数学立体几何主题教研“课堂教学有效性”记

直线和平面所成的角主题教研“课堂教学有效性”记要——黄山市田家炳实验中学数学备课组教研活动简述目前，数学教学内容在不断增加，教学要求在不断提高，而课时却在减少，如何解决这个问题呢？我校的学生基础又较差，部分学生缺乏外在的数学学习动力，作为一线教师的我们一直在寻找行之有效的教学手段，激发学生内在的数学学习兴趣，提高数学教学的有效性。

我们以《§9.7直线和平面所成的角（1）》为案例展开主题活动，先有三位老师开课，其他听课，然后研讨课堂教学的得失，关注课堂教学的有效性，最后集中大家的意见再上一节，检查教学效果。

我们希望通过这种教研活动，激发同仁们的自觉思考，在实践与反思中收获。

上课教案1．§9.7直线和平面所成的角（1）………… 张彬2．§9.7直线和平面所成的角（1）………… 金小宝3．§9.7直线和平面所成的角（1）………… 方晓燕4．§9.7直线和平面所成的角（1）…………纪政§9.7直线和平面所成的角（1）教学目标理解最小角定理，理解直线和平面所成角的定义，会根据定义确定线面角，从而求解直线和平面所成角。

在课堂探索过程中培养观察能力、化归能力和空间想象能力。

教学要点直线和平面所成角的定义及求解教学过程情景问题情景课本P43图9-66问题平面的斜线AO与平面内任意直线l所成角的大小不确定，请问最大的角为多少，最小的呢？学生活动（1）问题平面的斜线AO与平面内任意直线l所成角的大小不确定，请问最大的角为多少，最小的呢？学生由异面直线所成角的定义可知，探讨平面的斜线AO与平面内任意直线l所成角的大小，只需探讨斜线AO与平面过点A的直线所成的角的大小，利用实物演示可知，最大角为900，当且仅当平面内直线与AO在平面内的射影垂直；最小角为斜线AO与它在平面内的射影所成的角。

（2）问题如何定量地分析斜线AO与它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小角？学生如图1所示，可以利用，可得；或者利用等式，也得.这个问题可归纳为最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小角。

构建数学问题类比异面直线所成的角的定义，如何定义直线与平面所成的角？归纳一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。

斜线和平面所成角的范围是（00，900）.特例若直线和平面垂直，则直线与平面所成的角是直角；若直线和平面平行或在平面内，则直线与平面所成角为0(的角。

直线和平面所成角范围为(00，900 (。

数学运用例1 如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内的一条直线，，，求斜线和平面所成角。

变式直线两两夹角都是600，，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为。

（提示：利用课本P25习题9.4的习题6的结论）小结利用等式可求线面角。

例2 如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角．分析启发学生根据直线与平面所成的角的定义作出直线与面所成的角，然后利用斜线、垂线与射影构成的直角三角形或等式求之，也可利用向量求得即得。

变式分别作出直线与对角面、对角面所成的角．小结作业平面的斜线与平面内无穷多条直线垂直（三垂线定理）平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小角。

求斜线与平面所成角一般步骤：作角→证角→算角。

其中作角比较难，根据定义去作角，要先找平面垂线，后找射影，最后确定夹角；作出角后的证角、算角比较简单，其实我们学习向量以后，也可不作角来计算，这个希望大家去参考课外。

评课发言整理张彬：本节课的基本流程：最小角定理→直线与平面所成角的定义→利用定义求线面角。

这里的最小角定理的作用有两个：一个是说明用直线和其在平面内的射影所成角来刻画直线与平面所成角的合理性；二是导出重要关系式：，可来计算线面角。

本节重点是会找出直线与平面所成的角，这是学生的难点，要通过变式来强化。

从上课来看大家把握基本正确，在找到线面角后，大家采用一题多解，巩固和运用前面的知识，例如利用直角三角形、重要关系式、向量的数量积来计算，不过缺乏一题多变，使得学生在不同的背景下提取线面角的模型，从而培养空间想象能力。

9.7 直线和平面所成的角与二面角（1）金小宝一、教学目的：1.理解并掌握直线和平面所成角的概念2. 理解并掌握3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等4.培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣二、教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角三、教学难点：直线和平面所成角的概念及的应用四、教学过程：复习：1、点在平面内的射影和斜线在平面上射影的概念。

2．直线和平面的位置关系；（平行、相交和直线在平面内）思考：当直线与平面的关系是时，如何反映直线与平面的相对位置关系呢？（可以用实物来演示，显然不能用直线和平面的距离来衡量）3、异面直线所成角的概念及其范围。

思考：异面直线所成角实质是转化为相交两直线所成角来定义的，那么斜线和平面所成角是否也可类比定义？而经过斜足的直线有无数条，选取哪一条和斜线所成的角来定义直线与平面所成角的定义呢？（二）新课讲解：1．平面的斜线和平面所成的角：如图，是平面的斜线，是斜足，垂直于平面，为垂足，则直线是斜线在平面内的射影。

设是平面内的任意一条直线，且，垂足为，又设与所成角为，与所成角为，与所成角为，则易知：又∵，(或者用几何知识解答)可以得到：，注意：（若，则由三垂线定理知，，即；与“是2．若或，则规定与所成的角为；3．直线和平面所成角的范围为：；4．直线和平面所成角是直线与平面内直线所成角的最小值（）．2．例题分析：（求直线和平面所成角）例1（1）、（口答）平面和一条斜线与平面所成角的范围是多少？（2）、如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内的一条直线，，求斜线和平面所成角．（同前，略）例2．（以学生讲为主）如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角．（法一、法二同前，略）说明：1、求直线与平面所成角的一般方法是：（1）定义法（2）公式法2、在条件允许的情况下，用公式求线面角显得更加方便．3．二种方法的共同特征是：首先要找到所求的角，所以这个是关键的地方。

练习：已知空间四边形的各边及对角线相等，求与平面所成角的余弦值．（同前，略）七、小结：1、直线与平面所成的角（线面角）是继两异面直线所成的角（线线角）后，又一个“角”的概念在立体几何中的延伸。

1)、两条相交直线的夹角。

2)、两条相交直线的到角。

3)、直线的倾斜角。

4)、两条异面直线所成的角。

5)、任意两条直线所成的角。

6)、两个向量的夹角。

7)、斜线和平面所成的角。

2、求线面角就是要找直线在平面上的射影,然后构造直角三角形来求！体现了化归思想。

3、要找线在面上的射影，关键又是确定点在面上的射影，那么点在面上的射影如何确定，有一些什么方法？请同学们注意总结。

课题：9.7.1平面的斜线和平面所成的角方晓燕教学目的认知目标：理解并掌握斜线在平面内的射影，直线和平面所成角的概念，根据概念先找直线射影后确定线面夹角，从而熟练求角直线和平面所成角。

能力目标：培养化归能力，分析能力，观察思考能力和空间想象能力等。

情感目标：培养立体感，数学美感。

教学要点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角教学过程：一、复习引入：直线和平面的位置关系：找（或作）线在平面内的射影新课讲解前面我们主要研究了线面关系中的线面平行和线面垂直，这两者的证明都转化为线和平面内的直线的关系要证明，要证线面平行只需证线平行于平面内的一条线；要证线面垂直只要证线垂直于平面内的两条相交线，今天我们来研究线面相交的一般情况，即斜线与平面。

首先我们来思考一下如何来衡量斜线与平面的位置关系（演示模具，让学生进行观察）。

结论：用线和平面所成的角来衡量，根据线面关系可以转化为线线关系来研究，我们先来研究一下平面的斜线和平面内任意一条直线的夹角。

研究一：平面的斜线和平面内任意一条直线所成的角是否确定。

（用几何画板演示，课件演示说明：PA是平面α的斜线，斜足为A，a是平面内的直线，首先引导学生把a平移到过A的位置，转动斜线，为了容易观察，在此过程中可引导学生过斜线上的一点作a的垂线，垂足为B。

结论1：平面的斜线和平面内任意一条直线所成的角是不确定的。

在数学中，当某个量不确定时，经常考虑它的最大值或最小值，于是得到以下的问题：研究二：研究一中的角是否存在最大值或最小值？（用几何画板演示）课件演示说明：转动斜线，让学生观察角的变化情况。

结论2：研究一中的角最大值是90°，最小值是当a和PA在平面的射影重合时：研究三：证明最小角定理：平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。

（引导学生过P点作平面α的垂线，垂足为O，连结AO，BO）记∠PAB为θ，∠PAO为φ1，∠OAB为φ2)∵PO⊥α，∴AO为PA在平面α内的射影∵PB⊥AB，∴OB⊥AB在Rt△APO中，sinφ1=PO/AP；在Rt△ABP中，sinθ=PB/AP；在Rt△ABO中，PO又φ1，θ∈(0,)，而y=sinx在(0,)上为增函数∴φ1<θ。

研究四：应该如何定义斜线和平面所成的角呢？定义成研究二中的最小值还是最大值？结论3：定义成研究二中的最小值。

理由：若定义成最大值，则每一条直线与平面所成的角都是90°，无法区别这些斜线的位置关系。

故定义研究二中的最小值。

至此，我们得到了斜线与平面所成角的定义：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。

特例：如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么说直线和平面所成的角是0°的角。

结论4：斜线与平面所成的角的范围是(0,)；直线与平面所成的角的范围是[0,]；研究五：在上图中，三个角θ、φ1、φ2的余弦有一个非常简单的关系，cosθ=cosφ1cosφ2，请大家给予证明。

在Rt△APO中，cosφ1=AO/AP；在Rt△ABP中，cosθ=AB/AP；在Rt△ABO中，cosφ2=AB/AO，所以cosθ=cosφ1cosφ2。

分析公式：cosθ=cosφ1cosφ2在此公式中，θ表示斜线和平面内任意一条直线所成的角，φ1表示斜线和平面所成的角，φ2表示斜线在平面内的射影和平面内任意一条直线所成的角。

例题讲解：例1、如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内的一条直线，，求斜线和平面所成角解：略例2、如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的情况下，用公式求线面角显得更加方便解法三：建立空间直角坐标系，用向量计算四、课堂练习练习1、如图所示，ABCD是直角梯形，AD//BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求SC与平面ABCD所成的角练习2、△ABC中，∠ABC＝90°，AB=a，BC=b，AA1//BB1//CC1，AA1=BB1=CC1，BB1=c，BB1⊥平面ABC，M，N分别是B1C1和AC的中点，求M，N与底面ABC所成的角。