拉普拉斯变换的概念
拉普拉斯变换
在半平面 Re s > C 上一定存在.此时右端的积分绝对 收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 F s 为解析 函数
1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换
解
ℒ (t ) 0 (t ) e st dt 1
t 1
所以
f t 1 et
s s s5 例14 已知 F s 求 f (t ) s 3 2 s s s5 5 2 解 F s s s 1 s s
3 2
所以
f t t t t 5
求 f (t ) s 2 9 2 s 2 2s 5 1 3 解 F s 2 2 2 2 2 3 s 2 9 s 2 3 s 2 3
0
我们称上式为函数
f (t ) 的拉普拉斯变换式 ,记做
F ( s ) ℒ f (t ) F ( s) 叫做 f (t ) 的拉氏变换,象函数.
f (t ) 叫做 F ( s ) 的拉氏逆变换,象原函数, f (t ) = ℒ
1
F ( s)
1.2 拉普拉斯变换存在定理
若函数 f (t ) 满足下列条件 Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆 变换 一些常用函数的拉氏变换
(t ) 1
1 e sk
kt
1 u (t ) s
tn n! s n 1
k sin kt 2 s k2
s cos kt 2 s k2
拉氏逆变换的性质 1 ℒ F 1 (s) F 2 (s) f1 (t ) f 2 (t )
拉普拉斯变换
第十一章 拉普拉斯变换在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法。
拉普拉斯变换（简称拉斯变换）就是其中的一种。
拉斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。
用变拉普拉斯换分析和综合线性系统（如线性电路）的运动过程在工程上有着广泛的应用。
本章将扼要地介绍拉氏变换的基本概念、主要性质、拉氏逆变换及拉氏变换的简单应用。
第一节 变拉普拉斯换的概念定义 设函数)(t f 当0≥t 时有定义，且广义积分⎰+∞-0)(dt e t f st在s 的某一区域内收敛，则由此积分确定的参数为s 的函数dt e t f s F st -∞⎰=0)()(叫做函数)(t f 的变拉普拉斯换，记作)]([)(t f L s F =函数F （s ） 也可叫做)(t f 的像函数。
若F （s ）是)(t f 的拉)(t f 是F （s ）的拉氏逆变换（或叫做()s F 的像原函数），记作)]([)(1s f L t f -=在拉氏变换中，只要求)(t f 在),0[+∞内有定义即可。
为了研究方便，以后总假定在)0,(-∞内，)(t f ≡0。
另外，拉氏变换中的参数s 是在复数域中取值的，但我们只讨论s 是实数的情况，所得结论也适用于s 是复数的情况。
例1 求指数函数at e t f =)(（a a ,0≥是常数）的拉氏变换。
解 由拉氏变换定义有 ：dt e dt e e e L t a s st at at ⎰⎰+∞--+∞-==0)(0][此积分在s >a 时收敛，有⎰∞+---=)(1as dt e t a s 所以)(1][a s as e L at >-=例2 求单位阶梯函数⎩⎨⎧≥<=0,100)(t t t u ， 的拉氏变换。
解()[]⎰+∞-=0dt e t u L st此积分在0>s 时收敛，且有⎰∞+->=)0(1s sdt e st 所以 ()[])01>=s st u L （ 例3 求at t f =)(（a 为常数）的拉氏变换。
拉普拉斯变换
工程数学 --------- 积分变换
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例1. 设函数 f1(t) t, f2(t) sin t, 求 f1(t) * f2 (t).
解:
t
t *sin t sin( t )d
0
cos(t ) t
t
cos(t )d
00
t sin t
工程数学 --------- 积分变换
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象函数微分性质
1[F(s)] tf (t)
或
[tf (t)] d [ f (t)]
ds
一般地
1[F (n) (s)] (1)n t n f (t)
或
[t n f (t)] (1)n F (n) (s)
工程数学 --------- 积分变换
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工程数学 --------- 积分变换
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例2. 求函数 f (t) u(t )的Laplace 变换.
解: [u(t )] es [u(t)] 1 es
s 例3. 求函数 f (t) ebt cos at的 Laplace 变换.
解:
[cos
at]
s2
s
t
1[ 1
s
s
1 2
] 1
t
sin tdt
0
1 cost
工程数学 --------- 积分变换
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例11. 计算积分 1 cos t etdt.
0
t
解: [1 cos t ]
t
ds s s(s2 1)
1 [ ss
s
s2
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换就是分析与求解常系数线性微分方程得一种简便得方法,而且在自动控制系统得分析与综合中也起着重要得作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路得复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)得基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中得应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中,直接计算328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯就是很复杂得,而引用对数后,可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N然后通过查常用对数表与反对数表,就可算得原来要求得数N 。
这就是一种把复杂运算转化为简单运算得做法,而拉氏变换则就是另一种化繁为简得做法。
一、拉氏变换得基本概念定义12、1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 得某一区域内收敛,则此积分就确定了一个参量为P 得函数,记作()F P ,即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()( (12、1)称(12、1)式为函数()f t 得拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。
函数()F P 称为()f t 得拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 得象函数)。
函数()f t 称为()F P 得拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数),记作)()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。
关于拉氏变换得定义,在这里做两点说明:(1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。
为了研究拉氏变换性质得方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。
(2)在较为深入得讨论中,拉氏变换式中得参数P 就是在复数范围内取值。
为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质得研究与应用。
拉普拉斯变换(研究生)
(1) L a f1 (t ) b f 2 (t ) a L f1 (t ) b L f 2 (t ) a F1 (s) b F2 (s)
解:根据(2.1) 式,当Re(s)>0时,有
F (s) L u (t )
0
1 st e dt e .2】求f(t)=e kt 的拉氏变换(k为实数) 解: 当Re(s)>k时,有
kt L e
k t st
k L sin kt 2 s k2
k (6) L sinh kt 2 s k2
s (7) L cosh kt 2 s k2
(8) L (t ) 1
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§2 拉普拉斯变换的性质 1. 线性性质: 设a , b为常数,且 L f1 (t ) F1 (s), L f 2 (t ) F2 (s) 则有
若L[f(t)]=F(s), 则有
F (s) L t f (t ) (2.6)
一般地有
F ( n ) (s) L [(t )n f (t )] (2.7)
利用(2.6) 式
2ks 【例2.3】求L[tsinkt] (答案: 2 2 2 ) (s k )
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(1)
t t e dt e 0
0
1
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0t b t 【例1.5】求周期三角波 f (t ) 2b t b t 2b
且f(t+2b)=f(t)的拉氏变换(P74 例5)
第七章拉普拉斯变换
2024/8/1
1[ 2s
1
j
s
1
j
]
s2
s
2
.
11
• 例2．已知F(s) 5s 1 ，求L1[F(s)]. (s 1)(s 2)
解：F (s) 5s 1 2 1 3 1 , L[eat ] 1
(s 1)(s 2) s 1 s 2
sa
L1[F (s)] 2L1[ 1 ] 3L1[ 1 ]
2024/8/1
2
例1．求单位阶跃函数u(t)
0, 1,
f (t) 1的拉氏变换.
1,
t t
0，符号函数 0
sgn
t
0,
1,
t 0 | t | 0， t0
解： (1)L[u(t)]
est dt 1 est
0
s
0
1 s
,
Re(s) 0
即：L[u(t)] 1 , Re(s) 0； s
2024/8/1
3
一般规定：在拉氏变换中f (t)均理解为：f (t) 0，t 0.
即写下f (t) sin t时，理解为f (t) u(t)sin t，象函数F(s) 1，Re(s) 0 s
的象原函数可写为f (t) 1,即：L1[1] 1. s
例2．求指数函数f (t) ekt的拉氏变换（k为实数）.
L[ t f (t)dt] 1 F(s).
0
s
推广： L[
t
dt
t
dt
00
t 0
f
(t)dt]
1 sn
F (s).
２．象函数的积分
设L[ f (t)] F(s)，则 L[ f (t)]
拉普拉斯变换及其在电路分析中的应用
拉普拉斯变换及其在电路分析中的应用拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它在电路分析中有着广泛的应用。
通过将电路中的各个元件抽象成数学模型，我们可以利用拉普拉斯变换来分析电路的性质和行为。
本文将介绍拉普拉斯变换的基本概念以及它在电路分析中的应用。
首先，我们来了解一下拉普拉斯变换的定义和性质。
拉普拉斯变换是一种从时域到复频域的变换，它将一个函数f(t)变换为另一个函数F(s)，其中s是复变量。
拉普拉斯变换的定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e^(-st)是拉普拉斯变换的核函数，s是复变量，f(t)是待变换的函数。
拉普拉斯变换具有线性性质、时移性质、频移性质等基本性质，这些性质使得它在电路分析中具有很大的优势。
在电路分析中，我们常常需要求解电路中的电压和电流。
通过应用拉普拉斯变换，我们可以将电路中的微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。
例如，对于一个由电阻、电感和电容组成的RLC电路，我们可以利用拉普拉斯变换将电路的微分方程转化为代数方程，然后求解得到电路中的电流和电压。
另外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路的稳态和暂态响应。
稳态响应是指电路在达到稳定状态后的响应，而暂态响应则是指电路在初始时刻的响应。
通过应用拉普拉斯变换，我们可以将电路中的微分方程转化为代数方程，并利用初始条件和边界条件求解得到电路的稳态和暂态响应。
此外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路中的频率响应。
频率响应描述了电路对不同频率信号的响应程度。
通过将输入信号和输出信号都进行拉普拉斯变换，我们可以得到电路的传递函数，从而分析电路在不同频率下的增益和相位特性。
这对于设计滤波器、放大器等电路非常重要。
除了以上应用之外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路的稳定性和控制系统的性能。
通过将电路的传递函数进行拉普拉斯变换，我们可以得到系统的极点和零点，从而判断系统的稳定性。
同时，拉普拉斯变换还可以用来分析控制系统的性能指标，如稳态误差、超调量和响应时间等。
常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换在工程和数学中是个非常实用的工具。
它不仅能帮助我们解决微分方程，还能简化许多复杂的问题。
今天我们就来聊聊常用的拉普拉斯变换和反变换，看看它们是如何发挥作用的。
一、拉普拉斯变换的基本概念1.1 定义拉普拉斯变换是一个积分变换，它将时间域的函数转换为复频域的函数。
简单来说，它把一个函数从“时间的世界”带到了“频率的世界”。
公式上，拉普拉斯变换可以表示为：\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt \]这里的 \( s \) 是复数变量，\( f(t) \) 是我们要变换的时间域函数，\( F(s) \) 则是变换后的结果。
1.2 性质拉普拉斯变换有几个重要的性质，比如线性性、时间延迟和微分等。
这些性质使得在实际应用中，可以灵活地对待不同类型的函数。
例如，线性性让我们可以把两个函数的变换简单相加，这对于解决复杂问题很有帮助。
二、常用的拉普拉斯变换2.1 单位阶跃函数单位阶跃函数 \( u(t) \) 是拉普拉斯变换中最常用的函数之一。
它的变换结果是：\[ \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s} \]这个简单的公式为很多工程应用奠定了基础，因为很多信号和系统可以用阶跃函数来描述。
2.2 指数函数另一个常见的函数是指数函数 \( e^{at} \)。
它的拉普拉斯变换结果为：\[ \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a} \]这在处理自然衰减或增长的过程时特别有用，比如在电子电路中，我们经常会遇到这种情况。
2.3 正弦和余弦函数正弦和余弦函数的拉普拉斯变换也很重要。
它们分别为：\[ \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \] \[ \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \]这些变换结果在振动分析和控制系统中应用广泛，帮助我们理解系统的频率响应。
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[e a t ]
s [cos a t ] 2 ; 2 s a a [sin a t ] 2 . 2 s a
1 ; sa
(1) L(3t 2 2sin 5t 6cos3t 4e2t ) (2) L(4t 3 3sin 4t 5cos 2t 6e2t ) (3) L(3t 2sin t 7 cos 4t 5et 的存在域一般是一个右半平面 Re s c , 即只要复数 s 的实部足够大就可以了。
因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域， 只有在非常必要时才特别注明。
(2) 在 Laplace 变换中的函数一般均约定在 t < 0 时为零， 即函数 f (t ) 等价于函数 f ( t ) u( t ) . 比如
1 ( 2 [ e ja t ]
[ e jat ] )
1 1 1 s ( ) 2 . 2 2 s ja s ja s a
10
§9.1 Laplace变换的概念 第 四、几个常用函数的 Laplace 变换 九 1 1 (4) [ e a t ] 章 (1) [1] = [ u( t ) ] ; ; sa s s 拉 (2) [ ( t ) ] 1; (5) [ cos a t ] 2 ; 2 普 s a a m! Γ ( m 1) 拉 m (6) [ sin a t ] 2 . (3) [ t ] m 1 ; 2 m 1 斯 s a s s 变 jat s t 1 jat s t 换 e dt ) 解 (6) [ sin a t ] ( 0 e e dt 0 e 2j
即当t+时，函数f(t)的增长速度不超过某一个指数 函数， 0称为函数f(t)的增长指数.则函数f(t)的拉普拉 斯变换 st F (s) f (t )e dt
在半平面Re(s)> 0上存在.
0
5
§9.1 Laplace变换的概念
第 1 1 st s t , 九 练习1 [1] 0 1 e dt s e s 0 章 P214
(Re s 0) (Re s 0) (Re s 0)
拉 普 拉 斯 变 换
例 9.1
[u(t )]
0
u( t ) e
s t
dt 0 1 e
s t
1 dt , s 1 dt , s
[sgn t ]
P215 [e ] 例 9.2 P216 例9.3
解：当Re(s)>0时， 用分部积分法，得
[tn](s)=
n st t e dt 0
t st t e dt e s 0
n st
n n 1 st n t e dt s 0 s 0 n n 所以有 L [t ]( s ) L [t n 1 ](s ) s 1 当n=1时，有[t](s)= s 2 2 2 当n=2时，有 [t ](s)= 3 s
12
§9.1 Laplace变换的概念 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
课后练习 P235：习题九 2（1）（2）（5）（6）(可用上面的公式计算).
13
13
§9.1 Laplace变换的概念 第 附：人物介绍 —— 拉普拉斯 九 章 拉普拉斯 拉 普 拉 斯 变 换 Laplace，Pierre-Simon (1749～1827)
f(t)= -1 [F](t).
2
第 例 1 求阶跃函数 u ( t )= 九 章 解：当Re(s)>0时， 拉 普 拉 斯 变 换
0
1, 0,
st
t 0; 的拉普拉斯变换. t 0
[u](s)= f (t )e dt
e
st
s
0
1 s
例2 求函数f(t)=eat的拉普拉斯变换，其中a是复常数.
(G 函数简介)
m 1 m s t m m 1 s t t e dt t e 0 0 s s s
[ t m 1 ]
m ( m 1) s2
[t
m2
m! ] m s
m! [ 1 ] m 1 . s
9
§9.1 Laplace变换的概念 第 四、几个常用函数的 Laplace 变换 九 1 1 (4) [ e a t ] 章 (1) [1] = [ u( t ) ] ; ; sa s s 拉 (2) [ ( t ) ] 1; (5) [ cos a t ] 2 ; 2 普 s a m! Γ ( m 1) 拉 (3) [ t m ] m 1 ; m 1 斯 s s 变 ja t s t 1 jat s t 换 e dt ) 解 (5) [ cos a t ] ( 0 e e dt 0 e 2
at
0
sgn t e
s t
dt 0 1 e
s t
a t s t e e 0
1 1 (a s )t , (Re s Re a ) e dt sa as 0
要点 进行积分时，确定 s 的取值范围，保证积分存在。 6
§9.1 Laplace变换的概念 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
0
f (t )e st dt
在复数s的某一个区域内收敛，则由此积分所确定的 函数记为
F (s) L [ f ](s )
0
f (t )e st dt .
称为函数的f(t)的拉普拉斯变换式，F(s)称为f(t)的拉 普拉斯变换(或称为象函数). 若F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，则称f(t)为F(s)的 拉普拉斯逆变换(或称为原象函数)，记作
解： 当Re(s)>Re(a)时，
at st
1 ( s a ) 1 e [f](s)= e e dt sa sa 0 0 1 at 即 [e u(t)](s)= , Re(s)>Re(a) sa
3
第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
例3 求函数tn的拉普拉斯变换，其中 n是正整数.
e st
0
1.
8
§9.1 Laplace变换的概念 第 四、几个常用函数的 Laplace 变换 九 1 章 (1) [1] = [ u( t ) ] ; s 拉 (2) [ ( t ) ] 1; 普 m! Γ ( m 1) 拉 (3) [ t m ] m 1 ; m 1 斯 s s 变 m s t 1 m s t 换 m t de 解 (3) [ t ] 0 t e d t s 0
法国数学家、天文学家
天体力学的主要奠基人，天体演化学的创立者之一。 分析概率论的创始人，应用数学的先躯。
因研究太阳系稳定性的动力学问题被誉为法国的牛顿
和天体力学之父。 14
§9.1 Laplace变换的概念 第 附：人物介绍 —— 拉普拉斯 九 1749 年 3 月 23 日，生于法国卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日。 章 拉 普 拉 斯 变 换
1
[ 1 ] 1. s
7
§9.1 Laplace变换的概念 第 四、几个常用函数的 Laplace 变换 九 1 章 (1) [1] = [ u( t ) ] ; s 拉 (2) [ ( t ) ] 1; 普 拉 斯 变 换 s t [ ( t ) ] ( t ) e dt (2) 解 0
1 ( 2j [ e ja t ]
[ e jat ] )
1 1 1 a ( ) 2 . 2 2 j s ja s ja s a
11
§9.1 Laplace变换的概念 第 4、常用 Laplace 变换公式： 九 1 章 (1) [1]= [u( t ) ] ; (4) s 拉 (2) [ ( t ) ] 1; (5) 普 m! Γ ( m 1) 拉 (6) ; (3) [t m ] m 1 m 1 斯 s s 变 换 练习 求拉普拉斯变换：
n
n 1 st t e dt 0
[tn](s)=
n! s n 1
4
第 九 章 普 拉 斯 变 换
定理1（存在性定理）：若函数f(t)满足下列条件： (1) 在t0的任意有限区间上分段连续； (2) 存在常数 M >0 与 0 ，使得 0 拉 t
f (t ) Me 0 , t 0
(返回)
15
1795 年任巴黎综合工科学校教授。
1816 年被选为法兰西学院院士，次年任该院院长。 1827 年 3 月 5 日，卒于巴黎。 曾任拿破仑的老师，并在拿破仑政府中担任过内政部长。 发表的天文学、数学和物理学的论文有 270 多篇。 专著合计有 4000 多页。其中最有代表性的专著有： 《天体力学》 、 《宇宙体系论》 和 《概率分析理论》 。
第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
第九章 Laplace 变换
§9.1 Laplace 变换的概念 §9.2 Laplace 变换的性质 §9.3 Laplace 逆变换 §9.4 Laplace 变换的应用
1
第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
§9.1 拉普拉斯变换定义
定义8.1 设函数f(t)当t 0时有定义，而且积分