第一章三角形的证明证明

第一章三角形的证明1.等腰三角形（一）一、教学目标如：1．知识目标：理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。

2．能力目标：经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；3．情感与价值目标：启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；二．教学重、难点重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。

三、教学过程分析第一环节：回顾旧知导出公理请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实。

其中证明三角形全等的有以下三条：.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。

已知：如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E)，∴∠C=∠F（等量代换）。

又BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）。

DBA第二环节：折纸活动探索新知提问：“等腰三角形有哪些性质？如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”第三环节：明晰结论和证明过程让学生明晰证明过程。

（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合第四环节：随堂练习巩固新知第五环节：课堂小结第六环节：布置作业P5习题1,2.四、教学反思1. 等腰三角形（二）一、教学目标：1．知识目标：探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；2．能力目标：①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉；3．情感与价值观要求①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．二．教学重、难点重点：经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．三、教学过程分析第一环节：提出问题，引入新课在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?例1证明：等腰三角形两底角的平分线相等已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的角平分线． 求证：BD=CE ． 证明：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵∠1=12 ∠ABC ，∠2=12 ∠ABC ，∴∠1=∠2．在△BDC 和△CEB 中，∠ACB=∠ABC ，BC=CB ，∠1=∠2． ∴△BDC ≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) 第三环节：经典例题 变式练习活动内容：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：在课本图1—4的等腰三角形ABC 中，(1)如果∠ABD=13 ∠ABC ，∠ACE=14∠ACB 呢?由此，你能得到一个什么结论?(2)如果AD=12 AC ，AE=12 AB ，那么BD=CE 吗?如果AD=13 AC ，AE=13AB 呢?由此你得到什么结论?第四环节：拓展延伸，探索等边三角形性质活动内容：提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.已知：ΔABC 中，AB=BC=AC ． 求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：在ΔABC 中，∵AB=AC ，∴∠B=∠C(等边对等角)．4231E D CBA同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．第五环节：随堂练习及时巩固第六环节：探讨收获课时小结四、教学反思1. 等腰三角形（三）一．教学目标：1．探索等腰三角形判定定理．2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。

4.培养学生的逆向思维能力。

二．教学过程分析第一环节：复习引入活动过程：通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2.我们是如何证明上述定理的？问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？第二环节：逆向思考，定理证明A 教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．例如“等边对等角”，反过来成立吗?在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，B使AB 与AC 成为对应边就可以了．你是怎样构造的？ 第三环节：巩固练习例2已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，AD ∥BC 且∠1=∠2． 求证：AB=AC ． 证明：∵AD ∥BC ，∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)． 又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C ． ∴AB=AC(等角对等边)． 第四环节：适时提问 导出反证法我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论．如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?我们一起来“想一想”：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?我们来看一位同学的想法：如图，在△ABC 中，已知∠B ≠∠C ，此时AB 与Ac 要么相等，要么不相等．假设AB=AC ，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B ，但已知条件是∠B ≠∠C ．“∠C=∠B ”与已知条件“∠B ≠∠C ”相矛盾，因此AB ≠AC你能理解他的推理过程吗?再例如，我们要证明△ABC 中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△AB ∠A+∠B+∠C=180°, “∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC 中不可能有两个直角．引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢?引出反证法。

都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法． 第五环节：拓展延伸现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数? 第六环节：课堂小结C21B A D1. 等腰三角形（四）一、教学目标：1．知识目标：理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

2．能力目标：①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；3．情感与价值观要求：①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.二．教学重难点重点①等边三角形判定定理的发现与证明.②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.教学难点：含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.三、教学过程分析第一环节：提问问题，引入新课回顾等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？从而引入新课。

第二环节：自主探索活动内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：第三环节：实际操作提出问题提出问题：用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°． 求证：BC=12 AB ．证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°. 延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD(如图所示)． ∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°∵AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC(SAS)． ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．∴BC=12 BD=12 AB ． 第四环节：变式训练 巩固新知[例题]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高CD 的长.解：∵∠ABC=∠ACB=15°∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°∴CD=12 AC=12 ×2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．第五环节：畅谈收获 课时小结 第六环节：布置作业四、教学反思2．直角三角形（一）BAD一、教学目标1．知识目标：（1）掌握直角三角形的性质定理及判定定理的证明方法。