苏教版数学高二-【数学选修1-2】2.1《合情推理与演绎推理》导学案(1)
2.1合情推理和演绎推理导学案(数学选修1-2)
2.1合情推理与演绎推理学习目标：1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；2．了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进行简单的推理. 重点：用归纳和类比进行推理，做出猜想；用“三段论”证明问题.难点：用归纳和类比进行合情推理，做出猜想。
学习策略：①合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势②合情推理中的归纳、类比都是具有创造性的或然推理.不论是由大量的实例，经过分析、概括、发现规律的归纳，还是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的类比，它们的共同点是，结论往往超出前提所控制的范围，所以它们是“开拓型”或“发散型”的思维方法.也正因为结论超出了前提的管辖范围，前提也就无力保证结论必真，所以归纳类比都是或然性推理.③演绎推理所得的结论完全蕴含于前提之中，所以它是“封闭型”或“收敛型”的思维方法.只要前提真实，逻辑形式正确，结论必然是真实的.知识要点梳理知识点一：推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．知识点二：合情推理根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。
其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。
1.归纳推理（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。
（2）一般模式：部分整体，个体一般（3）一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；③检验猜想.（4）归纳推理的结论可真可假归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想；一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.2.类比推理（1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.（2）一般模式：特殊特殊（3）类比的原则：可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象.（4）一般步骤：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题（猜想）；③检验猜想.（5）类比推理的结论可真可假类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象，同时又应是两类不同的对象；一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性，所以类比推理所得的结论不一定是正确的。
苏教版选修1-2高中数学2.1.1《合情推理》ppt课件
(1)在圆内画5条线段，彼此最多分割成多少条线段？将 圆最多分割成多少部分？
(2)猜想：在圆内画n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少 条线段？将圆最多分割成多少部分？
本题考查平面几何中的归纳、推理、猜想以 及递推关系的处理方法．
由已知图形 【解题流程】 添一条线的段 → 求出f5、g5
归纳推理又称归纳法，根据对象是否完备，归纳法可 分完全归纳法和不完全归纳法．完全归纳法是对所有 的个体都考察完归纳出一般性的结论，其结论是可靠 的，正确的．由不完全法归纳的结论并不一定正确．
(1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性 的结论，该结论超越了前提所包含的范围．
(2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证 明和实践检验，即结论不一定可靠．
从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是推理
所依据的命题叫做
；一部分是根据前提推理
得的命题，前叫提
做 结论 ．
2．合情推理
合情推理的主要形式有归纳 类比和 ．
3．归纳推理 归纳推理是从个别 事实中推演出一般性 的结论的一种 推理模式．
试一试：用归纳推理的一般步骤是什么？ 提示
4．类比推理
根据两个(或两类)对象之间在某些相方似面或相同 ， 推 演
确切地表述出来，不能简单套用．
[正解] S0＝
S1＋ 2
S22
在进行类比推理时要尽量从本质上类比，不能抓住一点
表面的相似性甚至是假象就去类比，否则就会犯机械类比的错误．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
出它们在其他方面也
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 2.1 合情推理与演绎推理》
合情推理教学目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．教学重点，难点归纳推理和类比推理的特点及其创新性和不严谨性．教学过程我们生活中有很多谚语，特别是关于农耕的，例如“瑞雪兆丰年〞“邋遢冬至干净年〞，以及一些看云识天气的方法，这些都是我们的祖先根据多年的观察总结归纳出来的经验．这些经验就是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果农民观察天气，生物学家会去观察鸟类，心理学家会去观察行为和表情，比方说你们也会观察，总结出我上课写在黑板右侧的总是错的，或者我微微一笑，说明接下来就是一个具有挑战性的问题．当然一个对数学感兴趣的数学家就会去观察一些数字．一．问题情境数学教育家G．波利亚在其名著?数学与猜测?中对哥德巴赫猜测的推理过程进行了模拟演示：首先，波利亚说明：归纳法常常从观察开始．一个生物学家会观察鸟类的生活，一个晶体学家会观察晶体的形状，一个对数论有兴趣的数学家会观察整数1,2,3,4,5,…的性质．这一段表达说明：归纳从观察开始，而观察要有归纳的动因，即要有感兴趣、需研究的问题，归纳推理研究问题、发现规律的手段．接着，波利亚说：假设你想要观察鸟的生活并有可能获得有益的结论的话，那么你就应当对鸟稍有熟悉，对鸟感兴趣，甚至你应当喜欢鸟．同样，假设你要考察数，你就应当对它们感兴趣，并且对它们颇为熟悉，你应当会区别偶数和奇数，你应当知道平方数1,4,9,14,25,…以及素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,…．这里，波利亚想要传达的意思是：对你感兴趣的问题你还需要对相关的知识有一定的了解，也即应该从你对这一课题中已经熟悉的、掌握的内容开始你的探究．波利亚又说：即使只有这一点朴素的知识，你也可能观察到一些东西．比方说你可能会碰到这样几个关系：3＋7＝103＋17＝20213＋17＝30并注意到它们之间的类似之处．它会使你想到：3,7,13,和17都是奇素数，10,20210都是偶数…．这三个偶数都能够表示为两个奇素数之和，那么其他偶数又怎么样呢？上述过程说明了归纳推理的非常重要的特征：从特殊情形开始，并且所有的特殊情形都要具有类似之处，这个类似之处正是归纳发现的根底．波利亚接着说：那么其他偶数又怎么样呢？它们也有类似的性质吗？当然头一个等于两个奇素数之和偶数是6＝3＋3．看看超过6的数，我们发现8＝3＋510＝3＋7＝5＋512＝5＋714＝3＋11＝7＋716＝3＋13＝5＋11．这样下去总是对的吗？波利亚想告诉我们的是，对从几个特殊情形经过归纳推理得到的结果不能轻信，需要进一步验证．只有在较多的归纳检验证实的根底上得到的结论才能使我们更有信心．最后，波利亚说：无论如何，所看到的这些个别情况，至少可以启发我们提出一个一般性的命题：任何一个大于4的偶数都是两个奇素数的和．至此，实现了归纳推理的目标：一个一般性的结论〔猜测〕．当然，波利亚还进一步说明了证明的必要性．从波利亚的这个案例我们可以发现，对归纳推理的教学应该突出说明以下几点：1、要使学生认识到归纳推理不是盲目的、毫无目的的尝试，科学发现更不是纯属偶然的巧合，必须有一定的内因的驱动和信念的支撑．2、归纳推理的三个特点：从特殊开始的推理；由归纳推理得到的结论仅仅“似真〞；归纳推理是一种创造性的推理．3、归纳推理的思维规程大致为：【活动一】1．观察以下等式，从中可以得出怎样的一般规律？猜测：任何一个正整数都能表示为四个数的平方和．2．在数列中，，通过计算，试猜测这个数列的通项公式．猜测3．前个正整数的和为，前个正整数的平方和从表中发现，于是猜测．归纳推理要具备下述几个要素：1．多个特例综合分析；特例共性的发现：要存在某种相似性；共性的概括：猜测．归纳推理需要大量的原始数据，这是一个漫长的过程，在大数据时代，电脑已局部取代了这个过程，例如分析你的上网数据，分析你的喜好进行广告推送．但我们还有另外一种常用的推理方法．在高中数学学习中，指数函数与对数函数的类比，等差数列和等比数列的类比，平面几何和立体几何的类比，圆和椭圆和双曲线抛物线的类比，实数与虚数的类比等．〔G波利亚的类比〕类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质．在实数的加法与乘法之间，可以建立如下的对应关系：加〔＋〕乘〔×〕加数、被加数乘数、被乘数和积等等，它们具有以下类似的性质：试将平面上的圆与空间的球进行类比．圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合． 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合． 圆 球 弦截面圆 直径 大圆 周长 外表积 圆面积球体积例如三角形的性质可以往几个方向类比：一般化为四边形，特殊化为正三角形，升维度为三棱锥，改平面为曲面等【活动二】1．选两个相关知识进行类比2．圆的方程是，那么过圆上一点的切线方程为．猜测新命题：1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠．2．类比推理的一般步骤：〔1〕找出两类事物之间的相似性或者一致性．〔2〕用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题〔猜测〕．【活动三】1．设,为实数，满足，，求的最大值．解：设，那么，即，，将，两式相加得．根据以上解答过程进行类比，尝试解决下题：设,为实数，满足，，求的最大值．〔2021年江苏高考第13题〕设，由此可以求出，，而2021江苏高考数学卷中的题目就表达出多种形式的类比思想。
高中数学选修1-2《合情推理与演绎推理》教案
高中数学选修1-2《合情推理与演绎推理》教案教学内容：高中数学选修1-2《合情推理与演绎推理》教学时长：2-3课时教学目标：1.能够理解合情推理和演绎推理的概念和区别。
2.掌握合情推理和演绎推理的思维方法和技巧，能够应用到相关问题中。
3.能够运用数学语言和符号描述和表示合情推理和演绎推理的过程和结果。
教学重点：1.合情推理和演绎推理的概念和区别。
2.合情推理和演绎推理的思维方法和技巧。
3.运用数学语言和符号描述和表示合情推理和演绎推理的过程和结果。
教学难点：1.如何灵活运用合情推理和演绎推理的思维方法和技巧。
2.如何运用数学语言和符号描述和表示合情推理和演绎推理的过程和结果。
教学方法：多媒体展示、讲授、思维导图、案例分析。
教学过程：第一步：导入1.使用多媒体展示相关图片或视频引起学生的兴趣，并让学生讨论所展示的内容有哪些思维方法和技巧。
2.老师讲述实际生活中所涉及到的一些思维方法和技巧，并引导学生思考其作用和意义。
第二步：知识讲解1.合情推理：1）定义：合情推理是基于类比关系，通过类比来得出结论的一种思维方法。
它通常涉及到对某种事物或现象进行比较，从而得出与其有相似性或联系的结论，并用此结论进行推理或预测。
2）例子：老师在课堂上讲述一个问题，学生可以通过类比关系来引申出自己的想法，从而得出更深层次的结论。
2.演绎推理：1）定义：演绎推理是基于逻辑关系，通过前提与规则推导出结论的一种思维方法。
它的基本思路是从已知的前提出发，根据规则逐步推导，达到得出结论的目的。
2）例子：在证明一个定理时，需要根据已知条件和推论规则，逐步推导，得出结论，这就是演绎推理的典型应用。
第三步：案例分析1.老师给学生展示几个有关合情推理和演绎推理的案例，让学生思考并回答：1）这个问题中是否涉及到合情推理和演绎推理？2）涉及到的是合情推理还是演绎推理？3）为什么这个问题可以用合情推理或演绎推理进行解决？第四步：巩固练习1.老师设计一些具体的演绎推理和合情推理的例子，让学生解决问题，并展示解题过程和思路。
苏教版高中数学选修1-2《合情推理》教案
2.1.1 合情推理一、三维目标：（一）知识与能力：1. 通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理和类比推理这两种合情推理的基本方法，并把它们用于对问题的发现中去。
2. 明确归纳推理的一般步骤和类比推理的一般步骤，并把这些方法用于实际问题的解决中去。
（二）过程与方法：1. 归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
2. 类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
（三）情感态度与价值观：1. 正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
2. 认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
二、教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理。
三、教学难点：用归纳和类比进行推理，做出猜想。
四、教学过程：【问题探究：】（1） 已知数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ，记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出)(n f的值。
（2） 若数列{}n a 为等差数列，且),,(,+∈≠==N n m n m y a x a n m ，则nm ny mx a n m --=+。
现已知数列{}),0(+∈>N n b b n n 为等比数列，且),,(,+∈≠==N n m n m y b x b n m ，类比以上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确性吗？【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下）（1）434111)1(1=-=-=a f64329843)911()1()1)(1()2(21==⋅=-⋅=--=f a a f 85161532)1611()2()1)(1)(1()3(321=⋅=-⋅=---=f a a a f 由此猜想，)1(22)(++=n n n f （2）结论：n m n m nm y x b -+=1)( 证明：设等比数列}{n b 的公比为q ，则n m n m q b b -⋅=，所以n m n m n m yx b b q --==11)()( 所以n m n m n m n n m n m y x y x x q b b --+=⋅=⋅=1)()( 【学生回答：】（学生思考并回答）【归纳总结：】（学生回答后归纳总结）教师总结：一、归纳推理我们再看几个类似的推理实例：1．蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的．因为蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所以我们猜想所有的爬行动物都是用肺呼吸的．2．三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒．由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n ︒－×．3．221222221331332333+++ +++＜，＜，＜，，由此我们猜想：a a m b b m＋＜＋（a ，b ，m 均为正实数）．这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者从个别事实中推演出一般性的结论的推理,称为归纳推理 (简称：归纳) ．归纳推理的一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想；（3）检验猜想．二、类比推理根据等式的性质猜想不等式的性质．等式与不等式有不少相似的属性，例如：（1）a b a c b c a b a c b c ⇒⇒＝＋＝＋猜想＞＋＞＋；（2）a b ac bc a b ac bc ⇒⇒＝＝猜想＞＞；（3）2222a b a b a b a b ⇒⇒＝＝猜想＞＞．问 这样猜想出的结论是否一定正确？上述几个例子均是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理（reasoning by analogy ），简称类比法．类比推理的一般步骤：（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；（3）检验猜想，归纳推理的思维过程.七、教学小结：1. 归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。
高中数学(合情推理)教案1 苏教版选修1-2 教案
合情推理(1)●三维目标：(1)知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
(2)过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
(3)情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
●教学重点：归纳推理及方法的总结。
●教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●课时安排：1课时●教学过程：(1)原理初探①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此某某？理由何在？③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
④思考：整个过程对你有什么启发？⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠—“歌德巴赫猜想”。
:思考：其他偶数是否也有类似的规律？③讨论：组织学生进行交流、探讨。
④检验：2和4可以吗？为什么不行？⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。
●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
●归纳推理的一般步骤：例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，…… 结论：凸n 边形的内角和是（n —2）×1800。
例3,333232,232232,131232++<++<++<探究：上述结论都成立吗？强调：归纳推理的结果不一定成立！ ——“ 一切皆有可能！”{}数列的通项公式。
高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理知识导航学案苏教版选修1-2
2.1.1 合情推理知识梳理1.从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程为___________________，任何推理都包含_____________和_____________两部分._____________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；______________________________是根据前提推得的命题，它告诉我们_______________________________________；2.从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为_________________________它的思维过程大致是_________________________________________________________________________________.3.根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理称为_____________________________________________.简称_________________________；它的思维过程大致是________________________________________________________________________________________.知识导学归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，即从所研究的对象全体中抽取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对总体作出推断.由归纳推理所获得的结论，仅是一种猜测，不一定可靠，其可靠性需要通过证明.类比推理是由特殊到特殊的推理，由已解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和作出新发现.类比的结论具有或然性.即可能真，也可能假.疑难突破1.归纳推理的一般步骤是什么呢？（1）实验、观察.通过观察个别事物发现某些相同性质.（2）概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠.（3）猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性命题.2.类比推理的一般步骤是什么呢？（1）找出两类事物之间的相似性或一致性.（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想），一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠.类比推理的结论具有或然性，即可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值，是一种合情推理.典题精讲【例1】写出下列推理的前提和结论：（1）对顶角相等；（2）a⊥b,b⊥ｃ则a⊥c.思路分析：先把问题改写成“如果……那么……”，“因为……所以……”的形式，再进行判断，写出前提和结论.解：（1）对顶角相等，可以写成如果两个角为对顶角，那么这两个角相等.由此可知，前提为两个角是对顶角，结论为两个角相等.（2）a⊥b,b⊥ｃ则a⊥ｃ改写成如果a⊥b,b⊥ｃ那么a⊥c，前提为a⊥b,b⊥c，结论为a⊥c.【变式训练】写出下列推理的前提和结论.（1）两直线平行，同位角相等；（2）a＞b,b＞c则a＞c.解：（1）条件：两条直线平行，结论：同位角相等.（2）条件为：a＞b,b＞c.结论为：a＞c.【例2】设f(n)=n2+n+41，n∈N*,计算f(1),f(2),f(3),f(4), …f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想的结论是否正确.思路分析：首先分析题目的条件，并对n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的结果进行归纳推理，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题：解：f(1)=12+1+41=43f(2)=22+2+41=47f(3)=32+3+41=53f(4)=42+4+41=61f(5)=52+5+41=71f(6)=62+6+41=83f(7)=72+7+41=97f(8)=82+8+41=113f(9)=92+9+41=131f(10)=102+10+41=151由此猜想，n为任何正整数时，f(n)=n2+n+41都是质数.当n=40时，f(40)=402+40+41=41×41;所以f(40)为合数，因此猜想的结论不正确.【变式训练】观察×(1×２-0×1)=1,×(2×３-1×2)=2,×(3×４-2×3)=3,×(4×５-3×4)=4,由上述事实你能得出怎样的结论？解：因为×(1×２-0×1)=1,×(2×３-1×2)=2,×(3×４-2×3)=3,×(4×５-3×4)=4,…由此猜想，前n(n∈N*)个式子的结果为：×［n×(n+1)-(n-1)×n］=n.【例3】找出三角形和空间四面体的相似性质，并用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.（1）三角形的两边之和大于第三边；（2）三角形的中位线等于第三边的一半，并且平行于第三边；（3）三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心；（4）三角形的面积为S=（a+b+c)r（r为内切圆的半径）.思路分析：首先充分认识三角形、空间四面体的相同（或相似）之处，再进行类比，类比时要抓住本质，充分考虑两类事物之间的联系.解：三角形和四面体有下列共同性质.（1）三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形，四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形.（2）三角形可以看作平面上一条线段外一点及这条线段上的各点所形成的图形；四面体可以看作三角形外一点与这个三角形上各点的连线所围成的图形.根据三角形的性质可以推测空间四面体有如下性质：三角形四面体三角形的两边之和大于第三边[] 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.三角形的中位线等于第三边的一半，并且平行于第三边. 四面体的中位面的面积第于第四个面面积的，且平行于第四个面.三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切线的球心三角形的面积为S=(a+b+c)r(r为三角形内切圆的半径) 四面体的体积为V=（S1+S2+S3+S4）r,S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径【变式训练】类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想.解：如下图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,设a、b、c分别表示3条边的长度，由勾股定理得c2=a2+b2,(1) (2)类似地，在四面体P—DEF中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°,设S1、S2、S3和S分别表示△PDF,△PDE,△EDF和△PEF的面积图（2），相应于图（1）中直角三角形的两条直角边a、b和1条斜边c，图（2）中的四面体有3个“直角面”，S1、S2、S3，和1个“斜面”S，于是，类比勾股定理的结论，我们猜想S2=成立.问题探究如图2-1-1所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.图2-1-11.每次只能移动1个金属片；2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？导思:我们从移动1，2，3，4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数.探究:当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（13）表示，共移动了1次. 当n=2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：（1）把第1个金属片从1号针移到2号针；（2）把第2个金属片从1号针移到3号针；（3）把第1个金属片从2号针移到3号针.用符号表示为（12）（13）（23），共移动了3次.当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n=2的情形，移动的顺序是：（1）把上面两个金属片从1号针移到2号针；（2）把第3个金属片从1号针移到3号针；（3）把上面3个金属片从1号针移到3号针.其中（1）和（3）都需要借助中间针，用符号表示为（13）（12）（32）（13）（21）（23）（13），共移动了7次.当n=4时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：（1）把上面3个金属片从1号针移到2号针；（2）把第4个金属片从1号针移到3号针；（3）把上面3个金属片从2号针移到3号针.用符号表示为（12）（13）（23）（12）（31）（32）（12）（13）（23）（21）（31）（23）（12）（13）（23）.共移动了15次.至此，我们得到依次移动1，2，3，4个金属片所需次数构成的数列1，3，7，15.观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1.由此我们猜想：若把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动a n次，则数列{a n}的通项公式为a n=2n-1(n∈N*).通过探究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n个金属片都适用的移动方法.当移动n个金属片时，可分为下列3个步骤：（1）将上面（n-1)个金属片从1号针移到2号针；（2）将第n个金属片从1号针移到3号针；（3）将上面(n-1)个金属片从2号针移到3号针.这样就把移动n个金属片的任务.转化为移动两次（n-1)个金属片和移动一次第n个金属片的任务.而移动（n-1)个金属片需要移动两次（n-2)个金属片和移动一次第（n-1)个金属片，移动（n-2)个金属片需要移动两次（n-3)个金属片和移动一次第（n-2)个金属片……如此继续，直到转化为移动1个金属片的情形.根据这个过程，可得递推公式从这个递推公式出发，可以证明上述通项公式是正确的.。
2016-2017学年高二数学苏教版选修1-2学案：2.1.1 第1课时 归纳推理
2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理第1课时归纳推理1.了解归纳推理的含义，能用归纳推理进行简单的推理.(重点、难点)2.体会归纳推理在数学发现中的作用，归纳推理结论的真假.(易错点)[基础·初探]教材整理归纳推理阅读教材P31～P33“练习”以上部分，完成下列问题.1.推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.2.归纳推理的特点(1)归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理.(2)归纳推理的思维过程如图：实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论.3.归纳推理(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围.(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验.(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.1.判断正误：(1)由个别到一般的推理为归纳推理.()(2)由归纳推理得出的结论一定正确.()(3)从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理.()【答案】(1)√(2)×(3)√2.如图2-1-1所示，第n个图形中，小正六边形的个数为______.【导学号：97220009】图2-1-1【解析】a1＝7，a2＝7＋5＝12，a3＝12＋5＝17，∴a n＝7＋5(n-1)＝5n＋2.【答案】5n＋2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)(2016·扬州高二调研)已知32＋27＝2·327，33＋326＝3·3326，34＋463＝4·3463，32014＋mn＝2014·3mn，则n＋1m3＝________.(2)(2016·湖北七市教科研协作体联考)观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n＝12n(n＋1)；1＋3＋6＋…＋12n(n＋1)＝16n(n＋1)(n＋2)；1＋4＋10＋…＋16n(n＋1)(n＋2)＝124n(n＋1)(n＋2)(n＋3)；……可以推测，1＋5＋15＋…＋124n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝__________.【精彩点拨】结合数与式子的特征，提炼结论.【自主解答】(1)由已知的3个等式知一般式为3(n＋1)＋n＋1(n＋1)3-1＝(n＋1)·3n＋1(n＋1)3-1.所以m＝2014，n＝20143-1，所以n＋1m3＝2014320143＝1.(2)根据式子中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝1120n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4).【答案】(1)1(2)1120n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)进行数、式中的归纳推理的一般规律(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论.[再练一题]1.已知23＜2＋13＋1，23＜2＋23＋2，23＜2＋33＋3，…，推测猜想一般性结论为________.【解析】每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数，因此可猜测：ba ＜b＋ma＋m(a，b，m均为正数，且a＞b).【答案】ba＜b＋ma＋m(a，b，m均为正数，且a＞b)(1)图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________.图2-1-2(2)根据图2-1-3中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为__________.①②③④图2-1-3【精彩点拨】(1)观察图案知，每多一块白色地面砖，则多5块黑色地面砖，从而每个图案中白色地面砖的块数，组成首项为6，公差为5的等差数列.(2)先求出前4个图形中线段的数目，再归纳.【自主解答】(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n 个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n -1)×5＝5n ＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22-3,5＝23-3,13＝24-3,29＝25-3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29-3＝509.【答案】 (1)5n ＋1(2)509归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：寻找关系―→从图形的数量规律入手，寻找数值变化与数量的关系↓ 结构联系―→从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化↓ 归纳结论―→常转化为数列中的归纳推理问题，如可通过图形展现的有关数据，构造某一数列的前几项，然后利用归纳数列的某一问题进行解决[再练一题]2.如图2-1-4，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中的顶点个数为________.图2-1-4【解析】 第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n 个图形共有(n ＋2)(n ＋3)个顶点.【答案】 (n ＋2)(n ＋3)[探究共研型]探究1 n 【提示】 是一种对应关系，也是一种特殊的函数关系. 探究2 如何寻求a n 与n 的关系？【提示】 利用递推式写出数列的前几项化为统一的形式，再观察解决.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .求出a 1，a 2，a 3，a 4，并推测a n .【精彩点拨】 由递推关系写出前4项，化为统一形式，观察即可. 【自主解答】 ∵S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，∴a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，∴a 21＝1. 又∵a n >0，∴a 1＝1；a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，即1＋12a 2＝12a 2，∴a 2＝2-1； a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，即2＋12a 3＝12a 3，∴a 3＝3-2；a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋1a 4，∴3＋12a 4＝12a 4，∴a 4＝2-3；观察可得，a n＝n-n-1.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.[再练一题]3.已知数列{a n}中，a2＝6，a n＋1＋a n-1a n＋1-a n＋1＝n.(1)求a1，a3，a4；(2)猜想数列{a n}的通项公式.【解】(1)由a2＝6，a2＋a1-1a2-a1＋1＝1，得a1＝1.由a3＋a2-1a3-a2＋1＝2，得a3＝15.由a4＋a3-1a4-a3＋1＝3，得a4＝28.故a1＝1，a3＝15，a4＝28.(2)由a1＝1＝1×(2×1-1)；a2＝6＝2×(2×2-1)；a3＝15＝3×(2×3-1)；a4＝28＝4×(2×4-1)，…猜想a n＝n(2n-1).[构建·体系]1.已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，f 4(x )＝f 3′(x )，…，f n (x )＝f n -1′(x )，则f 2 014(x )＝________.【解析】 f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝-sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝-cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝cos x ，…再继续下去会重复出现，周期为4， ∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝-sin x . 【答案】 -sin x2.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n (a ∈N *)，则可归纳猜想{a n }的通项公式为________.【解析】 由已知得a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝432＋23＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝2×122＋12＝25，…，由此可猜想a n ＝2n ＋1.【答案】 a n ＝2n ＋23.已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：【导学号：97220010】a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝______________.【解析】 每行对应的元素个数分别为1,3,5，…，那么第10行最后一个数为a 100，则第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝a 112＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫131124.(2016·苏州高二期末)当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥44x 3·x 3·x 3·27x 3＝4，根据上述不等式，在x >0的条件下，可归纳出一个一般性的不等式为________(直接写结论).【解析】 根据已知的3个不等式，找出规律知，一般性的不等式为x ＋n nx n ≥(n ＋1)·n ＋1x n ·x n …·x n ·n n x n ＝n ＋1.【答案】 x ＋n nx n ≥n ＋15.已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3.(1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值； (2)猜想a n . 【解】 (1)a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37， 同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38，a 4＝39，a 5＝310.(2)由a2＝32＋5，a3＝33＋5，a4＝34＋5，a5＝35＋5，可猜想a n＝3n＋5.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
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归纳推理
【要点梳理】
1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为
任何推理包括和两个部分。是推理所依据的命题，它告诉我们
是什么，是根据前提推得的命题，它告诉我们是什么。
2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为，它的思维过程是
3、归纳推理有如下特点
（1）归纳推理的前提是几个已知的现象，归纳所得的结论是尚属未知的现象，该结论超越了前提所包含的范围。
2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。
3、归纳推理的一般模式是什么？
S1具有P；S2具有P；……；Sn具有P（S1、S2、…、Sn是A类事件的对象）
所以A类事件具有P
【典型例题】
例1、设 ，则
A、 B、 C、 D、
【解析】：
故可猜测 是以4为周期的函数，有
故选C
【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。
年龄（岁）
30
35
40
45
50
55
60
65
收缩压（水银柱/毫米）
110
115
120
125
130
135
145
舒张压（水银柱/毫米）
70
73
75
78
80
83
88
【解析】：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列，舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，…照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140，85
例2、根据所给数列前几项的值： 猜想数列的通项公式。
【解析】：
于是猜想给数列的通项公式：
【点评】根据数列中前几项给出数列的一个通项公式，主要是对数列特征进行认真观察，结合常见数列的通项公式，对已知数列进行分解、组合，从而发现其中的规律。
例3、在某报《自测健康状况》的报道中，自自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空格内
（2）由归纳推理得到的结论具有的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它作为数学证明的工具。（填“能”或“不能”）
（3）归纳推理是一种具有的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
【指点迷津】
1、运用归纳推理的一般步骤是什么？
首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。
A、 B、 C、 D、
3、在等差数列 中，首项为 ，公差为d，则有
我们可以得出：
4、从1=1， …，概括出第n个式子为
★能力训练★
5、设 ， ，
…
6、多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则V、E、F三者之间的关系为
7、设平面内有n条直线（ ），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用 表示这n条直线交点的个数，则 =，当n>4时 =（用n表示）
【点评】本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学的能力，它不需要技能、技巧及繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实施为数学思维活动。
【阶梯练习】
★基础练习★
1、等式 （）
A、n为任何正整数时都成立
B、仅当 时成立
C、当 时成立， 时不成立
D、仅当 时不成立
2、已知数列 的前n项和为 ，且 ，试归纳猜想出 的表达式为（）
8、已知 ，观察下列立方和 试归纳出上述求和的一般公式？
2.1.1合情推理与演绎推理(1)
1、 2、B 3、A
4、
5、 6、V+F—E=2
7、解：
可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数
猜测得出
有
因此
8、解：
由此可以有求和的一般公式为