第二课时 圆周角定理的推论2,3.ppt
3.5.2 圆周角定理的推论2 课件(共18张PPT)2023-2024学年浙教版九年级上册数学
都等于
∠AOB
E
∠C=∠D=∠E
同圆或等圆中，同弧或等弧
所对的圆周角相等.
反之，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是否
也相等？
圆周角定理的推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等.
做一做
如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上.
C
找出图中分别与∠1，∠2，∠3相等的角.
D
1
2
∠1=∠ABD
.O
3
∠2=∠CAB
∠2=∠CBD
A
B
例1 已知：如图，△ABC内接于圆O，∠ACB=2∠ABC，点D平
Ⴃ
分.求证：AC=BD.
D
【提示】
B
先构造等弧所对的圆周角，再利用
圆周角定理的推论是解题关键.
A
C
证明：连结CD.
Ⴃ
Ⴃ
∵ = ，∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB(在同圆或等圆中，
例3 如图，在世界杯足球比赛中，甲运动员带球向对方球门PQ
进攻，当他带球冲到A点时，同伴乙已经冲到B点，有两种
射门方式，第一种是甲直接射门，第二种是甲将球传给乙，
由乙射门，仅从射门角度考虑，应选择第____种射门方式．
二
例4
求证：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
解：已知：AB，CD是⊙O的两条弦，且
以从测量船到两个灯塔的张角(∠ASB)去考虑，船与暗礁区
的相对位置可以通过∠ASB与∠ACB的大小关系来确定.
解：如图，∠ASB交圆于点E，点F，连接EB，
由圆周角定理知，∠AEB=∠ACB=50°，
∵∠AEB是△SEB的一个外角，
北师大版九年级数学下册.2：圆周角和圆心角的关系2课件
解∵AB为直径 ∴∠BCA=90° 在Rt△ABC中， ∠ABC=30°，AB=10cm
∴
B O
C
A
议一议
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径， 请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
D
A
解：∠BAD与∠BCD互补
∵AC为直径
∴∠ABC=90°,∠ABC=90°
O
∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360°
视察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什
么？
A
解：弦BC是直径。
连接OC、OB
∵∠BAC=90° ∴∠BOC=2∠BAC=180°
B
O
C
（圆周角的度数等于它所对弧上的
圆心角的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径
直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。在书上画记，背读
3.4 圆周角和圆心角的关系 第二课时
课前复习
1.圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 2.圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.圆周角定理推论: 同弧 (等弧)所对的圆周角相等.
4.在同圆或等圆中,
Dபைடு நூலகம்
B E
●O
相等的圆周角所对的弧相等. 5.在同圆或等圆中,
4.如图，⊙O1 与⊙O2 都经过 A，B 两点，且点 O2 在⊙O1 ︵
上，点 C 是 AO2 B 上的一点（点 C 不与 A，B 重合），AC 的延长线交⊙O2 于点 P，连接 AB，BC，BP。 （1）根据题意将图形补充完整；
︵ （2）当点 C 在 AO2 B 上运动时，图中大小不变的角有哪
2圆心角和圆周角第二课时-冀教版九年级数学上册课件
课堂小结
定义：顶点在圆上，两边均与 圆相交的角.
圆
周
角
同弧所对的圆周角是圆心角的一半
性质 直径所对的圆周角是直角
90°的圆周角所对的弦是直径
同学们再见
三个作为结论，写出所有正确的命题，并加
以证明.
A
D C
BE
典例精析
①AB是直径;②D是BC的中点;③AB=AC.
命题一：若AB是直径，
A
D是BC的中点，则
AB证=A明C.：连接AE
D
∵AB是直径
BE
C ∴∠AEB=90°
又知D是BC的中点
∴AE垂直平分BC
∴AB=AC
典例精析
①AB是直径;②D是BC的中点;③AB=AC.
上，∠OAB=46°.求∠ACB的度数.
C
分析：构造同弧所对的圆心角
证明：连接OB
O·
∵OA=OB ∴∠OBA=∠OAB=46°
∴∠AOB=180°-2∠OAB
A
B
=180°-2×46°=88°
∵∠ACB与∠AOB同对⌒AB
ACB 1 AOB 44 2
新课学习 探究三：
1.直径所对的圆周角是多少度？ 2.90°的圆周角所对的弦是直径吗？
C 如图，直径AB所对的圆周角
是∠ACB
A
O·
弧ADB所对的圆心角是∠AOB
B 所对的圆周角是∠ACB
ACB 1 AOB 1 180 90
D
2
2
即直径所对的圆周角是直角.
新课学习 探究三：
1.直径所对的圆周角是多少度？ 2.90°的圆周角所对的弦是直径吗？
如图，弦AB所对的圆周角是∠ACB
C 弧ADB所对的圆心角是∠AOB
北师大版九年级下册数学《圆周角和圆心角的关系》圆PPT课件(第2课时)
D
A
∵直径所对的圆周角是直角.
∴∠BAD =∠BCD = 90°. ∴∠BAD +∠BCD =180°.
O
B
C
新知讲解
（2）如图，点C 的位置发生了变化，∠BAD 与 BCD 之间关系还成立吗？为什么？
∠BAD +∠BCD =180°还成立. 解：连接OB，OD ∵ ∠BAD = ∠1 ， ∠BCD = ∠2 （圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半） ∵∠1+∠2=360° ∴∠BAD+∠BCD=180°
例 如图所示，AB 是⊙ O 的直径， 弦BC=BD， 若∠BOD=50°，求∠ A 的度数.
解：连接OC，如图所示.
∵ BC=BD，∴∠ BOC= ∠ BOD=50° .
∴∠ A= 1 ∠ BOC= 1 ×50° =25° .
2
2
新课讲解
练一练
下列四个图中，∠x为圆周角的是( C )
新课讲解
知识点2 圆周角和圆心角的关系
A
根据圆周角定理，
A 1 BOC 90.
2
B
O
C
新知讲解
如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？
A
根据圆周角定理，
A 1 BOC， 2
B
O
C
∴∠BOC =2∠A = 180°，
∴弦 BC 是直径.
归纳总结
推论 直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
典例精析
新课导入
什么是圆心角？它具有哪些性质？
新课讲解
知识点1 圆周角的定义
图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
C
O
A
人教版九年级上册数学圆周角定理及其推论课件
(6)如图③，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角 ∠BAC是锐角、直角还是钝角？ (7)如图④，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦 BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？
图③
图④
活动3 知识归纳
1．顶点在_圆__上_， 并且两边都与圆_相__交_的角叫做圆周 角． 2．在同圆或等圆中，_等__弧_或_等__弦_所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的_圆__心__角_的一半． 3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也_相__等_． 4．半圆(或直径)所对的圆周角是_直__角_，90°的圆周角 所对的弦是_直__径_．
图②
(
2、探究
分别测量图11中AB所对的圆周角∠ACB和圆心角 ∠AOB的度数，它们之间有什么关系？
在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角 和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗 ？由此你能发现什么规律？
可以发现，同弧所对的圆周 角的度数等于这个这条弧所对的 圆心角的度数的一半。
提出问题： (1)经过测量，图24.1－11中的圆周角∠ACB和圆心角 ∠AOB之间有什么关系？ (2)任意作一个圆，任取一条弧，作出它所对的圆周角 与圆心角，测量它们的度数，你发现什么规律？ (3)一条弧所对的圆心角有几个？所对的圆周角有几个 ？ (4)改变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有 没有变化？你发现了什么？ (5)如果把上述发现的结论中的“同弧”改为“等弧”，结 论还正确吗？
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝
1 2
AB＝5
cm.
∴BC＝ AB2－AC2＝ 102－52＝5 3(cm)．
练习
1．教材P88 练习第1，3，4题． 2．如图，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧上一 点，则圆周角∠BAC的度数为__5_0_°_．
圆周角ppt课件
︵ ︵
∵DE = BE，∴∠CAE=∠BAE.
∵AB为半圆O的直径，
∴∠AEB=90°. ∴∠AEC=90°.
又∵AE=AE，∴△ ABE ≌△ ACE(ASA).
∴ AB=AC.∴△ ABC 为等腰三角形.
知2－练
感悟新知
知2－练
5-1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，
∴∠ BAC+ ∠ B=90°.
∵∠ BAC=50°，∴∠ B=40 °.
︵ ︵
∵AC= AC，∴∠ D= ∠ B=40 °.
答案：B
感悟新知
知2－练
2-1. [中考·营口]如图所示，AD是⊙O的直径， 弦BC交AD
于点E，连接AB，AC，若∠BAD=30°，则∠ACB的
度数是 ( D )
A.50°
13
cm
测得AB=12 cm，BC=5 cm, 则圆形镜面的半径为_____.
2
感悟新知
知2－练
例5 如图24.1-38，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他
两边AC，BC的交点分别为D，E，且DE = BE，试判
断△ ABC的形状，并说明理由.
感悟新知
知2－练
思路导引：
感悟新知
解：△ABC为等腰三角形. 理由如下：
(1)半圆(直径)所对的圆周角是直角；
(2)90°的圆周角所对的弦是直径 .
感悟新知
知2－讲
特别提醒
“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就
不成立了. 因为一条弦(非直径)所对的圆周角有两种
情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角.
感悟新知
知2－讲
3.“五量关系”定理
苏科版九年级上册圆周角定理的推论(第2课时)
2.4 第2课时 圆周角定理的推论
知识回顾
问题1：什么是圆周角？
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征： ① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
D
B
E
O
●
A
C
问题2：圆周角与圆心角有什么样的数量关系？
圆周角定理：
①圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
55°，求∠D90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
课堂小结
直径所对的圆周角是直角
圆周角
定理的
推论
90°的圆周角所对的弦是直径
A
由∠BAC=90°，
可知∠BOC=180°,
∴BC是⊙O的直径.
B
●
O
图2
C
归纳总结
圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径．
用于判断某个圆周角是否是直角
用于判断某条弦是否是直径
问题
回归到最初的问题，你能确定圆形模具的圆心吗？
例题讲授
例1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD
E
O
50°
D
B
例2 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足
(
(
为D，AE＝AB，BE分别交AD、AC于点F、G．判断△FAG的形状，
并说明理由．
解：△FAG是等腰三角形.
∵ BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°(直径所对的圆周角是直角).
∴∠AB +∠AGB＝90°.
2.2.2 第2课时 圆周角定理的推论
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第2课时 圆周角定理的推论
分层作业
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第2课时 圆周角定理的推论
答案
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A．35° C．40°
图 2-2-35 B．38° D．42°
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第2课时 圆周角定理的推论
3．[2019·德州]如图 2-2-36，点 O 为线段 BC 的中点，点 A，C，D 到点 O 的 距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是( B )
A．130° C．150°
图 2-2-36 B．140° D．160°
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第2课时 圆周角定理的推论
当堂测评
1．圆内接四边形 ABCD 中，已知∠A＝70°，则∠C＝( D )
A．20°
B．30°
C．70°
D．110°
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第2课时 圆周角定理的推论
2．[2019·滨州]如图 2-2-31，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上两点，若∠BCD ＝40°，则∠ABD 的大小为( B )
图 2-2-39
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第2课时 圆周角定理的推论
解：∵∠BOD＝80°， ∴∠BAD＝40°. 又∵四边形 ABCD 是圆的内接四边形， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝140°.
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第2课时 圆周角定理的推论
7．如图 2-2-40，已知 AC，AB，BC 是⊙O 的弦，CE 是⊙O 的直径，CD⊥ AB 于点 D.
圆周角(2) (2)
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5.判断. （1）等弧所对的圆周角相等；（ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等；（ ） （3）90°的角所对的弦是直径；（ ） （4）同弦所对的圆周角相等.（ ）
B
C
D
O2 O1
A
A
C
O
C
O
E
F
A
B
G
E
6.梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=75°,则 ∠C=__7_5_°_.
A
D
2.2.2 圆周角
第2课时 圆周角定理推论2与圆内接 四边形
复习引入
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所 对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一 半．
C
D
·O
提示:
A
B
圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视. 首页
合作探究
探究点一 直径所对的圆周角的性质
1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ 2. 90°的圆周角所对的弦是否是直径？
答案:145° 35°
例4 如图,点A、B、D、E在⊙O上,弦AE、
BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径, D是BC的中点.
(1)试判断AB、AC之间的大小关系,并给 出证明; (2)在上述题设条件下,△ABC还需满足 什么条件,使得点E一定是AC的中点(直 接写出结论) 【教学说明】连接AD,得AD⊥BC,构造出 Rt△ABD≌Rt△ACD. 解：（1）AB=AC. 证明:如图,连接AD,则AD⊥BC. ∵AD是公共边,BD=DC, ∴Rt△ABD≌Rt△ACD, ∴AB=AC.
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随堂训练
三、运用新知，深化理解
3.(山东威海中考)如图,AB为⊙D的直径,点C、D在⊙O上.若∠AOD=30°,
第2课时 圆周角定理的推论2、3
第2课时圆周角定理的推论2、31.如图,四边形ABCD内接于☉O,AC平分∠BAD,则下列结论正确的是( B )(A)AB=AD (B)BC=CD(C)= (D)∠BCA=∠DCA2.如图,AB是半圆的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是上的点.若∠BOC=40°,则∠D的度数为( B )(A)100° (B)110° (C)120° (D)130°3.(2019德州)如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是( B )(A)130° (B)140° (C)150° (D)160°4.如图,四边形ABCD内接于☉O,F是上一点,且=,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC,若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E 的度数为( B )(A)45°(B)50°(C)55°(D)60°5.(2019平顶山一模)如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AB=AD, ∠BCE=50°,连接BD,则∠ABD= 65°.6.如图,等腰△ABC内接于☉O,已知AB=AC,∠ABC=30°,BD是☉O的直径,如果CD=,则AD= 4 .7.如图所示,已知△ABC的顶点都在☉O上,AB=AC,D是☉O上一点,AD 的延长线交BC的延长线于点P.求证:AC2=AD·AP.证明:因为四边形ABCD是圆内接四边形,所以∠ADC+∠B=180°,因为∠ACP+∠ACB=180°,所以∠ADC+∠B=∠ACP+∠ACB,因为AB=AC,所以∠B=∠ACB,所以∠ADC=∠ACP,因为∠CAD=∠PAC,所以△ADC∽△ACP,所以=,即AC2=AD·AP.8.如图所示,已知AC,AB,BC是☉O的弦,CE是☉O的直径,CD⊥AB于点D,延长CD交☉O于点F,连接AE,BF.(1)求证:∠ACD=∠BCE;(2)求证:AE=BF.证明:(1)因为CE是☉O的直径,所以∠CAE=90°,所以∠E+∠ACE=90°.因为CD⊥AB,所以∠BCF+∠CBA=90°.因为∠E=∠CBA,所以∠BCF=∠ACE,所以∠BCF+∠ECF=∠ACE+∠ECF,即∠ACD=∠BCE.(2)因为∠ACE=∠BCF,所以=,所以AE=BF.9.(2019青山区模拟)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10, ∠A=90°,cos B=,则AD等于( A )(A)6 (B)6 (C)7.5 (D)610.(2018遵义)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC= 10,连接AC,BD,以BD为直径的圆交AC于点E,若DE=3,则AD的长为( D )(A)5 (B)4 (C)3(D)211.如图,AB是☉O的弦,AB=5,点C是☉O上的一个动点,且∠ACB=45°,若点M,N分别是AB,AC的中点,则MN的最大值是.12.如图所示,AB是☉O的直径,C是的中点,CE⊥AB于E,BD交CE于点F.(1)求证:CF=BF;(2)若CD=6,AC=8,求☉O的半径及CE的长.(1)证明:如图,因为AB是☉O的直径,所以∠ACB=90°.又因为CE⊥AB,所以∠CEB=90°,所以∠2=90°-∠ACE=∠A.因为C是的中点,所以=,所以∠1=∠A,所以∠1=∠2,所以CF=BF.(2)解:因为C是的中点,所以=,所以BC=CD=6,在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,所以AB2=64+36=100,所以AB=10,所以AO=5,CE===,故☉O的半径为5,CE的长是.13.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作☉O分别交AC,BM于点D,E.连接DE,使四边形DEBA为☉O的内接四边形.(1)求证:∠A=∠ABM=∠MDE;(2)若AB=6,当AD=2DM时,求DE的长度;(3)连接OD,OE,当∠A的度数为60°时,求证:四边形ODME是菱形.(1)证明:因为∠ABC=90°,点M是AC的中点,所以AM=CM=BM.所以∠A=∠ABM.因为四边形DEBA为☉O的内接四边形,所以∠ADE+∠ABM=180°.因为∠ADE+∠MDE=180°,所以∠ABM=∠MDE,所以∠A=∠ABM=∠MDE.(2)解:由(1)知∠A=∠ABM=∠MDE,所以DE∥AB,所以△MDE∽△MAB,所以=.因为AD=2DM,所以AM=3DM,所以=,所以DE=2.(3)证明:由(1)知∠A=∠ABM=∠MDE. 因为∠A=60°,所以∠A=∠ABM=∠MDE=60°,所以∠AMB=60°.因为OA=OD=OE=OB,所以△AOD,△OBE都是等边三角形, 所以∠ADO=∠AMB=∠OEB=60°,所以OD∥BM,AM∥OE.所以四边形ODME是平行四边形.因为OD=OE,所以四边形ODME是菱形.。