MATLAB在机械振动信号中的应用

MATLAB在机械振动信号中的应用申振（山东理工大学交通与车辆工程学院）摘要：综述了现代信号分析处理理论、方法如时域分析（包括时域参数识别、相关分析等）、频域分析（包括傅立叶变换、功率谱分解等），并结合MATLAB中的相关函数来对所拟合的振动信号进行时域分析和频域分析，并对绘出的频谱图进行说明。

关键词：时域分析频域分析MATLAB信号是信息的载体，采用合适的信号分析处理方法以获取隐藏于传感观测信号中的重要信息(包括时域与频域信息等)，对于许多工程应用领域均具有重要意义。

对获取振动噪声信号的分析处理，是进行状态监测、故障诊断、质量检查、源识别、机器产品的动态性能测试与优化设计等工作的重要环节，它可以预先发现机械部件的磨损和缺陷等故障，从而可以提高产品的质量，降低维护费用。

随着测试技术的迅速发展，各种信号分析方法也随之涌现，并广泛应用在各个领域[1]。

时域描述简单直观，只能反映信号的幅值随时间的变化，而不能明确的揭示信号随时间的变化关系。

为了研究信号的频率组成和各频率成分的幅值大小、相位关系，应对信号进行频谱分析，即把时域信号通过适当的数学方法处理变成频率f（或角频率 ）为独立变量，相应的幅值或相位为因变量的频域描述。

频域分析法将时域分析法中的微分或差分方程转换为代数方程，有利于问题的分析[2]。

MATLAB是MathWorks公司于1982年推出的一种功能强大、效率高、交互性好的数值计算和可视化计算机高级语言，它将数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示有机地融合为一体，形成了一个极其方便、用户界面良好的操作环境。

随着其自身版本的不断提高，MATLAB 的功能越来越强大，应用范围也越来越广，如广泛应用于信号处理、数字图像处理、仿真、自动化控制、小波分析及神经网络等领域[3]。

本文主要运用了MATLAB R2014a 对机械振动信号进行分析。

分析过程包括时域分析和频域分析两大部分，时域分析的指标包括随机信号的均值、方差以及均方值。

频域分析的性能指标包括对功率谱分析、倒频谱分析。

在进行上述分析之前先要对振动信号进行拟合。

机械振动分为确定性振动和随机振动，确定性振动又分为周期振动和非周期振动，周期振动又进一步分为简谐振动和复杂的周期振动。

所以可以根据上述的分类来拟合振动信号[2]。

在设计信号的处理程序时，运用MATLAB 中的相关函数来对所拟合的振动信号进行时域分析和频域分析，并对绘出的频谱图进行说明。

1 时域分析1.1 均值 对于一个各态历经随机随机信号()x t ，其均值x μ为1lim ()Tx T x t dt T μ→∞=⎰ （1）式中 ()x t ——样本函数； T ——观测时间；x μ——常值分量。

1.2 方差 2x σ是描述随机信号的波动分量，定义为2201lim [()]Txx T x t dt T σμ→∞=-⎰（1）它表示信号()x t 偏离其均值x μ平方的均值，方差的正平方根x σ称为标准差。

1.3 均方值 2x ψ是随机信号()x t 平方的平均值，定义为221lim()T x T x t dt T ψ→∞=⎰ （3）它描述信号的能量或强度，是()x t 平方的均值。

均方值的正平方根值称为均方根值rms x 。

参数x μ、2x σ、2x ψ之间的关系为222=-xx x σψμ （4） 1.4 时域统计分析 概率密度分析是以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐标进行统计分析的方法。

它反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率情况。

计算方法如下：0001/[()]1()lim lim lim ()T T nx i x x x i T T P x x t x x p x t x x T x →∞→∞∆→∆→∆→=<≤+∆===∆∆∆∆∑ （5） 概率密度函数()p x 给出了信号取不同幅值大小的概率，是随机信号的主要特征参数之一。

不同的随机信号有不同的概率密度函数图形，可以借此来识别信号的性质，如正弦信号加随机噪声、窄带随机信号及宽带随机信号等。

概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R 的概率，定义为：()()F x p x dx ∞-∞=⎰ （6）概率分布函数又称为累积概率函数，表示了信号幅值落在某一区间的概率[4]。

2 频域分析2.1 傅里叶变换任何周期函数，均可展开成正交函数线性组合的无穷级数，如三角函数集的傅里叶级数。

叶级数的表达形式如下：001()sin()2n n n a x t A n t ωϕ∞==++∑ （7）001,2,3,arctan n nn n A a A n a b ϕ⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎩L （）（8） 对于非周期信号或瞬变信号，利用如下的傅立叶变换进行频谱分析：22()()()()j ft j ftX f x t e dt x t X f e df ππ∞--∞∞-∞⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰ （9）2.2 功率谱分析2.2.1 经典功率谱估计方法若()x t 为平稳随机信号，当自相关函数为绝对可积时，自相关函数()xx R ω和功率谱密度()x S ω为一个傅里叶变换对，即()()1()()2j xxx j xx x S R e d R S e d ωτωτωτττωωπ∞--∞∞--∞⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰ （10） 同理，在频域描述两个随机信号()x t 和()y t 相互关联程度的数字特征，可以定义为互谱功率密度简称互谱密度。

而且，互相关函数与互谱密度是一个傅里叶变换对。

()()1()()2j xyxy j xy xy S R e d R S e d ωτωτωτττωωπ∞--∞∞--∞⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰ （11）2.2.2 改进的直接估计法直接法和间接法的方差性能很差，而且当数据长度太大时，谱曲线起伏加剧；若数据长度太小，则谱的分辨率又不好，所以需要改进[3]。

提高的周期图法估计的另一种方式就是采用对采样数据分段使用非矩形窗，即Welch 法。

由于非矩形窗在边沿趋近于零，从而减少了分段对重叠的依赖。

选择合适的窗函数，采用每段一半的重叠率能大大降低谱估计的方差。

这种方法中，记录数据仍分成NK K=段，即 ()()()01,1i x n x n iM N n M i K =+-≤≤-≤≤ （12）每段M 个取样。

窗函数()w n 在计算周期图之前就与数据段相乘，于是可定义K 个修正周期图21()()1()()()1,2,,M i i j n M n J xn w n e i K MUωω--===∑L （13）U 是窗口序列函数的平均能量121()M n U w n M-==∑ （14）则定义谱估计为()11()()Kw i xMi B JKωω==∑ （15）2.2.3 AR 模型功率谱估计法传统的功率谱估计方法是利用加窗的数据或加窗的相关函数估计值的傅里叶变换来计算的，具有一定的优势，如计算效率高，估计值正比于正弦波信号的功率等。

但是同时也存在许多缺点，主要缺点就是方差性能较差、谱分辨率低。

而参数模型法可大大提高功率谱估计的分辨率，是现代谱估计的主要研究内容，在语音分析、数据压缩以及通信等领域有着广泛的应用[3]。

按照模型化进行功率谱估计，其主要思想如下： （1） 选择模型；（2） 从给出的数据样本估计假设的模型；（3） 将估计的模型参数打入模型的理论功率谱公式中得出一个较好的谱估计值。

假设产生随机序列()x n 的系统模型为一个线性差分方程，即()()()qqi j i j ox n b w n i a x n j ===---∑∑ （16）式中，()w n 表示白噪声序列，对上式进行Z 变换，可得()()qqki j ij i a X z zbW z z --===∑∑ （17） 所以系统的传递函数为()()()()()X z B z H z W z A z == （18） 式中，0()qj j j A z a z -==∑ （19）()qi i i B z b z -==∑ （20）假定输入白噪声功率谱密度为2()w w P z σ=，那么输出功率谱密度为121()()()()()x wB z B z P z A z A z σ--= （21）又根据j z e ω=，所以得22()()()j x wj B e P A e ωωωσ= （22）这样，当确定了系数j a 、i b 和2w σ后，就可以求解得到随机信号的功率谱密度()x p ω了。

通过上式可知，如果1i >，0i b =时，则系统的差分方程变为1()()()qj j x n a x n j w n ==--+∑ （23）上式即为自回归模型，简称为AR （Auto-Regressive ）模型，再将该式进行Z 变换，得1()11()()()1qjj j X z H z W z A z a z -====+∑ （24）所以，AR 模型又称为全极点模型。

AR 模型的输出功率谱为2221()()1wwx j qj kj j P A e a e ωωσσω-===+∑ （25）显然，计算出2w σ和j a 后，就可以求解得到随机信号的功率谱密度()x p ω。

本文采用AR 模型的一种Burg 法进行功率谱估计。

3 仿真研究仿真带噪声信号如下： 1.0 2.012()6sin(2)8sin(2)()t t x t e f t e f t randn t ππ--=++该仿真带噪声信号由两个正弦信号 1.016sin(2)t e f t π-、 2.028sin(2)t e f t π-和一个服从正态分布的高斯白噪声信号()randn t 叠加而成。

12100,300f Hz f Hz ==。

其时域波形如图1所示（程序详见附录1）。

图1 时域波形图时域分析结果：序列的平均值为0.5050序列的最小值为-10.7448序列的最大值为12.0222序列的标准差为 2.9153序列的方差为8.4992序列的均方值为 2.9580图2 经典功率谱估算图在功率谱中可以很明显的看到振动信号中有100Hz和300Hz两个主要的频率。

表明信号中含有这两个频率的周期成分。

如图2图3 FFT频谱图上图3为FFT频谱图，从该频谱中可以看到有三个主要高峰值，即在0Hz，100Hz，300Hz处。

用Burg法进行PSD估计功率谱图如图4，从中可以很明显的看到振动信号中有100Hz和300Hz两个主要的频率。

表明信号中含有这两个频率的周期成分（程序详见附录3）：图4 Burg法进行PSD估计功率谱图在Welch法进行PSD功率谱估计，当采用不同窗函数时的结果。

从中可以很明显的看到振动信号中有100Hz和300Hz两个主要的频率。

表明信号中含有这两个频率的周期成分。