2011年全国各地中考数学压轴题专集 2一元二次方程

2011年全国各地中考数学压轴题专集：2一元二次方程
1．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5．
（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
2．已知△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab＝0有两个相等的实数根，又sin A、sin B是关于x的方程(m＋5)x2－(2m－5)x＋m－8＝0的两个实数根．
（1）求m的值；
（2）若△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．
3．已知关于x的方程x2－(m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．
（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；
（2）求证：α≤1≤β；
（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（1
2
，1），C
（1，1），问是否存在点P，使m＋n＝5
4
？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．请阅读下列材料：
问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝y
2
．
把x＝y
2
代入已知方程，得(
y
2
)2＋
y
2
－1＝0．
化简，得y2＋2y－4＝0．
故所求方程为y2＋2y－4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；
（1）已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：___________________；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
5．已知关于x的一元二次方程x2－2x－a2－a＝0（a＞0）．
（1）证明这个方程的一个根比2大，另一个根比2小；
（2）如果当a＝1，2，3，…，2011时，对应的一元二次方程的两个根分别为α1、β1，α2、β2，α3、
β3，…，α2011、β2011，求
1
α 1
＋
1
β 1
＋
1
α2
＋
1
β 2
＋
1
α3
＋
1
β 3
＋…＋
1
α2011
＋
1
β2011
的值．
6．已知关于x的一元二次方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0，且a＞b＞c＞0．
（1）若方程有实数根，求证：a，b，c不能构成一个三角形的三边长；
（2）若方程有实数根x0，求证：b＋c＜x0＜a；
（3）若方程的实数根为6和9，求正整数a，b，c的值．
7．已知方程x2＋2ax＋a－4＝0有两个不同的实数根，方程x2＋2ax＋k＝0也有两个不同的实数根，且其两根介于方程x2＋2ax＋a－4＝0的两根之间，求k的取值范围．
8．已知关于x的方程x2－4|x|＋3＝k．
（1）当k为何值时，方程有4个互不相等的实数根？
（2）当k为何值时，方程有3个互不相等的实数根？
（3）当k为何值时，方程有2个互不相等的实数根？
（4）是否存在实数k，使得方程只有1个实数根？若存在，求k的值和方程的根；若不存在，请说明理由．
9．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4x2＋4(m－1)x＋m2＝0的两个非零实数根，则x1与x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．
10．已知α、β为关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的两个实数根，且(α－β)2＝16，如果关于x的另一个方程x2－2mx＋6m－9＝0的两个实数根都在α和β之间，求m的值．
11．已知a为实数，且关于x的二次方程ax2＋(a2＋1)x－a＝0的两个实数根都小于1，求这两个实数根的最大值．
12．求实数a的取值范围，使关于x的方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0
（1）有两个实根x1、x2，且满足0＜x1＜1＜x2＜4；
（2）至少有一个正根．
13．已知x1、x2是方程x2－mx－1＝0的两个实数根，满足x1＜x2，且x2≥2．（1）求m的取值范围；
（2）若x2＋m
x1－m
＋
x1＋m
x2－m
＝2，求m的值．
14．已知关于x的方程x2－(m－2)x－m2
4
＝0（m≠0）
（1）求证：这个方程总有两个异号实根；
（2）若这个方程的两个实根x1、x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1、x2．
15．已知△ABC的一边长为5，另两边长恰是方程2x2－12x＋m＝0的两个根，求m的取值范围．
16．已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根，设s1＝α＋β，s2＝α2＋β2，…，s n＝αn＋βn．根据根的定义，有α2－α－1＝0，β2－β－1＝0，将两式相加，得(α2＋β2)－(α＋β)－2＝0，于是，得s2－s1－2＝0．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）利用配方法求α，β的值，并直接写出s1，s2的值；
（2）猜想：当n≥3时，s n，s n-1，s n-2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性；
（3）根据（2）中的猜想，求(1＋5
2
)
8
＋(
1－5
2
)
8
的值．
17．已知方程(x－1)(x2－2x＋m)＝0的三个实数根恰好构成△ABC的三条边长．（1）求实数m的取值范围；
（2）当△ABC为直角三角形时，求m的值和△ABC的面积．。