2020届河北省石家庄二中高三(3月份)高考热身数学(文)试题(解析版)
2020年河北省石家庄市高考数学综合训练试卷(文科)(二) (含解析)
2020年河北省石家庄市高考数学综合训练试卷(文科)(二)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1，2，3，4，5}，B={x|x2−x−2≤0}，则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1，2}C. {−1,0，1}D. {0,1}2.已知复数z满足(1+i)z=(1−i)2，则z=()A. −1+iB. 1+iC. 1−iD. −1−i3.林管部门在每年植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是()A. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐4.已知A={a|关于x的不等式ax2+2ax−2<0的解集为R}，B={a|−2<a<0}，则x∈A是x∈B的()A. 既不充分也不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 充分而不必要条件5.已知抛物线x2=2py的焦点是F，其上一点M(m,1)，其中|MF|=3，则p=()A. 8B. 4C. 14D. 186.在△ABC中，4sinA+3cosB=5，4cosA+3sinB=2√3，则角C等于()A. 150∘或30∘B. 120∘或60∘C. 30∘D. 60∘7.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且(a+c)2=12+b2，则△ABC的面积为()A. 6−3√3B. 6√3−9C. 2√3D. √38.已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()A. β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B. β内不一定存在直线与m 平行，也不一定存在直线与m 垂直C. β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直D. β内必存在直线与m 平行，但不一定存在直线与m 垂直9. 已知函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1，则满足f(1−t)<f(1+t)的t 的取值范围是( ) A. (−∞,0) B. (−1,0) C. (0,+∞) D. (0,1)10. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 311. 已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC =2，则此三棱锥的体积为( ) A. 14 B. √24 C. √26 D. √212 12. 如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [−18,3]B. [−1,3]C. [−1,1]D. [−18,1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等差数列{a n }中，a 3=9，a 9=−3，a 17= ______ ．14. 小明随机播放A ，B ，C ，D ，E 五首歌曲中的两首，则A ，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是______．15. 设双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3，则其渐近线的方程为______．16. 设函数f(x)=e x −e −x ，若对所有x ≥0都有f(x)≥ax ，则实数a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=an 2a n +1(n ∈N ∗). (1)求证：数列{1a n }为等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式a n；(3)设2b n =1a n+1，数列{b n b n+2}的前n项和T n，求证：T n<34．18.如图，在三棱锥P−ABC中，△ABC和△PAC都是正三角形，AC=2，E、F分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D，平面PAC⊥平面ABC．(Ⅰ)证明：EF⊥ED；(Ⅱ)求点F到平面PAB的距离．19.为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两名学生在校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据如图所示(单位：mm)：平均数方差完全符合要求的个数A200.0262B20s B25根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为_________学生的成绩好些；(2)计算出s B2的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0b>0)的离心率为12，点F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x−y+√6=0相切．(I)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若过点F2的直线l与椭圆C相交于点M，N两点，求使△F l MN面积最大时直线l的方程．21.设函数f(x)=xe a−x+bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e−1)x+4．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为x2+y2−2x=0，以原点O为极点，x轴正半轴为．极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=31+2sinθ(Ⅰ)求C1的参数方程与C2的直角坐标方程；(ρ≥0)与C1交于异于极点的点A，与C2的交点为B，求|AB|．(Ⅱ)射线θ=π323.已知函数f(x)=|2x−1|−a(a∈R)．(1)若f(x)在[−1,2]上的最大值是最小值的2倍，解不等式f(x)≥5；f(x+1)成立，求实数a的取值范围．(2)若存在实数x使得f(x)<12-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|−1≤x≤2}；∴A∩B={0,1，2}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查交集的运算，属于基础题．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，则z−可求．解：由(1+i)z=(1−i)2=−2i，得z=−2i1+i =−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−1−i，∴z−=−1+i．故选：A．3.答案：D解析：解：由茎叶图中的数据得，甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知得：甲的中位数是12×(25+29)=27，乙的中位数是12×(27+30)=28.5；且甲的数据分布比较集中，乙的数据分布较为分散，∴乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选：D．由茎叶图中的数据求出甲、乙的中位数，根据数据的分布情况得出甲、乙树苗长得整齐情况． 本题考查了茎叶图与中位数、方差的应用问题，是基础题．4.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式恒成立的条件求出A 的集合是解决本题的关键．难度不大．根据不等式恒成立，求出集合A 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解：当a =0时，不等式ax 2+2ax −2<0等价为−2<0，此时不等式恒成立，满足条件；当a ≠0时，要使不等式ax 2+2ax −2<0的解集为R ，则{a <0△=4a 2+8a <0，得−2<a <0， 综上A ={a|关于x 的不等式ax 2+2ax −2<0的解集为R}={a|−2<a ≤0}，∵B ={a|−2<a <0}，∴B ⫋A ，即x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，故选：B ．5.答案：B解析：解：抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，抛物线C 上一点M(m,1)满足|MF|=3，可得：{m 2=2p m 2+(1−p 2)2=9， 解得：m 2=8，p =4，故选：B ．利用点的抛物线上，推出m ，p 的方程，利用|MF|=3，列出方程，求出m 2，p 即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查方程思想的应用，是中档题．6.答案：C解析：本题考查三角函数的化简求值，属于中档题，注意角的范围的判断，是本题的易错点． 利用同角函数的关系式求出A ，B 的关系，可得C 的大小．解：由4sinA+3cosB=5，可得：16sin2A+9cos2B+24sinAcosB=25…①，由4cosA+3sinB=2√3，可得：16cos2A+9sin2B+24sinBcosA=12…②，用①+②可得：25+24(sinAcosB+sinBcosA)=37，∵sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC，∴24sinC=12，sinC=12，∴C=150∘或C=30∘．∵当C=5π6，即A+B=π6时，A<π6，∴cosA>cosπ6=√32，∴4cosA>4√32，∵sinB>0，∴3sinB>0，∴3sinB+4cosA>2√3，与题中的3sinB+4cosA=2√3矛盾．故选C.7.答案：D解析：由角A、B、C依次成等差数列，可求角B，由余弦定理及(a+c)2=12+b2，可求ac，再利用三角形面积公式可求答案．该题考查余弦定理、三角形面积公式，属于基础题．解：∵角A、B、C依次成等差数列，∴2B=A+C，又∵A+B+C=180°，∴B=60°，则由余弦定理得：b2=a2+c2−2accos60°，即b2=a2+c2−ac①，又∵(a+c)2=12+b2，②由①②可得ac=4，∴S△ABC=12acsin60°=√3，故选D．。
2020届河北省石家庄二中高三年级上学期第三次联考数学(文)科试题(解析版)
2020届河北省石家庄二中高三年级上学期第三次联考数学（文）科试题一、单选题1．设{}11A x x =-<<，{}0B x x a =->，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞- B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】A【解析】根据A B ⊆，得到1a ≤-，即可求解实数a 的取值范围，得到答案。
【详解】由题意，集合{}11A x x =-<<，{}{}0B x x a x x a =->=， 因为A B ⊆，则1a ≤-，即实数a 的取值范围是(,1]-∞-。
故选：A 。
【点睛】本题主要考查了利用集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟练集合的包含关系，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2．己知命题p ：,21000n n N ∃∈>，则p ⌝为（ ） A ．,21000n n N ∀∈< B ．,21000n n N ∀∉< C ．,21000n n N ∀∈≤ D ．,21000n n N ∀∉≤【答案】C【解析】先改存在量词为全称量词,再否定结论. 【详解】p ⌝:,21000n n N ∀∈≤.故选C. 【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定,属于基础题. 解题方法:先改量词,再否定结论.3．己知复数z 满足2019(1)i z i -=-（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．12B ．2C ．1D【答案】B【解析】根据i 的幂运算性质可得2019i i =-，再由复数的除法运算可求得z ，从而求出||z .【详解】2019(1)i i z i-=-=，则(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====-+--+，所以，||2z ==. 所以本题答案为B. 【点睛】本题考查复数的乘除法和复数的模，解决复数问题，要通过复数的四则运算将复数表示为一般形式，结合复数相关知识求解，考查计算能力，属于基础题.4．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（ ） A ．24里 B ．48里 C ．96里 D ．192里【答案】D【解析】每天行走的步数组成公比为12的等比数列,根据前6项和为378列式可解得. 【详解】设第n 天行走了n a 步,则数列{}n a 是等比数列,且公比12q =, 因为123456378a a a a a a +++++=,所以23451(1)378a q q q q q +++++=,所以12345378111111()()()()22222a =+++++ 6378378192111()2(1)264112===--- , 所以第一天走了192里. 故选:D 【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式中的基本量的计算,属于基础题.5．已知函数()f x 为偶函数，且对于任意的()12,0,x x ∈+∞，都有1212()()f x f x x x --()120x x >≠,设(2)a f =，3(log 7)b f =，0.1(2)c f -=-则（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】C【解析】首先判断函数在()0,∞+的单调性，然后根据偶函数化简()()0.10.122f f ---=，然后比较2，3log 7，0.12-的大小，比较,,a b c 的大小关系.【详解】若()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，则函数在()0,∞+是单调递增函数， 并且函数是偶函数满足()()f x f x -=， 即()()0.10.122f f ---=，0.1021-<<，31log 72<<()f x 在()0,∞+单调递增，()()()0.132log 72f f f -∴<<，即c b a <<. 故选:C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小，意在考查函数性质的应用，意在考查转化和变形能力，属于基础题型.6．若函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图像关于y 轴对称，则当ϕ最小时，tan ϕ=（ ） A．BC．D．【答案】B【解析】根据平移变换得到解析式后,利用所得的图像关于y 轴对称列式,再求最小值. 【详解】将函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后,得到函数sin[2()]sin(22)66y x x ππϕϕ=+-=+-,因为其图像关于y 轴对称,所以262k ππϕπ-=+,k Z ∈,即23k ππϕ=+,k Z ∈,因为0ϕ>,所以0k =时,ϕ取得最小值3π,此时tan tan 3πϕ==故选B . 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换,以及对称轴,属于中档题. 7．已知函数21()cos 4f x x x =+的图象在点()t f t （，）处的切线的斜率为k ，则函数()k g t =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得1()sin 2f x x x '=-，得到函数在点()t f t （，）处的切线的斜率为1()sin 2k f t t t ='=-，得出函数()1sin 2t g t t -=，利用函数的奇偶性和特殊的函数的值，即可求解。
2020年3月2日河北省石家庄市第二中学2020届高三内部真题考试数学文科答案
5.D.【解析】∵ cos( − ) = 3 , ∴ sin 2 = cos( − 2 ) = 2 cos2 ( − ) −1 = − 7 .故选 D
4
5
2
4
25
6．A【解析】由三视图知该几何体的直观图放在正方体中是如图所示的三棱锥 A−BCD，其外
接球就是正方体的外接球．设外接球的半径为 R，因为正方体的棱长为 2，其体对角线为外接
石家庄二中高三年级数学热身考试（文科）答案
一、选择题
1．B【解析】由题意知|z|=
| 2i |
|2|
==
2 ，利用性质 z·z =|z|2，得 z·z =2，故选 B．
|1+i| 2
2.D【解析】由题意知，A ={x∈Z|y= 4x − x2 − 3 }={1，2，3}，且 B={a，1}，由 A∩B=B，知 B A，则
( ) ( ) ( ) f
x 单调递增。所以应该 f
x1
f
x2
，B
错误;C
选项： x2ex1
x1ex2
e x1
x1
e x2
x2
，构造函数
f
(x)
=
ex x
，
f
'
(x)
=
(x
− 1) ex
出：x (0, x0 ), g' ( x) 0 f ' ( x) 0, x ( x0,1), g' ( x) 0 f ' ( x) 0 ，所以 f ( x) 在 (0,1) 不单调，
( ) 不等式不会恒成立;B 选项： ex1 − ex2 ln x2 − ln x1 ex1 + ln x1 ex2 + ln x2 ，设 f x = ex + ln x 可知
河北省石家庄二中2020届高三下学期教学质量检测(文数)
河北省石家庄二中2020届高三下学期教学质量检测数 学（文科）（时间：120分钟分值：150分）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一．选择题（共12题，每题5分，共60分） 1．己知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=4241x xA ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==101,lg x x y y B ，则=B A I( )A ．]2,2[-B ．),1(+∞C ．]2,1(-D ．),2(]1,(+∞--∞Y2．己知复数z 在复平面内对应的点的坐标为)2,1(-，则=+iz1( )A ．i 2323+-B ．i 2123+-C ．i 2321+-D ．i 2321+3．“2<a ”是“2||<a ” 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．己知4log 3=a ，3132⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，5131log=c ，则c b a ,,的大小关系为( )A ．b a c >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >> 5．右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学 测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．己知两组 数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为 ( ) A ． 0, 0 B ． 0, 5 C ． 5, 0 D ． 5, 56． 函数x e e x f xx cos 11)(⋅-+=的部分图象大致为 ( )7．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“己知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A ．152πB ．203πC ．1521π-D ．2031π-8．将函数x x f 2cos )(=图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，如果)(x g 在区间],0[a 上单调递减，那么实数a 的最大值为( )A ．8π B ．4π C ．2πD ．π439．设O 是坐标原点，F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的一个焦点，点M 在C 外，且OF MO 3=，P 是过点M 的直线l 与C 的一个交点，PMF ∆是有一个内角为120°的等腰三角形，则C 的离心率等于( )A ．43 B ．33C ．413+ D ．2310．己知三棱锥ABC P -中，⊥PB 平面ABC ，BC AC ⊥，,2=AC 1=BC 且PB PA 2=，则其外接球的体积为 ( )A ．34πB ．π4C ．332π D ．π3411．《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵77cm ，横53cm ．油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面237cm （如图所示）．有一身高为175cm 的游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛C 的距离为15cm ），设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ．为使观赏视角θ最大，x 应为( ) cm ．A ．77B ． 80C ． 100D ．27712．设函数x x x f ln )(=x x f x g )(')(=，给出下列四个命题： ①不等式0)(>x g 的解集为⎪⎭⎫⎝⎛∞+e 1；②函数)(x g 在),0(e 上单调递增，在),(+∞e 上单调递减；③若021>>x x 时，总有)()()(2212221x f x f x x m ->-恒成立，则1≥m ；④若函数2)()(ax x f x F -=有两个极值点，则实数)1,0(∈a ．则所有正确的命题的序号为( )A ．①③B ．①②C ．②③④D ．①③④第Ⅱ卷非选择题（共90分）二．填空题（共4题，每题4分，共20分）13．己知向量)1,2(=a ，)4,(x b =，若b a ⊥=+b a ______________．14．在平面直角坐标系中，己知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点)0,3(F 到它的一条渐近线的距离为2，则双曲线的实轴长为_______．15．己知递增数列}{n a 的前n 项和为S n ，11=a ，若141-=+n n n S a a ，则a n ＝_________． 16．己知ABC ∆的三个内角为C B A ,,，且C B A sin ,sin ,sin 成等差数列，则B B cos 22sin + 的最大值为__________，最小值为____________．三．解答题（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2020年河北省石家庄二中高考数学0(含答案解析).5模数学试卷(文科)
2020年河北省石家庄二中高考数学0.5模数学试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|−1<x<5}，B={x|0<x≤2}，则A∩B=()A. {x|−1<x≤2}B. {x|0<x<5}C. {0,1，2}D. {1,2}2.复数z满足z=2+ii+i，则|z|=()A. √2B. 2C. √5D. √103.设a=log52，b=e−12，c=log3π，则()A. a<c<bB. b<c<aC. a<b<cD. b<a<c4.若a1，a2，a3，…a20这20个数据的平均数为x.，方差为0.21，则a1，a2，a3，…a20，x.这21个数据的方差为()A. 0.19B. 0.20C. 0.21D. 0.225.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像关于直线x=π3对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图像的一个对称中心是()A. (π12,0) B. (π3,1) C. (5π12,0) D. (−π12,0)6.若数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n.n=1，2，3….则a1+a2+⋯+a n=______ ．A. 353453453B. 3453453C. 3543453D. 4534537.已知变量x，y满足{x−y≥−2x+y≥−2x≥0，则z=−2x+y的取值范围为()A. [−2,2]B. (−∞,−2)C. (−∞,2]D. [2,+∞)8.已知平面向量a⃗=(1,−3),b⃗ =(−2,0)，则|a⃗+2b⃗ |=()A. 3√2B. 3C. 2√2D. 59.己知A、F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，点D在C上，△AFD是等腰直角三角形，且∠AFD=90°，则C的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √2+110.已知函数f(x)=e x−e−x2，x∈R，若对任意θ∈(0,π2]，都有f(msinθ)+f(1−m)>0成立，则实数m的取值范围()A. (0,1)B. (0,2)C. (−∞,1)D. (−∞,1]11.已知A，B，C是球O球面上的三点，且AB=AC=3,BC=3√3，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D−ABC体积的最大值为()A. 9√34B. 3√34C. 94D. 27412.已知曲线f(x)=ke−2x在点x=0处的切线与直线x−y−1=0垂直，若x1，x2是函数g(x)=f(x)−|lnx|的两个零点，则()A. 1<x1x2<√e√e<x1x2<1C. 2<x1x2<2√e√e<x1x2<2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，各型号产品数量之比依次为k:5:3，现按年级用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A种型号产品抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为_________．14.记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=______．15.已知单位向量a⃗，b⃗ ，满足a⃗⋅b⃗ =0，向量c⃗满足|c⃗−a⃗|+|c⃗−2b⃗ |=√5，则|c⃗+a⃗|的取值范围是______．16.已知抛物线方程为x2=12y，过抛物线的焦点作倾斜角为60°的直线与抛物线相交于A，B两点，则|AB|=_________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△A BC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB=35且ac=35．(1)求△ABC的面积；(2)若a=7，求角C．18.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：34，21，13，30，29，33，28，27，10乙运动员得分：49，24，12，31，31，44，36，15，37，25，36(Ⅰ)根据两组数据完成甲、乙两名运动员得分的茎叶图，并通过茎叶图比较两名运动员成绩的平均值及稳定程度；(不要求计算出具体值，给出结论即可)(Ⅱ)若从甲运动员的9次比赛的得分中选2个得分，求两个得分都超过25分的概率．19.如图：在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，AC=2√3，PA=2，E是PC上点，且PC⊥平面BDE．(1)求证：BD⊥PC；(2)求三棱锥P−BED的体积．20.已知椭圆C：x24+y23=1与直线l1交于A，B两点，l1不与x轴垂直，圆M：x2+y2−6y+8=0．(Ⅰ)若点P在椭圆C上，点Q在圆M上，求|PQ|的最大值；(Ⅱ)若过线段AB的中点E且垂直于AB的直线l2过点(18,0)，求直线l1的斜率的取值范围．21.已知函数f(x)=x+1−ln x．(Ⅰ)求f(x)的最小值；(Ⅱ)若e x−1+x≥axf(x)，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：{x=1+√7cosθy=√7sinθ(θ是参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)已知直线l1：2ρsin(θ+π3)−√3=0，射线l2：θ=π3(ρ>0)与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．23.已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x−2|的最小值为m．(1)求m的值；(2)若a，b，c为正实数，且a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．先求出A，再求交集即可．解：集合A={x∈Z|−1<x<5}={0,1，2，3，4}，B={x|0<x≤2}，则A∩B={1,2}．故选D．2.答案：A解析：解：∵z=2+ii+i，∴|z|=|1−i|=√2，故选：A．先化简z，再求模即可．本题考查复数求模，正确化简复数是关键．3.答案：C解析：解：∵0<log52<log5√5=12，即a∈(0,12)；1=e0>e −12=√e >√4=12，即b∈(12,1)，log3π>c=log33=1，即c>1，∴a<b<c．故选：C．利用对数函数的单调性与性质以及指数函数的单调性与性质，推出a，b，c的范围，即可比较大小，得到答案．本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查了平均数与方差的概念与应用问题，是基础题．根据平均数与方差的概念，计算即可得出答案．解：a 1，a 2，a 3，…a 20这20个数据的平均数为x .，方差为0.21，∴s 2=120×[(a 1−x .)2+(a 2−x .)2+(a 3−x .)2+⋯+(a 20−x .)2]=0.21 ∴(a 1−x .)2+(a 2−x .)2+(a 3−x .)2+⋯+(a 20−x .)2=4.2 ∴则a 1，a 2，a 3，…a 20，x .这21个数据的x .，方差为s′2=121×[(a 1−x .)2+(a 2−x .)2+(a 3−x .)2+⋯+(a 20−x .)2+(x .−x .)2] =121×4.2=0.20．故选B ．5.答案：A解析：本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于基础题．利用对称轴与对称中心的横坐标相差个周期即可求解．解：，设对称中心的横坐标为x 0，因为函数有一条对称轴为x =π3， 所以， 所以， 所以，令，得， 所以(π12,0)为一个对称中心，故选A ．6.答案：C解析：解：数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=2a n .n =1，2，3….所以数列是等比数列，公比为：2； a 1+a 2+⋯+a n =1(1−2n )1−2=2n −1；故答案为：2n −1由题意推出数列是等比数列，求出公比，直接求出它的前n 项和即可．本题考查数列的求和公式的应用，数列的递推关系式，判断数列是等比数列，还是等差数列，主要依据数列的定义，注意公比是数值，是解题的关键． 7.答案：C解析：作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点(0,2)时，z 最大，从而得出目标函数z =−2x +y 的取值范围．本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解：画出变量x ，y 满足{x −y ≥−2x +y ≥−2x ≥0表示的平面区域：将目标函数变形为y=2x+z，作出目标函数对应的直线，直线过点(0,2)时，直线的纵截距最大，z最大，最大值为2；则目标函数z=−2x+y的取值范围是(−∞,2]．故选：C．8.答案：A解析：本题考查向量的坐标计算，涉及向量模的计算，关键是掌握向量的坐标计算公式．属于基础题．根据题意，由向量a⃗、b⃗ 的坐标可得a⃗+2b⃗ =(−3,−3)，由向量模的计算公式计算可得答案．解：根据题意，向量a⃗=(1,−3)，b⃗ =(−2,0)，则a⃗+2b⃗ =(−3,−3)，则|a⃗+2b⃗ |=3√2，故选：A．9.答案：C解析：解：由题意，|AF|=|DF|∴c+a=b2a，∴e2−e−2=0，∵e>1，∴e=2，故选：C．由题意，|AF|=|DF|，可得c+a=b2a，即可求出C的离心率．本题考查双曲线C的离心率，考查学生的计算能力，比较基础．10.答案：D解析：解：∵f(x)=e x−e−x2，∴f(−x)=e−x−e x2=−e x−e−x2=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，且函数f(x)在(−∞,+∞)是为增函数，由f(msinθ)+f(1−m)>0得f(msinθ)>−f(1−m)=f(m−1)，则msinθ>m−1，即(1−sinθ)m<1，当θ=π2时，sinθ=1，此时不等式等价为0<1成立，当θ∈(0,π2)，0<sinθ<1，∴m<11−sinθ，∵0<sinθ<1，∴−1<−sinθ<0，0<1−sinθ<1，则11−sinθ>1，则m≤1，故选：D．根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．11.答案：D解析：解：如图，在△ABC中，∵AB=AC=3，BC=3√3，∴由余弦定理可得cosA=32+32−(3√3)32×3×3=−12，则A=120°，∴sinA=√32．设△ABC外接圆的半径为r，则√3√32=2r，得r=3．设球的半径为R，则R2=(R2)2+32，解得R=2√3．∵S△ABC=12×3×3×√32=9√34，∴三棱锥D−ABC体积的最大值为13×9√34×3√3=274，故选：D．由题意画出图形，求出三角形ABC外接圆的半径，设出球的半径，利用直角三角形中的勾股定理求得球的半径，则三棱锥D−ABC体积的最大值可求．本题主要考查空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，是中档题．12.答案：B解析：求出f(x)的导数，求得在x =0处的切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得k 的值，令g(x)=0，则|lnx|=12e −2x ，作出y =|lnx|和y =12e −2x 的图象，可知恰有两个交点，设零点为x 1，x 2且|lnx 1|>|lnx 2|，再结合零点存在定理，可得结论．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确作出函数图象是关键．解：f(x)=ke −2x 在的导数为f′(x)=−2ke −2x ，在点x =0处的切线斜率为k =−2k ，由切线与直线x −y −1=0垂直，可得−2k =−1，解得k =12，则f(x)=12e −2x ，令g(x)=0，则|lnx|=12e −2x ，作出y =|lnx|和y =12e −2x 的图象，可知恰有两个交点，设零点为x 1，x 2且|lnx 1|>|lnx 2|，0<x 1<1，x 2>1，故有1x 1>x 2，即x 1x 2<1． 又g(1√e )=12e −2√e −12<0， g(1)>0，∴√e <x 1<1，∴x 1x 2>√e ， 即有1√e <x 1x 2<1．故选B ．13.答案：36解析：本题考查抽取的产品件数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．由分层抽样性质列出方程k k+3+5=24120 ，求出k =2，由此能求出C 种型号产品抽取的件数．解：∵各型号产品数量之比依次为k:5:3，∴由k k+3+5=24120，解得k =2，∴C 种型号产品抽取的件数为120×310=36．14.答案：14解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．由a 3=0，a 6+a 7=14，可得{a n }的首项和公差，结合等差数列的求和公式求解即可． 解：设等差数列{a n }的公差为d ，a 3=0，a 6+a 7=14，∴{a 1+2d =0a 1+5d +a 1+6d =14，解得a 1=−4，d =2， ∴S 7=7a 1+7×62d =−28+42=14．故答案为14．15.答案：[4√55,√5]解析：解：由题意，单位向量a ⃗ ，b ⃗ ，满足a ⃗ ⋅b ⃗ =0，不妨设a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(0,1)，c⃗ =(x,y)， ∴c ⃗ −a ⃗ =(x −1,y)，c ⃗ −2b⃗ =(x,y −2)， ∵|c ⃗ −a ⃗ |+|c ⃗ −2b ⃗ |=√5，∴√(x−1)2+y2+√x2+(y−2)2=√5，即(x,y)到点(1,0)和(0,2)的距离和为√5，则直线AB的方程为2x+y−2=0，∵|c⃗+a⃗|=√(x+1)2+y2表示点(−1,0)点到直线直线AB上点的距离，∴d min=√5=4√55，最大值为(−1,0)到(0,2)的距离即为√1+4=√5，故|c⃗+a⃗|的取值范围是[4√55,√5]，故答案为：[4√55,√5]由题意，不妨设a⃗=(1,0)，b⃗ =(0,1)，c⃗=(x,y)，根据|c⃗−a⃗|+|c⃗−2b⃗ |=√5可得(x,y)到点(1,0)和(0,2)的距离和为√5，可得直线AB的方程，则|c⃗+a⃗|=√(x+1)2+y2表示点(−1,0)点到直线直线AB上点的距离，即可求出范围．本题考查向量的坐标运算，考查两点的距离公式和点到直线的距离公式，向量模的几何意义，属于中档题．16.答案：48解析：本题考查抛物线的性质和几何意义，属于基础题．由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和，代入抛物线过焦点的弦长公式得答案．解：由 x2=12y，所以2p=12，p=6，则F(0,3)，所以过A，B的直线方程为y−3= √3(x−0)，即x=√33(y−3)，联立{x2=12yx= √33(y−3)，得 y2−42y+9=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=42，y1y2=9，∴|AB|=y1+y2+p=42+6=48.故答案为48．17.答案：解：(1)∵cosB=35，且B∈(0,π)，∴sinB=√1−cos2B=45，又ac=35，∴S△ABC=12acsinB=12×35×45=14．(2)由ac=35，a=7，得c=5，∴b2=a2+c2−2accosB=49+25−2×7×5×35=32，∴b=4√2，∴cosC=a2+b2−c22ab =2×7×4√2=√22．又C∈(0,π)，∴C=π4．解析：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．(1)由已知可先求sin B的值，由ac=35，即可根据面积公式求S△ABC的值．(2)由已知先求c的值，由余弦定理可求b的值，从而可求cos C的值，即可求出C的值．18.答案：解：(Ⅰ)茎叶图由茎叶图得，乙的平均值大于甲的平均数，甲比乙稳定．(Ⅱ)从9次比赛的得分中选2个得分，共有{34,21}，{34,13}，{34,30}，{34,29}，{34,33}，{34,28}，{34,27}，{34,10}，{21,13}，{21,30}，{21,29}，{21,33}，{21,28}，{21,27}，{21,10}，{13,30}，{13,29}，{13,33}，{13,28}，{13,27}，{13,10}，{30,29}，{30,33}，{30,28}，{30,27}，{30,10}，{29,33}，{29,28}，{29,27}，{29,10}，{33,28}，{33,27}，{33,10}，{28,27}，{28,10}，{27,10}，共36种，得分都超过25分的有15种，∴两个得分都超过25分的概率p=1536=512．解析：本题考查茎叶图的作法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．(Ⅰ)由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录能用出茎叶图，由茎叶图得，乙的平均值大于甲的平均数，甲比乙稳定．(Ⅱ)从9次比赛的得分中选2个得分，利用列举法能求出两个得分都超过25分的概率．19.答案：(1)证明：∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；(2)解：记AC与BD的交点为O，连接OE，由PC⊥平面BDE，得PC⊥OE，在Rt△PAC中，PA=2，AC=2√3，PA⊥AC，可得PC=4，∠ACP=30°．在Rt△PAC中，有OC=√3，EC=OC⋅cos30°=32，则ECPC=83，即V E−BCD=83V P−BED，则V P−BED=58V P−BCD=58⋅13⋅S△BCD⋅PA=58⋅13⋅√3⋅2=5√312．解析：(1)由ABCD为菱形，可得AC⊥BD，再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BD，再由线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，进一步得到BD⊥PC；(2)记AC与BD的交点为O，连接OE，由已知可得PC⊥OE，求解三角形得V E−BCD=83V P−BED，则三棱锥P−BED的体积可求．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)依题意，圆M：x2+y2−6y+8=0，即圆M：x2+(y−3)2=1，圆心为M(0,3)，所以|PQ|≤|PM|+1，设P(x,y)，则|PM|2=x2+(y−3)2=x2+y2−6y+9，(∗)而x 24+y 23=1，所以x 2=4−4y 23.代入(∗)中，可得|PM|2=4−4y 23+y 2−6y +9=−y 23−6y +13，y ∈[−√3,√3]，所以|PM|max 2=12+6√3，即|PM|max =3+√3，所以|PQ|max =4+√3；(Ⅱ)依题意，设直线l 1：y =kx +m.由{y =kx +m,x 24+y 23=1消去y 整理得(3+4k 2)x 2+8mkx +4m 2−12=0，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以Δ=64m 2k 2−4(3+4k 2)(4m 2−12)>0，整理得m 2<4k 2+3.①设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8mk 3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2， 设点E 的坐标为(x 0,y 0)，则x 0=−4mk 3+4k 2，所以y 0=kx 0+m =−4mk 23+4k 2+m =3m 3+4k 2， 所以点E 的坐标为(−4mk 3+4k 2,3m 3+4k 2)，所以直线l 2的斜率为k ′=3m3+4k 2−4mk 3+4k 2−18=24m−32mk−3−4k 2， 又直线l 1和直线l 2垂直，则24m −32mk−3−4k 2⋅k =−1，所以m =−3+4k 28k ，将m =−3+4k 28k 代入①式， 可得(3+4k 28k)2<4k 2+3， 解得k >√510或k <−√510， 所以直线l 1的斜率的取值范围为(−∞,−√510)∪(√510,+∞)．解析：本题考查了直线与圆，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．(Ⅰ)将PM 表示成P 点的纵坐标y 的函数，结合y 的范围求最值；(Ⅱ)直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理用m表示直线l2的斜率，再求l1的斜率，求范围即可．21.答案：解：(1)定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−1x，f′(x)=0可得x=1;当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增;∴f min=f(1)=2，所以f(x)的最小值为2(2)由(1)得，x+1−lnx>0，∴x(x+1−lnx)>0，∴a≤e x−1+xx(x+1−lnx)=e x−1+xx2+x−xlnx令g(x)=e x−1+xx2+x−xlnx ，则g′(x)=(x−1)[(x−lnx)ex−1−x](x2+x−xlnx)2，由(1)可知x−1−lnx≥0，∴x−lnx≥1，x−1≥lnx，∴e x−1≥x，∴(x−lnx)e x−1−x≥e x−1−x≥0，当且仅当x=1时等号成立∴当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增;所以g(x)最小值为g(1)=1，∴a≤1，所以实数a的取值范围(−∞,1]．解析：本题重点考查利用导数研究函数的最值，属于一般题．(1)求出定义域和导函数，得单调性，进而求得最小值；(2)分离a，构造g(x)=e x−1+xx2+x−xlnx，利用导数求出g(x)的最小值，即可得a的范围．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C的参数方程为：{x=1+√7cosθy=√7sinθ，普通方程为(x−1)2+y2=7，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，可得曲线C的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−6=0．(Ⅱ)设P(ρ1,θ1)，则有{ρ2−2ρcosθ−6=0θ=π3(ρ>0)，解得ρ1=3，θ1=π3，即P(3,π3)．设Q(ρ2,θ2)，则有{2ρsin(θ+π3)−√3=0θ=π3(ρ>0)，解得ρ2=1，θ2=π3，即Q(1,π3)，所以|PQ|=|ρ1−ρ2|=2．解析：本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用以及极坐标的意义，属于基础题．(Ⅰ)把参数方程消去参数，可得曲线C的普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)利用极坐标方程求得P、Q的坐标，可得线段PQ的长．23.答案：(1)解：f(x)=|x+1|+|x−2|≥|x+1−x+2|=3，当−1≤x≤2时，取得等号，所以f(x)min=3，即m=3；(2)证明：由(1)知a+b+c=3，又a，b，c是正实数，所以(a2+b2+c2)(12+12+12)≥(a+b+c)2=9，所以a2+b2+c2≥3．解析：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查柯西不等式的运用：证明不等式，属于中档题．(1)|x+1|+|x−2|≥|(x+1)−(x−2)|=3，即可求m的值；(2)由(1)知a+b+c=3，再由柯西不等式即可得证．。
石家庄市第二中学2020届高三下学期3月内部考试数学(理)试题含解析
A。 B. C。 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出条件 所表示的正方形区域，和圆 ，再利用几何概型计算概率，即可得答案。
【详解】如图所示：分别作出条件 所表示的正方形区域、圆 ，
由程序框图的程序得：当输出数对 的概率是 。
（3)是否存在点 ，使得平面 与平面 所成的二面角为 ，若存在,试确定点 的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析
（2）当 时， 取得最大值，此时,
（3)不存在点 使得平面 与平面 所成的二面角为
【解析】
【详解】（1）以 ， , 别为 轴，建立空间直角坐标系 ，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断 ，即 ；
【答案】6
【解析】
【分析】
根据已知条件,令 ,即 ，再令 ,联立方程组得： 。最后容易求得 。
【详解】因为 在定义域 上是单调函数，故可设 ,即 ．由 ,得 ，所以 ,由此可知 ，所以 ．
故答案为：6.
【点睛】本题考查了函数求值,关键突破口在于换元思想的应用，属于中档题.
15。 已知直线 与抛物线 ： 相交于 ， 两点， 为 的焦点，若 ，则 ______。
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解出五个不等式的解集,利用集合之间的关系可以判断出结果.
【详解】因为 , ， ，
， 且 或 ，
因为 ，
所以使不等式 成立的一个必要不充分条件是 ,
ห้องสมุดไป่ตู้故选：A．
【点睛】本题考查了必要不充分条件,考查了绝对值不等式、对数不等式的解法,用集合之间的关系判断充分、必要条件是解题关键，属于基础题。
2020届石家庄二中内部卷3月数学理试题(含答案)
3 - x 22 32 石家庄二中高三年级数学热身考试（理科）时间 120 分钟 满分：150 分第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，有且只有一项符合要求）1. 已知集合 M = {y | y = x 2 -1, x ∈ R } ，集合 N ={x | y = }，则 M I N = （）A {(- ,1), ( ,1)}B {- , ,1}C [-1, ]D ∅2. 已知 z 是纯虚数，z + 2 是实数，那么 z = （）1- iA ． 2iB ． iC ． -iD ． -2i3. 使不等式| x |≤ 2 成立的一个必要不充分条件是（）A | x + 1 |≤ 3B | x +1|≤ 2C log 2 (x + 1) ≤ 1D1 ≥ 1| x | 24. 在可行域内任取一点 (x , y )，如果执行如下图的程序框图，那么输出数对 (x , y ) 的概率是 （ ）AπB 8πCπDπ4625. 具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最小的几何体的表面积为（）A 13B 7 + 3 4 C7π D 不能确定2π6. 若 cos α= -，α是第三象限的角，则 s in （α+) = （ ）545 题图2 2 233 A - 7 2 10B7 2 10 C- 2 D210 107 某学生在一门功课的 22 次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该 门功课考试分数的极差与 中位数之和为（ ）A 117B 118C 118．5D 119．5π ⎡ π π⎤ π π 8. 函数 f (x ) = 2 c os(ωx + ϕ)(ω> 0,|ϕ|< ) 在区间 ⎢- , ⎥上单调，且 f (- ) ≤ f (x ) ≤ f ( ) 恒成立，2 则此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为()⎣ 3 6 ⎦3 6A 1BCD6 + 29. 如图，正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， P 为底面 ABCD 上的动 点， PE ⊥ A 1C 于 E ，且 PA = PE ，则点 P 的轨迹是 （）A 线段B 圆C 椭圆的一部分D 抛物线的一部分2 2 uuu ruuu r uuu r 10. 双曲线 x - y =1右焦点为 F ， P 是双曲线上一点，点 M 满足| MF |= 1， MF ⋅ MP = 0 9 16 uuu r则| MP | 最小值为（）A 3B 2C D11. 已知 f ( x ) 是以 2 为周期的偶函数，当 x ∈[0,1]时，f ( x ) = 程 f ( x ) = kx + k ( k ∈ R ) 有 4 个根，则 k 的取值范围是（），那么在区间 (-1, 3) 内，关于x 的方A 0 < k ≤ 1 或 k = 34 6B 0 < k ≤ 14 C 0 < k < 1 或 k = 34 6D 0 < k < 141 *12. 已知正项数列{a n }的前 n 项和为 S n 满足： 2S n = a n +（ n ∈ N），若 222x1- x2A 1P Af (n ) = 1 + 1 S 1 S 2 + 1 + L + 1S 3S n ，记[m ]表示不超过 m 的最大整数，则[ f (100)] =（ ）A 17B 18C 19D 20第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上）12⎡π 1 ⎤ 13. 已知 a =⎰-1(3x + )dx ，则 ⎢⎣(a - 2 )x - x ⎥⎦展开式中的常数项为 。
2020届河北省石家庄二中高三(3月份)高考热身数学(文)试题(解析版)
2020届河北省石家庄二中高三（3月份）高考热身数学（文）试题一、单选题 1．已知复数21iz i=+（i 为虚数单位），则z z ⋅=（ ）A B ．2C ．1D ．12【答案】B【解析】求出复数的模，利用复数的性质即可求解. 【详解】由题意知21i z i ===+ 利用性质2z z z ⋅=，得2z z ⋅=， 故选：B ． 【点睛】本题考查了复数的模、复数的性质，考查了基本运算能力，属于基础题.2．已知集合{|A x Z y =∈=，{B a =，1}，若A B B =，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．1或2或3 D ．2或3【答案】D【解析】求出集合A 中的元素，再根据集合的运算结果可得B A ⊆，进而可求出实数a 的值. 【详解】解：{}2{|430}{|13}1,2,3A x Z x x x Z x =∈--≥=∈≤≤=，且{},1B a =，由A B B =，知B A ⊆，则实数a 的值为2或3.故选：D ． 【点睛】本题考查根据集合的运算结果求参数值，考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，属于基础题.3．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键． 4．已知0a b >>，1c >，则下列各式成立的是（ ） A ．sin sin a b > B ．a b c c > C ．c c a b <D ．11c c b a--<【答案】B【解析】根据指数函数(1)xy c c =>为增函数可得. 【详解】解：因为1c >，xy c =为增函数，且a b >，所以a b c c >， 故选：B. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属于基础题. 5．若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A ．725B ．15C ．15-D ．725-【答案】D【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．6．某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，该几何体的外接球的体积等于（ ）A ．43πB ．323π C ．4π D ．823π 【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面是边长为2的三角形. 【详解】由三视图知该几何体的直观图放在正方体中是如图所示的三棱锥A BCD -， 其外接球就是正方体的外接球．设外接球的半径为R ，因为正方体的棱长为2，其体对角线为外接球的直径，即223R =，所以外接球的体积()334434333V R πππ===．故选：A ．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则.7．数列{}n a 是等差数列，11a =，公差[1d ∈，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为（ ）A．72B．5319C．2319-D．12-【答案】D【解析】利用等差数列通项公式推导出131819ddλ-=+，由[1d∈，2]，能求出实数λ取最大值.【详解】数列{}n a是等差数列，11a=，公差[1d∈，2]，且4101615a a aλ++=，13(19)11515d d dλ∴+++++=，解得131819ddλ-=+，[1d∈，2]，13181521919dd dλ-==-+++是减函数，1d∴=时，实数λ取最大值为13181192λ-==-+.故选：D.【点睛】本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.8．已知x，y满足条件{20xy xx y k≥≤++≤(k为常数)，若目标函数z＝x＋3y的最大值为8，则k＝()A．－16 B．－6 C．-83D．6【答案】B【解析】【详解】由z＝x＋3y得y＝－13x＋3z，先作出{xy x≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z＝x＋3y的最大值为8，所以x＋3y＝8与直线y＝x的交点为C，解得C(2,2)，代入直线2x＋y＋k＝0，得k＝－6.9．正三角形ABC P 在其外接圆上运动，则AP PB ⋅的取值范围是（ ） A ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】设正三角形ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，则1R =，且120AOB ∠=︒，由题意可得()12AP PB OP OA OB ⋅==⋅+-，设AB 的中点为M ，则2OA OB OM +=，且12OM =，设OM 与OP 的夹角为θ，利用向量的数量积即可求解. 【详解】设正三角形ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，则1R =，且120AOB ∠=︒． 由题意知()()AP PB OP OA OB OP ⋅=-⋅-2OP OB OP OA OB OA OP =⋅--⋅+⋅111cos120OP OB =⋅--⨯⨯︒OA OP +⋅()12OP OA OB =⋅+-．设AB 的中点为M ，则2OA OB OM +=，且12OM =， 设OM 与OP 的夹角为θ， 则1122cos 22AP PB OM OP OM OP θ⋅=⋅-=- 11121cos cos 222θθ=⨯⨯⨯-=-．又因为[]0,θπ∈，所以AP PB ⋅的范围为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：B 【点睛】本题考考查了向量的数量积的运算，考查了数量积在几何中的应用，属于中档题. 10．已知点F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，若点()01,M y 在抛物线C 上，且054y MF =，斜率为k 的直线l 经过点()1,3Q -，且与抛物线C 交于A ，B （异于M ）两点，则直线AM 与直线BM 的斜率之积为（ ）A ．2B ．-2C ．12D ．12-【答案】B【解析】根据抛物线的焦半径公式||12pMF =+，即可求出p 的值，求出()1,1M ，设直线l 方程与抛物线方程联立，求出,A B 两点的坐标关系，再将直线AM 与直线BM 的斜率之积用,A B 坐标表示，化简即可证明结论. 【详解】由抛物线的定义知02pMF y =+，则00524p y y +=，解得02y p =， 又点()01,M y 在抛物线C 上，代入2:2C x py =，得021py =，得01y =，12p =， 所以()1,1M ，抛物线2:C x y =，因为斜率为k 的直线l 过点()1,3Q -，所以l 的方程为()31y k x -=+，联立方程得()231y k x x y⎧-=+⎨=⎩，即230x kx k ---=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数的关系得12123x x kx x k +=⎧⎨=--⎩，则直线AM 的斜率2111111AMx k x x -==+-，直线BM 的斜率2222111BM x k x x -==+-，()()121212111312AM BM k k x x x x x x k k =++=+++=--+=-.故选：B ． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求解相交弦的问题，考查计算求解能力，属于中档题. 11．若1201x x ，则（ ）A ．2121ln ln xxe e x x ->- B ．2121ln ln x x ee x x -<-C ．1221xxx e x e > D ．1221xxx e x e < 【答案】C【解析】令()x e f x x=，(01)x <<，()()ln 01xg x e x x =-<<，求出函数的导数，通过讨论x 的范围，求出函数的单调区间，从而判断结论. 【详解】令()x e f x x =，(01)x <<，则2(1)()0x e x f x x -'=<，故()f x 在(0,1)递减，若1201x x ，则12()()f x f x >，故1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故C 正确，D 不正确； 令()()ln 01xg x e x x =-<<，则11()x xxe g x e x x-'=-=，令()1xh x xe =-，可知()h x 在()0,1单调递增，且(0)10,(1)10h h e =-<=->，则存在()00,1x ∈，使得0()0h x =， 则当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 在()00,x 单调递减， 当()0,1x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 在()0,1x 单调递增， 所以()g x 在()0,1不单调，故A ，B 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题.二、填空题12．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：2：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有18件，那么此样本的容量n =________. 【答案】60【解析】先求出总体中中A 种型号产品所占的比例，是样本中A 种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量． 【详解】解：由题意知，总体中A 种型号产品所占的比例是3323510=++，因样本中A 种型号产品有18件，则31810n ⨯=，解得60n =． 故答案为：60 【点睛】本题考查了分层抽样的定义应用，即保证样本结构与总体结构一致按一定的比例进行抽取，再由条件列出式子求出值来，属于基础题．13．某公司105位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，105x ，其均值和方差分别为3800和500，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这105位员工下月工资的均值和方差分别为________． 【答案】3900；500【解析】根据样本同时加上一个数对均值和方差的影响，求得下个月工资的均值和方差. 【详解】依题意，本月工资均值3800x =，方差2500S =.从下个月起每位员工的月工资增加100元，则这105位员工下月工资的均值为10038001003900x +=+=，方差为2500S =.故答案为：3900；500 【点睛】本小题主要考查样本均值和方差的性质，属于基础题.14．设偶函数()f x 满足()()240xf x x =-≥，则满足()20f a ->的实数a 的取值范围为________． 【答案】()(),04,-∞+∞【解析】由题可知数()f x 在[)0,+∞上为增函数，不等式可化为()()22f a f ->，利用单调性可得22a ->，解出即可.【详解】∵偶函数()f x 满足()()240xf x x =-≥，∴函数()f x 在[)0,+∞上为增函数，且()20f =，∴不等式()20f a ->等价为()()22fa f ->，∴22a ->，即22a ->或22a -<-，解得4a >或0a <．故答案为：()(),04,-∞+∞.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，1(1)262nn n n S a n =-++-且1()()0n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是__. 【答案】723,44⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】由1(1)262nn n n S a n =-++-，可得11142a a =-+-，解得1a ，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，化为：111[1(1)](1)22n n n n n a a +-+-=--+，对n 分类讨论，利用数列的单调性、不等式的性质即可得出. 【详解】1(1)262n n n nS a n =-++-， 11142a a ∴=-+-，解得174a =-， 当2n ≥时，111111(1)26[(1)2(1)6]22n n n n n n n n n a S S a n a n ----=-=-++---++--， 化为：111[1(1)](1)22n nn n n a a +-+-=--+，当2n k =（*k N ∈）时，1122n na -=-+，即212122k k a -=-+，2122122k k a ++=-+. 当21n k =-（*k N ∈）时，化为11222n n na a -=--+， 2221211222k k k a a ---∴=-+-，2212121122622k k k ka a ++=-+-=-， 1()()0n n a p a p +--<恒成立，∴当2n k =（*k N ∈）时，212()()0k k p a p a +--<，222112622k kp +∴-+<<-， 11261616p ∴-+<<-；当21n k =-（*k N ∈）时，221()()0k k p a p a ---<，22112622k kp ∴-+<<-.72344p ∴-<<， 则实数p 的取值范围是：723(,)44-. 故答案为：723,44⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了递推关系、分类讨论方法、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题16．已知锐角ABC 面积为S ，A ∠，B ，C ∠所对边分别是a ，b ，c ，A ∠，C ∠平分线相交于点O，b =222)4S a c b =+-．求： （1）B 的大小；（2）AOC △周长的最大值． 【答案】（1）3B π=；（2）4+【解析】（1）由222)S a c b =+-结合三角形的面积公式和余弦定理可得1csin 2cos 2a B a B =，从而可求出B 的大小； （2）设AOC △周长为l ，OAC α∠=，则,124ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，由正弦定理可得sin sin sin 33OA OC παα==⎛⎫- ⎪⎝⎭4sin 4sin 3l παα⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，再用三角恒等变换公式化简，结合三角函数的性质可得答案 【详解】 （1）∵)222S a c b =+-，∴)2221sin 2ac B a c b =+-，故：1csin 2cos tan 243a B a B B B π=⇒==． （2）设AOC △周长为l ，OAC α∠=，则,124ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，∵OA 、OC 分别是A ∠、C ∠的平分线，3B π=，∴23AOC π∠=． 由正弦定理得23sin sin sin 33OA OC ππαα==⎛⎫- ⎪⎝⎭所以4sin ,4sin 3OC OA παα⎛⎫==-⎪⎝⎭所以4sin 4sin 233l παα⎛⎫=+-+⎪⎝⎭，,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4sin 233πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴57,31212πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 当6πα=时，AOC △周长的最大值为423+．【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题17．对某电子元件进行寿命追踪调查，所得样本数据的频率分布直方图如下.（1）求0y ，并根据图中的数据，用分层抽样的方法抽取20个元件，元件寿命落在100~300之间的应抽取几个？（2）从（1）中抽出的寿命落在100~300之间的元件中任取2个元件，求事件“恰好有一个元件寿命落在100~200之间，一个元件寿命落在 200~300之间”的概率.【答案】（1）5；（2）35. 【解析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1可得0y ，分层抽样是按比例抽取，所以根据比值可求得件寿命落在100~300之间的抽取个数；（2）分别求出落在100~200之间和落在200~300之间的元件个数。
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【解析】【详解】
由z＝x＋3y得y＝－ x＋ ，先作出 的图象，如图所示，
因为目标函数z＝x＋3y的最大值为8，所以x＋3y＝8与直线y＝x的交点为C，解得C(2,2)，代入直线2x＋y＋k＝0，得k＝－6.
9．正三角形 边长等于 ，点 在其外接圆上运动，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
故选C．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．
4．已知 ， ，则下列各式成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据指数函数 为增函数可得.
【详解】
解：因为 ， 为增函数，且 ，所以 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属于基础题.
3．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．
【详解】
∵a，b∈（1，+∞），
∴a＞b⇒logab＜1，
logab＜1⇒a＞b，
∴a＞b是logab＜1的充分必要条件，
6．某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，该几何体的外接球的体积等于（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面是边长为2的三角形.
【详解】
由三视图知该几何体的直观图放在正方体中是如图所示的三棱锥 ，
其外接球就是正方体的外接球．设外接球的半径为 ，
因为正方体的棱长为2，其体对角线为外接球的直径，即 ，
所以外接球的体积 ．
故选：A．
【点睛】
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则.
7．数列 是等差数列， ，公差 ， ，且 ，则实数 的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用等差数列通项公式推导出 ，由 ， ，能求出实数 取最大值.
11．若 ，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令 ， ， ，求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调区间，从而判断结论.
【详解】
令 ， ，则 ，
故 在 递减，若 ，则 ，
故 ，即 ，故C正确，D不正确；
令 ，则 ，
令 ，可知 在 单调递增，
且 ，则存在 ，使得 ，
则当 时， ，即 ， 在 单调递减，
【详解】
数列 是等差数列， ，公差 ， ，且 ，
，
解得 ，
， ， 是减函数，
时，实数 取最大值为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
8．已知x，y满足条件 (k为常数)，若目标函数z＝x＋3y的最大值为8，则k＝()
A．－16B．－6C．- D．6
【详解】
由抛物线的定义知 ，则 ，解得 ，
又点 在抛物线 上，代入 ，得 ，得 ， ，
所以 ，抛物线 ，
因为斜率为 的直线 过点 ，所以 的方程为 ，
联立方程得 ，即 ，
设 ， ，由根与系数的关系得 ，
则直线 的斜率 ，直线 的斜率 ， .
故选：B．
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求解相交弦的问题，考查计算求解能力，属于中档题.
【答案】B
【解析】设正三角形 的外接圆圆心为 ，半径为 ，则 ，且 ，由题意可得 ，设 的中点为 ，则 ，且 ，设 与 的夹角为 ，利用向量的数量积即可求解.
【详解】
设正三角形 的外接圆圆心为 ，半径为 ，则 ，且 ．
由题意知
．
设 的中点为 ，则 ，且 ，
设 与 的夹角为 ，
则
．
又因为 ，所以 的范围为 ．
故选：B
【点睛】
本题考考查了向量的数量积的运算，考查了数量积在几何中的应用，属于中档题.
10．已知点 是抛物线 的焦点，若点 在抛物线 上，且 ，斜率为 的直线 经过点 ，且与抛物线 交于 ， （异于 ）两点，则直线 与直线 的斜率之积为（）
A．2B．-2C． D．
【答案】B
【解析】根据抛物线的焦半径公式 ，即可求出 的值，求出 ，设直线 方程与抛物线方程联立，求出 两点的坐标关系，再将直线 与直线 的斜率之积用 坐标表示，化简即可证明结论.
当 时， ，即 ， 在 单调递增，
所以 在 不单调，故A，B错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题.
二、填空题
12．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：2：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量n=________.
2020届河北省石家庄二中高三（3月份）高考热身数学（文）试题
一、单选题
1．已知复数 （ 为虚数单位），则 （）
A． B．2C．1D．
【答案】B
【解析】求出复数的模，利用复数的性质即可求解.
【详解】
由题意知 ，
利用性质 ，得 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了复数的模、复数的性质，考查了基本运算能力，属于基础题.
2．已知集合 ， ， ，若 ，则实数 的值为（）
A．2B．3C．1或2或3D．2或3
【答案】D
【解析】求出集合 中的元素，再根据集合的运算结果可得 ，进而可求出实数 的值.
【详解】
解： ，且 ，
由 ，知 ，则实数 的值为2或3.
故选：D．
【点睛】
本题考查根据集合的运算结果求参数值，考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，属于基础题.
5．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】试题分析： ，
且 ，故选D.ห้องสมุดไป่ตู้
【考点】三角恒等变换
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：
（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
【答案】60
【解析】先求出总体中中 种型号产品所占的比例，是样本中 种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量．
【详解】
解：由题意知，总体中 种型号产品所占的比例是 ，
因样本中 种型号产品有18件，则 ，解得 ．
故答案为：60
【点睛】
本题考查了分层抽样的定义应用，即保证样本结构与总体结构一致按一定的比例进行抽取，再由条件列出式子求出值来，属于基础题．