谈“一线三等角”优秀课件
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一线三等角专题PPT课件
【活动二】 K字型相似基本图形2: 条件：B，D，C三点共线,∠B=∠EDF=∠C= α 结论： △ BDE∽ △ CFD 证明：
F
E
α B
α
α
D
C
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以等腰三角形为背景
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1.如图，等边△ABC中，边长为6，D 是BC上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD （2）当BD=1.5 ，FC=1时，求BE
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2.如图，在△ABC中，AB=AC=8 ，AC=10 ， D是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且∠ADE=∠C ．
(1) 求证：△ABD∽△DCE； (2) 如果BD=x ，EC=y ，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x的四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，BC=1，AB=5， 点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D．当 点P在线段OA上运动时，使得∠CPD=∠OAB，且BD: AD=3:2，求点P的坐标．
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4.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,D 是BC的中点，∠EDF=∠B, 求证：△BDE∽△DFE.
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感谢您的观看！
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F
E
α B
α
α
D
C
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以等腰三角形为背景
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1.如图，等边△ABC中，边长为6，D 是BC上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD （2）当BD=1.5 ，FC=1时，求BE
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2.如图，在△ABC中，AB=AC=8 ，AC=10 ， D是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且∠ADE=∠C ．
(1) 求证：△ABD∽△DCE； (2) 如果BD=x ，EC=y ，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x的四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，BC=1，AB=5， 点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D．当 点P在线段OA上运动时，使得∠CPD=∠OAB，且BD: AD=3:2，求点P的坐标．
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4.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,D 是BC的中点，∠EDF=∠B, 求证：△BDE∽△DFE.
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谈“一线三等角”优秀课件
在近些年的数学中考复习中，模型教学与渗透越来越受到 广大数学师生的关注，而在众多的基本模型中，相似模型因其 种类多、图形美、内涵丰富， 常常成为中考能力考察的核心。 而“一线三等角”模型作为其中的“翘楚”，更是受到了许多 中考命题者的青睐，以其为基本框架而精心设计的试题，在近 些年各省市的中考中，屡见不鲜，精彩纷呈。其中有些试题， “一线三等角”直接跃然于纸上，让人一目了然，茅塞顿开； 另有部分试题，“一线三等角”并非直观呈现，而是隐藏在所 给的图形中，这就需要我们通过观察辨别和分析探究，合理地 予以构造，挖掘出图中隐藏的“一线三等角”。
．
（提示:若a>0,b>0; 则a+b≥
）
以上两例都是典型的“一线三等角”试 题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试 题的起 点． 两道题虽涉及不同的图形变换， 但解法本质一 致，均为利用模型构建比例式 解决问题． 两道题都 着重考查学生在图形 变换过程中的观察理解、直观 感知、推理转 化等数学能力和思想．
数学离不开解题，解题教学是数学教学的重要组成部 分。
著名数学大师华罗庚曾说：“学数学不做题目，等于 入宝山而空返”；著名数学教育家波利亚说：“掌握数学 就意味着要善于解题”。毋庸讳言，初中三年的数学教学 的成与败，将直接体现在学生中考两个小时的解题能力上。
因此，师生加强中考数学解题研究，有着极其重要的 现实意义。
；
（2）设点P为线段OB的中点，联结PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则
m的值是
。
上述两道题虽分别以四边形和一次函数为 命题背景，但图形的共性较明显: 均将原有 “一线三等角”模型中的一角进行了隐藏，而 这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与 联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图 中的几何模 型．两道题均较好地体现了对 “四基”的综合考查， 提升了学生思维的层 次性和灵活性．
一线三等角专题课件
拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC中点，点D、E分别在AB、 AC上，若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=4 2，CE=3，则DE的长为 5
3
பைடு நூலகம்究
探究：如图①，在等边△ABC中,AB=4, 点D 、 E分别为边BC、
AB上的点,连结AD、DE,若∠ADE=60°,BD=3,求BE的长。
拓展：如图②,在△ABD中,AB=4,点E为边AB上的点,连结
追根溯源
这是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明 勾股定理的弦图．
追根溯源
例题
感知：如图①，直线经过正方形顶点，且正方形在直线的上方，作AB⊥
L于点，DF⊥L于点F，可知：△ABC≌△CFD.（不需证明）
应用1：如图②，将图①中的正方形ACDE绕点C顺时针旋转，使直线L与
边DE相交，作AB⊥L于点B，DF⊥L于点F，求证： △ABC≌△CFD.
DE,若∠ADE=∠ABD=45°,若DB=3 2 , SΔADE = 5
SΔBDE
3。
应用2：如图③，
，相邻两条平行线间的距离相等，正方形ABCD
的四个顶点分别在这四条平行线上,连结BD，则BD与l2 相交所成的α锐角
的正切值为
.
练习
感知：如图①，在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=90°，
点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD.(不要求证明）
探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上， 当∠B=∠C=∠APD时，求证： AB •CD = PC • BP .
—— 长春市数学教研组
复检
1.相似三角形有哪些判定方法？ 2.相似三角形怎样找对应边？
探究
（1）如图，已知∠A=∠BCD=∠E=90°,图中有没有 相似三角形? 说明理由。
3
பைடு நூலகம்究
探究：如图①，在等边△ABC中,AB=4, 点D 、 E分别为边BC、
AB上的点,连结AD、DE,若∠ADE=60°,BD=3,求BE的长。
拓展：如图②,在△ABD中,AB=4,点E为边AB上的点,连结
追根溯源
这是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明 勾股定理的弦图．
追根溯源
例题
感知：如图①，直线经过正方形顶点，且正方形在直线的上方，作AB⊥
L于点，DF⊥L于点F，可知：△ABC≌△CFD.（不需证明）
应用1：如图②，将图①中的正方形ACDE绕点C顺时针旋转，使直线L与
边DE相交，作AB⊥L于点B，DF⊥L于点F，求证： △ABC≌△CFD.
DE,若∠ADE=∠ABD=45°,若DB=3 2 , SΔADE = 5
SΔBDE
3。
应用2：如图③，
，相邻两条平行线间的距离相等，正方形ABCD
的四个顶点分别在这四条平行线上,连结BD，则BD与l2 相交所成的α锐角
的正切值为
.
练习
感知：如图①，在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=90°，
点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD.(不要求证明）
探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上， 当∠B=∠C=∠APD时，求证： AB •CD = PC • BP .
—— 长春市数学教研组
复检
1.相似三角形有哪些判定方法？ 2.相似三角形怎样找对应边？
探究
（1）如图，已知∠A=∠BCD=∠E=90°,图中有没有 相似三角形? 说明理由。
一线三等角优秀课件
B
D
D
E
AC
E
D
AC
E
思考：以上图形有什么共同点？
一线三等角，两头对应好，互补导等角，相似轻易找
活动三 图形辨析 强化理解
• 下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出 “一线三等角”的基本图形所形成的相似三角 形（要求对应的顶点写在对应的位置）
A
2 1 B
D
E
3 C
A E
1 B
2 F
D
G 3
如图，当∠CPD=∠CAB=∠EBD时，两三角形还相似吗？
解： △CPA∽△PDB 理由：∵∠CPD=∠CAB
∠CPA+∠BPD=∠CPA+∠C
∴∠EC=∠BPD
又∵∠CAB=∠EBD ∴1800-∠CAB=1800-∠EBD 即∠PAC=∠PDB ∴△CPA∽△PDB
活动二抽象模型，揭示本质
B
AC B
• （3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E 恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系。
活动五 收获分享
1、通过本节课的学习，你有什么收获？ 2、本节课的学习过程，对你今后思考问题有什
么启示？
D 理由：∵∠A=∠BCD=∠E= α°
•
∠ACB+∠DCE=1800-α°
•αα
A• •
C
∠CDE+ ∠DCE=1800-α°
α
∴∠ACB= ∠CDE
E 又∵∠A=∠E
•
∴ △ABC∽△ECD
活动二抽象模型，揭示本质
如图，当∠CPD=∠CAB=∠EBD时，.如图，已知∠A=∠BCD=∠E=120°， △ABC与 △ECD是否相似？并说明由。
《相似三角形的判段——“一线三等角”》公开课教学PPT课件(终稿)
思考
等腰ABC中AB AC，D是BC中点，有MDN B, 请找出图中所有的相似三角形.
上题中，若AB
AC
பைடு நூலகம்10,
BC
12,
SDMN
1 4
SABC ,
求MN长.
思考
变式1.在等腰ABC中，AB AC 10, BC 12, D是BC上任 一点，MDN B,若DM AB，是否有可能使SDNC 4SDMB，如果有可能求BD的长.
问题探究
变式2：在平面直角坐标系中，直线l1：y 2x 4与 x轴y轴分别交于A, B两点.将OAB沿l1翻折. （1） 求O的 对 称 点P的 坐 标.
（2） 直 线l2过 点P， 且 与直 线l1的 夹角 是45， 求 两直 线l1， l2的 交点 坐 标.
回顾反思
1、“一线三等角”模型的特征，以及模型的 提炼、变式和运用 2、从复杂图形中提炼,还原，创设出基本模 型、快速灵活运用基本结论、反思、拓展.
变式2.在等腰ABC中，AB AC 10, BC 12, D是BC上任一 点，MDN B,若BD 4，是否存在这样的位置，使DMN 成为直角三角形, 若存在求BM长.
相似三角形的判断—— “一线三角形”
情景再现
在等边ABC中，D是BC边上的一点，把 ABC折叠，使点 A落
在BC边上的点 D处，折痕为 MN.若 BD 2，请求出 AM 的值.
DC 3
AN
一线三等角
有三个相等角 三个相等角的顶点在一直线上
抽象模型
常见一线三等角图形
点P在线段AB上
点P在线段AB延长线上
问题探究
问题：如图在ABC中，AB AC 5, BC 8,点 D，E分别在BC, AC上，连接AD, DE,使1 B (1)当BD 2,求线段CE的长.
最新一线三等角模型PPT课件
结胸者
治法：泻热逐水，峻药缓攻。
3 x
y 1 x2 4 3 x2 4 3 x2 3 (0 x 3)
2
2
4
2021/3/10
（2）
3x
2
2
x
x2 4
3 x2 4
3
2
3 x 2 3x 2
2
3
13
13 2
2021/3/10
方法一：勾股定理； 方法二：证明D是AH中点。
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
a
1
2a
2
2 2a 1 a
2 1
方法一： 一线三直角
注意：点坐标的正负号问题！
一线三等角在直角坐标系中的应用
2014年宝山一模18题
67
9 2
(9,9 3) 22
93
9
2
思考：若把 tan BAO
3 3
样？
改t为an BAO 1 2
，解法是否一
2021/3/10
2a
9 a9
2
9 2a
9
a
主证： 大便秘结 腹满硬痛
病机：燥实内阻，腑气壅滞。 治法：攻下实热，荡涤燥结。
潮热 谵语 (烦躁、心中懊憹) 手足漐漐汗出 反不能食 喘冒不能卧 脉沉迟
方药：大承气汤 枳实五枚：行 气 消 痞 厚朴半斤：宽 中 除 满 芒硝三合：软 坚 润 燥 大黄四两：泻 热 荡 实
鉴别: 三承气汤皆用于治疗阳明腑实证。 调胃承气汤重在泻热，故全身热毒内盛的证候 偏重者宜用； 小承气汤重在通腑，故腹部的实证表现为主者 宜用； 大承气汤泻热与通腑之力俱重，故全身热毒内 盛的证候和腹部的实证表现两组证候皆重者宜用之。
一线三等角模型ppt课件
一线三等角模型
2019
-
1
通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似的三角形！
什么是一线三等角？
如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠EDF=∠B，请问图中 是否有相似三角形？
相似三角形判定 定理一： 两角对应相等， 两三角形相似。
注意：对应边千万不要找错，相同的角 标记同一个符号会比较清晰！
2019 2
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标： 用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相 关问题； 重点：掌握“一线三等角”基本模型； 难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
特别是“一线三直角”辅助线的构造
2019 3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
中点型“一线三等角”模型
中点型： 至少有三 对相似三 角形
β
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
2019
-
7
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
1 t 2
4 2
t
2
1 t 2
4
2019
-
8
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点 距离公式； 方法三：利用 互相垂直的一 次函数（针对 优等生，且此 法适用于任意 三角形翻折）
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
3 x
2
3 x 2
2
BC 4
3
13
13 2
PD PC AD PD 13 PC BC 2
15
2019
2019
-
1
通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似的三角形！
什么是一线三等角？
如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠EDF=∠B，请问图中 是否有相似三角形？
相似三角形判定 定理一： 两角对应相等， 两三角形相似。
注意：对应边千万不要找错，相同的角 标记同一个符号会比较清晰！
2019 2
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标： 用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相 关问题； 重点：掌握“一线三等角”基本模型； 难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
特别是“一线三直角”辅助线的构造
2019 3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
中点型“一线三等角”模型
中点型： 至少有三 对相似三 角形
β
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
2019
-
7
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
1 t 2
4 2
t
2
1 t 2
4
2019
-
8
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点 距离公式； 方法三：利用 互相垂直的一 次函数（针对 优等生，且此 法适用于任意 三角形翻折）
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
3 x
2
3 x 2
2
BC 4
3
13
13 2
PD PC AD PD 13 PC BC 2
15
2019
一线三等角模型ppt(共22张PPT)
（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
没边相等证相似.
若不存在，请说明理由．
若存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标；
（（21）01如2成图都①），(当本点小Q题在满E线分段10A分C)上，且HAP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE； 若（A2）B=根k据A图E，象A写C出= k在A第F，一试象探限究内H，E当与取H何F之值间时F的，数y1量＜关y2系？，并说明理由.
FQ之延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为
一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点
H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，
并说明理由. 有边相等证全等;
若存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标；
有边相等证全等;
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图
中所有的相似三角形，并证明你的结论．
已知：在矩形AOBC中，OB=3，OA=2．分别以 OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的 平面直角坐标系．若点F是边BC上的一个动点（ 不与B、C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的
一个特殊图形的应用——一线三等角模型
考试过程中学生若能遇到自己平时非常熟悉的题型，快 速找到解决问题的突破口，就能减轻思维量，提高做题速 度，缓解考试紧张情绪，取得理想的成绩。因此，平时教 学中模型的渗透就非常重要。
一线三等角解题理念: 有边相等证全等; 没边相等证相似.
建立模型
2013一调13 如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x轴、 y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经 过点D.则________．
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你会证明勾股定理吗？ 你能用至少三种方法证明勾股定理吗？
“一线三等角”是一个常见的相似模型， 指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成 的相似图形。这个角可以是直角，也可以是锐 角或者钝角。对于“一线三等角”，有的地区 叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”，在 这里我们统一称为“一线三等角”。
．
（提示:若a>0,b>0; 则a+b≥
）
以上两例都是典型的“一线三等角”试 题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试 题的起 点． 两道题虽涉及不同的图形变换， 但解法本质一 致，均为利用模型构建比例式 解决问题． 两道题都 着重考查学生在图形 变换过程中的观察理解、直观 感知、推理转 化等数学能力和思想．
数学离不开解题，解题教学是数学教学的重要组成部 分。
著名数学大师华罗庚曾说：“学数学不做题目，等于 入宝山而空返”；著名数学教育家波利亚说：“掌握数学 就意味着要善于解题”。毋庸讳言，初中三年的数学教学 的成与败，将直接体现在学生中考两个小时的解题能力上。
因此，师生加强中考数学解题研究，有着极其重要的 现实意义。
在近几年的各地中考试卷中，逐渐涌现出由同一类基本 模型延伸而来的试题，这些试题虽呈现的背景不尽相同，但 解决问题的方法和思想相通，这就要求教师在平时的解题教 学中，充分挖掘习题的内在价值，鼓励学生对问题进行深入 研究，引导并总结出一般化的方法，同时要让学生尝试利 用 在解题过程中所积累的经验，对试题中所蕴藏的基本模型进 行挖掘与提炼．只有让学生学会自主地反思、推进、提炼， 才能做到“掌握模型，举一反三，通一类题”，同时通过对 一些基本模型和结论的挖 掘，能更好地弄清问题的本质，为 解决问题搭建好思维的“脚手架”，进而切实有效地提升学 生的解题能力，发展学生的思维水平．
内作矩形ABCD，使AD= ，则点C的坐标为_______
，点D的坐标为_______．
（变式题2）（2019•潮南区模拟）如图，在平面直角坐 标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上 ，并且OA＝5，OC＝3．若把矩形OABC绕着点O逆时 针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对 应点C1的坐标为 （- ， ） 。
（2015·连云港·16）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，
∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3， l1与l2之间的距离是1， l2
与l3之间的距离是2， l1、l2、l3分别经过A、B、C，则边
AC的长为
。
（变式题1）如图，在平面直角坐标系中，直线
yLeabharlann =1 2x
+
2
与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限
（2019•盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1
的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向
旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是
。
本题实质上以图形的旋转为问题的切入点，较 好地激发学生探索的意愿，促使学生在模拟图形运 动的同时，自发地利用题中所 蕴含的特殊角，展开 适当的联想，寻找图形间的联系，利用数学解题经 验，搭建模型框架。本题意在寻求突破，体现分层 考查，有着较好的考试信度与效度．
（2017·泰安·14）如图，在正方形ABCD中，M为 BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E， 若AB=12，BM=5，则DE的长为（ ）
F
（2017·丽水·16）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分
别交x轴、y轴于点A、B，已知点C（2,0）。
（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是
；
（2）设点P为线段OB的中点，联结PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则
m的值是
。
上述两道题虽分别以四边形和一次函数为 命题背景，但图形的共性较明显: 均将原有 “一线三等角”模型中的一角进行了隐藏，而 这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与 联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图 中的几何模 型．两道题均较好地体现了对 “四基”的综合考查， 提升了学生思维的层 次性和灵活性．
在我们的上一年的，一模中主要考察的 是“一线三直角”。
△ADB∽△CEA
△ADB∽△CEA ∽△CAB
△ADB∽△CEA ∽△CAB
最特殊 考到几 率最大
△ADB∽△CEA △ADB∽△CEA △ADB∽△CEA
1.如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、
BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，
在近些年的数学中考复习中，模型教学与渗透越来越受到 广大数学师生的关注，而在众多的基本模型中，相似模型因其 种类多、图形美、内涵丰富， 常常成为中考能力考察的核心。 而“一线三等角”模型作为其中的“翘楚”，更是受到了许多 中考命题者的青睐，以其为基本框架而精心设计的试题，在近 些年各省市的中考中，屡见不鲜，精彩纷呈。其中有些试题， “一线三等角”直接跃然于纸上，让人一目了然，茅塞顿开； 另有部分试题，“一线三等角”并非直观呈现，而是隐藏在所 给的图形中，这就需要我们通过观察辨别和分析探究，合理地 予以构造，挖掘出图中隐藏的“一线三等角”。
过点C1作C1N⊥x轴于点N， 过点A1作A1M⊥x轴于点M
（变式题3）如图，在平面直角坐标系中，点A
（0, 2 3 ），点B（4,0），点C在第一象限内，若
△ABC为等边三角形，则点C的坐标为
。
上述几道题虽呈现的背景不同，但都蕴 知识技能、思想方法、数学模型于图形之 中．题中的 “特殊角”是解题的关键，也是 搭建模型框架的基础，更是学生解题思路的来 源与“脚手架”． 这几道题实质上都是考查 学生利用模型进行数学思考的能力，同时也有 效地检测了学生对数学本质属性的把握情况．
GF．已知AG⊥GF，AC= 6 ，则AB的长为
．
（2017·四川绵阳·17）将形状、大小完全相同的两个等腰三角
形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底
边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，
AD:AB=1:3，则
MD
12 MA DN
的最小值为
通过上述四种应用类型的后三种，我们不难发 现：对于有些中考试题，“一线三等角”并非直观、 完整地呈现，而是在原图中隐藏了局部或全部结构， 因此思维层次随之提升。若我们能充分利用题中所给 的已知角或挖掘图中隐藏的特殊角，通过“找角，定 线，搭框架”，让模型“现出原形”，则解题思路便 会油然而生，豁然开朗。