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠ABO =∠OBC =∠OCB =30°∵∠BOC =120°，即∠BOE +∠COE =120°，而∠DOE =120°，即∠BOE +∠BOD =120°，∴∠BOD =∠COE ,在△BOD 和△COE 中{∠ααα=∠ααααα=αα∠ααα=∠ααα∴△BOD ≌△COE ,∴BD =CE ，OD =OE ，所以①正确；∴α△ααα=α△ααα∴四边形ODBE 的面积 =α△ααα=13α△ααα=13×√34×22=√33，故②正确；如图：作OH⊥DE，则DH=EH，∵∠DOE=120°,∴∠ODE=_OEH=30°,∴αα=12αα，HE=√3αα=√32αα,∴αα=√3αα,∴α△ααα=12⋅12αα⋅√3αα=√34αα2,即S△DOE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，∴α△ααα≠α△ααα;所以③错误；∵BD=CE,∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=2+DE当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时αα=√33,∴△BDE周长的最小值=2+1=3,所以④止确．故填①③④．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键5、【解析】【分析】（1）矩形ABCD中，由折叠可得DF=AD=3，在Rt CDF中，用勾股定理求得CDABCD的面积；（2）由折叠可得AF DE ⊥，AE EF =，矩形ABCD 中，90ABF ∠=︒，B E N F 、、、四点共圆，故BNF BEF ∠=∠，设AE EF x ==，在Rt BEF △中，由勾股定理得： x =sin BNF ∠的值. 【详解】（1）矩形ABCD 中，3AD =，13BF BC =，∴3BC AD ==，113BF AD ==，2CF BC BF =-=，90C ∠=︒， 由折叠可得DF =AD =3，在Rt CDF 中，CD =∴矩形ABCD 的面积=3AD CD ⋅=故答案为：（2）将ADE 沿DE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上，∴AF DE ⊥，AE EF =，矩形ABCD 中，90ABF ∠=︒，B E N F ∴、、、四点共圆，BNF BEF ∴∠=∠，设AE EF x ==，则BE AB AE x =-，在Rt BEF △中，由勾股定理得：222BE BF EF +=，即222)1x x +=，解得x =，∴sin BNF ∠=sin BF BEF EF ∠==【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质、锐角三角函数等知识，掌握相应的定理是解答此题的关键.三、解答题1、0【解析】【分析】先将特殊角锐角三角锐角三角函数值代入，再合并，即可求解．【详解】解：2213=⨯+原式 11122=-+ =0【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角锐角三角锐角三角函数值是解题的关键．2、（1）2y =；（2）直线EN 与⊙O 相切，理由见解析；（3）2y =-或2y =- 【解析】【分析】（1）结合题意，根据圆和勾股定理的性质，计算得圆的半径，从而得()2,0A -，()2,0B ；根据抛物线轴对称的性质，得经过A 、N 、B 三点的抛物线，对称轴为：0x =；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）根据抛物线的性质，计算得0,E ⎛ ⎝⎭；根据勾股定理的性质，得2NE ，2OE ；根据圆的性质，得ON ；根据勾股定理的逆定理，通过222ON NE OE +=，推导得90ONE ∠=︒，结合圆的切线的定义，即可得到答案；（3）结合（2）的结论，根据特殊角度三角函数的性质，得30NOE ∠=︒，分当点P 纵坐标大于0和小于0两种情况，根据圆周角、圆心角的性质，推导得30QOB NOE ∠=∠=︒；根据含30角直角三角形和勾股定理的性质，计算得点Q 坐标，再通过待定系数法求解一次函数解析式，即可得到答案．【详解】（1）∵⊙O 过点M∴2OM =∵⊙O 交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），∴OA OB OM ==∴()2,0A -，()2,0B∴经过A 、N 、B 三点的抛物线，对称轴为：0x =∵⊙O 交OM 的反向延长线于点N∴(1,N - 设经过A 、N 、B 三点的抛物线为：2y ax bx c =++∴经过A 、N 、B 三点的抛物线，对称轴为：0x =∴0b =∴2y ax c =+ ∴40a c a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴经过A 、N 、B三点的抛物线为：2y x =； （2）经过A 、N 、B三点的抛物线为：2y x =，且对称轴为：0x = ∴当0x =时，抛物线取最小值y =0,E ⎛ ⎝⎭∴()222413NE ⎛=-+= ⎝⎭，22163OE ⎛== ⎝⎭∵2ON OM ==∴24ON = ∵416433+= ∴222ON NE OE +=∴90ONE ∠=︒∴直线EN 与⊙O 相切；（3）∵90ONE ∠=︒∴1sin 2NE NOE OE ∠=== ∴30NOE ∠=︒如图，当点P 纵坐标大于0时，直线EP 交⊙O 于点Q ，连接OQ ，过点Q 作QK OB ⊥，交OB 于点K∴2OQ OD OM ===∴()0,2D -∵PDB DMN ∠=∠，2NOE DMN ∠=∠，2QOB PDB ∠=∠ ∴30QOB NOE ∠=∠=︒ ∴112QK OQ ==∴OK ==∴)Q 设直线DP 的解析式为：y kx b =+∴12b b +==-⎪⎩∴2k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴2y =-；如图，当点P 纵坐标小于0时，直线EP 交⊙O 于点Q ，连接OQ ，过点Q 作QK OB ⊥，交OB 于点K∴2OQ OD OM === ∵PDB DMN ∠=∠，2NOE DMN ∠=∠，2QOB PDB ∠=∠ ∴30QOB NOE ∠=∠=︒ ∴112QK OQ ==∴OK ==∴)1Q - 设直线DP 的解析式为：y kx b =+∴12b b +=-=-⎪⎩∴2k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴2y -； ∴直线DP的解析式为：2y =-或2y =-． 【点睛】本题考查了圆、二次函数、一次函数、勾股定理、直角三角形、轴对称、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、圆周角、圆心角、二次函数图像、勾股定理及其逆定理、切线、特殊角度三角函数的性质，从而完成求解．3、（1）见解析；（21【解析】【分析】（1）作线段AB 的垂直平分线即可；（2）由垂直平分线的性质求出45ADC DAC ∠=∠=︒，设AC x =，BD AD ==，在三角形ABC 中利用三角函数即可求解．【详解】（1）作图如下，（2）根据垂直平分线的性质知，BD AD =，22.5DBE DAE ∠=∠=︒，在三角形ACD 中，45ADC DAC ∠=∠=︒设AC x =，∴AD =，∴BD AD ==，∴在三角形ABC 中，9022.567.5BAC ∠=︒-︒=︒，∴tan 67.51BC AC ︒===． 【点睛】 本题考查的是作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、三角函数，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．4、（1）：y =14x 2-12x -2；（2）a （3）在直线BD 上不存在点E ，使∠AEC =45°．理由见解析 【解析】【分析】（1）令y =0可得A 和B 两点的坐标，把点B 的坐标代入直线y =-34x +b 中可得b 的值，根据点D 的横坐标为-5，可得点D 的坐标，将点D 的坐标代入抛物线的解析式中可得答案；（2）因为点P 在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP 为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC ∽△APB 或△ABC ∽△PAB ．如图1和图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；（3）根据OA =OC =2，∠AOC =90°画圆O ，半径为2，可知若优弧上存在一点E 与A ，C 构建的∠AEC =45°，再证明BD 与⊙O 相离，圆外角小于圆上角，可得结论．【详解】解：（1）抛物线y =a （x +2）（x -4），令y =0，解得x =-2或x =4，∴A （-2，0），B （4，0），把B （4，0）代入直线y =−34x +b 中，b =3，∴直线的解析式为y =-34x +3，当x=-5时，y=-34×（-5）+3=274，∴D（-5，274），∵点D（-5，274）在抛物线y=a（x+2）（x-4）上，∴a（-5+2）（-5-4）=274，∴a=14，∴抛物线的函数表达式为：y=14（x+2）（x-4）=14x2-12x-2；（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=-8a，∴C（0，-8a），OC=8a．∵点P在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP为钝角．∴若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．过点P作PN⊥x轴于点N，①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如图1所示，设P（x，y），则ON=x，PN=y，tan ∠BAC =tan ∠PAB ， ∴OC PN OA AN =，即：822a y x =+， ∴y =4ax +8a ，∴P （x ，4ax +8a ），代入抛物线解析式y =a （x +2）（x -4），得a （x +2）（x -4）=4ax +8a ，整理得：x 2-6x -16=0，解得：x =8或x =-2（与点A 重合，舍去），∴P （8，40a ），∵△ABC ∽△APB ，∴AC ABAB AP =，解得：a ②若△ABC ∽△PAB ，则有∠ABC =∠PAB ，如图2所示，与①同理，可求得：y =2ax +4a ，∴P （x ，2ax +4a ），代入抛物线解析式y =a （x +2）（x -4），得a （x +2）（x -4）=2ax +4a ，整理得：x 2-4x -12=0，解得：x =6或x =-2（与点A 重合，舍去），∴P （6，16a ），∵△ABC ∽△PAB ，∴AB BCAP AB =，解得：a综上所述，a （3）在（1）的条件下，二次函数的解析式为：y =14x 2-12x -2；当x =0时，y =-2，∴C （0，-2），∴OA =OC =2，如图3，以O 为圆心2为半径画圆，在ANC 上取一点E 1，过点O 作OF ⊥BD 于F ，∵∠AOC =90°，∴∠AE 1C =45°，在直线y =-34x +3中，OM =3，OB =4，∴BM =5，∴S △OBM =12×3×4=12×5OF ，∴OF =125＞2， ∴直线BD 与⊙O 相离，∴∠AEC ＜45°，∴在直线BD 上不存在点E ，使∠AEC =45°．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，解直角三角形，直线和圆的位置关系，圆周角的性质，坐标和图形的性质等知识，解（1）的关键是确定点D 的坐标，解（2）的关键是利用分类讨论的思想；解（3）的关键是作出辅助线，是一道难度比较大的中考常考题．5、（1）证明见解析；（2）①4π-【解析】【分析】（1）连接AO ，由AC AD =，四边形ABCD 是平行四边形，即得推得ACO △为等边三角形，即可得∠BAO =∠BAC +∠CAO =90°，即BA 是⊙O 的切线．（2）①由（1）有A 0=tan 60AB =︒②将阴影面积拆为相等的两部分，其中左侧部分为扇形ACO 面积减去三角形ACO 面积，由扇形面积公式，等边三角形面积公式计算后乘2即可．【详解】（1）证明：连接OA∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD//BE∴∠ADC=∠DCO又∵AC AD=∴∠ACD=∠ADC∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=2∠ADC又∵2∠ADC=AOC∠∴AOC ACO∠=∠∴AO=AC又∵OC=AO∴ACO△为等边三角形∴∠ACO=∠CAO=60°，∠ACD=∠DCO=30°又∵AB//CD∴∠BAC=∠ACD=30°∴∠BAO=∠BAC+∠CAO=30°+60°=90°∴BA是⊙O的切线．（2）①由（1）可知∠BAO=90°，∠BOA=60°∴tanBA BOAAO ∠=∴AO =6tan tan BA BOA BOA ===∠∠②连接AO ，与CD 交于点M∵AC =OAC =60°∴CM =sin 603AC ⋅︒==∴11322AOC S AO CM =⋅⋅=⨯=△∵AO =AOC =60°∴22360AOCn r S ===︒扇形ππ ∴2AOC AOC S S S =-△阴影扇形（）∴224S =-=-阴影（ππ【点睛】本题是一道圆内的综合问题，考察了证明某线是切线、平行四边形性质、等弧的性质、解直角三角形、等边三角形性质、勾股定理、扇形面积公式等，需熟练掌握这些性质及定理，而作出正确的辅助线是解题的关键．。
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