复变函数科普知识
复变函数的性质与分类
复变函数的性质与分类复变函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的建模和解决中具有广泛的应用。
本文将介绍复变函数的性质与分类，帮助读者更好地理解和应用复变函数。
1. 复变函数的定义复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
设二元实数域R 中的二元有序对z=(x,y)，其中x∈R，y∈R，因此z既可写成z＝x＋yi，也可写成z=(x,y)。
所以有R⊂C。
设f是以D为定义域的二元实数域R上的函数：若对于每一个属于D的z既唯一确定一个属于F的一个复数w＝f(z)。
则称f为在D上取值于复数集F的复变函数,即示例代码star：编程语言：f: D → Fz→w=f(z)示例代码end其中z为自变量、w为函数值，D为定义域，F为函数值集合。
2. 复变函数的性质复变函数具有一些特殊的性质，这些性质是理解和应用复变函数的基础。
2.1 解析性如果一个函数在某个区域内可以展开为幂级数，则称该函数在该区域内解析。
解析性是复变函数重要的性质之一，在很多实际问题中起到关键作用。
2.2 连续性与实变函数类似，复变函数也具有连续性。
如果一个复变函数在某点处连续，则说明在该点附近，该函数没有突变或间断点。
2.3 可微性与实变函数不同，复变函数存在可微性这一特殊性质。
如果一个复变函数在某点处可导，则说明在该点处存在切线可以很好地描述该点附近的行为。
3. 复数平面和复平面为了更好地研究复变函数，我们引入了复数平面和复平面这两个概念。
3.1 复数平面复数平面是由所有复数构成的平面。
每个复数可以通过直角坐标系表示为一个有序对(x, y)，其中x表示实部，y表示虚部。
通过把坐标原点(0,0)对应于零，将全部正实轴对应到实部正半轴，并且使得偏离原点的距离与两个坐标轴之间夹角相等来映射到剩下区域。
3.2 复平面复平面是由全部符合 z＝x＋iy 形式定义在D上取值于F 的全体点所组成的二维空间C所表示得到。
这样C族就可以嵌入Px（X 轴）和Nv （Y 轴）点平间难互独运动并且两轴都阳等L 技获取得到一个表示方便易操作全体符号z 点解析情况的几何工具空间。
复变函数重要知识点总结
复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
(完整版)复变函数知识点总结
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数知识点
复变函数知识点
以下是 7 条复变函数知识点：
1. 复数到底是啥玩意儿呀？就好比孙悟空有七十二变，复数就是实数加上虚数这个奇特的组合。
比如说，3+4i 就是一个复数，例子就是在研究交流电信号的时候就会用到复数呀。
2. 复变函数的极限可重要啦！这就好像跑步比赛中朝着终点冲刺的那个瞬间。
例如计算当 z 趋近于某个值时函数值的趋向，这在很多工程问题中可关键了呢！
3. 连续性呀，那可是复变函数的一大特点哦！好比一条顺畅的道路没有任何颠簸。
想想看，一个复变函数在某个区域内连续，多干脆利落呀，比如研究弹性力学中的问题时就能体现出来。
4. 导数呢，就好像汽车的速度表，能告诉我们函数变化的快慢。
例如函数 f(z)=z^2 的导数就是 2z 呀，这在分析信号变化率的时候很有用呢！
5. 积分也是超级有趣的呢！就像是积累财富一样，一点一点地攒起来。
比如说计算沿着一条曲线对复变函数的积分，在电磁学里可常见啦。
6. 解析函数，哇哦，这可是相当厉害的角色呢！好比一个武林高手，有着非凡的能力。
像指数函数就是解析函数呀，在解决电路问题时经常能看到它的身影。
7. 柯西定理，嘿，这可是复变函数里的宝贝呀！就像一把万能钥匙。
比如利用它可以很巧妙地计算一些复杂的积分呢。
我觉得呀，复变函数虽然有点抽象，但真的超级有意思，里面充满了各种奇妙的东西等你去发现呢！。
第一章 第三节、复变函数
2.单(多)值函数的定义: 如果z的一个值对应着一个w的值, 那末
我们称函数 f ( z )是单值的. 如果z的一个值对应着两个或两个以上
w的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.
3.定义域和值域:
集合E 称为 f ( z )的定义集合 (定义域) ; 对应于E中所有 z 的一切 w 值所成的集合F , 称为函数值集合.（值域）
例2：考虑映射 w = αz , 其中 α ≠ 0.
解：令 其中 α = Re , z = re , w = ρ e R, θ 0是α的模和辐角，，是z的模和辐角, rθ
iθ iϕ iθ 0
显然，这个映射可以看作 ρ , ϕ 是 w的模和辐角, 是下列函数或映射的复合函数或复合映射：
ω = e z = re , w = α z = Rre = Rω , 于是 w = w( ρ , ϕ ) = ( Rr ,θ + θ 0 ). 这表示一个
ρ = Rr , ϕ = θ + θ 0 .
o
例3：考虑函数 w = z .
显然，映射
w = z = x + iy = x − iy.
y z θ -θ x
w= z
是关于实轴的对称映射
o
z
解：令 z = re , w = ρ e
ϕ
1 例4：考虑映射 w = . z iθ iϕ
则
1 1 −θ 1 w = ρe = θ = e ， 于是，＝ , ϕ = −θ . ρ re r r 其中， =| w |, ϕ = Arg w, r =| z |, θ = Arg z. ρ
| f ( z ) − A |=| (u − a ) + i (v − b) | = (u − a ) + (v − b) <| u − a | + | v − b |< ε
复变函数知识点
复变函数知识点复变函数是高等数学中的一个重要分支，它研究的是定义在复数域上的函数。
复变函数理论在物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍一些复变函数的基本知识点。
一、复数与复变函数复数是由实部和虚部构成的数学对象，常用形式为a+bi，其中a和b均为实数，i为虚数单位。
复数可以进行加减乘除等运算，实部和虚部分别是复数的实部和虚部。
根据复变函数的定义，一个函数如果将复数域的数映射到复数域上的数，那么它就是一个复变函数。
例如，f(z)=z^2是一个复变函数，它将任意一个复数z映射到z的平方。
二、解析函数与全纯函数解析函数是指在其定义域上处处可导的复变函数。
全纯函数是指在其定义域上解析且导数连续的函数。
一个函数是解析函数，则表示它在定义域上的所有点处都存在导数。
对于一个复变函数f(z)，如果它在一个区域上解析，则它在这个区域上是全纯的。
解析和全纯函数有着重要的性质，如洛朗级数展开和辐角原理等。
三、复变函数的积分复变函数的积分是计算复平面上路径围成的面积。
复变函数的积分可以通过路径积分的方式进行计算。
考虑一个复变函数f(z)，如果在一条路径C上，f(z)的积分与路径C无关，那么f(z)在路径C所包围的区域上的积分就是0。
这个性质称为Cauchy积分定理。
四、级数展开与留数定理复变函数可以用幂级数表示。
一个函数可以被表示为无穷级数的形式，这种展开方式称为级数展开。
留数定理是计算复变函数积分的一个重要方法。
在计算某些特定积分时，可以通过计算函数在其奇点处的留数来简化计算。
五、解析延拓与边值问题解析延拓指的是通过已知函数的解析域外的信息，将函数延拓到更大的解析域上。
解析延拓可以帮助求解边值问题，即在边界上已知函数的一些信息，求解函数在整个区域上的取值。
六、共角线性与保角映射共角线性是指复平面上三个点按照一定的比例取共角线。
复变函数的保角映射可以保持共角线性。
保角映射是复变函数理论中重要的概念。
它在物理学中的流体力学、电学、热学等方面有着广泛的应用。
复变函数的概念
一、复变函数的概念
2. 复变函数与实值函数的关系
设z=x+iy , w=u+vi与之，则 w=f(z)可写作 w=u+vi=f(x+yi)=u(x , y)+i v(x , y)
其中 u(x , y)与 v(x , y)为实值函数。比较上式的实部 和虚部可得到： u=u(x , y) , v= v(x , y)。
一、复变函数的概念
1.复变函数的定义
设D为给定的平面点集，若对于D中每一个复数 z=x+yi ，按照某一确定的法则 f ，总有确定的一个或 几个复数w=u+vi与之对应，则称f 是定义在D上的复变 函数（复变数w是复变数 z的函数），简称复变函数， 记作 w=f(z) 。
其中 z 称为自变量， w 称为因变量，点集D 称为函 数的定义域。
v0
.
三、复变函数的连续性
1. 复变函数连续的定义
设 f (z) 在点 z0 的某邻域内有定义 ，若
lim
zz0
f (z)
f (z0)
则称 f (z) 在 z0 处连续。
若 f (z)在区域D 内每一个点都连续，则称函数 f (z) 在区域D内连续。
三、复变函数的连续性
2. 连续的复变函数的性质
x2
y
y2
二、复变函数的极限
1. 复变函数的极限的定义
设 f (z) 在点 z0 的某去心邻域内有定义，若对任
意给定的正数ε（无论它多么小）总存在正数δ，
当复数 z 满足 0 | z z0 | 时，对应的函数值
f (z) 都有
| f (z) A |
则称复常数 A 为函数 f (z) 在当 zz0 时的极限。 记作 lim f (z) A 或 f (z) A (z z0 )
1.4复变函数的概念
x2 y2 c1
xy c2
y
w z2
u c1
v 2c2 v
o
x
o
u
四、反函数的定义
设 w f (z)的定义集合为 z 平面上的集合 G, 函 数值集合为 w 平面上的集合 G*, 那么G* 中的每一个 点 w 必将对应着 G 中的一个或几个点. 于是在 G* 上
就确定了一个单值或多值函数 z (w), 它称为函数
15
如果 z 的一个值对应着一个 w 的值, 那么 称函数 f (z) 是单值的(single valued).
如果 z 的一个值对应着两个或两个以上 w 的值, 则称函数 f (z) 是多值的(multiple valued).
2
定义集合和函数值集合: 集合 G 称为 f (z) 的定义集合或定义域 (domain). 对应于G 中所有 z 的 w 所组成的集合G*，称 为函数值集合或值域 (range). 例如：
z 是以复平面C为定义域的单值函数； Argz 是定义在C \{0}上的多值函数；
3
二.复变函数与实变函数之间的关系
复变函数 w f (z) 的因变量 w u iv 与 自 变量z x iy 之间的关系 相当于u,v与 x,y 之间的 两个关系式:
u u( x, y), v v(x, y),
即：复变函数 w f (z)确定了两个自变量为 x 和 y 的二元实变函数。
于是, 函数 w ＝ f(z)可以写成
w f (z) u( x, y) iv( x, y).
例如, 函数 w z2, 令 z x iy, w u iv, 则 u iv ( x iy)2 x2 y2 2xyi, 于是函数 w z2 对应于两个二元实变函数 : u x2 y2, v 2xy.
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复变函数科普知识1．简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现 了负数开平方的情况。
在复变函数 复变函数很长时间里，人们对这类数不能理解。
但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。
复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。
2．历史复变函数 复变函数复变函数论产生于十八世纪。
1774年，欧拉在他 的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。
而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。
因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。
到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。
复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。
当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。
后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。
二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。
复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。
比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。
比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。
复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。
它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。
广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。
因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。
从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。
它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。
它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。
现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。
3. 内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。
如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。
复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。
由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。
利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和复变函数 复变函数说明。
对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。
黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使人们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。
、关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。
复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。
导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。
共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。
留数理论是复变函数论中一个重要的理论。
留数也叫做残数，它的定义比较复杂。
应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。
计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。
把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。
广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。
解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。
在二次、三次代数方程求根的公式中就出现了形为式一 式一式一的一类数，其中α，b是实数。
式二 式二式二在实数范围内是没有意义的，因此在很长时间里这类数不能为人们所理解。
R·笛卡儿曾称之为虚数。
但是随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。
例如，每一个代数方程在此数域内至少有一个根，这就是代数学的基本定理。
有时也称它为达朗贝尔定理，而最初的严格证明则是由C.F.高斯给出的。
后来人们习惯以i表示复变函数论 复变函数论 ，并且称α+bi为复数。
在复数α+bi与平面上的点(α，b)之间可以建立一一对应。
L.欧拉在初等函数中引进了复变数，并给出了著名的欧拉公式 e^ix=cosx+isinx。
欧拉公式揭示了三角函数与指数函数间的联系。
4发展柯西-黎曼方程一些实际问题也推动着复变函数理论的产生与发展。
早在1752年J.le R.达朗贝尔关于流体阻力的研究中，便考虑在什么条件下当平面上的点(x，y)趋于一点时复值函数u(x，y)+iv(x，y)存在导数。
这里要求导数与(x，y)所沿的路径无关。
这个问题的答案是：若 ?(z)=u+iv在域D内定义，且u，v作为x，y的函数在D内可微，则?(z)可导的充要条件为：式(1)式(1) 式(1)。
这个条件称为柯西-黎曼方程。
在域D内可导的函数称为解析函数或全纯函数。
由条件(1)易知，若u，v存在连续的二阶偏导数，则u，v应满足拉普拉斯方程。
由(1)联系着的两个调和函数称为共轭调和函数。
19世纪前半叶，柯西为复变函数理论的建立奠定了基础。
他定义了复变函数的积分，并证明了下述柯西积分定理：若?(z)在区域D内解析，C为可求长的简单闭曲线，且C及其内部均含于D内，则有式(2)式(2) 式(2)。
柯西积分定理从柯西积分定理可以得出一系列重要结论，诸如柯西积分公式、柯西不等式、惟一性定理、最大模原理等。
特别地，若?(z)在域D内解析，则它在D内任意阶导数存在，并且在D内每点α的邻域内?(z)可展为 z-α的幂级数。
作为柯西积分定理的推广，则有应用广泛的留数定理。
代数学基本定理就是留数定理的一个简单推论。
应用它还可计算一些较复杂的定积分。
黎曼映射定理从几何观点看，定义在域D内的一个解析函数w=?(z)，把D映为w平面上的一个区域。
这样的映射具有保持角度的性质，所以称为保角映射，又称共形映射。
19世纪中叶，黎曼对此作了很多研究。
他首先提出了如下的原理（狄利克雷原理）：在简单闭曲线C上给了一个连续函数φ，则必存在于C内调和且连续到C 上的函数u，u在C上的值与φ相同。
在此基础上，黎曼得出共形映射的基本定理：若单连通域D的边界多于一点，z0为D内一点且θ0为一实数，则存在惟一的单叶解析函数w=?(z)将D映为w 平面上的单位圆│w│<1，且满足?(z0)=0， ?′(z0)>0。
这个定理称为黎曼映射定理，它是复变函数几何理论的基础。
根据这个定理，对于单连通区域内的解析函数常常可以化到单位圆内去研究。
后来C·卡拉西奥多里进一步指出，在黎曼映射定理中，若域D的边界为一简单闭曲线C，则C上的点与圆周│w│=1上的点也一一对应。
幂级数的作用如前所述，解析函数在每点邻域内可以展为幂级数，所以幂级数是研究解析函数的有力工具。
这也是K.外尔斯特拉斯从事研究的出发点。
若幂级数 式 (3)式 (3) 式 (3)的收敛半径R为有穷正数，则?(z)在Γ:│z│<R内解析而在圆周│z│=R上?(z)至少有一个奇点z0，即不存在以z0为心的圆у和在у内解析的函数g(z)，使在Γ与у的交内有g(z)=?(z)。
当│z│=R上所有的点都是?(z)的奇点时，?(z)就不能从Γ内解析开拓出去，这时|z|=R称为?(z)的自然边界。
关于收敛圆周上的奇点及自然边界的研究，J.（-S.）阿达马、S.曼德尔勃罗伊及G.波伊亚等人均有很好的工作。
若│z│=R上的点z0不是?(z)的奇点，则?(z)可以经过z0利用幂级数开拓到│z│=R 以外的部分。
从幂级数(2)出发，向各个方向尽量进行解析开拓，所得的全体幂级数构成一个集合。
这个集合定义了一个完全解析函数。
关于完全解析函数，（J.-）H·庞加莱和V·沃尔泰拉等人有重要工作。
完全解析函数可以是单值的或多值的。
对于多值函数，自变量z绕某些点一圈后函数从一个值变为另一个值，这些点称为分支点。
黎曼曲面是表示多值函数的具体的几何方法，它是由一些互相适当连接的重叠的平面构成的。
一个多值函数在其黎曼曲面上即成为单值的。
黎曼曲面的重要例子是代数函数，即由代数方程P(z，w)=0确定的函数。
这种函数的黎曼曲面恒可连续变形到球面或带有若干个环柄的球面。
环柄的个数称为黎曼曲面的亏格，它决定了该曲面的很多重要性质。
综述总之，复变函数的主要研究对象是解析函数，包括单值函数、多值函数以及几何理论三大部分。
在悠久的历史进程中，经过许多学者的努力，使得复变函数论获得了巨大发展，并且形成了一些专门的研究领域。
单值函数单值函数中最基本的两类函数是整函数和亚纯函数，它们分别是多项式和有理函数的发展。
外尔斯特拉斯将多项式的因式分解定理推广到整函数，而G.米塔-列夫勒则将有理函数分解为部分分式的定理推广到亚纯函数。
(C.-)é.皮卡、(F.-é.-J.-) é.波莱尔等进一步发现了整函数的取值与多项式的取值之间有着很大的相似性。
在此基础上，1925年R.奈望林纳建立了亚纯函数值分布的近代理论，对函数论的发展产生了重要影响。
从19世纪末一直到现在，有很多学者从事函数值分布论的研究，优秀工作很多。
它和复变函数论的其他领域也存在着密切联系。
例如，1973年A.伯恩斯坦应用实变函数的思想引进T^*函数，它在值分布论的亏量问题、整函数的最小模问题以及单叶函数的研究中都发挥了显著效用。
多值函数关于多值函数的研究主要是围绕着黎曼曲面及单值化的问题来进行的。
1913年（C.H.）H.外尔在其经典著作《黎曼曲面概念》中首先给出了抽象黎曼曲面的定义，它是流形这个现代数学基本概念的雏形。
黎曼曲面的研究不仅使自身形成了完美的理论，而且它为代数几何、自守函数、复流形、代数数论等近代数学重要分支的研究提供了简单、明了的模型。