《单调性与最大(小)值》第一课时参考教案

1.3.1 单调性与最大（小）值（第一课时）一、 教学目标1．知识与技能：(1)理解函数单调性的概念(2)学会判断一些简单函数在给定区间上的单调性(3)掌握利用函数图像和单调性定义判断、证明函数单调性的基本方法、步骤2．过程与方法：通过函数单调性概念的学习，让学生体验概念形成的过程，同时了解从特殊到一般、具体到抽象、感性到理性的数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力3．情感态度与价值观：通过函数单调性的探究过程，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

同时，让学生体会到数学来自于生活、又服务于生活。

二、教学重点与难点教学重点：函数单调性的概念教学难点：从图像的直观感知到函数增减的数学符号语言的过渡三、教学模式：引导探究四、教学方法：教师启发讲授五、 教学基本流程：六、 教学过程：1．创设情境（1）（提问学生）据说，由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请说明时间调动的原因。

（2）由图象可知，7月25日之后的16天内，北京平均气温、平均降雨量和平均降雨天数均呈现上升的趋势。

而8月8日到8月24日，均呈现下降的趋势，比较适宜大型国际体育赛事。

（过渡性语言）原来啊，8月8日除了好意头之外，还有这么一个关于天气的原因。

从这个事情可以看出，如果我们可以掌握“上升、下降”的变化规律，对我们的生活是十分有帮助的。

同样的，我们之前所学习的函数也有这样的一种变化规律，下面让我们一起来学习一下。

2． 探究新知（1）观察图像，感知特征（直观感知）首先，我们看看十分熟悉的两个函数，一次函数x x f =)(和二次函数2)(x x f =，现在，我们一起来观察一下两个图像，有没有发现类似于我们前面天气图像的变化规律？（预测）：学生通过感知，可以看出，从左到右，一次函数x x f =)(的图像是上升的；而二次函数2)(x x f =的图像在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的。

（PPT 展示）：函数图像的这种“上升”、“下降”的变化规律，我们称之为函数的单调性。

（过渡性语言）我们研究数学的过程通常可以分为观察感知——定量分析——逻辑证明这三个步骤，刚才我们已经从图像感知到函数“上升”、“下降”的性质。

下面，我们接着进一步分析，用数据说明问题。

（2）定量分析，理性思考（自然语言描述）1> 观察下面的表格，描述二次函数2)(x x f =随x 增大函数值的变化特征（PPT 展示）： x…… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …… f(x) …… 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …… 2> 引导学生用自然语言描述函数图像特征：下降 在区间]0,(-∞上，随着x 的增大，相应的f(x)反而随着减小；上升 在区间),0[+∞上，随着x 的增大，相应的f(x)也随着增大。

（3）自然语言——数学符号语言（只分析“上升”）1> P28 思考：如何利用函数解析式2)(x x f =描述“随着x 的增大，相应的f(x)反而随着减小”、“随着x 的增大，相应的f(x)也随着增大”10 “随着x 的增大”——“任取两个x 1、x 2”（学生可能会省略“任取”） 20 “相应的f(x)反而随着减小”——“f （x 1）<f （x 2）”2> 对于“任取”二次函数2)(x x f =的图像，满足f(-2)<f(3)，但是，从图像可以看出，f(x)在R 上是先“下降“后”上升“。

以上表明：两个特殊点满足“在区间),0[+∞上，随着x 的增大，相应的f(x)也随着增大“，我们是不能保证函数“上升”的性质。

（Excel 展示）：以二次函数2)(x x f =为例，考虑区间),0[+∞，让学生任取一个自变量为起点，再任意的间隔，观测图表。

3> 学生明确“任取”的重要性（完善）（4）给出定义实际上，某个函数f(x)在区间D 上是“上升”的，我们称之为在区间D 上的增函数。

例如，二次函数2)(x x f =在),0[+∞上是增函数。

下面，我们给出增函数更一般的定义。

一般地，设函数f （x ）的定义域为I ：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数；同样地，对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是减函数。

如果函数y=f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间。

那么，从定义可知，x x f =)(在R 上是增函数；2)(x x f =在区间]0,(-∞上是减函数，而在区间),0[+∞上增函数。

（5）解剖分析1> 几何特征：增函数的图像是呈上升的趋势；而减函数是呈下降的趋势。

2> 函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部的性质(局部性)。

有些函数在整个定义域上是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。

例如，函数2)(x x f =在区间]0,(-∞上是减函数，而在区间),0[+∞上增函数，但在R 上却没有单调性。

3> x 1，x 2的任意性判断：定义在R 上的函数f(x)满足f(-2)<f(3)，则函数f(x)在R 上增函数。

（×） 如果对于定义域),0[+∞上的任意x 有f(x)>f(0)，则函数f(x)在区间),0[+∞上是增函数。

（×）3．巩固反思例1如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还减函数？（1）我们一起来看看这个图像，从左往右看，这个图像是先下降，再上升，再下降，最后上升。

因此，这个函数在4个区间上具有单调性，它们的单调区间分别是[-5,2),[-2,1),[1,3),[3,5]。

（2）有三个问题想问问同学们：1> 函数在x=-2这个点单调性是如何的？（函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。

）2> 函数在区间[-5,2)和区间[1,3)是单调减的，那么我们可以说函数在[-5,2)∪[1,3)上是单调减的吗？（函数在定义域内的两个区间A、B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在BA 上是增（或减）函数。

(反比例函数，不能用定义证明是增函数)）3> 函数的单调区间可以分为[-5,2],[-2,1],[1,3],[3,5]吗？（在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。

）例2判断函数 f (x) =3x+2 在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论。

从例1知道，我们要判断函数的单调性，我们可以通过图像观察，下面我们一起来看看函数f (x)=3x+2的图像。

从图像可以看出，函数呈上升的趋势，那么它应该是在R 上的增函数。

下面我们一起来根据定义证明我们的结论。

证明：设任意的，且，则由，得 于是，即。

所以，在R 上是增函数。

小结：利用定义证明函数单调性的步骤：①任意取值：即设x 1、x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2②作差变形：作差f(x 1)－f(x 2)，并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形③判断定号：确定f(x 1)－f(x 2)的符号④得出结论：根据定义作出结论（若差<0，则为增函数；若差>0，则为减函数）即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论” 思考：上面我们是用作差比较两个函数值的大小，那么，还有什么别的方法可以用来比较大小(作商：)()(21x f x f ，与1比较) 探究 观察反比例函数1y x=的图像，思考： （1）这个函数的定义域I 是什么？（2）它在定义域I 上的单调性是怎样的？证明：（1）定义域I=（-∞，0）⋃（0，+∞）（2）函数1y x=在区间（-∞，0）和 区间（0，+∞）上是单调减函数。

（证明略）注意：1> 本题的证明是分段证明的，对于不连续的定义域区间一般要求分段去证明2> 本题的结论是说在区间（-∞，0）和（0，+∞）上分别都是减函数，切不可说函数在整个定义域上为减函数4．小结归纳与作业布置（1）小结归纳：教师通过提出下列问题让学生思考：① 增（减）函数有什么特点？（增函数的图像是呈上升的趋势，而减函数的图像是下降的；增（减）函数的定义，这里，我们需要注意的是函数单调性是一个局部的性质，是对于定义域的某个区间而言的，同时，具有单调性的函数，任意的两个都满足随自变量的增大，函数值也随之增大（减小））② 如何根据图像指出单调区间？（通过观察图像的“上升”、“下降”趋势，可以判断函数在具体区间的单调性，从而指出单调区间。

）③ 怎样用定义证明函数的单调性？（“任意取值——作差（商）变形——判断定号——得出结论”）（2）作业布置必做题：习题1.3 1，2，3 选做题：求函数)0()(2>+-=a xa x x f 的单调区间。

解：xa x x a x x f +-=+-=2)( xa y a =>,0Θ的单调递减区间是),0()0,(+∞-∞和，x y -=在R 上单调减， xa x x f +-=∴2)(（a>0）的单调减区间是),0()0,(+∞-∞和。