【精品】第47课时—简单的线性规划学案
湘教版高中数学必修四简单的线性规划教案(2)
简单的线性规划教案●教学目标（一）教学知识点用图解法解决简单的线性规划问题.（二）能力训练要求能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题.（三）德育渗透目标1.增强学生的应用意识.2.培养学生理论联系实际的观点.●教学重点线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小.●教学难点根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.尤其是最优解是整数解.●教学方法讲练结合法结合典型的实际问题讲解怎样用图解法解决线性规划的两类重要实际问题.●教具准备投影片三张（或多媒体课件）第一张：记作§7.4.3 A内容：课本P 62图7—24.第二张：记作§7.4.3 B内容：课本P 63图7—25.第三张：记作§7.4.3 C内容如下：解：设每天应配制甲种饮料x 杯，乙种饮料y 杯.则， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+003000103200054360049y x y x y x y x作出可行域：目标函数为：z =0.7x +1.2y作直线l :0.7x +1.2y =0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点C ，且与原点距离最大，此时z =0.7x +1.2y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+,3000103,200054y x y x得点C 的坐标为（200，240）.所以，每天应配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯，能使该咖啡馆获利最大. ●教学过程Ⅰ.课题导入上节课，我们一起探讨了如何运用图解法解决简单的线性规划问题.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题，其中有两类重要实际问题，下面我们就结合这两类问题的典型例题来探讨一下如何解决线性规划的实际问题.Ⅱ.讲授新课第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大？例如：某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过300 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？产品 消耗量 资源 甲产品（1 t ）乙产品(1 t) 资源限额（t ）A 种矿石（t ） 10 4 300B 种矿石(t) 5 4 200煤(t) 4 9 360利润（元） 600 1000那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x目标函数为：z =600x +1000y .作出以上不等式组所表示的平面区域（或打出投影片§7.4.3 A ），即可行域.作直线l :600x +1000y =0,即直线l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z =600x +1000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+,36094,20045y x y x得M 的坐标为x =29360≈12.4,y =291000≈34.4. 答：应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大.第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小.例如：要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规规格类型 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格第一种钢板 2 1 1第二种钢板 1 2 3得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，根据题意可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,273,182,152y x y x y x y x作出以上不等式组所表示的平面区域（或打出投影片§7.4.3 B ）,即可行域：目标函数为z =x +y ，作出在一组平行直线x +y =t （t 为参数）中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x +3y =37和直线2x +y =15的交点A （539,518），直线方程为x +y =557. 由于539518和都不是整数，而最优解（x ，y ）中，x 、y 必须满足x ，y ∈Z ，所以，可行域内点(539,518)不是最优解. 经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是x +y =12,经过的整点是B (3,9)和C (4,8)，它们是最优解.答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张，两种方法都最少要截得两种钢板共12张.［师］下面，请同学们结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法. ［生甲］先要画出可行域.［生乙］先要找到目标函数.［生丙］图解法.［师］这些同学讲得都不错，但是都不尽完善.其实，解决实际问题的关键是数学建模，即根据题意首先将实际问题转化为数学问题.也就是同学们刚才所说的，先要找到约束条件和目标函数.然后用图解法求得数学模型的解.最后，还需要将数学问题的解还原为实际问题的解.即根据实际情况找得最优解.如上述例2，需找得整点.才是最优解.下面，请同学们打开课本P 64.Ⅲ.课堂练习生（自练）练习2.［师］结合学生所做进行讲评.Ⅳ.课时小结通过本节学习，需掌握线性规划的两类重要实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.Ⅴ.课后作业（一）课本P65习题7.4 3、4.（二）1.预习内容：课本P66～672.预习提纲：（1）如何将我们所学知识应用于实际生活？（2）我们身边常会遇到哪些相关问题？●板书设计。
简单的线性规划教学设计
简单的线性规划教学设计简单的线性规划教学设计线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
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一、教学内容分析线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.简单的线性规划（涉及两个变量）关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成.突出体现了优化的思想．二、学生学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，又通过实例，理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题. 从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这都成了学生学习的困难．三、设计思想本课以学生为主体，应用“数形结合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。
四、教学目标1.知识与技能：(1)了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；能根据条件建立线性目标函数；(2)了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.2.过程与方法：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归数形结合的数学思想.3.情感、态度与价值观：进一步培养学生学习应用数学的意识及思维的创新性.五、教学重点与难点重点：线性规划问题的图解法.难点：图解法及寻求线性规划问题的最优解.六、学法对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括，使学生更深刻地领会和掌握解题的方法。
七、教学设计（一）自主学习1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域的画法.（由学生回答）如：画出不等式组表示的平面区域.2．设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值.问题：能否用不等式的知识来解决以上问题？（否）那么，能不能用二元一次不等式表示的平面区域来求解呢？怎样求解？（二）知识解析在上述引例中，不等式组是一组对变量的约束条件，这组约束条件都是关于的一次不等式，所以又称为线性约束条件。
简单的线性计划教案
简单的线性计划教案●教学目标（一）教学知识点1.线性计划问题，线性计划的意义.2.线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等大体概念.3.线性计划问题的图解方式.（二）能力训练要求1.了解简单的线性计划问题.2.了解线性计划的意义.3.会用图解法解决简单的线性计划问题.（三）德育渗透目标让学生树立数形结合思想.●教学重点用图解法解决简单的线性计划问题.●教学难点准确求得线性计划问题的最优解.●教学方式讲练结合法教师可结合一些典型例题进行讲解，学生再通过练习来掌握用图解法解决一些较简单的线性计划问题.●教具预备多媒体课件（或幻灯片）内容：讲义P60图7—23记作§ A进程：先别离作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，再找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封锁区域）.再作直线l0:2x+y=0.然后，作一组与直线的平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的转变.●教学进程Ⅰ.课题导入上节课，咱们一路探讨了二元一次不等式表示平面区域，下面，咱们再来探讨一下如何应用其解决一些问题.Ⅱ.教学新课第一，请同窗们来看如此一个问题.设z =2x +y ，式中变量x 、y 知足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x求z 的最大值和最小值.分析：从变量x 、y 所知足的条件来看，变量x 、y 所知足的每一个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域.(打出投影片§ A)［师］（结合投影片或借助多媒体课件）从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x =0，y =0时，z =2x +y =0. 点（0，0）在直线l 0：2x +y =0上.作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l 0)l :2x +y =t ,t ∈R .可知，当t 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x ,y )知足2x +y ＞0,即t ＞0.而且，直线l 往右平移时，t 随之增大.（引导学生一路观察此规律）在通过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以通过点A （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以通过点B （1，1）的直线l 1所对应的t 最小.所以：z m ax =2×5+2=12,z m in =2×1+3=3.诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，咱们把它称为目标函数.由于z =2x +y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性计划问题.例如：咱们适才研究的就是求线性目标函数z =2x +y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性计划问题.那么，知足线性约束条件的解（x ,y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部份表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）别离使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做那个问题的最优解.Ⅲ.课堂练习［师］请同窗们结合讲义P 64练习1来掌握图解法解决简单的线性计划问题.（1）求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y解：不等式组表示的平面区域如图所示：当x =0,y =0时，z =2x +y =0点（0，0）在直线l 0:2x +y =0上.作一组与直线l 0平行的直线l :2x +y =t ,t ∈R .可知，在通过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以通过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.所以z m ax =2×2-1=3.（2）求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x +5y =t 在通过不等式组所表示的公共区域内的点时，以通过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以通过点（817,89）的直线所对应的t 最大. 所以z m in =3×(-2)+５×(-1)=-11. z m ax =3×89+5×817=14. Ⅳ.课时小结通过本节学习，要掌握用图解法解决简单的线性计划问题的大体步骤：1.第一，要按照线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.Ⅴ.课后作业（一）讲义P 65习题（二）1.预习内容：讲义P 61～64.2.预习提纲：如何用线性计划的方式解决一些简单的实际问题.课 题有关概念 复习回顾约束条件 二元一次不等式表示平面区域 线性约束条件目标函数线性目标函数 例题讲解 课时小结线性规划问题 图解法解决线性规划问题的基本步骤 可行域最优解。
湘教版高中数学必修四简单的线性规划教案(3)
简单的线性规划教案●教学目标（一）教学知识点二元一次不等式表示平面区域.（二）能力训练要求会用二元一次不等式表示平面区域.（三）德育渗透目标1.渗透数形结合思想.2.培养学生应用意识.●教学重点二元一次不等式表示平面区域.●教学难点准确画出二元一次不等式（或不等式组）所表示的平面区域.●教学方法讨论法结合前面所学的以二元一次方程的解为坐标的点的集合是一条直线，提出以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是什么图形呢？从而展开师生讨论，让学生加深对二元一次不等式表示平面区域的理解.●教具准备投影片四张第一张：记作§7.4.1 A内容：课本P59图7—22第二张：记作§7.4.1 B内容：课本P60练习1.(1)(2)(3)(4)第三张：记作§7.4.1 C内容：课本P 602.画出不等式组表示的平面区域.(1)⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+<242y y x x y第四张：记作§7.4.1 D（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<≥+≥<9362323x y y x x y x●教学过程Ⅰ.课题导入通过前几节的学习，我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程x +y -1=0的解为坐标的点的集合{(x ,y )｜x +y -1=0}是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合{（x,y)｜x-y-1＞0}是什么图形呢？Ⅱ.讲授新课［师］在平面直角坐标系中，所有的点被直线x+y-1=0分成三类：（1）在直线x+y-1=0上；（2）在直线x+y-1=0的左下方的平面区域内；（3）在直线x+y-1=0的右上方的平面区域内.即：对于任意一个点（x,y），把它的坐标代入x+y-1，可得到一个实数，或等于0，或大于0，或小于0.若x+y-1=0，则点(x,y)在直线l上.我们猜想：对直线l右上方的点(x,y)，x+y-1＞0成立；对直线l左下方的点（x,y)，x+y-1＜0成立.［师］我们的猜想是否正确呢？下面我们来讨论一下.不妨，在直线x+y-1=0上任取一点P（x0,y0)，过点P作平行于x轴的直线y=y0,在此直线上点P右侧的任意一点（x,y），都有x＞x0，y=y0,所以，x+y＞x0+y0x+y-1＞x0+y0-1=0,即x+y-1＞0.再过点P作平行于y轴的直线x=x0，在此直线上点P上侧的任意一点（x,y)，都有x=x0,y＞y0.所以，x+y＞x0+y0x+y-1＞x0+y0-1=0,即x+y-1＞0.因为点P（x0,y0)是直线x+y-1=0上的任意点，所以对于直线x+y-1=0右上方的任意点(x,y)，x+y-1＞0都成立.同理，对于直线x+y-1=0左下方的任意点（x,y），x+y-1＜0都成立.如图所示：所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y-1＞0的解为坐标的点的集合{（x,y)｜x+y-1＞0}是在直线x+y-1=0右上方的平面区域.如图所示：那么，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x +y -1＜0的解为坐标的点的集合{(x ,y )｜x +y -1＜0}是在直线x +y -1=0左下方的平面区域.总之，二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）［师］下面我们再来看两例子.［例1］画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域.解：先画直线2x +y -6=0（画成虚线）.取原点（0，0），代入2x +y -6,∵2×0+0-6=-6＜0,∴原点在2x +y -6＜0表示的平面区域内，不等式2x +y -6＜0表示的区域如图：［例2］画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域.分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.解：不等式x -y +5≥0表示直线x -y +5=0上及右下方的点的集合，x +y ≥0表示直线x +y =0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x =3上及左方的点的集合.（打出投影片§7.4.1 A )［师］结合投影片上的图进行讲解.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域.Ⅲ.课堂练习［生］自练课本P 60 1，2.［师］（陆续打出投影片§7.4.1 B 、C 、D .)结合学生所做进行讲评.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要掌握“二元一次不等式表示平面区域”.注意：（1）Ax +By +C ＞0表示直线Ax +By +C =0的某一侧的平面区域不包括边界的直线；（2）Ax +By +C ≥0所表示的平面区域包括边界直线Ax +By +C=0.Ⅴ.课后作业（一）课本P65习题7.4 1.（二）1.预习内容：课本P60～P62.2.预习提纲：（1）何为线性规划问题？其相关概念是什么？（2）线性规划有何意义？●板书设计。
简单的线性规划教学设计
《简单的线性规划》教学设计一、内容和内容解析线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。
本节课为该单元的第3课时，主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法.重点是如何根据实际问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义运用数形结合方法求出最优解。
与其它部分知识的联系，表现在：二、目标和目标解析本课时的目标是：1•了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等相关概念.了解线性规划模型的特征：一组决策变量5・刃表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值.熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）•体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系.2•掌握实际优化问题建立线性规划模型并运用数形结合方法进行求解的基本思想和步骤.会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型•能理解目标函数的几何表征（一族平行直线）•能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，其基本步骤为建、画、移、求、答.3•培养学生数形结合的能力.对模型中z的最小值的求解，通过对式子疋二h +弘的变形，变为2z z2V = —— x-l-————3利用数形结合思想，把？看作斜率为3的平行直线系在y轴上的截距.平移直线■' 1 '1，使其与y轴的交点最高，观察图象直线经过M（4, 2）,得出最优解x = 4，y = 2.三、教学问题诊断分析线性规划问题的难点表现在三个方面：一是将实际问题抽象为线性规划模型；二是线性约束条件和线性目标函数的几何表征；三是线性规划最优解的探求.其中第一个难点通过第1课时已基本克服；第二个难点线性约束条件的几何意义也在第2课时基本解决，本节将继续巩固；第三个难点的解决必须在二元一次不等式（组）表示平面区域的基础上，继续利用数形结合的思想方法把目标函数直观化、可视化，以图解的形式解决之.将决策变量x，y以有序实数对（x，y）的形式反映，沟通问题与平面直角坐标系的联系，一个有序实数对就是一个决策方案.借助线性目标函数的几何意义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z的最值之间的关系；以数学语言表述运用数形结合得到求解线性规划问题的过程。
《简单的线性规划》教学设计
《简单的线性规划》教学设计一、教学指导思想与理论依据线性规划是利用数学为工具，来研究在一定的人、财、物、时、空等资源条件下，如何安排，达到用最少的资源取得最大的效益。
目前所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容，也能体现数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法—数学建模法。
本节课是在讲了二元一次不等式组表示平面区域的基础上,简单线性规划第一节课.重点是介绍线性规划的有关概念和利用图解法求解.难点是图解法求最优解的探索过程.结合我校实际情况,制定出本节课从创设数学游戏情景出发,引导学生逐一分析 ,将数学游戏问题抽象概括为数学问题,以此引出线性规划问题,并实现问题解决得高效学习.整个过程,学生自主探究,交流合作共同完成.二、教学背景分析1、教学内容分析本课时是本节内容的第二课时,是本节的核心内容.第一课时即二元一次不等式表示平面区域为本课时的学习做好了知识上的准备.第三课时线性规划的应用更是以本课时内容为基础展开的.普通高中《数学课程标准》指出：在高中数学教学中，教师应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与．课堂上，根据我校学生实际情况，创设适当的问题情境，鼓励学生自主探究，发现数学的规律，交流合作找出问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程．同时注意渗透数学的基本思想和方法．并通过对“线性规划”的历史及应用的介绍，使学生感受数学的文化价值．2、学生情况分析学生在已经学习了函数、映射、不等式、直线方程的基础上，利用相关知识展开的。
本节课是对二元一次不等式的深化和再认识,再理解,也是对函数和映射的深化和再认识.通过这一部分的学习，学生已经会画不等式组，需要进一步了解二元一次不等式组在解决实际问题中的应用。
如果直接向学生介绍目标函数的几何意义，考虑到他们接受能力，用数学游戏来渗透，设置一系列问题,激发学生探索欲望。
高三数学《简单的线性规划》教案
城东蜊市阳光实验学校7．4简单的线性规划〔第一课时〕二元一次不等式表示平面区域教学目的：1．理解二元一次不等式表示平面区域；2．掌握确定二元一次不等式表示的平面区域的方法；3．会画出二元一次不等式〔组〕表示的平面区域，并掌握步骤；教学重点：二元一次不等式表示平面区域.教学难点：如何确定二元一次不等式表示的平面区域。
教学过程：【创设问题情境】问题1：在平面直角坐标系中，二元一次方程x+y1=0表示什么图形？请学生画出来.问题2：写出以二元一次方程x+y1=0的解为坐标的点的集合(引出点集{(x,y)x+y1=0})问题3:点集{(x,y)x+y10}在平面直角坐标系中表示什么图形？点集{(x,y)x+y1>0}与点集{(x,y)x+y1>0}又表示什么图形呢【讲授新课】研究问题:在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x+y1>0的解为坐标的点的集合{(x,y)x+y1>0}是什么图形一、归纳猜想我们可以看到：在平面直角坐标系中，所有的点被直线x+y1=0分成三类：即在直线x+y1=0上；在直线x+y1=0的左下方的平面区域内；在直线x+y1=0的右上方的平面区域内。
问题1:请同学们在平面直角坐标系中，作出A〔2,0〕，B(0,2),C(1,1),D(2,2)四点，并说明它们分别在上面表达的哪个区域内？问题2：请把A、B、C、D四点的坐标代入x+y1中，发现所得的值的符号有什么规律？〔看几何画板〕由此引导学生归纳猜想：对直线l的右上方的点〔x，y〕，x+y1>0都成立;对直线l左下方的点(x，y),x+y1<0成立.二、证明猜想如图，在直线x+y1=0上任取一点P(x0,y0),过点P作垂直于y轴的直线y=y0,在此直线上点P右侧的任意一点(x,y),都有x>x0,y=y0,所以,x+y>x0+y0=0,所以,x+y 1>x0+y01=0,即x+y1>0,因为点P(x0,y0)是直线x+y1=0上的任意点,•yP(x0,y0)xl:x+y-1=0 •(x,y)Oxy11l：x+y-1=0所以,对于直线x+y1=0右上方的任意点(x,y),x+y1>0都成立.同理,对直线l:x+y1=0左下方的点(x,y),x+y1<0成立所以,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x+y1>0的解为坐标的点的集合{(x,y)x+y1>0}是在直线x+y1=0右上方的平面区域,类似地,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x+y1<0的解为坐标的点的集合{(x,y)x+y1<0}是在直线x+y1=0左下方的平面区域.提出:直线x+y1=0的两侧的点的坐标代入x+y1中,得到的数值的符号,仍然会“同侧同号,异侧异号〞吗？通过分析引导学生得出一般二元一次不等式表示平面区域的有关结论.三、一般二元一次不等式表示平面区域结论：在平面直角坐标系中，•〔1〕二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所•有点组成的平面区域,Ax+By+C<0那么表示直线另一侧所有点组成•的平面区域;(同侧同号,异侧异号)〔2〕有等那么实,无等那么虚;〔3〕试点定域,原点优先.四、例题：例1:画出不等式x y+5>0表示的平面区域;分析：先作出直线x y+5=0为边界〔画成实线〕，再取原点验证不等式x y+5>0所表示的平面区域.解:先画直线x y+5=0为边界〔画成实线〕，再取原点〔0，0〕代入x y+5中，因为00+5>0,所以原点在不等式x y+5>0所表示的平面区域内,不等式表示的区域如下列图.x-y(看幻灯片) 反思归纳:画二元一次不等式表示的平面区域的方法和步骤: (1)画线定界(注意实、虚线); (2)试点定域. 【随堂练习】〔1〕画出不等式x+y>0表示的平面区域； 〔2〕画出不等式x 3表示的平面区域. 〔让学生完成〕例2：画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3,0,05x y x y x 表示的平面区域. 分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因此是各个不等式所表示的平面区域的公一一共部分。
简单的线性规划(教案)
§3.3.2简单的线性规划(教案)---一节校际公开课的设计，实施，反思【教学目标】1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，培养学生数形结合水平，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际问题中抽象出简单的线性规划问题的过程，学会用数学语言去表达实际问题，通过经历图解法解决问题的过程掌握图解法；3．情态与价值：通过对现实中优化问题的解决，让学生体会数学知识在解决资源分配，生产安排，人力布局等方面的强大作用．培养学生的理性精神。
【教学重点】利用图解法求得线性规划问题的最优解；【教学难点】把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
【教学流程】【教学过程】一.复习引入：1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）代点确定，通常代如下几点(0,0),(1,0),(0,1)２.二元一次不等式组表示的几何意义是什么？二.问题情景：例 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐４t 硝酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66t ．若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 三 建立模型解：设x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，设利润为Ｚ,于是满足以下条件：41018156600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩(1) Z=x+0.5y (2)四 分析Z 随x 和y 的变化是如何变化：把(２)式等价变形为y=-2x+2Z,联系前面学过的一次函数：y=kx+b 可知，b=2Z,又因为一次函数的图象是直线如下图从图中分析可知：当直线与y 轴交点越向上时，b 的值越大，越向下是时，b 的值越小．取z=0,ｚ=1,ｚ=2等等可得到一系列平行直线得到的结论是：y=-2ｘ+ｚ表示一簇直线，z 的值随着直线y=-2ｘ平行移动时与y 轴交点不同而变化，所以我们能够由(1)确定的区域内在平行移动直线y=-2ｘ就可找到z 的最大值点和最小值点五 解决问题 １.在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）通过平移参照直线可知使目标函数最大值点在M(2,2)所以Ｚｍａｘ=3万元 2 问题变式 在(１)的约束条件下，求目标函数Z=5x+y,Z=x+2y,Z=4x+y 的最大值3.随堂练习y=-2xy=-2x+1y=-2x+4Z=x+2yy=－2ｘ+ｚZ=5x+yZ=4x+y1、求y x z -=的最大值、最小值，使x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+002y x y x2、设y x z +=2，式中变量x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x六 形成一般规律解决线性规划问题的一般方法： ⑴ 建立约束条件和目标函数 ⑵ 画出可行域与参照直线 ⑶ 平行移动参考直线寻找最值点 ⑷ 求交点和最值结论１线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.结论２线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．现摘录如下(1)对于一次函数y=kx+b 中当交点在y 轴上越高时b 值越大，但是在有些线性规划问题中，并不一定是交点越高，z 的值越大，有时能够相反，这点未给学生交待清楚，造成学生误认为只要交点越高，z 就越大的理解(2)在作图不是很严格情况下出现不确定最值点在何处时，最好是把各个交点代入检验以确保答案准确，要教给学会防止出错的方法，不能仅依赖作图来找答案 (3)开始阶段要着重向学生强调作图规范和准确以给学生做好示范，强调图解法就是靠准确作图找到最优点 八 教学反思(１) 在教学设计中，我考虑到湖北省必修教材教学顺是１４５２３的顺序，不是１２３４５的顺序，这样就给线性规划教学带来一定的困难，因为斜率未学，导致不能用斜率和截距知识来说明目标函数的变化趋势．所以只能从前面学过的一次函数角度来突破，从教学实际看，学生基本听懂了目标函数的变化趋势．(２) 考虑到本节课的重点是建模和解模两个环节，所以在建模开始时着重强调了列表法分析题中各个数据，对于初学线性规划问题的学生来讲，养成用表格方法去分析，对以后解题有很大作用(３)在解决了基本问题后设置了３个变式，用来强调目标函数最值点取决于目标函数系数和可行域的形状，特别是对于无穷解的设计，以为学生以后解题做好铺垫．。
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高三数学第一轮复习讲义(47）2004。
10.27
简单的线性规划
一．复习目标：
1．了解用二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用；
2．通过以线性规划为内容的研究课题与实习作业,提高解决实际问题的能力．
二．知识要点：
已知直线0Ax By C ++=，坐标平面内的点00(,)P x y ． 1．①若0B >，000Ax By C ++>，则点00(,)P x y 在直线的方； ②若0B >，000Ax By C ++<，则点00(,)P x y 在直线的方． 2．①若0B >，0Ax By C ++>表示直线0Ax By C ++=方的区域; ②若0B <，0Ax By C ++>表示直线0Ax By C ++=方的区域．
三．课前预习：
1．不等式240x y -->表示的平面区域在直线240x y --=的()
()A 左上方()B 右上方()C 左下方()D 右下方
2．表示图中阴影部分的二元一次不等式组是（）
()A 220102x y x y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩()B 21002x y x y -⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩()C 1002x y -≤⎨⎪≤≤⎩()D 10
02x y -≤⎨⎪≤≤⎩
3．给出平面区域(包括边界）如图所示,若使目标函数(0)z ax y a =+>
取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为(）
()
A 14()
B 35()
C 4()
D 53
4．原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧， 则a 的取值范围是．
5.由|1|1y x ≥+-及||1y x ≤-+2)
四．例题分析:
例1．某人上午7时乘船出发,以匀速v 海里/时（420v ≤≤)从A 港到相距50海里的B 港去，然后乘汽车以ω千米/时（30100ω≤≤）自B 港到相距300千米的C 市去,计划在当天下午4至9时到达C 市.设乘船和汽车的时间分别为x 和y 小时,如果已知所要的经费（单位：元)1003(5)(8)P x y =+⋅-+-，那么v ，ω分别是多少时所需费用最少?此时需要花费多少元？ 小结：
例2．某运输公司有10辆载重量为6吨的A 型卡车与载重量为8吨的B 型卡车，有11名驾驶员。
在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车7次;每辆卡车每天的成本费A 型车
350元，B 型车400元.问每天派出A 型车与B 型车各多少辆，公司所花的成本费最低，
最低为多少? 小结：
小结：
五．课后作业：班级学号姓名
1．三个点(1,1)P 、(2,2)Q 、(0,1)R -中,在由方程|1||1|1x y -+-=确定的曲线所围成
区域中的个数有（）
()A 3个()B 2个()C 1个()D 0个
2．已知集合{(,)||||1}A x y x y =+≤，集合{(,)|()()}0B x y y x y x =-+≤，M A B =，
则M 的面积是．
3．已知整点(,3)P a 在不等式组430
352501x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
表示的平面区域内，则a 为．
4．某人有楼房一幢,室内面积共1802
m ,拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为182
m ,可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为152
m ，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
5．已知三种食物P 、Q 、R 的维生素含量与成本如下表所示.
现在将xkg 的食物P 和ykg 的食物Q 及zkg 的食物R 混合,制成100kg 的混合物。
如果这100kg 的混合物中至少含维生素A 44000单位与维生素B 48000单位，那么,,x y z 为何值时，混合物的成本最小?
6．设函数2
()(,,0)f x ax c a c R a =-∈≠，又4(1)1f -≤-≤，1(2)5f -≤≤，求(3)f 的最小值、最大值以及取得最小值、最大值时,a c 的值．。